寒假作业08 数列中的插项类、公共项、取整数、存在项、新定义、新文化问题（4知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 数列中的插项类、公共项、取整数、存在项、新定义、新文化问题 一、插项类数列 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 二、公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 三、解决数列与数学文化相交汇问题的关键 四、数列新定义问题 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 插项类 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等比数列的前项和为，公比. (1)求； (2)若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 3．已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 题型二 公共项 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 2．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 题型三 取整数 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 2．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 3．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 4．（24-25高二下·山西太原·月考）人教A版选择性必修二第8页中提到：设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，． (1)求，，的值； (2)数列的通项公式为，设该数列的前n项和为，是否存在整数m，使对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由． 题型四 存在项 1．已知等比数列满足：. (1)求数列的通项公式： (2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知等差数列的公差，前三项之和为9，是和的等比中项 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足：，，是否存在实数p，q，使数列是等比数列，若存在，求出p，q的值，并求数列的前项和；若不存在，请说明理由. 3．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 4．已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明：数列是等差数列； (2)是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列中 ，. (1)求数列的通项公式； (2)设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 题型五 新定义 1．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，． (1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由； (2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性． 3．若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 4．已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 题型六 新文化 1．（2025高二上·全国·专题练习）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 2．（24-25高二上·山东青岛·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·期中）我国古代数学典籍《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题，今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：几何日相逢？各穿几何？翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都穿一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇？各自穿墙多少天？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则打穿需要（    ） A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 2．（24-25高二下·河南南阳·月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（    ） A．3015 B．3025 C．3022 D．3122 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 6．（23-24高二上·河南新乡·期末）在数列中，已知. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 7．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列中 ，. (1)求数列的通项公式； (2)设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 9．已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，， (1)求的表达式； (2)是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 10．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. (1)若等差数列满足，证明：是“T数列”； (2)设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 13．（24-25高二下·广东江门·期中）已知数列的首项，且满足. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)设数列前n项和为，求； (3)若，求满足条件的最大整数. 14．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 15．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 17．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 18．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 19．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 5．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 7．已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 数列中的插项类、公共项、取整数、存在项、新定义、新文化问题 一、插项类数列 1、插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2、插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3、插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 二、公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 三、解决数列与数学文化相交汇问题的关键 四、数列新定义问题 1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. 3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 插项类 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等比数列的前项和为，公比. (1)求； (2)若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)36 (2)存在，4，12，36 【分析】（1）由等比数列的前n项和公式，计算，再求出； （2）设该等差数列为，求出公差和插入的三个数，判断是否存在3个数成等比数列. 【详解】（1）由，得，所以. （2）设这5个数组成的等差数列为， 则，，得该数列的公差， 所以，，. 因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36. 2．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，分类讨论时对应的； （2）根据题意，列出数列，结合等差数列和等比数列前项和公式，求解即可. 【详解】（1），当时，； 当时，，又，不满足； 故. （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为： 故 即. 3．已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 【答案】(1)， (2)186 【分析】（1）根据的关系，即可求解， （2）根据的形成规律，分组即可求解. 【详解】（1）因为，当时， ，                         因为，所以，故． 当时，适合上式， 所以，. （2）（方法1）因为，， 所以当时，． 所以 所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， 设，则， 因为，所以.                        所以的前100项是由14个1与86个2组成． 所以.                              （方法2）设，则， 因为，所以.                              根据数列的定义，知 . 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项和等比中项进行求解即可； （2）求出共插入3的个数，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等差数列， 所以有， 因为成等比数列， 所以， 所以； （2）由题意可知：在3和5之间插入2个3， 在5和7之间插入个， 在19和21之间插入个3， 此时共插入3的个数为：， 在21和23之间插入个3， 此时共插入3的个数为： ，因此， . 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）由可得； （2）①由等差数列可得，进而可得； ②根据错位相减法可得，进而可得，由，，得，进而可得. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故. （2）由题意，得，得. 由可得， 故， ， 上面两式相减可得， 得， ， 由题意，， 得， 得，化简得，得， 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项. 题型二 公共项 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求使得的的最小值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）列举法写出数列和，从而找到公共项成等差数列，即可得解； （2）先求出等差数列的前n项和，再解不等式即可. 【详解】（1） , 所以公共项就是以为首项，2为公差的等差数列， 即； （2）由（1）知， 由，得， ，即， ，故的最小值为7． 2．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出，然后代入等差数列的通项公式即可； （2）令，得，然后分类讨论求和即可得； （3）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可 【详解】（1）设首项为，公差为d，因， 则 解得或（舍）. 则； （2）由时，令， 当时，， 则此时； 当时，， 则 综上， （3）由题意得，， 因为，所以，即， 因此，   所以. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，. (2)①，；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 则，，，，. （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 题型三 取整数 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）根据，可求得，进而解不等式可求解. 【详解】（1）当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． （2）， ， ， ， ， 的最大值为8. 2．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)2022 【分析】(1)由变形整理得到，从而证明出结论； (2)先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【详解】（1）由得， 则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由(1)得，， 所以， 设，， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为2022. 3．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）变形整理得到，从而证明出结论； （2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式和分组求和，得到，从而得到不等式，结合单调递增及特殊值的大小，求出答案. 【详解】（1）两边取倒数得，， 即， 又， 故为首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）得， 故， 所以 ， 故，则， 由于单调递增，且， ， 故满足条件的最大整数为9. 4．（24-25高二下·山西太原·月考）人教A版选择性必修二第8页中提到：设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，． (1)求，，的值； (2)数列的通项公式为，设该数列的前n项和为，是否存在整数m，使对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，m的最小值为8 【分析】（1）利用欧拉函数的定义求得结果； （2）由（1）的结论，求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以； 不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，所以； 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个， 所以. （2）由（1）得， 则， ， 两式相减得： ， 因此，而，， 所以存在整数m，使对任意正整数n都成立，且m的最小值为8． 题型四 存在项 1．已知等比数列满足：. (1)求数列的通项公式： (2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，4 【分析】（1）设出公比，得到方程组，求出首项和公比，得到通项公式； （2）先得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则由已知可得， 解得， 故； （2）因为，则， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 从而， 则， 即， 所以. 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知等差数列的公差，前三项之和为9，是和的等比中项 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足：，，是否存在实数p，q，使数列是等比数列，若存在，求出p，q的值，并求数列的前项和；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）根据题意求出，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）若存在实数，使数列是等比数列，则由已知可得，进而求得，计算可得，利用分组求和即可求数列的前项和. 【详解】（1）由已知，得，解得： 数列的通项公式 （2）由（1），若存在实数p，q，使数列是等比数列， 结合可知其公比为2， 则，即， 所以，解得 因此，当时，数列是首项为数列2，公比为2的等比数列. 因为，所以， 因此. 3．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，， 且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设试问数列是否存在最大项?若存在，求出最大项序号n的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，序号，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）根据数列最大项的性质进行求解即可. 【详解】（1）设该等差数列的公差为，， 由， 因为成等比数列，所以， 由可得： （2）由上可知：，， 假设否存在最大项， 则有， 因为，所以，所以假设成立，数列是否存在最大项，序号. 4．已知数列的前n项和为，数列满足，． (1)证明：数列是等差数列； (2)是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；， 【分析】（1）根据求出的通项公式，证明出数列为等差数列； （2）先得到是以8为首项，为公比的等比数列，求出通项公式，结合对数运算列出方程组，求出p、q的值. 【详解】（1）证明：因为数列的前n项和为， 当时，， 所以， 当时，，满足， 所以数列的通项公式为，， 所以，， 所以是首项为7，公差为4的等差数列． （2）因为，所以，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列， 所以； 所以， 要使对一切正整数n都有成立． 即，即， 所以， 解得，所以则当，时，对一切正整数n都有成立． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列中 ，. (1)求数列的通项公式； (2)设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列 的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，求得，根据题意，转化为对任意恒成立，进而求得的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以， 若对任意成立，即，即对任意恒成立， 令，函数在上为单调递增函数， 所以的最小值为， 要使得对任意恒成立，即 因为是整数，由可得的最大整数值为， 即存在最大整数，使得对，均有恒成立. 题型五 新定义 1．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及的通项公式直接计算可得； （2）由题得，进而得数列是首项为，公差为的等差数列，最后根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1）依题意，且， 所以； （2）因为，所以，所以． 所以，且，故是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以数列的前n项和. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，． (1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由； (2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性． 【答案】(1)不唯一，理由见解析 (2)，数列是递增数列 【分析】（1）根据“等平方差数列”的定义求出可得答案； （2）判断的正负可得答案. 【详解】（1）根据“等平方差数列”的定义，及，， 得， 即，解得． 依题意，得， 所以， 所以满足条件的数列不唯一； （2）因为， 所以由（1）得， 因为， 所以，所以数列是递增数列． 3．若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】(1)是“紧密数列”，理由见解析 (2) 【分析】(1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． （2）由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 4．已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)具有，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 题型六 新文化 1．（2025高二上·全国·专题练习）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，冬至的晷长为尺，根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为， 则立冬到冬至晷长增加，冬至到雨水晷长减少4，设冬至的晷长为尺， 则，解得，则冬至所对的晷长为13.5尺. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东青岛·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意依次计算可判断选项正误. 【详解】由题： .则ACD错误，B正确. 故选：B 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 【答案】C 【分析】根据前四项推出判断. 【详解】解：由已知得，， ，所以， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·河南许昌·期末）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】归纳出数列的通项公式，利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】因为，，，， 以此类推可知，故， 因此，数列的前项和为. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·期中）我国古代数学典籍《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题，今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：几何日相逢？各穿几何？翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都穿一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇？各自穿墙多少天？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则打穿需要（    ） A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 【答案】B 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，然后由等比数列求和公式，结合数列的单调性即可求得结果． 【详解】设大鼠和小鼠每天穿墙尺数分别构成数列，，它们都是等比数列，其中， 的公比为，的公比为， 设经过天，大鼠和小鼠穿墙尺数的和为， 则（分组求和法的应用）， 因为与在上均单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以当时，，当时，，因此需要11天才能打穿． 故选：B 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】B 【分析】由题意可知此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列，进而根据前6项和为列方程求出首项，再根据等比数列的通项公式及性质求出即可. 【详解】由题意可得，此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列， 设这个数列为，前n项和为，则，解得， 所以，，， 即此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为里， 故选：B. 2．（24-25高二下·河南南阳·月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（    ） A．3015 B．3025 C．3022 D．3122 【答案】A 【分析】先根据题意得递推公式，再由递推公式结合累加法和等差数列前n项和公式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35， 所以， 所以 ， 则该数列的第45项为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据与的关系求得，然后利用等差数列的通项公式求得，然后再利用等比数列通项公式基本量运算求得. （2）依次求出中相邻项之间插入1的个数，即可求出. 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 到6时，恰好有项，故． 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列满足，，数列满足，且． (1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式： (2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【分析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明. （2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案. 【详解】（1）由题可知，， 所以，，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以（常数）， 所以是等比数列， 所以，即． （2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，， 故． ． 6．（23-24高二上·河南新乡·期末）在数列中，已知. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意得到，求得，结合等差、等比的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列中，已知， 可得，即， 因为，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以，可得，即数列的通项公式为. （2）解：因为，可得， 由数列与的公共项为，可得，所以， 所以，即，所以， 所以， 所以. 7．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列． (2)若，求满足条件的最小整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1000 【分析】（1）取倒数法得到，证明出结论； （2）在（1）基础上，得到通项公式，分组求和得到，令，单调递增，由特殊点函数值，得到答案． 【详解】（1）证明：因为，所以，所以． 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知， 所以． 令，易知单调递增． 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000． 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知等差数列中 ，. (1)求数列的通项公式； (2)设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列 的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，求得，根据题意，转化为对任意恒成立，进而求得的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以， 若对任意成立，即，即对任意恒成立， 令，函数在上为单调递增函数， 所以的最小值为， 要使得对任意恒成立，即 因为是整数，由可得的最大整数值为， 即存在最大整数，使得对，均有恒成立. 9．已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，， (1)求的表达式； (2)是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，3． 【分析】（1）根据等比数列的性质求解，再根据等差数列的性质求解再根据等差数列的前项和公式即可得的表达式； （2）根据裂项相消法求解数列的前项和，从而解不等式即可得的最小值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，则，则，解得或（舍）， 则，所以，则， 由，可得，化简得，代入得， 所以； （2）， 所以 由，可得， 也即，因，解得， 由，则的最小值为3． 10．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）当时，，由，可得：， 即可得证； （2）假设存在正整数满足题意，先利用（1）求出，得到，，， 利用等比中项的定义得到关于的方程，解出的值． 【详解】（1）已知， 当时，， 由，上述两式相减得： 即 即，由得： ， 故数列是公差为2的等差数列； （2）假设存在正整数满足题意， 由（1）知是公差的等差数列，且，则： ， 故， 故， 又，， 若，，成等比数列，则，代入得： ，因为为正整数，解得， 验证：当时，，等式成立. 故存在正整数，使，，成等比数列. 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【答案】(1) (2) 【分析】当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可． 【详解】（1）若数列为1级等差数列， 即为对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，，可得， 则． （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立． ， ， ，……， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列， 偶数项是首项为0、公差为3的等差数列， 则 所以，，． 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. (1)若等差数列满足，证明：是“T数列”； (2)设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)（）；（）存在，，最大值为. 【分析】（1）根据给定条件，求出及公差，再利用“T数列”的定义判断得证. （2）（）利用已知，结合求出通项公式；（）假定存在，利用“T数列”的定义，结合恒成立的不等式推理判断得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，即， 由，得，则，即， 联立解得，所以等差数列是“T数列”. （2）（）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而， 因此数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 （）假设存在“T数列”满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有，数列的公差为， 当时，， 当时，若，则，即，而，因此， 此时，任意，当时，恒有， 即，于是对恒成立， 设，则，由，得，数列递增， 而，则当，此时均成立， 即，所以，存在m的最大值为 13．（24-25高二下·广东江门·期中）已知数列的首项，且满足. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)设数列前n项和为，求； (3)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的定义即可证明结果； （2）根据（1）的结论及等比数列的前和公式，即可求解； （3）利用分组和求法以及数列的单调性，即可求得最大整数. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 所以，又，所以， 则为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）由（1）知，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若，即，令， 则， 所以数列为递增数列，又，， 所以满足的最大整数的值为. 14．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）首先求得，由累加法即可求解； （2）不妨设，分，两种情况讨论即可求解； （3）当时，结论显然成立，当时，通过放缩法以及裂项即可得证. 【详解】（1）由题意可知，即，故， 由，可得， 所以数列的公差，所以， 由， 叠加可得， 整理可得，当时，满足上式， 所以； （2）不妨设，即，可得， 当时，，不合题意， 当时，， 所以在数列中均存在公共项， 又因为，所以. （3）当时，，结论成立， 当时，， 所以， 综上所述，. 15．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求出. （2）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出. （3）由（1）（2）的结论求出，利用作差探讨单调性，再按的奇偶求出的范围. 【详解】（1）数列的前n项和为，由，得，解得， 当时，，整理得， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. （2）由（1）知，则化为， 当时，，两式相减得，即， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是. （3）令，则， 当时，，即， 当时，，则，递增，即， 当n是偶数时，由对任意正整数n恒成立，得，而递增， 即，且，因此； 当n是奇数时，由对任意正整数n恒成立，得， 而，当时，递增，即，因此，解得， 所以的取值范围是. 16．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用递推式求解，退位作差得到时，又，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）①先求出，再根据错位相减法求和即可；②原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 17．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到仅有. 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 18．（24-25高二上·上海·月考）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)已知数列的前项和分别为，且，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围． 【答案】(1)数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等差数列和等比数列的求和公式求和，再结合“凹数列”的定义，即可判断； （2）首先求数列的通项公式，再根据，代入通项公式，求的范围. 【详解】（1）由于为等差数列， 所以为等比数列， ， 任意的，都有， 故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2）因为等差数列的公差为，， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． 19．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用得到，即可得证； （2）在（1）基础上，得到，再利用并项求和法求解即可； （3）求出公比，由（2）知，，即，令，判断其单调性得到，进而可得出答案. 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①②，化简得， 两边同时除以得， 中，令得， 即，又，故， ，故对， 数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则， 则， 则 ； （3）设等比数列的公比为， 由，或， 又数列是递增数列，， 由（2）知，即， 令，则， ， 当时，，当时，，当时，， 即有， 又， 故当时，， 又， ，当时，， 故使得成立的最大整数为6. 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式推导出，从而求出，再推导出即可得解.. 【详解】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出. 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，. (2)①，；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 则，，，，. （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用得到，即可得证； （2）在（1）基础上，得到，再利用并项求和法求解即可； （3）求出公比，由（2）知，，即，令，判断其单调性得到，进而可得出答案. 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①②，化简得， 两边同时除以得， 中，令得， 即，又，故， ，故对， 数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则， 则， 则 ； （3）设等比数列的公比为， 由，或， 又数列是递增数列，， 由（2）知，即， 令，则， ， 当时，，当时，，当时，， 即有， 又， 故当时，， 又， ，当时，， 故使得成立的最大整数为6. 5．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由题干条件可解得公比,再代入第一个条件可解得,由此可得到等比数列的通项公式; (2)先写出数列的通项公式，利用错位相减法即可求得其前n项和为； (3)先求出等比数列的前n项和，由可知介于与之间， 对分奇偶讨论与的单调性和最值，最终可得出实数m的取值范围. 【详解】（1）设等比数列的公比为,由题意得,,代入可得公比, 又,解得，所以的通项公式为; （2）,则, 利用错位相减法，可得, 两式相减可得, 化简可得数列的前n项和为； （3）等比数列的前n项和为，存在正整数n，使得成立， 当为偶数时，,由，得, 因为当为偶数时，单调递增，所以的最小值为， 而当为偶数时，单调递减，所以的最大值为，所以; 同理当为奇数时，,由，得, 因为当为奇数时，单调递减，所以的最大值为， 而当为奇数时，单调递增，所以的最小值为，所以， 综上，若存在正整数n，使得成立，则的取值范围为上述两种情况的并集， 故实数m的取值范围为. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 【答案】(1)存在“完美互补子列”，不存在. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据“完美互补子列”的概念和性质进行判断即可. （2）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明. 【详解】（1）对A选项：取：，；取：，. 则和是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”. 对B选项：因为， 假设该数列存在一对“完美互补子列”和， 则和的各项和为，但中各项均为偶数， 所以和的各项和为不可能成立. 故数列2，，，，，不存在“完美互补子列”. （2）（i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问中，证明的方法，就是说明时的一对“完美互补子列”，时都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 7．已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 【详解】（1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，如子列，理由见解析 【分析】（1）根据题意，设数列构成等差数列，且公差为，根据等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得的值； （2）设等比数列的首项，公比为，由性质，得到成等差数列，结合等比数列的求和公式，求得数列需为等差数列，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解. （3）根据题意，求得和，由3和4互质，得到可以表示为二次函数，得出，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：由数列具有性质，所以构成等差数列， 设该等差数列为，且公差为，其中，首项， 因为，， 所以数列的前的和， 解得，所以，所以. （2）解：设等比数列的首项，公比为， 由性质知：数列成等差数列， 因为，， 所以数列需为等差数列， 因为等差数列相邻两项的差相等，即， 若，则，可得，此时所有项均为，构成等差数列； 若，因为，由， 则，解得或， 但时，，与前提矛盾，故舍去，所以， 此时数列为常数列，构成等差数列， 综上可得，数列的公比或. （3）解：由数列具有性质和，即连续3项和与连续4项和分别成等差数列， 设连续3项和为，则，其中为的公差， 同理可得： 连续4项和为，则，其中为的公差， 因为3和4互质，可以表示为两种二次函数的形式， 所以必为关于的二次函数， 此时通项，满足（其中为常数） 所以数列为等差数列，即等差数列的任意无穷子列仍为等差数列， 所以存在无穷子列成等差数列. 9．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 【答案】(1)13； (2)4950； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用逆序数的定义直接计算即可. （2）由给定的通项公式确定其单调性，再利用逆序数的定义，结合等差数列前项和公式求解. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数，借助等差数列前项和公式求和即得. 【详解】（1）. （2）由，数列严格单调递减，即， 所以数列的逆序数. （3）数列的通项公式， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，逆序数 ； 当为偶数时，逆序数 ， 所以. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $