10.1 二元一次方程组的概念（题型专练，4基础&2提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念（答案版） 题型一、二元一次方程的定义 1．C． 2．D． 3．D． 4．． 5．2． 6．②⑤． 题型二、二元一次方程的解 7．D． 8．B． 9．． 10．（答案不唯一） 11．【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 12．【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 题型三、判断二元一次方程组 13．B． 14．B． 15．C． 16．C． 题型四、判断二元一次方程组的解 17．B． 18．【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 19．B． 20．D． 21．（答案不唯一）． 22．③． 23．①③；②③；③． 题型一、不定方程的整数解 24．【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 25．【详解】解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ∵x，y为正整数， ∴需为正整数且， 即为2的倍数且， ∴，3，5， 当时，；当时，；当时，． 因此购买方案有3种． 故答案为：3． 26． 【详解】解：由，可得，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故a的值有4种可能． 故答案为4． 27．【详解】解：∵， ∴是“满分数”， ， ∵是“满分数”， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵是整数， ∴设，其中为正整数， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，，则， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当时，此时，即，数字均为，不满足各数位数字互不相等，不符合题意； 当时，，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 则 ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：， 28．【详解】（1）解：由题意，得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分， 未作答1题得分为：分， 故答案为：5，，0； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，由题意，得， ， 解得：． 答：他答对了15道题； （3）解：设参赛者F答对了a道题，未作答b题，则答错了道题，由题意，得， ， 整理得， 由于a和b都是非负整数， ∴，，， 他答对15题；答错4题；未作答1题． 故答案为：15；4；1． 29．【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数 30．A． 31．A． 32．A． 33．4． 34．． 35．【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 36．【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 37．【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 38．83和7200． 39．96；792． 40．【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 41．【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 42．【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 43．【详解】（1）解：每件盈利：（元） 每天盈利：（万元）（元） 每天生产：（件） 设甲种机器买进台，乙种机器买进台， 则， 解得； 设甲种机器（不含进口税）万元/台， 则， 解得：； ∴甲种机器买进台，乙种机器买进台，甲种机器（不含进口税）万元/台； （2）解：每件盈利：（元） 每天盈利：（万元）（元） 每天生产件． 设甲种机器买进台，乙种机器买进台， 则， 化简得：． 解得：或或． 甲种机器含进口税每台共万元， 此时采购支出分别为：万元，万元，万元， ∴当支出最少． ∴甲种机器买进台，乙种机器买进台最合算． 试卷第2页，共32页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 二元一次方程组的概念 题型一、二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，进而得到的值即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 4．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数必须均为1，且系数不为零以确保两个变量都存在，据此建立等式和不等式求解，即可解题． 【详解】解：由二元一次方程的定义，得，， 解得或，且． 综上所述，． 故答案为：． 5．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 6．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 题型二、二元一次方程的解 7．已知是方程的解，则k等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查已知二元一次方程的解，求参数的值，解题的关键是把二元一次方程的解代入含参的等式，再求参数的值．把代入方程得出，再求出k即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D． 8．甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出关于x和y的方程，代入求解y的值． 【详解】解：由题意得， 将代入，得：， 解得， 故选：B． 9．已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的整体求值，解决本题的关键是将解代入方程． 将解代入方程可得，进而求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴代数式． 故答案为 ：． 10．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 11．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 12．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 题型三、判断二元一次方程组 13．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，需满足两个未知数，未知数的最高次数为1，且每个方程均为整式方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有三个未知数，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； B、属于二元一次方程组，故该选项符合题意； C、次数不是1次，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； 故选：B． 14．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 15．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①方程组中的方程不是整式方程，故方程组不是二元一次方程组； ②方程组中的方程不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； ③方程组中含有三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； ④方程组是二元一次方程组； ⑥方程组是二元一次方程组； ⑦方程组是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个， 故选：C． 16．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：C． 题型四、判断二元一次方程组的解 17．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 18．下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 19．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解． 【详解】解：方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得．   故选：B． 20．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 21．写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 22．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 23．在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 题型一、不定方程的整数解 24．已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查根据二元一次方程的解的情况求参数的值．根据题意得到，由和都是整数，得到是偶数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 25．班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 设羽毛球拍x副，乒乓球拍y副，根据总价列出方程，化简得，求正整数解，需为整数且，得，3，5，对应，4，1，故有3种方案． 【详解】解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ∵x，y为正整数， ∴需为正整数且， 即为2的倍数且， ∴，3，5， 当时，；当时，；当时，． 因此购买方案有3种． 故答案为：3． 26．把1根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格的短钢管，且两种规格的钢管都必须有，且没有余料．设截完后1m长的钢管有a根，则a的值有 种可能． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，掌握根据实际问题确定未知数的正整数取值范围是解题的关键． 根据题意，设2m长的钢管有b根，列出方程，其中a和b均为正整数，求解a的可能值． 【详解】解：由，可得，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故a的值有4种可能． 故答案为4． 27．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 ；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为 · 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用、方程整数解的应用． 根据题意得到，再根据题意得到，，进一步得到是整数，设，其中为正整数，求出或，据此进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴是“满分数”， ， ∵是“满分数”， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵是整数， ∴设，其中为正整数， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，，则， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当时，此时，即，数字均为，不满足各数位数字互不相等，不符合题意； 当时，，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 则 ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：， 28．某校组织趣味数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同．如表记录了4位参赛者的答题及得分情况． 参赛者 答题总数 答对题数 答错题数 总得分 20 20 0 100 20 19 1 93 C 17 14 3 64 13 11 2 51 (1)从如表可以看出：答对1题得___________分，答错1题得___________分，未作答1题得___________分； (2)参赛者完成18道答题得69分，他答对了多少道题？ (3)参赛者得了67分，请直接写出他答对___________题；答错___________题；未作答___________题． 【答案】(1)5，，0 (2)他答对了15道题； (3)15；4；1 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，二元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系列出方程是关键． （1）从参赛者的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由参赛者的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者E答对了x道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分=69分建立方程求出其解即可； （3）设参赛者F答对了a道题，未作答b题，则答错了道题，得到，由于a和b都是非负整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分， 未作答1题得分为：分， 故答案为：5，，0； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，由题意，得， ， 解得：． 答：他答对了15道题； （3）解：设参赛者F答对了a道题，未作答b题，则答错了道题，由题意，得， ， 整理得， 由于a和b都是非负整数， ∴，，， 他答对15题；答错4题；未作答1题． 故答案为：15；4；1． 29．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数 30．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 31．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 32．芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 33．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程组的解，算术平方根，将解 代入方程组，先求得，再求得，最后计算的算术平方根即可． 【详解】解：将代入方程，得，即， 解得，， 故， 将，代入方程，得，即， 解得， 则， 16的算术平方根为 4， 即的算术平方根是4． 故答案为：4． 34．若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 35．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 36．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 37．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 【答案】a，b的值分别为3，0 【分析】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 38．若一个两位数恰好比它的各个数位数字之和的8倍还少5，则称这个两位数为“八五数”．则最大的“八五数”为 ；若一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“八五数”，则称这个四位数为“双八五数”．若，则记．若s，t都是“双八五数”，其中，，（，z，n，，，，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，当取最大值时， ． 【答案】 83 7200 【分析】此题主要考查了二元一次方程的整数解和数字问题，两位数和四位数的表示，新定义，掌握新定义“八五数”是解本题的关键． 首先，根据“八五数”的定义，设两位数为，满足，解得，求出和的自然数解，从而确定“八五数”有和，其中最大为．对于“双八五数”和，根据其表达式和“八五数”条件，解出可能为或，t可能为或．计算和，其中，，．得到的最大值为，此时，，故． 【详解】解：设“八五数”为，则，化简得． ∴， ∵，，、为自然数， ，，或，， 故“八五数”有和， 所以最大“八五数”为83． 若s，t都是“双八五数”， ，故s千位为1，s可能为或． ，其数字为千位，百位是3， 由题意得：， 则， 故t为或． 计算：若，则，，； 若，则，，． 计算：若，则，，； 若，则，，． ，当且时，最大．此时． 故答案为83和7200． 39．如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 96 792 【分析】本题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可；根据“和好数”的定义，计算和后求和；设和好数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为，表达和，求，使其为完全平方数，确定的可能值，找出所有符合条件的，再求最大值与最小值的和． 【详解】解：对于，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，， 故； 设三位数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴有，，，，， 则，令其等于完全平方数， ∴即为完全平方数， ∴必须为形式（为正整数），且， 解得或，即或； 当时，，，，； 当时，，，，或，，，； 所有符合条件的为，，，最大值为，最小值为， 和为． 故答案为：96；792． 40．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 41．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 42．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 43．某公司每天可以卖出所有生产线生产出来的产品，每件成本200元，盈利率为，每天可以盈利4万元．随着消费市场的活跃，该公司逐渐发现产品供不应求，所以想要使用新机器扩大生产规模（旧机器不再使用），经过采购部门的调研发现，现在有甲、乙两种机器可供选择． 种类 产地 售价 生产产品数量 进口税率 甲种 国外（售价不计进口税） 万元/台 1000件/天 乙种 国内（已计算增值税） 450万元/台 800件/天 − (1)公司通过某交易平台买进甲、乙种机器共10台，共花了4800万元，经过计算，所有机器投入使用后，若商品依旧能每天卖完且售价、成本不变，则每天盈利相比之前增长了．由于平台相关原因，未能提供甲种机器（不含进口税）的售价，请你依据已知信息计算出甲种机器（不含进口税）的售价和该公司甲、乙种机器买进的台数． (2)请你通过计算说明，如果该公司希望每天盈利相比之前（盈利4万元时）增长，在确保没有滞销的情况下，如何采购机器最合算． 【答案】(1)甲种机器买进台，乙种机器买进台，甲种机器（不含进口税）万元/台 (2)甲种机器买进台，乙种机器买进台最合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）求出每件盈利、每天盈利，进而得到每天生产的件数，设甲种机器买进台，乙种机器买进台，根据题意列方程求出，设甲种机器（不含进口税）万元/台，根据题意列方程求出即可； （2）求出每件盈利、每天盈利，进而得到每天生产的件数，设甲种机器买进台，乙种机器买进台，则，化简得：，求出所有符合的解，比较采购支出即可． 【详解】（1）解：每件盈利：（元） 每天盈利：（万元）（元） 每天生产：（件） 设甲种机器买进台，乙种机器买进台， 则， 解得； 设甲种机器（不含进口税）万元/台， 则， 解得：； ∴甲种机器买进台，乙种机器买进台，甲种机器（不含进口税）万元/台； （2）解：每件盈利：（元） 每天盈利：（万元）（元） 每天生产件． 设甲种机器买进台，乙种机器买进台， 则， 化简得：． 解得：或或． 甲种机器含进口税每台共万元， 此时采购支出分别为：万元，万元，万元， ∴当支出最少． ∴甲种机器买进台，乙种机器买进台最合算． 试卷第2页，共32页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 二元一次方程组的概念 题型一、二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 4．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 5．若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 6．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 题型二、二元一次方程的解 7．已知是方程的解，则k等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 9．已知是方程的解，则代数式的值为 ． 10．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 11．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 12．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 题型三、判断二元一次方程组 13．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 14．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 15．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四、判断二元一次方程组的解 17．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 18．下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 19．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 20．下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 21．写出一个解为的二元一次方程组 ． 22．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 23．在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 题型一、不定方程的整数解 24．已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 25．班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有 种； 26．把1根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格的短钢管，且两种规格的钢管都必须有，且没有余料．设截完后1m长的钢管有a根，则a的值有 种可能． 27．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 ；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为 · 28．某校组织趣味数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同．如表记录了4位参赛者的答题及得分情况． 参赛者 答题总数 答对题数 答错题数 总得分 20 20 0 100 20 19 1 93 C 17 14 3 64 13 11 2 51 (1)从如表可以看出：答对1题得___________分，答错1题得___________分，未作答1题得___________分； (2)参赛者完成18道答题得69分，他答对了多少道题？ (3)参赛者得了67分，请直接写出他答对___________题；答错___________题；未作答___________题． 29．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数 30．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 31．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 32．芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 33．已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 34．若是方程组的解，则 ． 35．有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 36．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 37．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 38．若一个两位数恰好比它的各个数位数字之和的8倍还少5，则称这个两位数为“八五数”．则最大的“八五数”为 ；若一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“八五数”，则称这个四位数为“双八五数”．若，则记．若s，t都是“双八五数”，其中，，（，z，n，，，，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，当取最大值时， ． 39．如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 40．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 41．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 42．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 43．某公司每天可以卖出所有生产线生产出来的产品，每件成本200元，盈利率为，每天可以盈利4万元．随着消费市场的活跃，该公司逐渐发现产品供不应求，所以想要使用新机器扩大生产规模（旧机器不再使用），经过采购部门的调研发现，现在有甲、乙两种机器可供选择． 种类 产地 售价 生产产品数量 进口税率 甲种 国外（售价不计进口税） 万元/台 1000件/天 乙种 国内（已计算增值税） 450万元/台 800件/天 − (1)公司通过某交易平台买进甲、乙种机器共10台，共花了4800万元，经过计算，所有机器投入使用后，若商品依旧能每天卖完且售价、成本不变，则每天盈利相比之前增长了．由于平台相关原因，未能提供甲种机器（不含进口税）的售价，请你依据已知信息计算出甲种机器（不含进口税）的售价和该公司甲、乙种机器买进的台数． (2)请你通过计算说明，如果该公司希望每天盈利相比之前（盈利4万元时）增长，在确保没有滞销的情况下，如何采购机器最合算． 试卷第2页，共32页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $