第15期 15.1 轴对称图形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH) 第14~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 第14期综合测评卷 20.(1)因为∠ABD=∠CBE,所以∠ABD+∠DBC= ∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE=90°.在△ABC和△DBE 题号1 2345678910 r∠ABC=∠DBE, 答案CBD AAC DD C D 中，因为AB=DB, 所以△ABC≌△DBE(ASA). 二、11.4；12.70°；13.28；14.=2β；15.①②③. I∠BAC=∠BDE, 三、16.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= (2)过点A作AM⊥BD于点M,图略.所以∠AMB=90° AB DE. =∠EBD.因为F是AE的中点，所以AF=EF,由对顶角相等， EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC≌ 得∠AFM=∠EFB.在△AFM和△EFB中，因为 BC EF, ∠AMF=∠EBF, △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 ∠AFM=∠EFB,所以△AFM≌△EFB(AAS).所以AM= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. AF EF 17.根据题意，得∠OAB=∠C=90°.在△AOB和△COD EB=BC,MF=BF.所以BM=2BF.因为∠DBC+∠ABF= AB CD. 90°，∠ABF+∠BAM=90°，所以∠DBC=∠BAM.在△ABM 中，因为 ∠OAB=∠C,所以△AOB≌△COD(SAS).所以 AB BD. A0=C0. 和△BDC中，因为 ∠AOB=∠COD.所以点D,O,B三点共线，即钻头正好从点B ∠BAM=∠DBC,所以△ABM≌ 处打出. AM BC, 18.如图1，过点D作DH⊥BC于点 D △BDC(SAS).以BM=CD.所以CD=2BF H.所以∠EHD=90°.因为DE⊥AC,所 21.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 以∠AFD=90°.因为∠BAC=90°，所 ∠ACB=90°所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 以AB∥DE.所以∠B=∠DEH.在 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为 △ABC和△HED中，因为 B r∠AFE=∠DCA, r∠BAC=∠EHD, 图 ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= ∠B=∠DEH,所以△ABC≌ EA AD. BC ED, △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SACE=6,所以 EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2. (2)如图2，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M因 2CBH0=6所以CB=3 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 19.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∠AME=∠DCA, [AC=BD,所以Rt△AEC≌R△BFD(HL).所以∠A=∠B. ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= LCE DF. AE DA. (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90°.因为Rt△AEC≌ Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中，因为 BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为 r∠BPC=∠EPM, CE DF. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= ∠CE0=∠DFO,所以△CEO≌△DFO(SAS) BC EM, OE =OF, EP.所以BE=2BP 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 6.图略. 7.(1)图略. (2)(-a,b). (3)△ABC的面积为6. 能力提高8.B. 图2 图3 9.(1)(3,2) (3)如图3，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 (2)点A,B沿x轴翻折后的对应点的坐标分别为C(-1, 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, -1),D(-4,-1) AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 点C,D沿直线m翻折后的对应点的坐标分别为(3，-1)， +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. (6,-1) ∠ANE=∠DCA, 所以点A,B的<x轴，m>伴随图形点A',B的坐标分别 在△AWE和△DCA中，因为 ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ 为(3，-1)，(6，-1). EA AD. 第15期3版 △DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CW=AN- AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， 题号12345678 r∠BPC=∠EPW, 答案ACBBBCAC 因为{∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP 二、9.①：10.(5.5,4)；11.45°；12.10°或70° BC EN. 三、13.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，（-3，-1). =EP,CP=PN=L.所以AP=AC+CP=5.所以S△E= 2S△BP=AP·BC=20. (2)△4BC的面积为：号×(3+4)×7-子×2x3- 第15期2版 ×5×4=11.5. 15.1轴对称图形 14.因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE,所以 15.1.1轴对称 ∠AEB=∠AEF,∠B=∠AFE.因为∠B=∠D,所以∠AFE 基础训练1.C；2.B;3.1;4.10;5.18°； =∠D.所以EF∥CD.所以∠BEF=∠C=72°.所以∠AEB 6.①②③；7.4. =子∠BBF=360 8.图略。 15.(1)E;F;G;H;EH;EF;GH;∠GFE;∠EHG. 9.(I)因为△ABC中点A,B,C关于直线MW的对称点分 (2)图略.AE∥BF,理由：对应点的连线互相平行或共线， 别为点A',B,C',AC=8cm, 这里不共线，所以平行 所以BC=B'C',A'C'=AC=8cm. (3)对称轴MW垂直平分AE.理由：对称轴垂直平分对称 因为A'C=12cm, 点的连线。 所以△A'B'C的周长为：A'B'+B'C'+A'C=A'C+AC= 16.(1)图略 12+8=20(cm) (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= (2)图略 ∠EAB,∠D=∠AEB. 根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90° 因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE=∠ABC.所以AE∥ 所以△ACC的面积为：AC·ArC=48cm. BC. 10.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D+∠EBC=180° △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 17.(1)∠1+∠2=2∠A.理由如下： 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 ∠C4B=36°，所以∠ADC=(180°-∠CAB)=72 ∠1+∠2=180°-∠ADE-∠A'DE+180°-∠AED-∠A'ED (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- =360°-2（∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， (2)猜想：∠1-∠2=2∠A.证明如下： 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= 由折叠性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.所以 48°. ∠1-∠2=180°-∠ADE-∠A'DE-(∠A'ED-∠DEB)= 15.1.2画轴对称图形 180°-2∠ADE-∠A'ED+∠DEB=180°-2∠ADE-∠AED 基础训练1.B;2.B;3.B;4.上，5；5.4. +∠A+∠ADE=2∠A. 2 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 附加题(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后的 因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°. 坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为(3， 因为AB∥CD, -5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动点； 所以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以AD⊥AB. 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 所以PA=PQ=PD. (2.5,0)与A2重合，所以A2(2.5,0)是不动点. 第16期3版 (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 题号 2 345678 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. 第16期2版 15.2线段的垂直平分线 二9.3；10.26；11.10：1224 5 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. 三、13.图略 5.图略. 14.设PA交直线l于点C,连接BC,图略. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, 因为直线I是线段AB的垂直平分线， AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 所以CA=CB. 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. =2. 15.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ 7.连接OA,OC,图略. BC,BD=DE,所以△ABD≌△AED.所以AB=AE.所以AB= 因为OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线， EC. 所以OA=OC,0B=OD,∠DF0=90°. (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC .AB CD =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 在△AB0和△CD0中，因为{OA=OC, 5.5cm. -OB OD. 16.(1)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180°.因为 所以△AB0≌△CDO(SSS). ∠ACD=114°，所以∠CAB=66°.由作法知，AM是∠CAB的 所以∠AB0=∠CD0=79° 因为∠CDB=38°， 平分线所以∠MAB=之∠C1B=33 所以∠ODF=∠CD0-∠CDB=41°. (2)由作法知AM平分∠CAB,所以∠CAM=∠MAB.因 所以∠D0F=90°-∠0DF=49°. 为AB∥CD,所以∠MAB=∠CMA.所以∠CAM=∠CMA.因 8.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 为CN⊥AM,所以∠ANC=∠MNC.在△ACN和△MCW中，因 l2是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 r∠CAW=∠CMWN, 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. 为{∠AWC=∠MWC,所以△ACN≌△MCN. (2)因为41是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为2 LCN CN, 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 17.(1)如图4，连接 O在线段BC的垂直平分线上. PA,PB,PC.因为PE垂直平 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 分AB,PM垂直平分AC,所以 0C=5cm.所以0A=5cm. PA=PB,PA=PC.所以PB 15.3角的平分线 =PC.所以点P在线段BC的 基础训练1B;2.D;3.C；4.A; 垂直平分线上 图4 5.117°；6.3或5；7.12. (2)如图4，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 8.过点O作OM⊥AB于点M,图略. ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 因为BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC, 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW 所以OE=OM. =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 由题意知OE=OF,OF⊥AC, (3)因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,所以FA= 所以OM=OF FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=90°.设∠B=x°，∠C=y 所以点O在∠BAC的平分线上 所以∠B=x°=∠BAF,∠C=y°=∠CAN.在△ABC中，因 9.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略. 为∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=a,所以x°+y°+x°+ -3 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 y+a=180,即l1809-=x°+y AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. 2 15.4.3等腰三角形的判定 在四边形AEPM中，因为∠AEP+∠AMP+∠EAM+ 基础训练1.C；2.B;3.16 ∠FPW=360°，所以∠FPV=360°-90°-90°-(x°+y°+ 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 a）=180°-(1809=a+a)=1809-g 2 2 ∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=64因为BG1AC, 附加题(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以 1 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26°. ∠APC=∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称 (2)因为AB=AC,AD为中线， 点为D,所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°- 所以∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.所以∠ADC=90. ∠APC-∠APD=60°. 所以∠DAC+∠DCA=90°. (2)如图5，过点A作BD,DP的垂线，G 因为∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 ∠DAB. 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= 因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB= 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= ∠CBG+∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45° 图5 15.4.4等边三角形的判定 =∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的 基础训练1.B;2.B;3.30° 平分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP 4.(1)如图6，等边三角形CEF即为所求。 =号∠GDP=75因为点C关于直线PA的对称点为D,所以 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 第17期2版 15.4等腰三角形 图6 图7 15.4.1等腰三角形的性质 (2)CD=CE+CF.理由如下： 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.40° 如图7，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 2∠BAD=50°. EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE ∠FEH,即∠CEF=∠HED =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC. EF ED. AC CB 在△CEF和△HED中，因为 ∠CEF=∠HED,所以 在△ECA和△DBC中，因为 ∠ECA=∠DBC, EC EH, CE BD. △CEF≌△HED(SAS). 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 第17期3版 ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC 题号12345678 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- 答案CADDBCB D ∠BAC-∠ABC=34°. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；1075°；11.5； 15.4.2等边三角形的性质 基础训练1.C;2.B;3.15 12.18. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD=∠ACB=30 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30° (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°，所以 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(1)得EA ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 =ED.所以AE=CE 4 八年级数学沪科(AH)第14~18期 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A=2∠C.所以∠B=2∠C. 60°，BC=CA. (2)如图8，过点D作DH⊥AC于点H.所 BC=CA. 以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是△ABC 在△BCE和△CAD中，因为 ∠BCE=∠CAD,所以 的角平分线，所以BD=HD. CE AD. 在Rt△ABD和Rt△AHD中，因为 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. AD=AD,所以R△ABD≌t△AHD(HL) (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 BD HD. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O°. 所以AB=AH 15.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C=45°.所以 DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, ∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以BD=HC.因 即∠ABE=∠CED. 为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD 因为AE=BE,所以∠A=∠ABE. 附加题因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC= 由对顶角相等，得∠AEF=∠CED. 60,BC=之AB.因为BD平分∠ABC,所以∠DBA=LABC 所以∠A=∠AEF.所以△AEF是等腰三角形. (2)由(1)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE =30°=∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60°. ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： (I)因为DE⊥AB,所以AE=BE=4B所以BC=BE ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 所以△EBC是等边三角形. 180°，解得∠A=36°； (2)AD=DG+MD.理由如下： ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 如图9，延长ED至点P,使得DP 180°，解得∠A=45°. =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 综上所述，∠A的度数为36°或45° ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 16.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90 ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 G -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. 图9 ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ △PDM是等边三角形.所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD. CD. 因为∠BMG=60°，所以∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG, (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 即∠PMG=∠DMB.在△PGM和△DBM中，因为 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP. ∠P=∠MDB. ∠CAP=∠DEP, MP MD. 所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG= 在△CPA和△DPE中，因为 ∠CPA=∠DPE,所以 ∠PMG=∠DMB, CP DP, DB.因为PG=DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD. △CPA≌△DPE(AAS) 第18期2版 所以AP=EP=AE,AC=ED因为BD=AC,所以BD 专题一 轴对称图形 =DE. 1.B:2.-1. 因为DE∥AC,所以∠BDE=∠CAD=60°.所以△BDE 3.答案不惟一，图略。 是等边三角形.所以BD=BE,∠EBD=60°.所以AC=BE. 专题二 线段的垂直平分线与角的平分线 AC BE 1.B;2.4. 在△CBA和△EAB中，因为 ∠CAB=∠EBA,所以 3.如图10，过点A作AH⊥EF于点H, AB BA. 由题意得AB⊥EB,因为EA平分 △CBA≌△EAB(SAS).所以BC=AE=2AP. ∠BEF,AH⊥EF,所以AH=AB. 17.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B 因为AB=AD,所以AH=AD. E 图10 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE 所以Rt△ADF≌Rt△AHF(HL) =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= 所以∠AFD=∠AFH.所以FA平分∠DFE. 八年级数学沪科(AH) 第14~18期 4.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°.因为AM⊥兰△BDC.所以∠BAC=∠BDC. BC,所以∠AMB=90°.所以∠ABC+∠BAM=90°.所以∠C (2)连接AP,如图13.因为△BAC =∠BAM.因为AD平分∠MAC,所以∠MAD=∠CAD.所以 ≌△BDC, ∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.因为∠ADB=∠C+∠CAD, 所以AB=DB=12,∠DBN= 所以∠BAD=∠ADB.所以AB=BD.因为BE平分∠ABC,所 ∠ABN=60 以BF⊥AD,AF=FD,即线段BF垂直平分线段AD. 所以∠EBD=180°-∠DBN- 专题三等腰三角形 ∠ABN=60°. 图13 1.D;2.D;3.6. 所以△BDE为等边三角形.所以DE=12. 4.(1)等边 因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAP≌ (2)△BEF是等腰三角形.理由如下： △BDP 因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠BAD=∠DAE- 所以PA=PD.所以PE+PD=PE+PA ∠BAD,即∠DAC=∠EAB. 因为PE+PA≥AE,所以当点P运动到点B时，PE+PA的 又因为AC=AB,AD=AE,所以△DAC≌△EAB(SAS). 值最小，为24. 所以∠C=∠EBA. 此时△PDE周长最小，为36. 因为EF∥BC,所以∠EFB=∠ABC. 20.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠EFB=∠EBA 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以EB=EF.所以△BEF是等腰三角形 所以∠ABD=∠ADB=60°. 第18期3,4版综合测评卷 因为CE∥AB,所以∠CED=∠DAB=60°，∠DFE= ∠ABD=60. 题号1 2345678 9 10 所以△DEF是等边三角形. (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 二、11.21°；12.50°；13.3265；14.3；15.2. 线.所以AC平分∠DAB. 三、16.(1)图略. (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°， (2)点C的坐标为(4,3). 所以∠BAC=∠DAC=30°. 17.(1)如图11所示. 因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°=∠CAD. (2)如图11，由(1)可得，BD=CD,因 所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4. 为△ABD的周长为14， 因为△DEF是等边三角形，所以EF=DE=4. 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD= 所以CF=CE-EF=4. AB +AC 14. 图11 21.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 因为AC=8, 因为BD=BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC 所以AB=6. 因为∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, 因为∠A=90,所以△ABC的面积为：7×6×8=24 所以∠A=∠DBC.所以BD是△ABC的“等角分割线” (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 18.如图12，在AB上截取AD=AC,连接 所以∠A=180°-2∠C. CD. 因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90° 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角 所以∠ABD=90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°- 形 ∠C. 所以CD=AD,∠ADC=∠ACD=60°. 图12 因为BD是△ABC的“等角分割线”，所以 因为4C=4B。 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 所以AD=之AB所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD ∠C=67.5°； ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C =30° =90°（舍去）. 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角 综上所述，∠C的度数为67.5°. 三角形。 19.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 64 素养·拓展 A 数理招 (上接第3版) 17.(14分)将△ABC的∠A沿直线DE折 附加题⊙ 第13期2版参考答案 14.2.5两个直角三角形全等的判定 基础训练1.A;2.B;3.50° 叠，点A的对应点为点A',记∠CDA'为∠1， (以下试题供各地根据实际情况选用) 4.(1)∠CDB的度数为85° ∠BEA'为∠2. “变换M”:在平面直角坐标系中，先将点A (2)证明略。 (1)如图14-①，当点A的对应点'落在向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于y 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB= ∠A'D'B'=90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，因为 △ABC的内部时，试探究∠1，∠2与∠A的数量轴的对称点.若点A经过“变换M”后得到的点 关系，并说明理由； '与点A重合，我们称点A为不动点. AB二4E所以R1△ABD≌R△AB'D(HL).所以 LAD =A'D' ∠B=∠B'.在△ABC和△A'BC'中，因为 (2)如图14-②，当点A的对应点A'落在 (1)判断点A(2,-5),A2(2.5,0)是否为 AB =A'B' △ABC的外部(AB的下方)时，∠1，∠2与∠A不动点； ∠B=∠B',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). 又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证 (2)已知点A(a,3)为不动点，求a的值 BC B'C', 专题一 全等三角形的性质与判定 明. 1.C:2.B:3.3. 4.因为点D是BC的中点，所以BD=CD.因为CI ∥AB,所以∠BED=∠F.在△BDE和△CDF中，因为 r∠BDE=∠CDF, ∠BED=∠F,所以△BDE≌△CDF(AAS).所以 BD =CD. BE CF. 5.(1)BF⊥CE,理由略. (2)∠DCE的度数为30 6.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°，所以∠CAE= ∠BAF. 在△CAE与△BAF中，因为 AE AB, ∠CAE=∠BAF,所以△CAE≌△FAB(SAS).所以 LAC AF EC BF. (2)证明略 (3)结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立，理 由略 专题二 用尺规作三角形 基础训练1.C;2.C. 3.图略 第13期3版参考答案 -、题号12345678 答C BB AD C D C 二、9.AB=DC;10.2:11.2或4： 数理报社试题研究中心 12.40°或140 (参考答案见下期) 三、13.图略 十十十十十十十 14.证明略. 题型空间 15.DE的长为7. 16.(1)因为AF⊥DE,所以∠DFA=90°= 坐标系搭台 轴对称唱戏 乙ABC在△A0F和R△CB中，因为CAC所 LAF AB.' II II II II II I IIII II IIII IIII II II I II I II 以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).所以∠DAF=∠CAB. ○贵州郝鹏跃 (2)由(1)得∠DFE=∠ABC=90°.在Rt△AEF 在求解平面直角坐标系中的轴对称问题 解：C 和RAB中，图为华二指：所以△MF兰 时，关键是要掌握关于某条直线对称的点的坐 例2若点A(a,3)与点B(-2,b)关于y Rt△AEB(HL).所以EF=BE.因为Rt△ADF≌ 标之间的规律，提高学生的语言表达能力、观察轴对称，则点M(α，b)所在的象限是() Rt△ACB,所以DF=BC.所以DF=BC=CE+BE= EF CE. 能力、归纳能力，形成良好的科学研究方法. A.第一象限 B.第二象限 17.(1)因为DB为△ACD的高，所以∠ABE= (1)点(a,b)关于直线y=m(各点的纵坐 C.第三象限 D.第四象限 ∠CBD=90°.在Rt△EBA和Rt△CBD中，因为 rAB DB. 标都是m)对称的点的坐标为(a,2m-b). 解：因为点A(a,3),点B(-2,b)关于y轴 ∠ABE=∠DBC,所以△ABE兰△DBC(SAS). 特殊地，当m=0,即点(a,b)关于x轴对称对称，所以a=2,b=3.所以点M(a,b)在第一 EB CB. 的点的坐标为(a,-b).也可以通俗说成：求某象限.故选A. (2)BF=BG且BF⊥BG,证明略. 附加题(1)因为∠ABC+∠ADC=180°，所以 点关于x轴对称的点的坐标时，横坐标不变，纵 例3如图，在平面直 ∠BCD+∠BAD=180°.因为∠BAD=90°，所以 坐标变为原数的相反数，简单说成“横坐标不角坐标系中，△ABC关于直 ∠BCD=∠BAD=90°.在Rt△BAD和Rt△BCD中，因 变，纵坐标变（是指变成原数的相反数）” 线m(直线m上各点的横坐 为{8R:,所Rt△BAD≌Rt△BCD(HD. (2)点(a,b)关于直线x=n(各点的横坐标都为1)对称，点C的坐标 AD CD. (2)图略.延长DC至点K,使CK=AP,连接BK 标都是n)对称的点的坐标为(2n-a,b) 为(4,1)，则点B的坐标为 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠BAD+ 特殊地，当n=0,即点(a,b)关于y轴对称 ∠BCD=180°.因为∠BCD+∠BCK=180°，所以 ∠BAD=∠BCK.在△BAP和△BCK中，因为 的点的坐标为(-a,b).也可以通俗说成：求某 A.(-2,1) B.(-3,1) [AB =CB, 点关于y轴对称的点的坐标时，横坐标变为原数 C.(-2,-1) D.(2,1) ∠BAP=∠BCK,所以△BAP≌△BCK(SAS).所以 LAP CK, 的相反数，纵坐标不变，简单说成：“横坐标变 解：因为△ABC关于直线m(直线m上各点 ∠ABP=∠CBK,BP=BK因为PQ=AP+CQ,QK= (是指变成原数的相反数)，纵坐标不变”， 的横坐标都为1)对称，所以C,B关于直线m对 CK+CQ,所以PQ=QK.在△PBQ和△KBQ中，因为 例1在平面直角坐标系中，点(-2,4)关称所以可设点B的坐标为(a,1). rBP BK, QP=QK,所以△PBQ≌△KBQ(SSS).所以∠PBQ 于x轴对称的点的坐标是 因为点C的坐标为(4,1)，所以4-1=1- BO BO, A.(-2,4) B.(2,-4) a.解得a=-2.所以点B的坐标为(-2,1).故 =∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+∠CBQ. C.(-2,-4) D.(2,4) 选A. （(3)补全图形貉∠PB0=90+子∠ADC理由略 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2025年10月8日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 15期总第1159期 沪科 0351-5271248 八年级(AH) 第14期综合测评卷 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 参考答案 -、1.C:2.B: 入门向导 3.D;4.A; 恋周进 5.A;6.C; 15.1轴对称图形 “细说”成轴对称与轴对称图形 7.D;8.D; ◎山西尤许依 学习目标：1.掌握轴对称图形和两个图形成 9.C;10.D. 轴对称图形 二、11.4： 轴对称这两个概念的实质，会应用轴对称的性质 成轴对称 12.70°： 解题 13.28: 2.能按要求画出简单平面图形关于给定对 图形（示例）》 14.a=2B; 称轴对称的图形，可以写出，点关于坐标轴对称的 15.①②③. 点的坐标 三、16.∠ACF的 认知重点：能够识别轴对称图形并找出它 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果如果一个平面图形沿一条直线折叠，直 度数为153°. 它能够与另一个图形重合，那么称这两线两旁的部分能够完全重合，那么这个 的对称轴，掌握平面直角坐标系中的轴对称 概念 17.钻头正好从 个图形关于这条直线（成轴）对称 图形叫作轴对称图形 点B处打出，理由 名项点圃+ 区别 图形 成轴对称涉及两个图形，是两个图形的轴对称图形是针对一个图形而言的，它 略。 个数 位置关系 表示某个图形的特性 18.CE长为3 七彩生活奇妙对称 对称轴 成轴对称的两个图形有一条对称轴 轴对称图形可能有多条对称轴 19.略 20.略 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形； ⊙广东魏萌雨 21.(1)CF的长 (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分图形就关于这条直线成 一、纹饰与轴对称 轴对称； 为2. 例1下列四种中国古代青铜器上的纹饰 联系 (3)作一个图形关于某直线成轴对称的图形，或判断两个图形关于某直线是否成轴 (2)过点E作 中，是轴对称图形的是 对称，都可以归结为点的轴对称问题去解决； EM1AP,交AP的 (4)二者的本质特征：折叠后的两部分是完全重合的，即对应线段、对应角相等 延长线于点M,图 专题辅导 略.因为EM⊥AP AD⊥AE,所以 ∠AME=∠EAD 解：根据轴对称图形的定义可知选项B符 轴对称性质应用体验 ∠ACB=90°.所以 合该定义.故选B. 二、剪纸与轴对称 ∠DAC+∠ADC= 安徽 武晓东 例2剪纸艺术遗产经国务院批准列入第 一、求角度 四、综合运用 90°，∠DAC 批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩 例1如图1，△ABC与 例4如图4，△ABC ∠EAM=90°.所以 纸巧剪，送给人们真挚的信念祝福。下列蛇年剪 △ADC关于AC所在直线对 和△ADE关于直线MN对 ∠EAM=∠ADC.在 纸作品中，是轴对称图形的为 称，∠BAD+∠BCD=180 称，BC和DE的交点F在 △AME和△DCA 则∠B的度数为 直线MN上， 中， 因为 解：因为△ABC与△ADC (1)若ED=15,BF ∠AME=∠DCA: 关于AC所在直线对称，所以 =9,求CF的长； ∠EAM=∠ADC, B BAC=LDAC三7∠BAD,LACB=LACD (2)若∠ABC=35°，∠AED=65°，∠BAE AE DA. 解：观察可知，选项A的剪纸图案是轴对称 =16°，求∠BFN的度数： 所以△AME≌ 图形.故选A. }∠BCD.因为∠BAD+∠BCD=180°，所以 (3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置 △DCA(AAS).所以 三、折纸与轴对称 关系，并说明理由. EM=AC.因为BC 例3将一张长方形的纸对折，然后用笔尖 BMD+3∠BCD=0,即∠BAC+∠ACB 2 解：(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN =AC,所以BC= 在上面扎出字母“B”,再把它展开铺平，你看到 =90°.所以∠B=180°-（∠BAC+∠ACB)= 对称，所以BC=ED=15.又因为BF=9,所以 ME.在△BCP和 的图形可能是 90°.故填90°. CF BC -BF =6. △EMP中，因为 BB B白 B a 阿 二、求周长 (2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对 A D ∠BPC=∠EPM 例2如图2，等边△ABC 称，所以∠ACB=∠AED=65°.又因为∠ABC 解：对折展开后的两个图形成轴对称，对应 ∠BCP=∠EMP 的边长为1cm,D,E分别是AB, =35°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB= 点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相 BC EM, AC上的点，将△ADE沿直线 80°.因为∠BAE=16°，所以∠EAC=∠BAC- 等.观察图形，符合这一特征的图形是选项C.故 DE折叠，使点A落在点A'处， LBAE=64°.因为线段AE与AC关于直线M 所以△BCP≌ 选C △EMP(AAS).所以 且点A'在△ABC外部，求阴影 四、美术字与轴对称 部分图形的周长 对称.所以∠E1N=∠C1N=号∠BAC=32 BP=EP.所以BE 例4下列4个美术字中，可以看作是轴对 解：阴影部分图形的周长为3cm. 所以∠BAN=∠BAE+∠EAN=48°.所以 =2BP. 称图形的是 三、求面积 ∠BFN=∠BAN+∠ABF=83 (3)△ABE的面 例3如图3，正方形ABCD的 (3)如图4，BD∥EC.理由如下： 积为20， 鹏 程万 里 边长为4cm,求阴影部分的面积 因为△ABC和△ADE关于直线MN对称 A B D 所以MN⊥EC,MN⊥BD.设直线MN交EC于 解：根据轴对称图形的定义即可判断.故选 解：阴影部分的面积为：2 ×4 c点P,交BD于点Q.所以∠APE=∠AQB= D. 4=8(cm2). 图3 90°.所以BD∥EC. 2 素养专练 数理极 6.在图4的一个虚线框中补画一个小正方 跟踪训练 形，使补画后的图形成为轴对称图形 GENZONGXUNLIAN 15.1轴对称图形 15.1.1轴对称 图4 垦础训练 7.如图5，在正方形网格中，直线1与网格线 1.以下四款人工智能大模型图标，是轴对称 重合，点A,C,A',B均在网格点上 图形的是 (1)已知△A'B'C'和△ABC关于直线l对称， 请在图中把△ABC和△A'B'C'补充完整； (2)在以直线1为y轴的坐标系中，若点A的 10.如图9，在△ABC中，∠CAB=36°，∠B= 坐标为(a,b),则点A'的坐标为 + 48°，D,E分别是边AB和BC上的点，△ACE和 (3)求△ABC的面积. 2.如图1，若有一条线段与线段a成轴对称， △ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F: 则这条线段可以是 (I)求∠ADC的度数； A.b B.c D.e (2)求∠DEB的度数 图1 图2 3.如图2，汽车的图标是轴对称图形，其对称 轴有 条 4.如图3，D为△ABC的边AB上一点，点A关 于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接 DE,若AB=7,AC=3,BC=6,则△BDE的周长 能刀提高 是 8.如图6是由全等的小三角 形拼成的十边形，已有3个小三 角形涂上阴影，请你再选择一个 15.1.2画轴对称图形 三角形涂上阴影，使其阴影部分 图3 图4 垦础训练 是轴对称图形，则涂法共有 5.如图4，在Rt△ABC中，∠A=90°，点C与 ( 点B关于DE成轴对称，连接BE,已知LABE= 1.在平面直角坐标系中，点(2,5)关于x轴对 A.1种 B.3种 3LEBD,则∠C的度数是 称的点是 ( ) C.5种 D.7种 6.如图5为一张锐角三角形纸片ABC,小明 A.（-2,5) B.(2,-5) 想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的】 9.在平面直角坐标系中，对于任意图形G及 C.(-2,-5) D.(5,2) 直线L,2,给出如下定义：将图形G先沿直线l,翻 中线AD:②∠BAC的平分线AE:③BC边上的高 2.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的 折得到图形G,再将图形G沿直线，翻折得到图 4F.根据所学知识与相关活动经验可知：上述三 轴对称图形，其中正确的是 ( 条线中，能够通过折纸折出的有 形G2,则称图形G2是图形G的<1，l2>伴随图 (填序 号) 例如：点P(2,1)的<x轴，y轴>伴随图形 是点P'(-2,-1) (1)点Q(-3,-2)的<x轴，y轴>伴随图 形的坐标为 3.图1和图2中所有的“●”都完全相同，将 (2)已知A(-1,1),B(-4,1),直线m经过 图1的“●”放在图2中①②③④的某一位置，使点(1,1)，且与y轴平行，请写出点A,B的<x轴， 7.如图6，点0为∠ABC内部一点，且0B=它与原来7个“●”组成的图形是轴对称图形，这 m>伴随图形点A',B'的坐标 2,E,F分别为点O关于射线BA,射线BC的对称个位置是 点.当∠ABC=90°时，EF的长为 A.① B.② C.③ D.④ 8.如图7，请画出下列轴对称图形的对称轴. ●① ② ④ (3 图1 图2 4.将点A(-1,-2)向 平移 9.如图8，△ABC中，点A,B,C关于直线MW 个单位长度后得到的点与点B(1,3)关 的对称点分别为点A',B',C',其中∠A=90°，AC 于y轴对称. 8 cm,A'C 12 cm 5.如图3，直线1经过点(1,0)且垂直于x轴， (1)求△A'B'C'的周长； 若点A(-3,-1)与点B(a,b)关于直线l对称，则 数理报社试题研究中心 (2)连接CC',求△A'CC'的面积 a+b的值为 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 14.(8分)如图11，一个四边形纸片ABCD 同步检测 LB=∠D,△ABE关于直线AE的对称图形是 △AFE,点F落在AD边上.若∠C=72°，求∠AEB 的度数 TONGBUJIANCE 【检测范围：15.1】 一、精心选一选（每小题4分，共32分）》 :限的△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来 题号1 34 56 8 点A的坐标是(a,b),则第23次变换后点A的坐标 答案 是 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是 我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、 反： 器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊 第1次 第2次 第3次 第4次 艳了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称 关于x轴对称关于y轴对称关于x轴对称关于y轴对称 图6 图形的是 A.(a,b) B.(a,-b) 52 C.(-a,b) D.(-a,-b) 二、细心填一填（每小题4分，共16分）》 9.如图7，下列左右两个图形成轴对称的是 15.(10分)如图12，四边形ABCD与四边形 (填序号) 2.如图1，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称 EFGH关于MN对称. ∠A=45°，∠B'=110°，则∠C的度数为( S己(CDmE⊙g (1)A,B,C,D的对称点分别是 ,线段AD,AB的对 A.15° B.20° C.25° D.359 ① ② 应线段分别是 ,CD 图7 10.剪纸是中国古代最古老的民间艺术之 ,∠CBA ,∠ADC 其中蕴含着图形的变换.如图8是一张蕴含着轴对 称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D (2)连接AE,BF,AE与BF平行吗？为什么？ 图2 对称，将其放置在直角坐标系中，点A,B,C的坐标 (3)对称轴MN与线段AE有何关系？ 3.如图2，已知∠CDE=108°，直线l是五边形 分别为(2,0)，(4,0)，(0.5,4)，则点D的坐标为 ABCDE的一条对称轴，则直线1与边DE所夹锐角 a的度数为 A.36° B.54° C.729 D.1089 图12 4.下列图形中，对称轴数量最多的是( B 成米公 图8 图9 11.如图9，△ACD和△BCE都是△ACB的轴 对称图形，对称轴分别是直线AC,BC.若AD⊥ BE,则∠DCE= 5.如图3，直线l,m相交于点0，P为这两直线 12.在△ABC中，AD⊥BC于点D,点C关于 外一点，且OP=3.若点P关于直线l,m的对称点 AD的对称点为点E,连接AE,若∠ABC=50° 分别为点P,P,,则P,P,之间的距离可能是 ∠CAD=30°，则∠BAE的度数为 16.(12分)如图13，D是△ABC内部一点， 三、耐心解一解（共52分） ∠DAB=∠ABC. A.0 B.5 C.6 D.7 13.(8分)如图10，在平面直角坐标系中， (I)作点D关于直线AB的对称点E(要求：尺 ① △ABC三个顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 4),C(-3,1). (2)在(1)的条件下连接AE,BE,求证：∠D+ (1)请画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C ∠EBC=180° :并直接写出△A'B'C'各顶点的坐标：A 图3 图4 B .C' 6.如图4，网格线上的八条等长线段形成一个 (2)求△A'B'C'的面积 轴对称图形，图中有四条线段标上号码，要使剩下 的图形不是轴对称图形，则擦去的两条线段的号 图13 码可能是 A.①和② B.①和③ C.②和③ D.②和④ 7.墙上有一面镜子， 镜子对面的墙上有一个数 字式电子钟.如果在镜子 图5 里看到该电子钟的时间显示如图5所示，那么它的 实际时间是 ( A.12:51 B.15:21 C.15:51 D.12:21 8.如图6，在平面直角坐标系中，对在第一象 (下转第4版)