1.1.6平面直角坐标系中的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦平面直角坐标系中的距离公式，系统讲解两点间、点到直线及两平行线间距离公式。通过数轴距离旧知导入，结合欧几里得《几何原本》思想构造直角三角形推导两点间距离，再用向量法佐证，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融入数学史（如阿基米德、阿波罗尼奥斯等人物），以问题链驱动公式推导，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（逻辑推理）。典例结合三角形形状判断、面积计算，用数学语言解决实际问题，助力学生深化理解，教师可借助多样推导方法与历史素材提升教学效果。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 直线与圆 第1节 直线与直线方程 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握两点间的距离公式。 2、掌握点到直线的距离公式。 3、掌握两条平行直线间的距离公式。 1、两点间的距离公式。 2、点到直线的距离公式。 3、两条平行直线间的距离公式。 1、两点间的距离公式的推导。 2、点到直线的距离公式的推导。 3、两平行线间的距离公式推导。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、如何计算数轴上A、B两点间的距离呢？ 0 A B |AB| = |xB-xA| 2、在平面直角坐标系中，若两点为A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算A,B之间的距离呢？ 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 O A(x1,y1) B(x2,y2) C(x2,y1) 过点A作垂直于y轴的直线，过点B作垂直于x轴的直线， 两直线相交于点C(x2,y1) 在Rt△ACB中 AC=_______________ BC=_______________ 由勾股定理得AB=_______________________ =____________________________ |x2-x1| |y2-y1| 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 此公式也可用向量的方法证明： =____________________ 则||=___________________=___________________________ (x2-x1,y2-y1) 两点间的距离公式 已知平面内两点 ，则两点间的距离公式为：|AB|= 注意：1、 2、 3、 4、 当AB∥x轴时，|AB|=|x2-x1|; 当AB∥y轴时，|AB|=|y2-y1|。 原点O(0,0)与任意一点P(x,y)间的距离是。 此公式与两点的先后顺序无关。 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知是直线上的两点，若=3，求|AB|。 解：因为在直线上， 所以, 由已知=3，得=| ()-()|=6 根据两点间的距离公式得 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P，使得|PA|=|PB|，并求|PA|的值。 解：设所求点P(x,0),于是 由|PA|=|PB|得 即 解得x=1，所求点P(1,0) 所以|PA|= =2 7 典 例 引 路 柯 西 例2、如图，已知△ABC的三个顶点分别为 A(4,3),B(1,2),C(3,- 4). （1）试判断△ABC的形状； （2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长。 解：（1）根据两点间的距离公式，得 又因为 即 所以△ABC是直角三角形 (2)因为BC的中点D的横坐标，纵坐标 所以BC边上中线的长 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知等腰 的顶点 ，底边 ， 边的中点为 ，则腰长为_ ______. 解：|BD|= |BC| =2 |AD|==2 在RtADB中，由勾股定理得腰长为 |AB|==2 9 新 知 引 入 韦 达 3、点P到直线l的距离是如何定义的？ 点P到直线l的垂线段PN的长叫作点P到直线l的距离，通常用d表示. x y o 4、在平面直角坐标系中，有一点，直线 (其中A，B不全为0)，如何求出点P到直线l的距离d呢？ 10 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 在平面直角坐标系中，已知点，直线 (其中A，B不全为0)。 x y o 直线l的法向量为_______________ |PN|就是在直线l的法向量 方向上的______________的长度 设M是直线l上任意一点， M 投影向量 =____________________________ (x1-x0,y1-y0) 11 学 习 新 知 拉格朗日 因为M在直线上， 所以，即Ax1+By1=_______ A(x1-x0)+B(y1-y0) =_________________________ =_________________________ x y o M =__________________________________________ ① - C 点到直线的距离公式 Ax1+By1-(Ax0+By0) - C - Ax0 - By0 ② (其中A,B不全为0) 将②代入①，得 12 学 习 新 知 点到直线的距离公式 布 丰 (其中A,B不全为0) 注意：1、 2、 3、 4、 5、 使用点到直线的距离公式时，要把直线方程化为一般式。 点 P(x0,y0) 到 x 轴的距离 d = |y0| 点 P(x0,y0) 到 y 轴的距离 d = |x0| 点 P(x0,y0) 到 y=a 轴的距离 d = |y0-a| 点 P(x0,y0) 到 x=b 轴的距离 d = |x0-b| 13 典 例 引 路 牛 顿 例3、点P(-2,1)到下列直线的距离： (1) (2) (3) 解：d = = 解：y=2x+3可化为2x-y+3=0 d = = 解：d = = 或 d = |-2-(- )| = 14 同 步 练 习 黎 曼 练3、求点P（3，-2）到下列各直线的距离。 （1）y=x+ (2)y=6 (3)x=4 解：直线方程 y = x+可化为3x-4y+1=0 d = = 解：因为直线y=6与y轴垂直，所以d=|-2-6|=8 解：因为直线x=4与x轴垂直，所以d=|3-4|=1 15 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积。 解：设AB边上的高为h ，则S△ABC= |AB|·h |AB|==2 AB边上的高h就是C到直线AB的距离 AB边所在直线的方程为 = ,即x+y-4=0 h = = 所以S△ABC = ×2× =5 16 同 步 练 习 庞加莱 练4、以A(1,1),B(3,5)和y轴上一点P为顶点的三角形的面积为5，则P的纵坐标为_____________ 解：∵A(1,1),B(3,5) ∴|AB|==2 设点P到AB的距离为d， ∵△ABP的面积为5， ∴5 = ×|AB|×d = ×2×d ∴d= ∵直线AB的方程为 = ,即2x-y-1=0 设P的坐标为（0，m) ∴d = = ， 解得m=4或m=-6 ∴P的纵坐标为4或-6 17 新 知 引 入 伯努利 5、两条平行直线间的距离是如何定义的？ 夹在两条平行线间的公垂线段的长。 6、已知两条平行直线 (其中A,B不全为0，且)， 那么如何求它们之间的距离呢？ x y o 18 学 习 新 知 布 丰 x y o 在直线上任取一点， 则有，即_______ 此时，两条平行直线， 间的距离也就是点到直线的距离。根据点到直线的距离公 式得：___________________=______________ 即: -C1 = = 两条平行直线的距离公式 注意：1、 两条直线的方程需用一般式，且两方程中x,y的系数要对应相等。 19 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、求下列各对平行线间的距离： (1) (2) (3) 解:d = = 解：将两直线方程化为一般式l1:3x-y+2=0,l2:3x-y-3=0 d = = 解：将l2化为：x-2y+=0 d = = 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、求与直线 l：5x-12y+6=0平行且与直线 l 距离为3的直线方程。 解：依题意，设所求直线方程为5x-12y+b=0 根据两平行直线间的距离公式得 = 3 解得b=45或b=-33 所以所求直线方程为5x-12+45=0或5x-12y-33=0 21 典 例 引 路 华罗庚 例6、若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为，则实数a=_________ 解：由题意知，直线2x-y-3=0可变形为4x-2y-6=0， ∴ = ∴a = -16 或 4 22 同 步 练 习 陈景润 练6、若直线3x-4y-2=0与直线6x-8y+m=0间的距离为1，则m=          . 解：直线3x-4y-2=0化为6x-8y-4=0， 根据平行线间的距离公式： d = =1 解得：m=6或m=-14 23 全 课 总 结 一、两点间的距离公式：|AB|= 二、点到直线的距离公式：(其中A,B不全为0) 三、两条平行直线的距离公式： = (其中A,B不全为0) 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $