大题精练01 动力学与能量综合问题 -2026届高考物理题型突破限时精练

大题精练01 动力学与能量综合问题 一、考向分析 1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块——木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。 2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。 二、动力学 牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay 向心力 牛顿第三定律 传送带分析思路 板块分析思路 三、运动学 匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 <Vs/2 自由落体运动 竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性) 四、功和能 内容 重要的规律、公式和二级结论 1.重力势能 (1)重力势能：Ep＝mgh，与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (2)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。 2.弹性势能 (3)弹簧的弹力做功只与位置有关，而与路径无关。 (4)弹性势能：Ep＝kx2。 3.机械能守 恒定律 (5)机械能守恒的条件：只有重力和弹簧的弹力做功，其他力做功为0。 (6)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv或者Ep减＝Ek增。 五、连接体的机械能守恒问题 共速率模型 分清两物体位移大小与高度变化关系 共角速度模型 两物体角速度相同，线速度与半径成正比 关联速度模型 此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可能为0 轻弹簧模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等 ②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零) 【例题1】（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，一倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上。斜面上固定了一中间带孔的滑槽。一轻质直杆平行于斜面穿在滑槽中，另一端与一劲度系数为、沿杆方向的轻弹簧相连，轻质直杆与滑槽的最大静摩擦力为。现将一质量为的小滑块从距离弹簧上端处静止释放。已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）、滑动摩擦力等于最大静摩擦力、弹簧始终在弹性限度内且不会碰到滑槽、当地重力加速度取，求： (1)滑块下滑的最大速度的大小； (2)直杆开始运动时弹簧的形变量以及全程产生的热量； (3)若使滑块从距离弹簧上端处静止释放，求滑块与弹簧分离时的速度大小。 【例题2】12．（2025·浙江湖州·三模）如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。 (1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小； (2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围； (3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。 1. 如图所示为足够长的水平传送带的俯视图，其运行速度为v，A、B是该传送带其中一侧的两个端点，货物（可视为质点，图中未标出）从A点以速度ν滑上传送带，速度方向与传送带左侧间夹角，货物恰好未从右侧边滑落。已知货物的质量为m，与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，，求： (1)货物刚滑上传送带时加速度a的大小； (2)货物与传送带间因摩擦而产生的热量Q； (3)传送带的宽度L以及货物运动过程中的最小速度。 2. （2025·四川绵阳·一模）如图所示，竖直平面内，光滑斜面与水平轨道由一小段光滑圆弧平滑连接，长。以水平轨道末端为坐标原点建立平面直角坐标系轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，坐标系内点坐标为，），点左下方的点坐标为。一小物块从斜面上不同位置由静止下滑，通过坐标系中的不同位置。小物块与水平轨道间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若小物块刚好运动到点就停下，求小物块在水平轨道上运动的时间； (2)若小物块通过点，求小物块下滑初始位置相对水平轨道的高度； (3)若小物块下滑初始位置相对水平轨道高度为时通过点，且通过点的动能与通过点的动能相等。判断与的大小关系，并求与的关系式。 3. （2025·湖南·模拟预测）如图所示，在地面上方的竖直平面内固定一细杆轨道ABCDE，AB为粗糙的长直轨道，长为m，与水平方向的夹角为，BCD和DE段均为半径m的光滑圆弧形轨道，AB与BCD相切于B点，、为圆心且连线水平，C为圆弧形轨道的最低点，距地面高度为m，E为最高点且在正上方。一质量为kg的小球套在轨道AB上，自轨道最高点A由静止释放，小球经过D点时对轨道的压力大小为4N，，，重力加速度g取。 (1)求小球与轨道AB间的动摩擦因数μ； (2)在粗糙轨道上距B点m有一点P，重新将小球自P点释放，并同时施加水平向右的恒力F，在小球运动到B点时撤去恒力，小球恰好能运动到圆弧轨道最高点E，求水平恒力F的大小；（结果用分式表示） (3)改变对小球施加的外力F的大小，使小球到达E点时，轨道对小球的作用力恰好为0，小球自E点飞出后与地面碰撞，已知小球每次与地面碰撞反弹时，沿水平方向的速度大小不变，沿竖直方向的速度大小变为碰撞前竖直方向速度大小的一半，忽略空气阻力，求自E点抛出经过多少次碰撞后小球反弹的高度首次小于0.02m，并求出自抛出至反弹后瞬间竖直速度为0过程的水平位移的大小。 4. （2025·山东济南·一模）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面右侧连接一光滑圆弧轨道，圆弧轨道下面静止放着一质量的长木板，圆弧轨道最低点与木板相切接触但无挤压。与斜面平行的轻质弹簧两端连接两个质量均为的物块和，物块紧靠着挡板，物块通过跨过光滑轻质定滑轮的轻质细绳与质量 、可视为质点的物块相连，与物块相连的细绳平行于斜面，物块在外力作用下静止在对应圆心角为、半径的光滑圆弧轨道的最高点处，此时细绳恰好伸直且无拉力。现由静止释放物块沿圆弧轨道下滑，当物块滑至点时，物块未到达点，物块此时恰好离开挡板，此时细绳断裂。取重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，细绳不可伸长，定滑轮的大小不计，木板足够长。 (1)求弹簧的劲度系数； (2)求细绳断裂后的瞬间，物块对圆弧轨道的压力大小； (3)物块滑上长木板的瞬间，同时给一个水平向右的初速度，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面之间的动摩擦因数滑上木板时无能量损失。求：物块与长木板上表面产生的热量。 5. （2025·四川绵阳·模拟预测）如图1所示，长度为的轻绳一端固定在点，另一端连接质量为的物块甲，另一足够长的轻绳一端与物块甲相连后跨过与点等高的光滑定滑轮，另一端连接质量为的物块乙，滑轮与点相距。将甲从图中位置（轻绳水平）静止释放，当甲转过的圆心角为时，轻绳刚好同时断裂，甲恰好在点下方距点的点平滑进入玩具轨道，已知玩具轨道段水平，与甲之间的滑动摩擦因数均为段长度可调，段长度，光滑竖直圆轨道段半径，在最低点处稍微错开，斜面段由特殊材料制成，水平距离，高度可调，甲与段间动摩擦因数随其水平距离的关系如图2，与平滑连接。忽略其他阻力，物块甲可视为质点，重力加速度取。求： (1)物块甲摆动到点时的速度（已知此时物块甲与物块乙的速度之比为）； (2)若要保证物块甲能到达竖直圆轨道且第一次在竖直圆轨道上运动时不脱离轨道，求长度的调节范围。 6. （2025·甘肃定西·模拟预测）如图所示为某工厂的一条节能运输线路系统简图，质量的产品（可看成质点）以的速度从点离开传送带后，恰好在点沿切线方向滑入光滑圆弧轨道，然后冲上停在此处的平板车上，平板车的上表面恰好与圆弧轨道的最低点相切，平板车的质量，产品滑上平板车到达平板车的最右端时恰好与平板车共速，之后与平板车一起向右运动至产品储存平台（平台与平板车的上表面相平）时，平板车被原速率弹回，产品滑上平台，而平板车恰好能回到圆弧轨道处，此时第二件产品也恰好到达点。已知圆弧轨道的半径、圆心角，产品与平板车间的动摩擦因数，平板车受到水平地面的摩擦力为平板车对地面压力的，，，重力加速度。求： (1)间的水平距离和产品运动到点时对圆弧轨道的压力大小；（结果保留两位有效数字） (2)平板车的长度； (3)相邻两件产品从点滑上平板车的时间间隔。 7. （2025·重庆·模拟预测）如图，空间中有一轨道ABCDEF。其中ABC部分为竖直平面内的轨道，为水平面内的轨道。AB段是倾角的光滑倾斜直轨道，长为与竖直平面内的光滑圆轨道1相切于B点，圆轨道1的半径为R，C、C'为轨道最低点且略微错开，为粗糙水平直轨道，长度为DE为光滑半圆形水平弯道，其半径EF也为粗糙水平直轨道，长度与相同。A点固定一轻弹簧（弹簧长度相对于L不计），一小球在外力作用下先挤压弹簧，然后静止释放，弹簧将其弹性势能Ep全部转化成小球的动能，小球在运动过程中始终受到水平向右的某种场力，大小为。已知小球的质量m，小球与EF的动摩擦因数，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。求： (1)若小球第一次运动到B点的速度； (2)若小球能在圆轨道1上做完整圆周运动，小球受到轨道的最大弹力和最小弹力的差值； (3)在F点固定一面弹性墙，小球碰撞后以原速率反弹，若小球始终不脱离轨道，弹簧弹性势能Ep应满足的条件。（假设弹簧弹性势能无限制） 8. （2025·浙江宁波·模拟预测）某游戏装置如下：光滑水平平台上质量为的物体压缩弹簧由静止释放（物体与弹簧不粘连），物体从B点水平飞出后恰好沿着C点切线进入竖直平面内光滑圆弧轨道，滑入粗糙的斜面DE，最后滑上放在粗糙水平面上，质量为的木板EF上表面继续运动，木板与水平面间的动摩擦因数。已知BC的高度差，物体与DE的动摩擦因数，木板F点与竖直墙壁的距离为d（未知），物体与木板之间的动摩擦因数，木板长度为L（未知），圆弧轨道与倾斜斜面DE相切于D点，木板与竖直墙壁发生碰撞后以原速反弹，且发生碰撞后竖直墙壁将会倒塌，变成和左侧一样的足够长粗糙水平面。物体可视为质点，E点做平滑处理，木板厚度可忽略，重力加速度，，，DE的高度差，所有轨道均在同一个竖直平面内。求： (1)弹簧的弹性势能及物体到达E点速度大小； (2)若木板未能与竖直墙壁发生碰撞且物体没有滑离木板，求d和L各自需要满足什么条件； (3)若L足够大，，求木板最终停下时左端离E点的距离。 9. （2025·河北·模拟预测）如图所示为某学习小组设计的游戏轨道模型图。水平直轨道AB、光滑圆轨道BCD（最低点B和D略有错开）、光滑水平轨道DE和水平传送带EF平滑连接，PQ是固定于水平地面上的薄平板。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，小滑块（可视为质点）将弹簧另一端压缩至A点后由静止释放，恰能不脱离轨道并滑上顺时针转动的传送带。已知轨道AB长，圆轨道半径，传送带EF间的距离，P与F点的水平距离，高度差，平板PQ长，滑块质量，滑块与轨道AB及传送带之间的动摩擦因数均为，其它阻力均不计，重力加速度g取。 (1)求弹簧的弹性势能； (2)要使滑块从A点由静止释放后落在平板上，求传送带的速度范围； (3)若滑块每次与平板碰撞前后速度方向与水平面夹角相等，碰后速度大小变为碰前的四分之一，当传送带运行的速度时，滑块是否会弹离平板？若不会，最终停在离Q点多远处？若会，离开平板后的首次落地点距离Q点多远？ 10. （2025·浙江·二模）如图所示，长为L2=1.5m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以v0=4.0m/s的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ的长为L1=3.25m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L3=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N点为圆弧轨道的最低点）。现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P点。已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g取10m/s2，π2=10，不计物块与挡板的碰撞时间。 (1)求物块第一次到达Q点时的速度大小； (2)为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围； (3)当物块从半径大于100m圆弧轨道上高度为0.8m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径。 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题精练01 动力学与能量综合问题 一、考向分析 1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块——木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。 2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。 二、动力学 牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay 向心力 牛顿第三定律 传送带分析思路 板块分析思路 三、运动学 匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 <Vs/2 自由落体运动 竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性) 四、功和能 内容 重要的规律、公式和二级结论 1.重力势能 (1)重力势能：Ep＝mgh，与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (2)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。 2.弹性势能 (3)弹簧的弹力做功只与位置有关，而与路径无关。 (4)弹性势能：Ep＝kx2。 3.机械能守 恒定律 (5)机械能守恒的条件：只有重力和弹簧的弹力做功，其他力做功为0。 (6)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv或者Ep减＝Ek增。 五、连接体的机械能守恒问题 共速率模型 分清两物体位移大小与高度变化关系 共角速度模型 两物体角速度相同，线速度与半径成正比 关联速度模型 此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可能为0 轻弹簧模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等 ②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零) 【例题1】（2026·重庆沙坪坝·一模）如图所示，一倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上。斜面上固定了一中间带孔的滑槽。一轻质直杆平行于斜面穿在滑槽中，另一端与一劲度系数为、沿杆方向的轻弹簧相连，轻质直杆与滑槽的最大静摩擦力为。现将一质量为的小滑块从距离弹簧上端处静止释放。已知弹簧的弹性势能（为弹簧的形变量）、滑动摩擦力等于最大静摩擦力、弹簧始终在弹性限度内且不会碰到滑槽、当地重力加速度取，求： (1)滑块下滑的最大速度的大小； (2)直杆开始运动时弹簧的形变量以及全程产生的热量； (3)若使滑块从距离弹簧上端处静止释放，求滑块与弹簧分离时的速度大小。 【答案】(1) (2)0.5m，0.625J (3) 【详解】（1）当弹簧弹力时，弹簧弹力 轻杆在滑槽中不会滑动，滑块达到最大速度，此时弹簧的压缩量 由机械能守恒定律 解得 （2）直杆开始运动时，弹簧弹力 此时弹簧的形变量 设直杆开始运动时，滑块的速度为，由机械能守恒定律可得 之后滑块与直杆将一起运动，直至速度减为零。设运动距离为，根据动能定理有 解得 此后直杆一直保持静止，全程产生的热量 （3）结合（2）分析若滑块从距离弹簧3L处由静止释放，直杆下滑的距离将增加，并不影响弹簧的弹性势能。两者分离滑块还需向上运动的距离，根据机械能守恒定律有 解得 【例题2】12．（2025·浙江湖州·三模）如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。 (1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小； (2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围； (3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块由A点弹出到管道最高点的过程，有 解得 在最高点有 解得 （2）①滑块超过C点的条件为 则有 ②滑块到达F点时，速度恰好为零，则有 所以滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围为 （3）若弹簧的弹性势能，到E点的过程有 解得 若刚好能通过皮带的速度大小 解得 所以滑块减速通过皮带，有 解得 滑块在木块上滑行，达到共同速度后一起减速运动直到速度为0。有 ， ， 解得 达到共速时的木板位移 达到共速后的木板位移 则木板位移 难度：★★★★★ 建议时间：100分钟 1. 如图所示为足够长的水平传送带的俯视图，其运行速度为v，A、B是该传送带其中一侧的两个端点，货物（可视为质点，图中未标出）从A点以速度ν滑上传送带，速度方向与传送带左侧间夹角，货物恰好未从右侧边滑落。已知货物的质量为m，与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，，求： (1)货物刚滑上传送带时加速度a的大小； (2)货物与传送带间因摩擦而产生的热量Q； (3)传送带的宽度L以及货物运动过程中的最小速度。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）货物刚滑上传送带时，速度大小与传送带速度大小相等，但是方向不一致，所以两者之间有相对运动。 对货物做受力分析： 在竖直方向上 在水平方向上，根据牛顿第二定律得 又根据滑动摩擦力计算公式得 联立得 （2）以传送带为参考系，货物受到的摩擦力方向与相对传送带运动的速度方向相反，货物相对传送带做匀减速直线运动，货物在传送带上的划痕为直线。 对货物刚滑上传送带时货物速度、传送带速度进行分析，得到相对速度，如图所示，相对速度方向向下，且与传送带左边夹角为，大小 相对位移 货物与传送带间因摩擦而产生的热量 （3）对相对速度和摩擦力沿传送带方向和垂直传送带方向进行正交分解，如图所示。 垂直传送带方向： 摩檫力 加速度 初速度 货物恰好未从右侧边滑落，到最右边时速度为，根据速度-位移公式得 解得 在运动过程中速度 沿传送带方向： 摩檫力 加速度 初速度 在运动过程中速度 求货物运动过程中的速度 当时，取得最小值 此时货物运动过程中的最小速度 2. （2025·四川绵阳·一模）如图所示，竖直平面内，光滑斜面与水平轨道由一小段光滑圆弧平滑连接，长。以水平轨道末端为坐标原点建立平面直角坐标系轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，坐标系内点坐标为，），点左下方的点坐标为。一小物块从斜面上不同位置由静止下滑，通过坐标系中的不同位置。小物块与水平轨道间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若小物块刚好运动到点就停下，求小物块在水平轨道上运动的时间； (2)若小物块通过点，求小物块下滑初始位置相对水平轨道的高度； (3)若小物块下滑初始位置相对水平轨道高度为时通过点，且通过点的动能与通过点的动能相等。判断与的大小关系，并求与的关系式。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）由受力分析可知，小物块在水平轨道上 解得，可知小物块在上做匀减速直线运动且刚好到点停下，则 解得 （2）若小物块能过点，则小物块过点后做平抛运动，由平抛水平方向位移 满足公式 竖直方向位移且满足公式 联立可解得，即平抛运动的初速度也是到点的速度。从初始位置到点，由动能定理可知 解得 （3）由图可知，由于，根据自由落体运动规律，可判断小物块做平抛运动时间，由于，由匀速运动规律，可判断小物块在点速度，小物块从点到点由动能定理 可判断。小物块从点到点做平抛运动，水平方向 竖直方向 可得 小物块从点到点做平抛运动，同理可得，由于通过点的动能和点动能相等 由上一问知，，解得 由，解得 3. （2025·湖南·模拟预测）如图所示，在地面上方的竖直平面内固定一细杆轨道ABCDE，AB为粗糙的长直轨道，长为m，与水平方向的夹角为，BCD和DE段均为半径m的光滑圆弧形轨道，AB与BCD相切于B点，、为圆心且连线水平，C为圆弧形轨道的最低点，距地面高度为m，E为最高点且在正上方。一质量为kg的小球套在轨道AB上，自轨道最高点A由静止释放，小球经过D点时对轨道的压力大小为4N，，，重力加速度g取。 (1)求小球与轨道AB间的动摩擦因数μ； (2)在粗糙轨道上距B点m有一点P，重新将小球自P点释放，并同时施加水平向右的恒力F，在小球运动到B点时撤去恒力，小球恰好能运动到圆弧轨道最高点E，求水平恒力F的大小；（结果用分式表示） (3)改变对小球施加的外力F的大小，使小球到达E点时，轨道对小球的作用力恰好为0，小球自E点飞出后与地面碰撞，已知小球每次与地面碰撞反弹时，沿水平方向的速度大小不变，沿竖直方向的速度大小变为碰撞前竖直方向速度大小的一半，忽略空气阻力，求自E点抛出经过多少次碰撞后小球反弹的高度首次小于0.02m，并求出自抛出至反弹后瞬间竖直速度为0过程的水平位移的大小。 【答案】(1) (2)N (3)m 【详解】（1）从A点到B点，由动能定理得 从B点至D点，由动能定理得 小球经过D点时弹力 解得 （2）小球恰好能运动到圆弧轨道最高点E，则在E点速度为0，由B→E，根据动能定理得 小球由P→B，由运动学公式 可得 因，故小球所受弹力垂直轨道向上，以小球为研究对象，分析其受力如图 根据牛顿第二定律得：，， 解得N （3）设小球到E点时的速度为，小球在E点时，重力提供其做圆周运动的向心力 解得m/s 小球离开E点后做平抛运动，历时，设它第一次落到地面时沿竖直方向的速度大小为，则s，m/s 第1次反弹高度 根据题设条件，小球第n次反弹后上升的高度m 当时，m 竖直速度为0前经历的总时间s 水平位移m 4. （2025·山东济南·一模）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面右侧连接一光滑圆弧轨道，圆弧轨道下面静止放着一质量的长木板，圆弧轨道最低点与木板相切接触但无挤压。与斜面平行的轻质弹簧两端连接两个质量均为的物块和，物块紧靠着挡板，物块通过跨过光滑轻质定滑轮的轻质细绳与质量 、可视为质点的物块相连，与物块相连的细绳平行于斜面，物块在外力作用下静止在对应圆心角为、半径的光滑圆弧轨道的最高点处，此时细绳恰好伸直且无拉力。现由静止释放物块沿圆弧轨道下滑，当物块滑至点时，物块未到达点，物块此时恰好离开挡板，此时细绳断裂。取重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内，细绳不可伸长，定滑轮的大小不计，木板足够长。 (1)求弹簧的劲度系数； (2)求细绳断裂后的瞬间，物块对圆弧轨道的压力大小； (3)物块滑上长木板的瞬间，同时给一个水平向右的初速度，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面之间的动摩擦因数滑上木板时无能量损失。求：物块与长木板上表面产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块位于处时，弹簧被压缩，设压缩量为，对物块，由平衡条件有 依题意，当物块恰好离开挡板时，弹簧处于拉伸状态，设伸长量为，此时物块的加速度为0，对物块，由牛顿第二定律有 依题意 解得 （2）由前面分析知，物块在处与处时，弹簧的形变量相同，弹性势能相同，对物块A、物块、弹簧和物块组成的系统，当物块由滑到时，由机械能守恒定律有 将物块在处的速度分解，则 得 在处，对物块，由牛顿第二定律有 得 由牛顿第三定律得物块对圆弧轨道的压力大小为 （3）物块滑上长木板时，由于，物块做匀加速直线运动，长木板做匀减速直线运动，对物块有 得 对长木板有 得 经过一段时间二者达到共同的速度，由 对物块有 对长木板有 得 判断：假设二者共速后能保持相对静止一起做匀减速直线运动，有 而物块可以达到的最大加速度为 假设不成立，故共速后，二者各自以不同的加速度做匀减速直线运动，依题意，长木板足够长，物块最终停在长木板上，对物块有 得 物块停下来所经历时间 对长木板有 得 长木板停下来所经历时间 由于 故长木板停止后不再运动，， 得 5. （2025·四川绵阳·模拟预测）如图1所示，长度为的轻绳一端固定在点，另一端连接质量为的物块甲，另一足够长的轻绳一端与物块甲相连后跨过与点等高的光滑定滑轮，另一端连接质量为的物块乙，滑轮与点相距。将甲从图中位置（轻绳水平）静止释放，当甲转过的圆心角为时，轻绳刚好同时断裂，甲恰好在点下方距点的点平滑进入玩具轨道，已知玩具轨道段水平，与甲之间的滑动摩擦因数均为段长度可调，段长度，光滑竖直圆轨道段半径，在最低点处稍微错开，斜面段由特殊材料制成，水平距离，高度可调，甲与段间动摩擦因数随其水平距离的关系如图2，与平滑连接。忽略其他阻力，物块甲可视为质点，重力加速度取。求： (1)物块甲摆动到点时的速度（已知此时物块甲与物块乙的速度之比为）； (2)若要保证物块甲能到达竖直圆轨道且第一次在竖直圆轨道上运动时不脱离轨道，求长度的调节范围。 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）对两物块组成的系统，由机械能守恒定律 解得 （2）①若甲恰能达到B点，由动能定理有     解得 ②若甲恰能运动到圆心等高处，由动能定理有 解得 ③若甲恰能通过圆轨道最高点，在最高点有牛顿第二定律有 由动能定理有 解得 综上或 6. （2025·甘肃定西·模拟预测）如图所示为某工厂的一条节能运输线路系统简图，质量的产品（可看成质点）以的速度从点离开传送带后，恰好在点沿切线方向滑入光滑圆弧轨道，然后冲上停在此处的平板车上，平板车的上表面恰好与圆弧轨道的最低点相切，平板车的质量，产品滑上平板车到达平板车的最右端时恰好与平板车共速，之后与平板车一起向右运动至产品储存平台（平台与平板车的上表面相平）时，平板车被原速率弹回，产品滑上平台，而平板车恰好能回到圆弧轨道处，此时第二件产品也恰好到达点。已知圆弧轨道的半径、圆心角，产品与平板车间的动摩擦因数，平板车受到水平地面的摩擦力为平板车对地面压力的，，，重力加速度。求： (1)间的水平距离和产品运动到点时对圆弧轨道的压力大小；（结果保留两位有效数字） (2)平板车的长度； (3)相邻两件产品从点滑上平板车的时间间隔。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对产品到达点时的速度进行分解，有 而 联立解得 间的水平距离 产品到达点时的速度大小 产品从点运动到点的过程中，由动能定理有 在点，对产品有 联立解得， 根据牛顿第三定律，可得产品运动到点时对圆弧轨道的压力大小 （2）产品滑上平板车后到与平板车达到共速的过程中，对产品有 解得 对平板车有 解得 又 产品通过的位移 又 平板车通过的位移 联立解得，，， 由题意可知，此时产品恰好到达平板车的最右端，因此平板车的长度 （3）产品与平板车共速后一起以大小为的加速度向右做匀减速运动，经时间以的速度与平台相碰，设开始时平板车右端到平台的距离为，有 解得 又， 平板车原速率弹回后仍以大小为的加速度做匀减速运动，经时间返回到圆弧轨道处，此过程中有， 联立解得，，， 相邻两件产品从点滑上平板车的时间间隔 7. （2025·重庆·模拟预测）如图，空间中有一轨道ABCDEF。其中ABC部分为竖直平面内的轨道，为水平面内的轨道。AB段是倾角的光滑倾斜直轨道，长为与竖直平面内的光滑圆轨道1相切于B点，圆轨道1的半径为R，C、C'为轨道最低点且略微错开，为粗糙水平直轨道，长度为DE为光滑半圆形水平弯道，其半径EF也为粗糙水平直轨道，长度与相同。A点固定一轻弹簧（弹簧长度相对于L不计），一小球在外力作用下先挤压弹簧，然后静止释放，弹簧将其弹性势能Ep全部转化成小球的动能，小球在运动过程中始终受到水平向右的某种场力，大小为。已知小球的质量m，小球与EF的动摩擦因数，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。求： (1)若小球第一次运动到B点的速度； (2)若小球能在圆轨道1上做完整圆周运动，小球受到轨道的最大弹力和最小弹力的差值； (3)在F点固定一面弹性墙，小球碰撞后以原速率反弹，若小球始终不脱离轨道，弹簧弹性势能Ep应满足的条件。（假设弹簧弹性势能无限制） 【答案】(1) (2) (3)0＜Ep≤mgR 或mgR≤Ep≤mgR 或 或 【详解】（1）设小球第一次运动到B点的速度大小为vB，对小球第一次由A到B的过程，根据动能定理与功能关系得 已知Ep=8mgR 解得 方向沿倾斜直轨道向下； （2）将重力和该种场力合成为合力F合，可得F合的大小为 其方向与水平方向夹角β满足 解得β=53° 由几何关系可知F合的方向垂直于倾斜直轨道AB向下。 小球在圆轨道1上做完整圆周运动，根据F合的方向可知，B点为等效最低点，小球在此位置受到轨道的弹力最大（设为F1）；B点关于圆心对称的P点为等效最高点，在此位置小球受到轨道的弹力最小（设为F2）。 设小球在B点的速度大小为v1，在P点的速度大小为v2，根据牛顿第二定律得 由B到P的过程，根据动能定理得 小球受到轨道的最大弹力和最小弹力的差值为ΔF=F1-F2 联立解得ΔF=6F合=7.5mg （3）设小球恰好经过P点的临界速度大小为vP，根据牛顿第二定律得 解得 小球由P直接运动到D的过程，合力做功为WPD=mg（R+Rsinβ）-F（s-Rcosβ）-μmgs=-12.75mgR 因 故由动能定理可知小球恰好经过P点后不能到达D点。 设水平弯道DE的中点为G点，设小球恰好经过G点的临界速度大小为vG，同理可得 解得 小球由G点经E点到达F点，再被反弹返回到E点的过程，合力做功为WGFE=FR2-μmg•2s=-12mgR 因 同理可知小球恰好经过G点后不能返回到E点。 小球返回的过程，由G点经D点到达P点的过程，合力做功为 WGDP=F（R2+s-Rcosβ）-μmg•s-mg（R+Rsinβ）=0.75mgR 因 可知小球由F反弹后恰好经过G点后一定能经过P点。 由（2）的解答可知小球在AB段做匀速直线运动，小球向上滑经过B点与下滑经过B点速度大小相等。 因 可知小球由弹性墙反弹后恰好经过G点，再经过P点后不能到达D点。 为使小球始终不脱离轨道，有如下几种情况： ①首次由A点下滑后不越过圆轨道1的等效圆心等高点Q点（见上图），弹性势能应满足Ep≤F合R=mgR ②首次由A点下滑后能越过圆轨道1的等效最高点P点，而不越过D点，弹性势能应满足 Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmgs≤0 解得mgR≤Ep≤mgR ③在F点多次反弹后，第n次由A下滑后能经过G点，再由F点返回不越过E点，在第n次由A下滑之前，在轨道C′D与轨道EF分别共经过2（n-1）次，弹性势能应满足： Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s+R2）-μmgs-2×2（n-1）μmgs≥ Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmg•3s-2×2（n-1）μmgs≤0 解得[30（n-1）+]mgR≤Ep≤[30（n-1）+]mgR，n=1、2、3…… ④第n次由A下滑后到F点返回能经过G点，且经过G点后经圆轨道1回到A点，再次由A下滑不越过D点，弹性势能应满足Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s+R2）-μmg•3s-2×2（n-1）μmgs≥ Ep+mg（R-Rcosθ）-F（Rsinθ+s）-μmg•5s-2×2（n-1）μmgs≤0 解得[30（n-1）+]mgR≤Ep≤[30（n-1）+]mgR，n=1、2、3…… 综上所述，为使小球始终不脱离轨道，弹簧弹性势能Ep应满足的条件为：0＜Ep≤mgR 或mgR≤Ep≤mgR 或[30（n-1）+]mgR≤Ep≤[30（n-1）+]mgR，n=1、2、3…… 或[30（n-1）+]mgR≤Ep≤[30（n-1）+]mgR，n=1、2、3……。 8. （2025·浙江宁波·模拟预测）某游戏装置如下：光滑水平平台上质量为的物体压缩弹簧由静止释放（物体与弹簧不粘连），物体从B点水平飞出后恰好沿着C点切线进入竖直平面内光滑圆弧轨道，滑入粗糙的斜面DE，最后滑上放在粗糙水平面上，质量为的木板EF上表面继续运动，木板与水平面间的动摩擦因数。已知BC的高度差，物体与DE的动摩擦因数，木板F点与竖直墙壁的距离为d（未知），物体与木板之间的动摩擦因数，木板长度为L（未知），圆弧轨道与倾斜斜面DE相切于D点，木板与竖直墙壁发生碰撞后以原速反弹，且发生碰撞后竖直墙壁将会倒塌，变成和左侧一样的足够长粗糙水平面。物体可视为质点，E点做平滑处理，木板厚度可忽略，重力加速度，，，DE的高度差，所有轨道均在同一个竖直平面内。求： (1)弹簧的弹性势能及物体到达E点速度大小； (2)若木板未能与竖直墙壁发生碰撞且物体没有滑离木板，求d和L各自需要满足什么条件； (3)若L足够大，，求木板最终停下时左端离E点的距离。 【答案】(1)9J，10m/s (2)， (3) 【详解】（1）竖直方向 则 由几何关系（圆弧与切线），平抛水平速度 弹簧弹性势能 则C点的速度为 由动能定理得 解得 （2）对m加速度为 对M加速度为 设共速时间t，则 解得， 则 故 共速后两者一起减速 代入数据得 （3）物体在木板上的加速度为 木板的加速度为 木板加速到墙时间 则 碰后速度 木板与墙壁碰撞后原速反弹，速度变为 此时木板加速度 物体继续减速 木板减速到0的时间为 木板向左运动距离为 此时物体的速度 此后木板向右加速，加速度变回，当木板与物体共速时有 解得， 木板向右运动的位移为 共速之后，物体和木板一起向右减速，加速度大小为 木板向右运动的位移为 则木板最终停下时左端离E点的距离 9. （2025·河北·模拟预测）如图所示为某学习小组设计的游戏轨道模型图。水平直轨道AB、光滑圆轨道BCD（最低点B和D略有错开）、光滑水平轨道DE和水平传送带EF平滑连接，PQ是固定于水平地面上的薄平板。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，小滑块（可视为质点）将弹簧另一端压缩至A点后由静止释放，恰能不脱离轨道并滑上顺时针转动的传送带。已知轨道AB长，圆轨道半径，传送带EF间的距离，P与F点的水平距离，高度差，平板PQ长，滑块质量，滑块与轨道AB及传送带之间的动摩擦因数均为，其它阻力均不计，重力加速度g取。 (1)求弹簧的弹性势能； (2)要使滑块从A点由静止释放后落在平板上，求传送带的速度范围； (3)若滑块每次与平板碰撞前后速度方向与水平面夹角相等，碰后速度大小变为碰前的四分之一，当传送带运行的速度时，滑块是否会弹离平板？若不会，最终停在离Q点多远处？若会，离开平板后的首次落地点距离Q点多远？ 【答案】(1) (2) (3)不会， 【详解】（1）设滑块经过点的速度为，根据牛顿第二定律 解得 根据能量守恒，弹簧的弹性势能 解得 （2）若传送带不动，设滑块运动到点时速度为，根据能量守恒定律 解得 若传送带一直对滑块做正功，设滑块运动到点时速度为，根据能量守恒定律 解得 设滑块从点平抛后能够到达平板的最小速度为，最大速度为，根据，， 解得， 要使滑块从点由静止释放时落在平板上，传送带的速度范围为。 （3）由（2）可知，当传送带向右传动速度时，滑块离开点速度大小为 平抛运动的水平位移 根据题目信息可知，碰后竖直分速度和水平分速度均减小为原来的，每次空中运动时间为 即每次运动时间减小为原来的，水平方向 则每次水平为上次的，所以后续碰撞过程中水平总位移 所以滑块在平板上水平方向总位移 滑块不会离开平板，停在离点的距离 10. （2025·浙江·二模）如图所示，长为L2=1.5m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以v0=4.0m/s的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ的长为L1=3.25m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L3=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N点为圆弧轨道的最低点）。现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P点。已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g取10m/s2，π2=10，不计物块与挡板的碰撞时间。 (1)求物块第一次到达Q点时的速度大小； (2)为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围； (3)当物块从半径大于100m圆弧轨道上高度为0.8m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块质量为，由动能定理可得 解得 （2）物块做匀加速运动，有 解得 物块做匀减速运动，有 解得 （3）物块由处下滑，有 解得 ， 解得 而 解得 学科网（北京）股份有限公司 $