4.2.3 平面向量的数乘运算（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第四章 平面向量 4.2.3 平面向量的数乘运算 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“平面向量的数乘运算”是平面向量线性运算的延伸内容，聚焦数乘运算的定义及运算法则的认知，是从“向量加减运算”到“数与向量结合运算”的知识拓展。核心知识点包括数乘运算的定义、运算法则，为后续学习向量共线定理提供了运算基础。教材以生活实例为逻辑主线，既衔接了学生对“平面向量的倍数变化”的认知，又深化了“从运算规则到几何直观”的数学思维，提升学生向量运算的综合应用能力。 五、学情分析 多数学生已具备对“平面向量加减运算”的认知基础，并且对与量的倍数相关的生活现象有明确认知，这为他们学习平面向量的数乘运算打下了基础。但他们没有系统学习过“数与向量结合的运算”，因此在本节课的学习中可能对“数乘后向量方向与实数符号的关联”理解存在不足，在学习中易出现方向判断错误的问题。此外，纯运算规则的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，因此可以通过与生活关联的场景帮助学生掌握数乘运算的特征，帮助他们突破从“数的运算”迁移到“数与向量运算”的思维难点。 六、教学目标 1.理解平面向量数乘运算的定义，掌握数乘运算的几何意义； 2.能根据数乘运算的运算法则正确计算向量与实数的乘积； 3.通过数乘运算分析向量大小、方向变化的过程，增强对向量运算逻辑的学习兴趣，深化其数学抽象与 直观想象的核心素养。 七、教学重点 1.平面向量数乘运算的定义； 2.向量数乘运算的运算法则。 八、教学难点 根据已知条件选择合适的运算法则计算向量与实数的乘积。 九、教学方法 案例法：结合生活案例来推导平面向量的数乘运算的定义与法则，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对平面向量的数乘运算法则进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究平面向量的数乘运算相关知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 同学们，青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长、气候条件最恶劣的高原铁路。青藏铁路精神推进了新时代的交通强国事业。 请大家观看以下视频，稍后进行提问。 通过观察视频，大家有没有发现：这趟列车有两个火车头，请思考这是为什么呢？ 分析： 两台火车机车挂接在一起担任列车牵引任务叫作机车双机重联，这种运行模式可以实现一台机车两车动力，可以提高速度，加大运量。由于青藏铁路部分段落坡度较陡，机车一般采用双机重联。上图采用双机重联的“雪域神舟”号就是我国自行研制的高原机车。 假设每一台机车的牵引力均为，双机重联后能产生两车动力，即，如图所示。 通过生活举例分析推导出新知识点：平面向量的数乘运算。 新知讲授 上述例子中，如果用三台机车重联，那么牵引力 ； 如果机车倒车，那么牵引力方向相反，牵引力 。 如果用台机车重联，那么牵引力。 由以上可知，实数与向量的乘积仍是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下。 1.。（向量的模等于实数的绝对值乘向量的模） 2.当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。 3.当时，，方向任意。 4.当时，，方向任意。 实数与向量的乘法运算叫作向量的数乘运算。容易验证，对于任意向量，（）及任意实数，，向量的数乘运算满足如下法则。 ②. ③=+ 如图，已知向量，可以作出，，。可见，数乘向量的几何意义是把向量沿着相同或相反的方向，伸长（或缩短）到原来的倍，这些向量均为共线向量。向量的加法、减法、数乘运算都叫作向量的线性运算。 一般地，叫作，的一个线性组合（其中，均为实数）。若向量，则称可以用，线性表示。 对于向量、，如果有一个实数，使，那么由数乘向量的定义知，与共线。 反过来，已知向量与共线，，且，则向量的模是向量的模的倍，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有。 综上所述，有如下定理： 向量与共线，当且仅当存在唯一一个实数，使. 向量的线性运算与实数运算的区别 （1）向量的加、减与数乘运算的结果一定是向量，而不是一个数. （2）向量的线性运算在形式上与实数的有关运算规律类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的线性运算中，但要注意向量的线性运算与实数的运算意义是不同的. 总结平面向量的数乘运算的定义及运算法则。 案例分析 【例题】计算. （1）； （2）. 【解析】（1）； （2）. 【例题】在平行四边形中，为两对角线的交点. 如图，，，试用，表示向量，. 【解析】因为，， 而分别为，的中点，所以 ， . 【例题】若，，求证：. 【解析】证明:因为， 所以. 因此. 通过案例来帮助学生更好地理解平面向量的数乘运算的定义及运算法则。 学以致用 【练习】计算 (1) (2) 【解析】（1） . （2） . 【练习】如图所示，平行四边形的两条对角线交于点，，，试用向量，分别表示向量，和．    【解析】的两条对角线交于点，且， 则， ； ． 同学们，我们完成了平面向量的数乘运算知识点教学，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.平面向量的数乘运算是什么？ 实数与向量的乘法运算叫作向量的数乘运算. 2.平面向量的数乘运算满足哪些法则？ ；②；③=+ 3.向量与共线存在怎么样的定理？ 向量与共线，当且仅当存在唯一一个实数，使. 同学们，刚刚我们已经完整学习了平面向量数乘运算的相关知识，包括数乘的定义以及运算法则。现在我们一起来找找生活里藏着的“平面向量数乘”：假如小明从咱们教室门口出发，以恒定的速度走到操场。设从教室到操场的向量是a,那2a、-3a分别表示的是什么？ 答案： 设从教室到操场的向量是a，那么2a表示小明以原来的速度、沿着同方向走2倍路程；-3a表示小明以原来的速度、沿着相反的方向走3倍路程. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对平面向量的数乘运算的定义及运算法则的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】已知非零向量，满足，则（ ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【解析】选项AB：由，向量模长满足，故A错误，B错误； 选项CD：向量数乘中，当系数为正数时，新向量与原向量方向相同，本题系数，因此与方向相同，故C正确，D错误． 故选：C． 【练习2】已知，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，， ∴ ． 故选：A． 【练习3】已知四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于，设，则（ ） A． B． C． D． 【解析】如图所示， . 故选：B. 【练习4】下列结论正确的是（ ）. A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【解析】A选项：若，则可知两个向量的大小相等，方向不确定，故不一定成立，故A选项错误； B选项：若，则，故B选项错误； C选项，，故C选项错误； D选项，若，则，故D选项正确. 故选：D. 【练习5】已知为非零向量，则（ ） A． B． C． D． 【解析】已知为非零向量， . 故选：A. 【练习6】已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 【解析】在平行四边形中，对角线， 又 ， ， 已知，则. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 平面向量的数乘运算 实数与向量的乘法运算叫作向量的数乘运算。 向量的数乘运算法则。 ②. ③=+ 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例引入平面向量的数乘运算，多数学生能初步掌握数乘运算的规则，明确其几何意义。但在课堂检测中也发现：个别学生对对运算法则的应用不够灵活，因此在课后练习中，需增加专项练习，提升其数乘运算的精准性与综合应用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $