4.2.1 平面向量的加法（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第四章 平面向量 4.2.1 平面向量的加法 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节“平面向量的加法”是平面向量运算的基础内容，聚焦平面向量加法的定义、运算法则及运算性质，是从“向量概念”到“向量运算”的知识延伸。核心知识点包括向量加法的三角形法则、平行四边形法则，这为后续学习向量减法、数乘运算提供了运算框架基础。教材以生活中小船过河的实际航行速度为逻辑主线，既衔接了学生对“量的合成”的生活认知，又深化了“从几何直观到运算规律”的数学思维，提升学生运用法则进行向量运算的能力。 五、学情分析 多数学生已具备对“平面向量概念”的认知基础，并且对与向量加法相关的生活现象有一定的认知，这为他们学习平面向量的加法打下了基础。但他们没有系统学习过“向量运算的几何法则”，因此在本节课的学习中容易出现对三角形法则、平行四边形法则的适用场景理解存在不足，易出现法则混用的问题。此外，纯运算步骤的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，因此可以通过与生活关联的场景帮助学生掌握向量加法的法则，帮助他们突破从实际案例中抽象出向量运算的思维难点。 六、教学目标 1.理解平面向量加法的定义，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则； 2.能运用三角形法则与平行四边形法则，正确画出两个向量相加的结果； 3.在运用三角形法则、平行四边形法则表示向量加法的过程中，感受数学抽象与几何直观的关联，提升对向 量知识的学习兴趣与应用信心。 七、教学重点 1.平面向量加法的定义； 2.向量加法的三角形法则与平行四边形法则。 八、教学难点 根据题目选择合适的向量加法法则（三角形法则与平行四边形法则）并画出两个向量相加的结果。 九、教学方法 案例法：结合生活案例来推导平面向量的加法定义，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对平面向量的加法法则进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究平面向量的加法相关定义，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 同学们，我们学过“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”的诗句，用数学语言来解释就是船顺流而下，船相对于陆地的实际速度等于船在静水中的速度加上水流速度，如视频所示。 也听过“逆水行舟，不进则退”的教诲。用数学语言来解释就是船逆流而行，船相对于陆地的实际速度等于船在静水中的速度减水流速度，如果船在静水中的速度小于水流速度的话，船不但不能前进，反而会后退，如视频所示。 如果一艘船垂直水流方向横渡，受到水流影响，那么船的实际航行速度是怎样呢？ 分析 如图，假设水流方向自西往东，速度为，一艘船向北横渡，速度为，由于船受到水流影响，实际航行方向将会向东偏移，实际航行速度是水流速度与船的速度的合成，即=。用有向线段表示有如下关系：。 通过生活举例分析推导出新知识点：平面向量的加法。 新知讲授 平面向量的加法 一般地，当非零向量与不共线时，在平面上任取一点，依次作，，则向量叫作向量与的和(或和向量)，记作(如图)，即。 求向量的和的运算叫作向量的加法. 上述求向量的和的方法叫作向量加法的三角形法则. 当非零向量与共线时，在平面上任取一点，首尾相接作，，同样可得. 图1表示向量与方向相同的情形，图2表示向量与方向相反的情形. 特别提示 用向量加法的三角形法则作向量，的和向量时，先检查向量，是否首尾相接，若是，则以起始向量的起点指向终点向量的终点作有向线段，则该有向线段即所求作的和向量；若否，则先把向量平移，形成首尾相接，再重复上述步骤，即可求出和向量. 把以上步骤归纳成口诀：“首尾相接，由始至终.” 如图，四边形为平行四边形，由于，根据三角形法则得. 这说明，在中，对角线所表示的向量就是与的和. 这种求两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.平行四边形法则不适用于共线向量. 可以验证，向量的加法具有以下性质. （1），； （2）； （3）. 总结平面向量的加法定义，图例展示三角形法则与平行四边形法则。 案例分析 【例题】如图，已知向量，，求作. 【解析】 （1）因为两向量，首尾相接，所以其和向量是以向量的起点指向向量的终点，如（1）所示. （2）因为两向量，不是首尾相接，所以先把向量平移，使其起点与向量的终点重合，形成首尾相接，再重复上题步骤，即可求出向量，如图（2）所示. 【例题】河水以的速度由西向东流，一艘船以的速度垂直于水流方向向北航行，问这艘船的实际航行速度. 【解析】如图，设水流速度为，船速为，根据向量加法的三角形法则， 得这艘船的实际航行速度. 由，可得船的实际航行方向为北偏东45°， . 这艘船的实际航行方向为北偏东45°，实际航行速度为. 通过案例来帮助学生更好地理解平面向量加法的三角形法则与平行四边形法则。 学以致用 【练习】河水从西往东流，流速为，一艘船以的速度垂直水流方向向北横渡，求船实际航行的方向和航速． 【解析】设河水流速为，船速为，， 由题意，船的实际速度， 由结合向量加法的平行四边形法则可得船实际的航行方向为东北方向， 且， 所以航速的大小为． 【练习】（1）如图甲所示，求作向量和； （2）如图乙所示，求作向量和． 【解析】（1）首先作向量，然后作向量，则向量．如图所示． （2）如图所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量， 则得向量，然后作向量，则向量即为所求． 同学们，咱们刚学完平面向量的加法，知道向量相加是“既要算大小，也要合方向”~其实生活里很多事都得靠向量加法来理清。咱们来琢磨个问题：为什么下雨天打伞，雨竖直往下落和人向前走凑一起，雨会斜着打到伞上？ 答案: 雨竖直下落的速度（向量）+人向前走的速度（向量），用平行四边形法则能算出“雨相对人的运动方向是斜向前下方”，这就是咱们感觉雨“斜着打过来”的原因，要是只算雨下落的速度，就没法解释为啥伞得往前倾. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对平面向量加法的三角形法则与平行四边形法则的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】在四边形中，，则四边形为（ ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【解析】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到， 由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：C. 【练习2】设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，且不与重合，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】因为为除了的任意一点， 点是线段的中点，也是线段的中点， 所以， 故选：. 【练习3】若是不共线的任意三点，则以下各式成立的是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，是不共线的任意三点， 由三角形法则可得. 故选：B. 【练习4】在平行四边形中，O是对角线的交点，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】给出平行四边形如下图， 选项A中，因为，该选项错误； 选项B中，因为，因此,该选项错误； 选项C中，因为，所以，该选项正确； 选项D中，因为，该选项错误， 故选：C. 【练习5】已知向量，且，则向量的方向（ ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 【解析】∵，且， ∴当、同向时，的方向与相同； 当、反向时，∵，∴的方向仍与相同． 故选：A. 【练习6】在中，点D是BC的中点，则向量（ ） A． B． C． D． 【解析】在中，点D是BC的中点， 则向量 . 故选：A. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 平面向量的加法 三角形法则 一般地，当非零向量与不共线时，在平面上任取一点，依次作，，则向量叫作向量与的和(或和向量)，记作)，即。 平行四边形法则 在中，对角线所表示的向量就是与的和. 这种求两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.平行四边形法则不适用于共线向量. 向量的加法的性质. （1），； （2）； （3）. 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活实例引入平面向量加法的定义与法则，多数学生能初步运用法则进行向量加法运算，但个别学生生对两种法则的适用场景区分不清，运算律的应用不够灵活。因此在课后练习中，需针对性增加相关练习，提升其法则应用与运算优化的能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $