重难点04 椭圆及其标准方程7考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

重难点04 椭圆及其标准方程 7大高频考点概览 考点01椭圆的标准方程 考点02椭圆上的点与焦点的距离 考点03椭圆的几何特征 考点04椭圆的离心率 考点05由椭圆的离心率求解方程或参数 考点06直线与椭圆的综合 考点07椭圆的定点及定值问题 地 城 考点01 椭圆的标准方程 1．（2024秋•东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•潮阳区期末）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 　　． 地 城 考点02 椭圆上的点与焦点的距离 3．（多选）（2024秋•新会区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则　　 A．椭圆的离心率为 B．△的周长为4 C．若，则△的面积为3 D．若，则 4．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，△的面积的最大值为2，则的值为 　　 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 　　 ． 地 城 考点03 椭圆的几何特征 5．（2024秋•佛山期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•梅州期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为　　 A．4 B． C．8 D． 7．（2024秋•信宜市期末）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•广州期末）已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则　　 A．椭圆的焦距为 B． C．椭圆的离心率 D．△的面积的最大值是 9．（多选）（2024秋•深圳期末）已知点是椭圆上一点，，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是　　 A．点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 10．（2024秋•深圳期末）若椭圆仅经过，，中的一个点，则的短轴长为（　　） A．2 B．4 C． D． 11．（2024秋•广州期末）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 地 城 考点04 椭圆的离心率 12．（2024秋•广州期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 13．（2024秋•潮州期末）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是 　　． 14．（2024秋•广州期末）是的左焦点，，分别为左，右顶点，过点作轴的垂线交于，两点连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则离心率为　　． 15．（2025春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，，点关于原点的对称点为．若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 16．（2024秋•南山区期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得△为等边三角形，则的离心率为　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•阳江期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为线段上一点，直线与直线交于点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知△的周长为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•龙岗区期末）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 　　． 20．（2024秋•深圳校级期末）已知，是椭圆的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点，当时，四边形面积为60，且△的周长为30，则的离心率大小为 　　． 21．（2024秋•越秀区校级期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 地 城 考点05 由椭圆的离心率求解方程或参数 22．（2024秋•潮州期末）若椭圆的离心率为，则　　 A． B．4 C． D．2 23．（2024秋•澄海区期末）已知椭圆上存在两点，关于直线对称．若椭圆离心率为，则的中点坐标为　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•深圳期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，且离心率为，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点06 直线与椭圆的综合 25．（2024秋•深圳校级期末）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为　　 A． B． C． D． 26．（多选）（2024秋•深圳校级期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则　　 A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 28．（2024秋•广州期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆，，为其左、右焦点．是上的动点，点，且的最大值为6，则 　．动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 　　． 29．（2024秋•电白区期末）“若点为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，则的最小值为 　　． 30．（2024秋•清远期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为、，且四边形的面积为．若、为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，、分别为直线、的斜率），为中点，则的最小值为 　　． 31．（2025春•深圳期末）已知椭圆的长轴长与短轴长的比值为． （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； 若△面积的最大值为，求椭圆的标准方程． 32．（2025春•南山区校级期末）已知曲线． （1）若，求曲线的离心率； （2）若曲线的左，右顶点为，，是上第一象限上动点，． 若，求点的坐标； 设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 33．（2025春•广东期末）已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是2，记点的轨迹为曲线．两个不同点，在上运动，满足直线与直线的斜率之比是． （1）求曲线的方程； （2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由． （3）证明：三角形是钝角三角形． 34．（2024秋•河源期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于，两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，△的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 35．（2024秋•深圳校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为4，若△为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长． 36．（2025春•汕尾期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的斜率存在． （1）若线段的中点的横坐标为，求椭圆的方程并计算点到轴的距离与点到轴的距离之和； （2）为椭圆的右焦点，若△面积为，求直线的方程． 37．（2025春•深圳校级期末）已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，过点，作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点． 证明：． 求△面积的最大值． 38．（2025春•福田区校级期末）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，△是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点、分别在第一、四象限）． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围． 39．（2024秋•深圳期末）定义：若椭圆上的两个点，，，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）求“共轭点对” ，中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点，在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，，且点的纵坐标大于0，设四点，，，在椭圆上逆时针排列．证明：四边形的面积小于8． 40．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． （1）求的方程； （2）设，是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求△面积的最大值． 41．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的右焦点，且经过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过右焦点作直线，与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若△的面积为，求直线的方程； 是否存在椭圆上一点及轴上一点，，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 42．（2024秋•越秀区校级期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，过的直线与交于，两点，△的周长为． （1）求的标准方程； （2）若，记线段的中点为． （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）过的动直线与交于，两点，，的中点分别是和，求△面积的最大值． 43．（2024秋•广东期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）过点作与轴平行的直线与交于点，，直线与轴交于点，证明：点，，，共圆． 44．（2024秋•深圳校级期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且△为直角三角形，求的方程． 45．（2024秋•湛江期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求的值． （2）求△面积最大值． 地 城 考点07 椭圆的定点及定值问题 46．（2025春•广州期末）已知椭圆的离心率为，且过点．设点处的切线为． （1）求的方程； （2）求直线的方程； （3）直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 47．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的离心率为，，，过定点，的直线与交于，两点，直线的斜率不为0． （1）求的长轴长． （2）若，，证明：直线，的斜率之和为定值． （3）若，，设直线，分别交于，（都异于，两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． （3）证明：设，，，，，，，，，，且，且， 48．（2025春•越秀区期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，，且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 49．（2024秋•深圳校级期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点． 50．（2024秋•天河区期末）设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值； （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 51．（2024秋•深圳期末）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且． （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于、两点．记直线、的斜率分别为，． 证明：为定值； 若直线的斜率为，点是轨迹上异于、的点，且平分，求的取值范围． 52．（2025春•湛江期末）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 53．（2024秋•兴宁市期末）已知在曲线上任意一点，处的切线为．若过右焦点的直线交椭圆于，两点，已知在点，处切线相交于． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明为定值． （3）在（2）的条件下，四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若无说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 椭圆及其标准方程 7大高频考点概览 考点01椭圆的标准方程 考点02椭圆上的点与焦点的距离 考点03椭圆的几何特征 考点04椭圆的离心率 考点05由椭圆的离心率求解方程或参数 考点06直线与椭圆的综合 考点07椭圆的定点及定值问题 地 城 考点01 椭圆的标准方程 1．（2024秋•东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点， 则，且焦点在轴上， 则， 则椭圆的标准方程为． 故选：． 2．（2024秋•潮阳区期末）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 　　． 【解答】解：由题意可设椭圆的标准方程为， 因为与椭圆有相同的焦点，则①， 又椭圆过点，所以②， 联立①②可得：，， 所以椭圆方程为， 故答案为：． 地 城 考点02 椭圆上的点与焦点的距离 3．（多选）（2024秋•新会区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则　　 A．椭圆的离心率为 B．△的周长为4 C．若，则△的面积为3 D．若，则 【解答】解：对，由题意，，故，，离心率为，故正确； 对，△的周长为，故错误； 对，由知，，则张角的最大值为，故错误； 对，由余弦定理 ，即， 解得，故，故正确． 故选：． 4．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，△的面积的最大值为2，则的值为 　　 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为， 则、， 又点为椭圆上一点， 设， 所以，，， 所以△的面积，当且仅当时取等号， 又△的面积的最大值为2， 所以当的坐标为或时△的面积取最大值，最大值为， 则， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左、右焦点， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：2；． 地 城 考点03 椭圆的几何特征 5．（2024秋•佛山期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设椭圆方程为，， 由椭圆的几何性质可得：越大， 则椭圆形状最接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，，． 对于，， 又， 则选项对应的椭圆最接近于圆． 故选：． 6．（2024秋•梅州期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为　　 A．4 B． C．8 D． 【解答】解：已知椭圆的离心率为， 则， 则， 则其短轴长为． 故选：． 7．（2024秋•信宜市期末）如图，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：的面积为的正三角形， ， 解得． 代入椭圆方程可得：，与联立解得：． 故选：． 8．（2024秋•广州期末）已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则　　 A．椭圆的焦距为 B． C．椭圆的离心率 D．△的面积的最大值是 【解答】解：点椭圆上一点，可得，，所以， 中，可得焦距，所以不正确； 中，由椭圆的定义可得，所以不正确； 中，离心率，所以正确； 中，△的面积的最大值为，所以不正确． 故选：． 9．（多选）（2024秋•深圳期末）已知点是椭圆上一点，，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是　　 A．点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【解答】解：由已知条件得，，， 设，则，解得，则点到轴的距离为，故正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为， 则，解得，故正确． 故选：． 10．（2024秋•深圳期末）若椭圆仅经过，，中的一个点，则的短轴长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【解答】解：椭圆仅经过，，中的一个点， 由对称性可知，椭圆经过一个点，可得，解得． 故选：． 11．（2024秋•广州期末）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【解答】解：由已知可得，，所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以，所以． 故选：． 地 城 考点04 椭圆的离心率 12．（2024秋•广州期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：． 13．（2024秋•潮州期末）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是 　　． 【解答】解：由椭圆的定义及基本不等式可知， 所以，当且仅当， 由题意知，解得， 所以，所以． 故答案为：． 14．（2024秋•广州期末）是的左焦点，，分别为左，右顶点，过点作轴的垂线交于，两点连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则离心率为　　． 【解答】解：可令，由，可得， 由题意可设，，可得的方程为：， 当时，，，，则的方程为：， 则，是线段的中点， 可得，即，即，可得． 故答案为：． 15．（2025春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，，点关于原点的对称点为．若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的参数方程为， 如图，设，，， 则，， ，，， 解得，，故， 点关于原点的对称点为，， 则，， ，， 故， 化简得， 则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或（舍去）． 故选：． 16．（2024秋•南山区期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得△为等边三角形，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设点为椭圆的右焦点，则， 要使上存在点，使得△为等边三角形，则点，， 因为点在椭圆上，所以， 因为，所以， 整理可得：， 即， 可得， 所以，又因为椭圆的离心率， 所以． 故选：． 17．（2024秋•阳江期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为线段上一点，直线与直线交于点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以为的中点，又因为为坐标原点）为的中点， 所以为△的中位线，所以，即轴． 因为，所以，所以， 则有，整理得，所以，解得． 故选：． 18．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知△的周长为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由题意可得，，， 将代入椭圆方程，得，解得， 可得，， △的周长为，， 移向后两边平方，整理得，则， 即，， 解得（舍去）或． 故椭圆的离心率为． 故选：． 19．（2024秋•龙岗区期末）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 　　． 【解答】解：如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为． 故答案为：． 20．（2024秋•深圳校级期末）已知，是椭圆的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点，当时，四边形面积为60，且△的周长为30，则的离心率大小为 　　． 【解答】解：令椭圆的半焦距为，过原点的直线与交于，两点， 则点，关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，四边形面积为60， 有，， 于是，由△的周长为30， 得， 则，解得，，所以的离心率． 故答案为： 21．（2024秋•越秀区校级期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为椭圆的一个焦点为，则左焦点为， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号． 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以． 故选：． 地 城 考点05 由椭圆的离心率求解方程或参数 22．（2024秋•潮州期末）若椭圆的离心率为，则　　 A． B．4 C． D．2 【解答】解：依题意，，解得． 故选：． 23．（2024秋•澄海区期末）已知椭圆上存在两点，关于直线对称．若椭圆离心率为，则的中点坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知椭圆上存在两点，关于直线对称， 设点，、，，线段的中点为，， 则， 由题意，椭圆的离心率为， 可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为1， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即， 即， 即，① 又因为点，在直线上， 则，② 联立①②可得， 故线段的中点为． 故选：． 24．（2024秋•深圳期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，且离心率为，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：设椭圆的左焦点为，则， 由，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，则， 设，，，， ，， 则， 可得， ，，，则， 即，也就是． 故选：． 地 城 考点06 直线与椭圆的综合 25．（2024秋•深圳校级期末）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，，，， 则， 所以， 整理得， 因为为弦的中点， 所以，， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即． 故选：． 26．（多选）（2024秋•深圳校级期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则　　 A．椭圆的离心率为 B．当时， C． D．当点在第三象限时，若，则 【解答】解：对于选项，由，，，可得，故选项正确； 对于选项，由，， 可得，故选项错误； 对于选项，设点，有， 又由，，直线的方程为， 令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为， 令，可得点的横坐标为， 有，故选项正确； 对于选项，若，由直线的斜率为， 有， 有，代入， 有，有， 平方后有，代入， 有， 有， 又由，有， 可得，， 可得，故选项正确． 故选：． （多选）27．（2024秋•深圳期末）已知椭圆，点，，以为直径的圆与交于，两点，则　　 A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 【解答】解：易知以为直径的圆的方程为， 对于选项：联立， 解得，， 所以，故选项正确； 对于选项：直线方程为， 即， 联立，消去并整理得， 此时△， 所以直线与只有一个交点，故选项正确； 对于选项选项：设直线与轴交点为， 因为，， 所以， 则四边形不是平行四边形，故选项错误； 对于选项：设， 因为点在椭圆上， 所以， 又，， 所以， 即， 因为，， 所以当时，取到最大值，最大值为，故选项错误． 故选：． 28．（2024秋•广州期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆，，为其左、右焦点．是上的动点，点，且的最大值为6，则 　．动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 　　． 【解答】解：第一空，如图， 由题可得， 则， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为6，且， 则，解得：， 则； 第二空，设切椭圆于点，如图， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线， 则， 则点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 所以到直线的距离为， 所以点到直线的距离最小值，最大值，即，． 故答案为：；，． 29．（2024秋•电白区期末）“若点为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为椭圆，所以，，即， 如图，延长，交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则． 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为． 故答案为：． 30．（2024秋•清远期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为、，且四边形的面积为．若、为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，、分别为直线、的斜率），为中点，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为椭圆的离心率为，且四边形的面积为， 所以， 解得，，， 所以椭圆的方程为，右焦点， 因为， 所以， 因为直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，，， 此时的中点， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 由韦达定理得，， 所以， 可得， 整理得， 此时满足△， 因为， 又， 整理得， 即的轨迹方程为， 其表示焦点在轴上的椭圆， 所以， 此时， 当为该椭圆的右顶点时，等号成立． 综上所述，的最小值为． 故答案为：． 31．（2025春•深圳期末）已知椭圆的长轴长与短轴长的比值为． （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若直线的斜率为1，求椭圆的焦距的取值范围； 若△面积的最大值为，求椭圆的标准方程． 【解答】解：（1）由题意可知，，即，又由， 可解得，故椭圆的离心率为； （2）由（1）可知，可以将椭圆的方程表示为，直线的的方程为， 联立直线和椭圆的方程，得因为与有两个公共点， 所以△，解得， 则，故椭圆的焦距的取值范围是； （ⅱ）当直线斜率不存在时，，，三点共线，不构成三角形． 当直线的斜率存在时，设，，，，， 联立直线和椭圆的方程，得， 因为与有两个公共点，所以△，化简得， 由韦达定理知，，， 故， 原点到直线的距离， ，令， 得，故①， 当时，． 当且仅当，即，时有最大值， 故，即，所以椭圆的方程为． ②当时，，此时函数在定义域内单调递增，故当， 即取最小值时，有最大值， 所以，解得不符合条件， 综上，椭圆的方程为． 32．（2025春•南山区校级期末）已知曲线． （1）若，求曲线的离心率； （2）若曲线的左，右顶点为，，是上第一象限上动点，． 若，求点的坐标； 设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【解答】解：（1）因为曲线，且， 所以曲线， 所以离心率． （2）设，，则， 又，， 因为， 所以， 解得， 即曲线， （ⅰ）设直线，倾斜角分别为，， 则， 由题可知，， ， 联立， 解得， 即， 所以点的坐标为． （ⅱ）设，，，， 与交于点， 与交于点， 所以，即， 当直线斜率不存在时，，， 所以，，此时， 当直线斜率存在时， 假设直线过定点，， ， ， ， ， 所以直线过定点，假设成立，故斜率存在时， ， 综上，当直线斜率不存在时，的最小值为． 33．（2025春•广东期末）已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是2，记点的轨迹为曲线．两个不同点，在上运动，满足直线与直线的斜率之比是． （1）求曲线的方程； （2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由． （3）证明：三角形是钝角三角形． 【解答】解：（1）设，，且， 因为直线，相交于点，且它们的斜率之积是2， 所以， 整理得， 则曲线的方程为（或； （2）因为， 又， 所以， 设，，，，， 若直线的斜率不存在， 此时，， 所以 解得， 此时直线的方程为， 则直线过点， 若直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且△， 由韦达定理得，， 所以， 则， 整理得， 此时△恒成立， 所以直线的方程为， 此时直线过点， 综上所述，直线过定点； （3）证明：由（2）知，， ①当时，，，均在的右支， 此时， 所以为钝角； ②当时，，，在的两支， 设在的右支 记， 此时， 所以为锐角， 则为钝角． 综上所述，三角形为钝角三角形． 34．（2024秋•河源期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于，两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，△的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【解答】解：（1）如图， 由题意知，解得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2） 由题意知直线的方程为，设，，，， 由，得， 所以△，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以△的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或． （3） 由题意知直线的方程为，设，，，， 由，得， 所以△，解得， 所以，， 设，因为，，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 35．（2024秋•深圳校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为4，若△为正三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长． 【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4，△为正三角形， 所以， 解得，，， 则椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，， 所以该直线为， 联立，消去并整理得， 解得，． 则． 36．（2025春•汕尾期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的斜率存在． （1）若线段的中点的横坐标为，求椭圆的方程并计算点到轴的距离与点到轴的距离之和； （2）为椭圆的右焦点，若△面积为，求直线的方程． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 所以，， 又， 解得，， 则椭圆的方程为， 设，，，， 可得直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 因为线段的中点的横坐标为， 所以， 解得， 所以， 点到轴的距离与点到轴的距离之和为， 因为，， 所以与异号， 所以， 则点到轴的距离与点到轴的距离之和为； （2）由（1）知，直线的方程为， 所以点到直线的距离， ， 则， 解得． 则直线的方程为． 37．（2025春•深圳校级期末）已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，过点，作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点． 证明：． 求△面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意椭圆右焦点可得， 因为椭圆过点，所以， 联立，解得， 所以椭圆的方程为． （2）证明：因为直线与椭圆交于，两点，不妨设为第一象限点， 又，，轴，如图，所以点的坐标为，点的坐标为，， 设，则有， 两式相减得：， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以． 由对称性不妨设，，在第一象限， 联立，消去得， 所以，则， 设直线与倾斜角分别为，，则， 所以， 由可得，， 令，则， 令，则，且当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，即△面积的最大值为． 38．（2025春•福田区校级期末）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，△是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点、分别在第一、四象限）． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为， 易得，，， 因为△为面积为1直角三角形， 所以， 则椭圆的离心率； （2）易知椭圆方程为， 设， 因为点在椭圆上， 所以， 即， ， 其对称轴为， 因为， 当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，． 综上所述，当时，最大距离为；当时，最大距离为； （3）设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得， 因为点，分别在第一、四象限， 所以， 即， 所以， 解得， 则四边形的面积为 ， 易知， 因为，两点均在直线上， 所以，， 此时， 令，， 则， 因为， 所以在上单调递增， 则． 故四边形面积的取值范围为． 39．（2024秋•深圳期末）定义：若椭圆上的两个点，，，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）求“共轭点对” ，中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点，在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，，且点的纵坐标大于0，设四点，，，在椭圆上逆时针排列．证明：四边形的面积小于8． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆过点， 所以， 解得，，， 则椭圆的方程为； （2）因为，，， 所以， 整理得， 则点所在的直线的方程为； （3）证明：由（2）知，直线的方程为， 联立， 解得或， 因为点的纵坐标大于0， 所以，， 设，，，， 因为，两点均在椭圆上， 所以， 两式相减得， 因为， 所以， 此时， 则， 所以线段的中点在直线上， 所以线段被直线平分， 设点到直线的距离为， 此时， 因为， 所以， 设过点且与直线平行的直线的方程为， 易知当与相切时，取得最大值， 联立，消去并整理得， 令△， 解得， 当时，此时， 解得， 此时点或点必有一个和点重合，不符合条件， 所以直线与不可能相切， 即点到直线的距离小于平行直线和（或的距离． 故． 40．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． （1）求的方程； （2）设，是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求△面积的最大值． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 解得， 可得， 因为直线斜率为1， 所以， 因为， 所以， 可得， 则， 故椭圆的方程为； （2）①证明：由（1）知， 因为， 所以不垂直于轴， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 则直线经过定点； ②由①知， 因为， 又， 所以， 所以△的面积， 设，， 此时，， 设， 可得， 当时，， 所以，单调递增． 所以当，即时，△面积取得最大值，最大值为． 41．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的右焦点，且经过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过右焦点作直线，与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若△的面积为，求直线的方程； 是否存在椭圆上一点及轴上一点，，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题目可知椭圆的右焦点，且经过点． ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）由题：△的面积为， 设斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：，直线方程为：或； 设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点，． 42．（2024秋•越秀区校级期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，过的直线与交于，两点，△的周长为． （1）求的标准方程； （2）若，记线段的中点为． （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）过的动直线与交于，两点，，的中点分别是和，求△面积的最大值． 【解答】解：（1）由椭圆的定义可得△的周长为，，． 离心率，解得，， 椭圆的标准方程为． （2）（ⅰ）由（1）可得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由可得． 当直线斜率不存在时，在椭圆方程中令得， 不妨设，，不成立； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，，，， 由方程组消去，得， 则有， 有 ， ． 当时， 点的坐标是； 同理当时，点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． （ⅱ）根据对称性△面积最大值与点所在象限无关， 不妨设点的坐标是，此时直线的方程可化为， 设点到直线的距离为， 为的中点，为的中点， 可得． 直线斜率不存在时，点坐标为，此时点到直线的距离． 直线斜率存在时，设直线方程为， 联立消去，得， 则有， 点坐标为， ， 令，令， 当时，即，此时直线与重合，△面积为0； 当，即时，则有， 当，即时，． 此时，△面积最大值为． 43．（2024秋•广东期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）过点作与轴平行的直线与交于点，，直线与轴交于点，证明：点，，，共圆． 【解答】解：（1）已知圆方程，令，所以或，所以，， 所以椭圆的长半轴长，半焦距，所以短半轴长， 因此的方程为． （2）因为，当直线与轴不重合时，设方程为， 联立直线方程和椭圆方程可得，化简得：， 设，，，，，， 所以，， 联立可得，所以， 当直线与轴重合时，点满足方程， 因此的中点的轨迹方程是． （3）证明：由，得，不妨令， 直线斜率，则， ， 因此，△△，则， 所以点，，，共圆． 44．（2024秋•深圳校级期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且△为直角三角形，求的方程． 【解答】解：（1）因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 设圆心为，半径为， 此时， 解得， 所以圆心为，半径， 则圆的标准方程为； （2）因为圆的方程为， 此时圆的圆心，半径为2， 因为△为直角三角形， 所以且， 此时圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线过圆心，不符合题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 即， 此时直线到点的距离， 解得． 则直线的方程为或． 45．（2024秋•湛江期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求的值． （2）求△面积最大值． 【解答】解：（1）由题意可得，，设，， 直线的方程为，令，得， 直线的方程为，令，得， 所以 ． （2）依题意，直线的方程为，且， 点到直线距离， 则， 因此当，即，时，， 所以△面积最大值为． 地 城 考点07 椭圆的定点及定值问题 46．（2025春•广州期末）已知椭圆的离心率为，且过点．设点处的切线为． （1）求的方程； （2）求直线的方程； （3）直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线， 联立， 整理得， 所以△， 即，所以， 故直线， 即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，，，且， 因为， 所以， 解得或2（舍， 则直线与直线的交点坐标为； ②当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立， 得， 由△，知， 设，，，， 则，， 因为， 所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 47．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的离心率为，，，过定点，的直线与交于，两点，直线的斜率不为0． （1）求的长轴长． （2）若，，证明：直线，的斜率之和为定值． （3）若，，设直线，分别交于，（都异于，两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 解得， 所以椭圆的长轴长为． （2）证明：设直线的方程为，，，，， 联立，得， 则△，解得， ，， 设直线，的斜率分别为，， 则， 所以直线，的斜率之和为定值0． （3）证明：设，，，，，，，，，，且，且， 则，且， 得， 将，代入得，与联立， 解得，同理可得， 又直线过点，，则， 代入，，化简得， 设直线过定点，，则， 代入数据化简可得， 对比系数可得， 解得，， 则直线过定点，． 48．（2025春•越秀区期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，，且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【解答】解：（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，则， 因为椭圆的离心率为，所以又，所以， 故椭圆的方程为； （2）证明：由（1）得，， 设直线的方程为， 由得， 其中△，即， 设，，，，则，， 由已知得，从而， 所以， 化简得， 所以， 化简得， 因为直线不经过点，所以，因此，即． 所以宣线的方程为，故直线经过定点． 49．（2024秋•深圳校级期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点． 【解答】解：（1）易知抛物线的焦点， 因为， 所以， 因为椭圆的离心率为， 所以， 又， 解得， 则椭圆的方程为； （2）证明：由（1）知，， 易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线过点， 所以， 解得， 因为点在直线上， 解得， 即， 设直线的方程为， 同理得，， 若， 即， 解得， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得， 所以直线过定点； 若， 解得， 此时， 则直线也过点． 综上所述：直线过定点． 50．（2024秋•天河区期末）设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值； （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的方程为， 所以， 因为椭圆的离心率为， 又， 解得， 则椭圆方程为； （2）设直线方程为， 令， 解得， 即， 设，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 若， 此时， 即， 所以， 解得； （3）由（1）知， 所以“卫星圆”半径， 设“卫星圆”方程为， 因为圆心在椭圆上， 所以， 即， 设切线方程为， 可得， 整理得， 设切线，的斜率分别为，， 可得，， 联立，消去并整理得， 可得，， 所以， 同理得， 因为，，， 所以 ． 故是定值，定值为16． 51．（2024秋•深圳期末）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有，点在线段的延长线上，且． （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于、两点．记直线、的斜率分别为，． 证明：为定值； 若直线的斜率为，点是轨迹上异于、的点，且平分，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 即点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设方程为， 则，解得， 故点的轨迹的方程为； （2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为，，， ①当直线斜率存在时，如图1， 设， 联立，化简得，显然△恒成立， 所以， 则， ， 又，所以， 所以， 又 ， 所以，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2， 显然，可得：即， 综上所述：为定值． 由题，， 所以， 由可知：， 设，即， 则，可得， 又，所以， 所以，则， 又直线的斜率存在，所以，所以， 综上：． 52．（2025春•湛江期末）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以， 解得， 故的方程为； （2）设，，，，，则直线的方程为， 与联立， 得， 则△， 且， 所以 ， 故为定值． 53．（2024秋•兴宁市期末）已知在曲线上任意一点，处的切线为．若过右焦点的直线交椭圆于，两点，已知在点，处切线相交于． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明为定值． （3）在（2）的条件下，四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若无说明理由． 【解答】解：（1）易知，，， 当直线的斜率不存在， 此时直线的方程为， 可得， 所以过点的切线为， 即，① 过点的切线方程为， 即，②， 联立①②， 解得； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以， 过点，的切线方程为， 即，③ 过点，的切线方程为， 即，④ ③④得， 所以， 整理得，⑤ ③④得， 即， 又， 所以， 整理得， 因为， 所以， 解得， 综上所述，点的轨迹方程为； （2）证明：由（1）得，， 所以， 同理得， 所以， 则为定值，定值为； （3）因为四边形的面积 ， 令，， 此时， 当，即，时，四边形的面积存在最小值． 故四边形的面积存在最小值，最小值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $