期末冲刺专题专题15 期末押题卷（3）2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学期末卷 答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．______________ 12．______________13．______________ 14．______________ 15．______________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分） （1） (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2） 17． （8分） （1） （2） 18．（9分） (1)__________ (2)___________ ____________________ ______________________ (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (4) 19．（8分） (1) (2) 20．（8分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） (1) ________________________________________________ (2)_____________________________________________________ (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学期末冲刺专题 专题15 期末押题卷（3） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版七年级上册1-----6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全舒适方便等特点，对提升城市综合承载力和品质，节约利用城市空间，缓解城市交通拥堵，方便群众出行具有重大意义．以下分别是太原、济南、青岛、郑州的地铁标志，其中的轴对称图形是(       ) A． B． C． D． 3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（    ） A． B． C． D． 4．在和中，，补充条件后，仍不一定能保证，这个补充条件是（   ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 7．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 8．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 9．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．已知，将等腰直角和等腰如图所示放置，点、、三点在同一直线上，已知，两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ． 12．已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为 ． 13．在一次晚会上，有这样一个节目，主持人小明亮出了A、B、C三张卡片，上面分别写有，其中有两张卡片上的单项式相除，所得的商为．这两张卡片是 和 ，作为被除式的卡片是 ． 14．黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是 元． 15．已知，满足，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：． （2）如图，点C，D在AB上，，请你再添加一个条件，使得，并证明．（证明过程中需用字母写出全等判定依据） 我添加的条件是 ； 证明： 17．（8分）如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．） (1)请你说明这样设计的理由； (2)设与交于点，求证：． 18．（9分）手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 19．（8分）为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 20．（8分）计算 嘉琪妈妈给嘉琪在习题本上写了三个代数式就出门了，嘉琪开始研究，发现第三个代数式并没有写出，就打电话问妈妈．妈妈告诉他，第三个代数式恰好等于与的积．请你解决下列问题： (1)将代数式分别计算出来； (2)求当时代数式的值． 21．（9分）阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角，是边上一点，利用尺规作图在边上求作点，使．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明． 方法：①如图2，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②作直线，交于点，交于点；③连接．则点即为所求． 证明：如图3，连接，，，． 由作图可知，，． ∴点，均在线段的垂直平分线上．（依据1） ∴直线是线段的垂直平分线．（依据2） …… （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？ （2）请将上述证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（12分）综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 23．（11分）综合与探究 【发现问题】 （1）在数学探究课上，王老师带着大家探究三角形全等的条件，对数学兴趣浓厚的小明发现了一个有趣的情景，情景如下： 如图1，在长方形中，，，，P为边上一点且．Q为上一动点，连接．小明发现当时，．请你帮助小明证明这个结论． 【探究发现】 （2）小华将小明的数学问题进行了改动，将原来的长方形换成了正方形．如图2．P为边上一点，过点P作，交的外角平分线于点Q，试探究与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3．小林连接了，交于点F，连接．试判断、、之间的数量关系，只写结论，不需要证明． 试卷第20页，共23页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学期末冲刺专题 专题15 期末押题卷（3）（解析版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版七年级上册1-----6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），熟练掌握幂的运算规则是解题的关键．依据幂的运算规则，逐一验证每个选项的运算是否正确． 【详解】解：选项A：，故A项错误； 选项B：，故B项正确； 选项C：，故C项错误； 选项D：，故D项错误； 故选：B． 2．地铁作为城市的重要骨干交通，具有节省土地、节约资源、减少污染、快捷安全舒适方便等特点，对提升城市综合承载力和品质，节约利用城市空间，缓解城市交通拥堵，方便群众出行具有重大意义．以下分别是太原、济南、青岛、郑州的地铁标志，其中的轴对称图形是(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的图形不是轴对称图形，故A不符合题意； 选项B中的图形是轴对称图形，故B符合题意； 选项C中的图形不是轴对称图形，故C不符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握“轴对称图形的定义是识别图形”的关键． 3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据直角三角形两锐角互余得出，利用平角的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵重力的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴． 故选：B． 4．在和中，，补充条件后，仍不一定能保证，这个补充条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、当补充时，利用可判定，故A不符合题意； 当补充时，利用可判定，故B不符合题意； 当补充时，利用可判定，故C不符合题意； 当补充时，满足，不一定能保证，故D符合题意． 故选：D 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值和因式分解的应用，先将提取公因式得到，再将，，代入计算即可求解． 【详解】解：， 将，代入，得． 故选：B． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 7．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 8．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 9．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 10．已知，将等腰直角和等腰如图所示放置，点、、三点在同一直线上，已知，两等腰直角三角形的面积和为5，则阴影部分面积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．由题意得，，，由完全平方公式变形求得，据此求解即可． 【详解】解：设等腰直角和等腰的腰长分别为和， 由题意得，，，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得． 【详解】解：由图可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，正确找出图中的面积关系是解题关键． 12．已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先结合题意，过点C作直线轴，再分别过作，再根据，证明，故，因为，，得，即可作答． 【详解】解：过点C作直线轴，再分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， 则， 再把与相加，得， 即． 故答案为：8 13．在一次晚会上，有这样一个节目，主持人小明亮出了A、B、C三张卡片，上面分别写有，其中有两张卡片上的单项式相除，所得的商为．这两张卡片是 和 ，作为被除式的卡片是 ． 【答案】 C A C 【分析】本题考查了单项式的除法，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算两两单项式相除，发现C除以A的商为，符合条件，进而即可判断． 【详解】解：∵ ， 故商为2ab³c， ∴这两张卡片是C和A，作为被除式的卡片是C， 故答案为：C；A；C． 14．黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是 元． 【答案】6 【分析】本题考查分式方程的实际应用，注意结果要检验，设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元，根据“用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同”这个等量关系列式子，求解即可． 【详解】解：设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则A型黄元米果的单价是6元． 故答案为：6． 15．已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：． （2）如图，点C，D在AB上，，请你再添加一个条件，使得，并证明．（证明过程中需用字母写出全等判定依据） 我添加的条件是 ； 证明： 【答案】（1）6；（2）（答案不唯一，见解析），证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，实数的混合运算，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先求绝对值，立方根，零指数幂，再算加减法即可； （2）根据三角形全等的判定方法添加条件，根据已知条件，添加边相等，用判定即可； 【详解】解：（1）原式； （2）添加， 证明：在和中， ； 添加， 在和中， ； 添加 在和中， ； 添加， ∵， ∴ 在和中， 17．（8分）如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．） (1)请你说明这样设计的理由； (2)设与交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、掌握相关定理内容即可； （1）证即可说明； （2）根据，得，推出，证，即可； 【详解】（1）解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 18．（9分）手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 【答案】（1）；（2）2；1；3；（3）作图见解析；（4）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于（1），根据面积相等得出答案； 对于（2），拼出图形数出答案； 对于（3），根据所给图形的张数拼出正方形即可； 对于（4），根据两种类型的张数可知拼出正方形的边长为，再补充型，进而得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，需要型2张，型1张，型3张； 故答案为：2,1,3； （3）如图所示； （4）如图所示， ∵， ∴还需要补充20张型卡片． 故答案为：20． 19．（8分）为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【答案】(1)x的实际意义是足球的数量 (2)足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个 【分析】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）由嘉嘉所列方程知是足球的单价，是排球的单价，结合足球的数量比排球数量多40个可得x的实际意义是足球的数量； （2）设排球的单价为元/个，根据足球的单价比排球单价高可得足球的单价为元/个，依据足球的数量比排球数量多40个可列方程，再解答即可． 【详解】（1）解：由嘉嘉所列方程知：是足球的单价，是排球的单价， 又足球的数量比排球数量多40个， 所以， x的实际意义是足球的数量； （2）解：设排球的单价为元/个，足球的单价为元/个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元／个） ∴排球的购买数量为（个）， 答：足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个． 20．（8分）计算 嘉琪妈妈给嘉琪在习题本上写了三个代数式就出门了，嘉琪开始研究，发现第三个代数式并没有写出，就打电话问妈妈．妈妈告诉他，第三个代数式恰好等于与的积．请你解决下列问题： (1)将代数式分别计算出来； (2)求当时代数式的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （）根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式分别计算即可； （）把代入求解即可． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）解：当时， ． 21．（9分）阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角，是边上一点，利用尺规作图在边上求作点，使．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明． 方法：①如图2，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②作直线，交于点，交于点；③连接．则点即为所求． 证明：如图3，连接，，，． 由作图可知，，． ∴点，均在线段的垂直平分线上．（依据1） ∴直线是线段的垂直平分线．（依据2） …… （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？ （2）请将上述证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两点确定一条直线；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据作图痕迹可分别写出依据； （2）结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可补充； （3）作即可． 【详解】解：（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 依据2：两点确定一条直线； （2）∴ ∴ ∴； （3）如解图所示，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线以及作图能力，较强的阅读能力和对所学知识的灵活应用能力成为解答本题的关键． 22．（12分）综合与实践 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图①可得等式． 【实践操作】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成块小长方形． （）将其中块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图③所示．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为________________； （2）如图④，将块小长方形拼成一个回形正方形．用两种不同的方法表示空白部分的面积，可得到的等式为______； 【直接应用】 （3）已知：，，求的值； 【知识迁移】 （4）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图⑤，校园内有一个正方形场地，在其内部划分了一个正方形区域，两个正方形的面积和为．连接，，，学校计划在阴影部分（，）摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．若两个正方形的边长分别为，，，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，一元二次方程的解法，正方形的性质，熟练掌握完全平方式是解答关键． （1）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （2）根据正方形和长方形的面积公式来求解； （3）利用（2）的结果来求解； （4）观察图形，可得，．进而根据完全平方公式求得，进而根据求解． 【详解】解：（1）解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 故答案为：． （2）解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为， 方法一：空白部分面积为， 方法二：， 可得到的等式为：． 故答案为： ． （3）． （4）观察图形，可得，． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 因为，，所以． 所以． 23．（11分）综合与探究 【发现问题】 （1）在数学探究课上，王老师带着大家探究三角形全等的条件，对数学兴趣浓厚的小明发现了一个有趣的情景，情景如下： 如图1，在长方形中，，，，P为边上一点且．Q为上一动点，连接．小明发现当时，．请你帮助小明证明这个结论． 【探究发现】 （2）小华将小明的数学问题进行了改动，将原来的长方形换成了正方形．如图2．P为边上一点，过点P作，交的外角平分线于点Q，试探究与相等吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3．小林连接了，交于点F，连接．试判断、、之间的数量关系，只写结论，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）与相等，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明即可得解； （2）在上截取点，使得，则，证明，即可得证； （3）由（2）可得：，则为等腰直角三角形，延长至，使得，连接，证明，得出，，证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上截取点，使得，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图，延长至，使得，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第20页，共23页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $