第06讲多项式乘多项式（寒假预习讲义）（知识点+大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第06讲多项式乘多项式 （9大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【题型1】多项式乘多项式 【例1】．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选D 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法，多项式乘以多项式，平方差公式；熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （3）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； （4）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【题型2】多项式乘多项式的混合计算 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项等知识． （1）按照多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． （2）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． （3）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型3】多项式乘多项式的化简求值 【例3】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 8．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查的是整式的运算．先将原式根据单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则进行化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（24-25七年级下·福建宁德·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式相乘的运算法则． 利用多项式乘多项式的法则先进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 【题型4】多项式乘多项式的求值与整体思想 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·月考）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 把代入，原式， 故答案为：． 【变式训练】 10．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 11．（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式并求值，根据多项式乘以多项式的法则，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴ 故选D． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 【题型5】多项式乘多项式的不含某一项问题 【例5】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 【变式训练】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 【题型6】（x+p）（x+q）型的计算 【例6】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 【变式训练】 17．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 18．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【题型7】多项式乘多项式与几何图形问题 【例7】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 先将大长方形的面积算出为，由题意可知为A类卡片面积，为B类卡片面积，为C类卡片面积，则根据多项式即能求出A、B、C相应的卡片数量． 【详解】解：由题意可知，大长方形的长为，宽为， 则其面积为； 由图可知，A类卡片面积为 ，B类卡片面积为，C类卡片面积为，由大长方形的面积多项式可知，的系数为2，的系数为4，的系数为9，则需要A类卡片2张，B类卡片4张， C类卡片9张． 故选：A. 【变式训练】 19．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 【答案】48 【分析】本题考查了组合图形的面积，图中阴影部分的面积是正方形的面积减去4个空白三角形的面积，据此解答． 【详解】解：如图所示，设左上角小长方形的长为a，右下角空白三角形的一边长为b， 四个空白三角形的面积是： （平方厘米）， 阴影部分的面积是 （平方厘米）， 答：阴影部分的面积是48平方厘米． 故答案为：48． 21．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型8】多项式乘多项式的规律探究问题 【例8】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 【变式训练】 22．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题． （1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为，根据规律直接写出答案即可； （2）根据规律写出答案即可； （3）构造（2）中的公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （2）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （3）解：令， 根据（2），当，（即）时， 有， 所以， 即． 【题型9】多项式乘多项式的新定义问题 【例9】（24-25七年级下·河南周口·月考）对于任意有理数，我们规定符号，例如． (1)计算：_______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解； （2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， 故原式． 【变式训练】 25．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 26．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 27．（2023·山东济宁·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，利用多项式乘以多项式的法则结合题意，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． 【答案】34和86是“友好数对”，这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积；一对新的“友好数对”为和 【分析】本题考查了有理数的计算、整式的运算，多项式乘多项式计算和，根据定义判断；利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简，即可求解，进而根据数量关系写出一对新的“友好数对”． 【详解】解：，， ， 和是“友好数对”， ∵一个数的十位数字为个位数字为；另一个数的十位数字为个位数字为 交换后十位数字为个位数字为另一个的十位数字为个位数字为 两个数依次表示为 这两个数是友好数对， ， 化简得： 即这两个两位数的十位的乘积等于两个数的个位的乘积 根据题意，写出一对新的“友好数对”为和． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则实数的值（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是关键． 根据整式的乘法运算计算，再根据等式左右两边判定即可求解． 【详解】解：，， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：，再根据，得出，，根据m，n均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵m，n为正整数， ∴，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ∴k的值可能是5，，，1． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，对应相等即可． 本题考查的是多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形，则阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积的关系，完全平方公式的应用，根据面积关系列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得阴影部分的面积为： ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图所示，长方形的长为，宽为，面积为；正方形的边长为，面积为，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式表示面积，先分别用多项式乘多项式表示出和，然后相减即可得出大小． 【详解】解：长方形的面积为：， 正方形的面积为：， ∴， ∴， 故选：A 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据“杨辉三角”中所含规律，先求出的余数为1，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选：C． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】题目主要考查求代数式的值，考查代数式的展开与整体代入能力，解题的关键在于通过展开代数式并重组可以快速得到结果． 将所求代数式展开后，利用已知条件且，进行整体代入，然后将已知式子代入求解即可得． 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：A． 8．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则对等式左边进行运算，再根据等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先利用多项式乘多项式法则计算，再利用等式的性质得关于m、n的方程，求出m、n得结论，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，根据整式的乘法进行运算，合并后，使x的二次项系数等于0即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式 展开后不含x的二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究，根据题中规律第一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大，减数都为，利用规律即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算．先根据的系数可得，再列出运算式子，利用整式的乘法法则和加减法法则进行化简，然后根据常数项相等即可得． 【详解】解：∵的系数是3， ∴， ∴ ， ∵原式， ∴， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知，含的项是展开式中的第三项，观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． 三、解答题 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的乘法，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． 利用整式的乘法运算和加减运算对原式进行化简，然后将的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，将多项式展开，合并同类项，根据不含项得到m值，再把化简，再代入计算即可． 【详解】解： 由题意得， ∴， ∴ ． 18．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【详解】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲多项式乘多项式 （9大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【题型1】多项式乘多项式 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】多项式乘多项式的混合计算 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3】多项式乘多项式的化简求值 【例3】（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 7．（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 8．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25七年级下·福建宁德·月考）先化简，再求值：，其中． 【题型4】多项式乘多项式的求值与整体思想 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·月考）已知，则代数式的值为 ． 【变式训练】 10．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 11．（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 12．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 【题型5】多项式乘多项式的不含某一项问题 【例5】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【变式训练】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【题型6】（x+p）（x+q）型的计算 【例6】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【变式训练】 17．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 18．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【题型7】多项式乘多项式与几何图形问题 【例7】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【变式训练】 19．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 21．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【题型8】多项式乘多项式的规律探究问题 【例8】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【变式训练】 22．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 【题型9】多项式乘多项式的新定义问题 【例9】（24-25七年级下·河南周口·月考）对于任意有理数，我们规定符号，例如． (1)计算：_______； (2)若，求的值． 【变式训练】 25．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 27．（2023·山东济宁·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么 ． 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以和与和都是“友好数对” 请你判断和是否是“友好数对”，并探究“友好数对”中四个数字之间的数量关系，再根据这一数量关系写出一对新的“友好数对”． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则实数的值（   ） A． B． C．1 D．5 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形，则阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图所示，长方形的长为，宽为，面积为；正方形的边长为，面积为，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 8．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，那么的值为 ． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值 ． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 14．（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 16．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 18．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 19．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $