7.1.2两直线垂直（题型专练，6基础&3提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

7.1.2两直线垂直 题型一、垂直、垂线的有关理解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 4．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 题型二、利用垂直求角度 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，是一条射线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． （第6题） （第7题） （第8题） 6．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 8．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 9．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 题型三、垂线段最短 10．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 题型四、点到直线的距离 13．（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 15．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 题型五、垂线的有关作图问题 16．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 题型六、有关垂直的有关计算问题 19．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 21．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，直线相交于点O，于点． (1)若，求证：． (2)若，求，的度数． 题型一、利用角度关系证明两直线垂直 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 23．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 题型二、分类讨论思想在垂直求角中的应用 24．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 25．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 26．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知 ，以O为顶点作射线，，若，，且、在直线同侧，则的度数为 ． 题型三、方程思想在垂直求角中的应用 27．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数 ． 28．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为______． (2)若，求n的值． 29．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 30．（七年级上·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 32．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线，交于点M，，，平分，下列结论中：①当时，；②平分；③与相等的角有3个；④；⑤．正确的结论序号是 ． 33．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2两直线垂直 题型一、垂直、垂线的有关理解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同一平面内． 【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直． 故选：B 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直定义，由选项中条件，结合垂直定义求解是解决问题的关键．由垂直定义、平角定义、对顶角及互补定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由能说明，不符合题意； B、由，且，可得，能说明，不符合题意； C、由和是对顶角，则，不能说明，符合题意； D、由和是对顶角，则，当时，，能说明，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确； 连接，则不一定与垂直，故C错误． 故选：C 4．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：依题意，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上， ∴其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 题型二、利用垂直求角度 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，是一条射线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 8．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 【答案】，过程见详解 【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ， 又， ． 题型三、垂线段最短 10．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 题型四、点到直线的距离 13．（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 15．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据面积法可得，然后再根据点到直线的距离的意义，逐一判断即可解答． 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：，， 的面积， ， ， 解得：， 点到直线的距离是， 故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是的长度，不是6，故不正确； 所以，上列说法，其中正确的序号有， 故答案为：． 题型五、垂线的有关作图问题 16．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 题型六、有关垂直的有关计算问题 19．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 21．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，直线相交于点O，于点． (1)若，求证：． (2)若，求，的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了垂线，余角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，，结合已知可得，再根据与互补，即可解答； （2）根据，可得，再根据，，从而求出的度数，即可求出和的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， 的度数为， ； （2）解：， ， ， ，即， 解得， ，． 题型一、利用角度关系证明两直线垂直 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 23．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 题型二、分类讨论思想在垂直求角中的应用 24．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 25．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于，那么这两个角叫做互为余角. 根据题意，分两种情况：（1）是锐角时；（2）是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出的度数是多少即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． （2）如图2， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． 综上，可得的度数是或． 故答案为：或． 26．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知 ，以O为顶点作射线，，若，，且、在直线同侧，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，分情况讨论：当、在直线上方时；当、在直线下方时，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：当、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， ； 当、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型三、方程思想在垂直求角中的应用 27．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数 ． 【答案】108° 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角．正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．由垂直定义得，根据，可得，得，由角平分线定义，得．即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：． 28．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为______． (2)若，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了补角的性质，两条直线垂直，解决本题的关键是根据补角的性质得到． （1）根据补角的性质以及已知条件求出的度数，再结合的度数求出的度数，最后根据与的关系求出的度数，进而求出的度数． （2）根据得到，再结合与的关系以及与的关系列出方程，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵点O在直线上，与互补，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：设， ∵点O在直线上，与互补， ，， ∴， ， . ， ， . ， ， ． 29．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 30．（七年级上·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】 解：①， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故①正确； ②不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误； ③平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角有三个，故③正确； ④， ， ，故④正确； 所以正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中． 31．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 32．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线，交于点M，，，平分，下列结论中：①当时，；②平分；③与相等的角有3个；④；⑤．正确的结论序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由，，得到，故，同理，故，由平分，得到，故，故③正确；当时，则，故，故①正确；由，而，故，故④正确，而②⑤不可证明，即可作出选择． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故③正确； 当时，则， ∴，故①正确； ∵，而， ∴，故④正确， 而②⑤不可证明， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角，平角的定义，角平分线的意义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 33．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $