大题专题02 数列（讲义）-2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据《天津市高职分类招生（面向中职毕业生）考试数学科目考试说明》及天津历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年天津市（高职分类考试）二轮复习《数学考纲专题练》的大题专题第2个专题，内容为数列。 2026年天津市（高职分类考试）《数学考纲专题练》 专题02数列 一、考纲解读 1. 数列的概念 2. 等差数列 3. 等比数列 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 16 数列 16 （1）题型：集中在解答题。 （2）分值：分值一般在16分。 （3）内容：等差数列与等比数列。 2024 解答题 16 数列 16 2023 解答题 16 数列 16 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年天津市高职分类考试依然有1道题目考查数列，题型设置为解答题，分值16分。 具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列 · 等比数列 四、知识梳理 （1） 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 3. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6.数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. =. （2） 等差数列 1．等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2.等差中项的定义： 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3.等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. 通项公式的推广形式： 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 4. 等差数列的前n项和公式： ①=； ②= （三）等比数列 1.等比数列的定义 如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示（）。即（为常数且）或（为常数且，）。 2.等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，且，即（，均不为）。 3.等比数列的通项公式： 公式：，其中为首项，为公比。任意两项，的关系为。 4.等比数列的前n项和公式： 公式：。 五、测验 1.设是公比为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 2.已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 3．求下列数列的通项公式及前项和. (1)若等差数列满足，； (2)若等比数列满足，. 4．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．已知数列为等差数列，是其前项的和，且，公差为2. (1)求，及； (2)求通项公式. 6．已知数列是等比数列． (1)如果，，求公比和； (2)如果，，求公比和． 7．已知数列是等差数列，且.求数列的通项公式. 8．已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案解析】 1．【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解； （2）数列的前项和即为等比数列的前项和加上等差数列的前项和，故代入等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. 【解析】 【小问1详解】设等比数列的公比为 ∵，，∴，即 ∴（舍）或 ∴数列的通项公式为 【小问2详解】 ∵等差数列的首项为1，公差为2 ∴等差数列的前n项和为： 又∵等比数列的前n项和为： ∴数列的前n项和为： 2.【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 所以或（舍）， 所以，. （2）由（1）得， 所以． 3．(1)， (2)， 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再利用公式求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再利用公式求出通项公式与前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，. （2）设等比数列的公比为， 因为，所以，所以， 则. 4．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， . 5．(1)，，； (2) 【分析】（1）根据等差数列定义求出，，两者与相加求出； （2）利用等差数列通项公式求出答案. 【详解】（1），， （2）由题意得：. 6．(1)， (2)， 【分析】（1）直接根据等比数列的通项公式计算即可； （2）直接根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】（1）由已知 . 即，； （2）由已知， 即，. 7．. 【分析】设等差数列的公差为，用表示出已知等式，求得后可得通项公式． 【详解】解：设等差数列的公差为，则，即，解得：， . 8．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解； （2）先求前项和，再建立方程求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以. 解得. 所以. （2）. 因为，所以，解得或. 因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 六、经典例题解析 （一）等差数列与等比数列综合 例1．等差数列中，． (1)求公差d及通项公式； (2)求数列的前十项和； (3)在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 【答案】(1)， (2)190 (3)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式为，结合已知条件即可求出答案； （2）根据等差数列前n项和公式即可求解； （3）根据等比数列的通项公式和前n项和公式即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， 即数列的公差，通项公式为； （2）∵， ∴， 因此，数列的前10项和； （3）由（1）知， ∴，， 设正项等比数列的公比为， ∴，解得， ∴的通项公式为， ∴． 例2．在等比数列中，公比，已知． (1)求数列的首项及公比q； (2)求数列的前5项和； (3)在等差数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由等比数列通项公式和条件，计算得到答案； （2）利用等比数列前项和公式，计算得到答案； （3）设出等差数列通项公式，列出式子计算得到答案. 【详解】（1）已知，则， 又， 可得， 计算得到. （2）已知， 故的前项和. （3）设等差数列,由（1）可得 ，， 又，即， 已知，解得, 故. 例3．在等差数列中，已知，公差． (1)求数列的首项及通项公式； (2)求数列的前6项和； (3)在等比数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件求得首项，进而得到通项公式； （2）利用前n项和公式求解即可； （3）根据条件求得等比数列的公比，进而得到通项公式； 【详解】（1）因为等差数列中，，公差， 所以，所以； （2）因为，所以； （3）设等比数列的公比为， 因为， 所以， 所以. 例4．已知等比数列中，，公比， (1)求数列的通项公式及； (2)求数列的前6项和； (3)在等差数列中，，公差，求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，先求出首项，继而求得通项公式；结合等比数列的通项公式，即可求得； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解； （3）根据题意，先求出等差数列的首项和公差，继而求得通项公式. 【详解】（1）因为等比数列中，，公比， 所以， 所以数列的通项公式为， 所以； （2）由（1）知，又， 所以数列的前6项和； （3）等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式为. 七、专题归纳小结 （一）数列前n项和Sn与an的关系： 已知Sn，则. （二）等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 ③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． ④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （三）等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 ③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $