寒假作业02 与三角形有关的角（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 与三角形有关的角 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点3 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 三角形的内角和】 1．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．若∠ABC＝60°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为　 　 °． 2．如图，∠A＝36°，∠ABD＝∠ACD＝20°，则∠BDC的度数为　 　 ． 3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝20°，则∠DFC＝　 　 ． 4．如图，在△ABC中，AD，AE分别为BC边上的高线和∠BAC的角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，求∠B的度数． 【题型2 三角形的外角性质】 5．如图，在△AEC中，D为边AC上一点，B为CE延长线上一点，连接BD交AE于点F，若∠B＝45°，∠C＝38°，∠A＝25°，则∠AFD等于（　　） A．97° B．83° C．93° D．72° 6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（　　） A．65° B．67.5° C．75° D．80° 7．在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝65°，点D在AC边上，连接BD，若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．75° C．10°或25° D．20°或75° 8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠E＝25°，则　 　 ，∠BAC＝　 　 ： （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 9．已知△ABC中，∠B＞∠C，射线AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点，过点F作FD⊥BC于点D． （1）若∠B＝66°，∠C＝34°． ①如图1，当点F与点A重合时，∠DAE＝　 　 ； ②如图2，当点F在线段AE上（不与端点重合）时，求∠DFE的度数； （2）设∠B＝x，∠C＝y，如图3，当点F在射线EF上时（不与点E重合），直接写出∠DFE的度数．（用含x，y的式子表示） 【题型3 折叠问题中的角度计算】 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 11．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 13．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 双角平分线模型】 14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为　 　 °． 15．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2026为　 　 ． 16．如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是　 　 ． 17．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 　 　 ． 18．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　 　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【题型5 飞镖模型】 19．将一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知∠1＝16°，∠2＝31°，则∠3＝ 　 　 度． 20．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　 （填“增加”或“减少”） 　 　 度． 21．如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，OC平分∠AOB，DC平分∠ADB．若∠AOB＝70°，∠ADB＝120°，则∠A﹣∠C的度数为　 　 ． 22．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究∠ABC（∠ABC＜180°）与∠A，∠D，∠C三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是∠ABC＝∠A+∠D+∠C，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，∠A+∠C+∠E＝90°，∠B+∠D＝150°，求∠AFE的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，AM∥EN，∠B+∠D＝150°，∠C+∠E＝50°，则∠MAB的度数为　 　 ． 【题型6 8字模型】 23．如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，若∠D＝42°，∠B＝38°，那么∠P的度数是 　 　 ． 24．如图，∠A＝50°，∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　 °． 25．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　 ． 26．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝44°，∠ADC＝18°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝46°，∠ADC＝26°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠ABC＝α，∠ADC＝β，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用α、β表示∠P）． 【题型7 多结论问题】 27．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 29．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　）个． ①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 30．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，CF平分∠ACE，交BA的延长线于点F，交BD的延长线于点M，下列结论：①∠BMC＝∠MBC+∠F；②∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④3（∠BDC+∠F）＝4∠BAC．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 31．若一个三角形的两个锐角分别为∠α与∠β，如果2∠α﹣∠β＝90°，那么我们称这个三角形是差余三角形，∠α叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为20°，55°和105°，则这个三角形　 　 （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝28°，D是边BC上一点，若△ACD是差余三角形，则∠ADC的度数是　 　 ． 32．我们给出定义：若三角形中一个内角α（α为正整数度数）是另一个内角的n分之一（n为大于1的正整数），我们称这个三角形是“n分角三角形”，其中α称为“分角”已知一个“2分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“2分角三角形”中分角α的度数是 　 　 ；已知一个“n分角三角形”中有一个内角为50°，那么这个“n分角三角形”中分角α的度数可能值共有 　 　 种． 33．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝18°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝18°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．如图2，已知∠C＝20°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为　 　 ． 34．【引入概念1】：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【引入概念2】：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 ；②　 ． （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 35．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　 　 ，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 与三角形有关的角 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【知识点3 三角形的外角】 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 三角形的内角和】 1．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．若∠ABC＝60°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为　 　 °． 【分析】先运用三角形内角和性质算出∠BAC＝50°，结合AE是角平分线，故∠CAE＝25°，又因为AD是高，则∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后列式计算，即可作答． 【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°（三角形内角和定理）， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝25°﹣20°＝5°， 则∠DAE的度数为5°， 故答案为：5． 2．如图，∠A＝36°，∠ABD＝∠ACD＝20°，则∠BDC的度数为　 　 ． 【分析】根据三角形内角和定理先求出∠CBD+∠ABD+∠ACD+∠DCB＝144°，进而求得∠CBD+∠DCB＝104°，再根据三角形内角和定理即可得解． 【解答】解：由题意得：∠A+∠CBA+∠ACB＝180°， ∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°， ∵∠A＝36°， ∴∠CBA+∠ACB＝144°， ∴∠CBD+∠ABD+∠ACD+∠DCB＝144°， ∵∠ABD＝∠ACD＝20°， ∴∠CBD+∠DCB＝104°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝76°， 故答案为：76°． 3．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝20°，则∠DFC＝　 　 ． 【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝100°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝35°，利用对顶角相等得∠CGF＝35°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC． 【解答】解：设DF交AC于点G， ∵图中是一副直角三角板， ∴∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∵∠EAB＝20°， ∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝100°， ∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝35°， ∴∠CGF＝∠AGD＝35°， ∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝115°． 故答案为：115°． 4．如图，在△ABC中，AD，AE分别为BC边上的高线和∠BAC的角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，求∠B的度数． 【分析】根据题意先计算出∠CAD＝25°，再计算出∠DAF＝21°，继而得到∠CAE＝46°，再利用角平分线定义得∠BAC＝2∠CAE＝92°，再利用三角形内角和计算∠B＝180°﹣65°﹣92°＝23°． 【解答】解：∵AD为BC边上的高线，∠C＝65°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°， ∵∠ADF＝69°，DF⊥AE， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣69°＝21°， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAF＝25°+21°＝46°， ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠CAE＝2×46°＝92°（角平分线的定义）， ∴∠B＝180°﹣65°﹣92°＝23°， 则∠B的度数为23°． 【题型2 三角形的外角性质】 5．如图，在△AEC中，D为边AC上一点，B为CE延长线上一点，连接BD交AE于点F，若∠B＝45°，∠C＝38°，∠A＝25°，则∠AFD等于（　　） A．97° B．83° C．93° D．72° 【分析】根据题意先求得∠ADB＝∠B+∠C，再根据三角形内角和定理即可求得． 【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝38°， ∴∠ADB＝∠B+∠C＝45°+38°＝83°， 又∵∠A＝25°， ∴根据三角形内角和定理得，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝180°﹣25°﹣83°＝72°， 则∠AFD等于72°， 故选：D． 6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（　　） A．65° B．67.5° C．75° D．80° 【分析】先利用三角板的角度以及外角性质即可求得∠α＝90°﹣∠DAB，进而得出结果． 【解答】解：如图，∵将一副三角板按如图所示的方式摆放， ∴∠DAC＝90°，∠ABC＝45°，∠D＝30°， ∵∠ABC是△ABD的外角， ∴∠ABC＝∠D+∠DAB， ∴∠DAB＝∠ABC﹣∠D＝45°﹣30°＝15°， ∴∠α＝∠DAC﹣∠DAB＝90°﹣15°＝75°． 故选：C． 7．在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝65°，点D在AC边上，连接BD，若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．75° C．10°或25° D．20°或75° 【分析】分∠ADB＝90°、∠ABD′＝90°两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：当∠ADB＝90°时，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°， 当∠ABD′＝90°时，∠AD′B＝90°﹣∠A＝90°﹣15°＝75°， ∵∠AD′B是△CD′B的外角， ∴∠D′BC＝∠AD′B﹣∠C＝75°﹣65°＝10°， 综上所述，∠DBC的度数为10°或25°， 故选：C． 8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝30°，∠E＝25°，则　 　 ，∠BAC＝　 　 ： （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得结论； （2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论． 【解答】（1）解：∵∠ECD是△BCE的外角，∠B＝30°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝30°+25°＝55°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ACE＝∠ECD＝55°， ∵∠BAC是△ACE的外角， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝55°+25°＝80°， 故答案为：55°；80°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE． ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E，′ ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 9．已知△ABC中，∠B＞∠C，射线AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点，过点F作FD⊥BC于点D． （1）若∠B＝66°，∠C＝34°． ①如图1，当点F与点A重合时，∠DAE＝　 　 ； ②如图2，当点F在线段AE上（不与端点重合）时，求∠DFE的度数； （2）设∠B＝x，∠C＝y，如图3，当点F在射线EF上时（不与点E重合），直接写出∠DFE的度数．（用含x，y的式子表示） 【分析】（1）①根据三角形的内角和定理可得∠BFC＝80°，根据角平分线的性质可得∠BAE＝40°，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD＝24°，由∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可求解； ②类比上述证明方法可得∠BAC＝80°，∠BAE＝∠CAE＝40°，由三角形的外角的性质可得∠DEF＝∠C+∠CAE，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）类比上述证明方法可得∠BAC＝180°﹣x﹣y，根据角平分线的定义可得，由三角形外角和的性质可得，再根据三角形内角和定理可得． 【解答】解：（1）①根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣66°﹣34°＝80°， ∵点F与点A重合， ∴∠BFC＝80°， 由条件可知， ∵FD⊥BC，即AD⊥BC， ∴在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣66°＝24°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°， 故答案为：16°； ②在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝34°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣66°﹣34°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠DEF是△AEC的外角，且∠C＝34°， ∴∠DEF＝∠C+∠CAE， ∴∠DEF＝34°+40°＝74°， ∵FD⊥BC于点D， 在Rt△FDE中，∠FDE＝90°，∠DEF＝74°， ∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠FDE＝180°﹣90°﹣74°＝16°； （2）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣y， 由条件可知， ∴， 在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，， ∴． 【题型3 折叠问题中的角度计算】 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，再由邻补角的定义可得∠ADF＝180°﹣β，从而可求得∠ADE＝90°，由三角形的内角和可求∠AED，从而可求得∠AEF，再由邻补角的定义即可求∠FEC的度数． 【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF， ∵∠FDB＝β， ∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β， ∴∠ADE（360°﹣∠ADF）＝90°， ∵∠A＝α， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°α， ∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β． 故选：C． 11．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝114°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．51° C．59° D．69° 【分析】先推导求出∠A＝48°，在△ADE中可求得∠ADE+∠AED＝132°，由翻折的性质可得∠ADA′+∠AEA′＝264°，接下来根据两个平角和为360°及∠1的度数即可求出∠2． 【解答】解：∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB， ∵∠A′BC+∠A′CB+∠BA′C＝180°，∠BA′C＝114°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣114°＝66°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝2×66°＝132°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣132°＝48°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣48°＝132°， 由翻折可得，∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，即∠A′DA＝2∠ADE，∠A′EA＝2∠AED， ∠A′DA+∠A′EA＝2（∠ADE+∠AED）＝2×132°＝264°， ∵∠1+∠ADA′＝180°，∠2+∠AEA′＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠ADA′，∠2＝180°﹣∠AEA′， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝360°﹣264°＝96°， ∵∠1＝45°， ∴∠2＝96°﹣∠1＝96°﹣45°＝51°． 故选：B． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【解答】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°； 见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB． ②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． 图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°． ③DE＝BE时，则∠B（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝45°或30°． 故选：D． 13．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由折叠的性质得∠DC'C＝∠C＝22°，由三角形内角和定理得∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，进而可得∠ADC′的度数，由此可对结论①进行判断； ②连接CC'，由折叠的性质得∠DC'E＝∠DCE＝22°，由三角形内角和定理及邻补角定义得∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，则∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，由此可对结论②进行判断； ③设∠CED＝α，由折叠的性质得∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，则∠CEC'＝2α，进而得∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝158°﹣α，∠ADE＝180°﹣∠CDE＝22°+α，进而得∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝136°﹣2α，然后可计算∠BEC′﹣∠ADC'的值即可对结论③进行判断； ④当C′E∥AB时，（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠CME＝∠A＝90°，进而得∠CEM＝90°﹣∠C＝68°，再由折叠的性质得∠CED＝∠MED∠CEM＝34°，由此可求出∠CDE的度数；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠C'ND＝90°，则∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，再由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°．由此可对结论④正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 【题型4 双角平分线模型】 14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为　 　 °． 【分析】先求出∠POC+∠PCO的度数，进一步得到∠BOC+∠BCO的度数，据此得到∠OBC的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点， 所以∠BOC＝2∠POC，∠BCO＝2∠PCO， 所以∠BOC+∠BCO＝2（∠POC+∠PCO）． 因为∠P＝100°， 所以∠POC+∠PCO＝80°， 所以∠BOC+∠BCO＝2×80°＝160°． 因为∠OBC+∠BOC+∠BCO＝180°， 所以∠OBC＝20°． 因为点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点， 所以∠ABC＝2∠OBC＝40°． 故答案为：40． 15．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2026为　 　 ． 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，进而得到，进一步得出，即可求出∠A2026． 【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∴，（角平分线的性质）， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴，即， 又∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当n＝2026时，， 则∠A2026的值为． 故答案为：． 16．如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是　 　 ． 【分析】作∠BCD的平分线与AP的延长线交于点N，CN与AD交于点Q，AN与BC交于点M，CN与AD交于点Q，根据角平分线的定义证明∠PCN＝90°，再用∠B、∠D表示出∠N，最后由三角形外角的性质得出∠APC＝∠N+∠PCN，即可求解． 【解答】解：如图，作∠BCD的平分线与AP的延长线交于点N，AN与BC交于点M，CN与AD交于点Q， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，CN平分∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠3+∠4+∠5+∠6＝180°， ∴． ∵∠AMB＝∠CMN，∠AQN＝∠CQD， ∴∠1+∠B＝∠5+∠N，∠6+∠D＝∠2+∠N， ∴∠2+∠5+2∠N＝∠1+∠6+∠B+∠D， ∴2∠N＝∠B+∠D， ∴， ∵∠APC＝∠N+∠PCN， ∴， 即． 则∠P与∠B、∠D的数量关系为． 故答案为：． 17．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 　 　 ． 【分析】利用平分线的性质，可得出∠CBDm°，结合邻补角互补，可得出∠CBG＝180°m°，结合角平分线的定义，可得出∠CBE＝90°m°，由∠FCB是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠FCB＝m°+n°，由BE∥AC，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出m+n＝90，再将其代入nm（nm）中，即可求出结论． 【解答】解：∵BD平分∠CBA，且∠CBA＝m°， ∴∠CBD∠CBAm°， ∵延长DB至点G， ∴∠CBD+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°m°， ∵BE平分∠CBG， ∴∠CBE∠CBG（180°m°）＝90°m°． ∵∠FCB是△ABC的外角，且∠CAB＝n°，∠CBA＝m°， ∴∠FCB＝∠CBA+∠CAB＝m°+n°． 又∵BE∥AC， ∴∠FCB+∠CBE＝180°， ∴m°+n°+90°m°＝180°， ∴m+n＝90， ∴nm（nm）90． 故答案为：． 18．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　 　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠OEF+∠OFE＝120°，根据角平分线定义得∠PEF+∠PFE（∠OEF+∠OFE）＝60°，进而在△PEF中，由三角形内角和定理即可求出∠EPF的度数； （2）①根据角平分线定义设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β，则∠OEF＝2θ，∠DFE＝2β，由三角形外角性得∠DFG＝∠P+∠FEP，∠DFE＝∠BOD+∠OEF，由此得β＝∠P+θ，2β＝60°+2θ，据此可得∠P的度数； ②根据∠BOD＝α°，同①设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β，则β＝∠P+θ，2β＝α°+2θ，据此可得∠P的度数； （3）设∠OFE＝2θ，根据角平分线定义设∠OEP＝∠FEP＝β，则∠OEF＝2β，根据角平分线定义及三角形外角性分别求出∠PEQ＝90°，∠P＝θ，∠Q＝90°﹣θ，再分两种情况讨论如下：①当∠PEQ＝2∠P时，则90°＝2θ，此时∠OFE＝2θ＝90°；②当∠Q＝2∠P时，则90°﹣θ＝2θ，解得θ＝30°，此时∠OFE＝2θ＝60°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）在△OEF中，∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， ∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE， ∴∠PEF∠OEF，∠PFE∠OFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠OEF+∠OFE）＝60°， 在△PEF中，∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝120°； （2）①∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE， ∴设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， ∴∠OEF＝2θ，∠DFE＝2β， ∴∠DFG是△FPE的外角， ∴∠DFG＝∠P+∠FEP， ∴β＝∠P+θ， ∵∠DFE是△OEF的外角，∠BOD＝60°， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF， ∴2β＝60°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝60°+2θ， ∴∠P＝30°， 故答案为：30； ②∵∠BOD＝α°， 同①设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， 则β＝∠P+θ，2β＝α°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝α°+2θ， ∴∠P； （3）设∠OFE＝2θ， ∵∠OEF的角平分线为EP， ∴设∠OEP＝∠FEP＝β， ∴∠OEF＝2β， ∴∠OEG＝180°﹣∠OEF＝180°﹣2β， ∵∠OEG的角平分线为EQ， ∴∠OEQ∠OEG＝90°﹣β， ∴∠PEQ＝∠OEP+∠OEQ＝β+90°﹣β＝90°， ∵∠AOF是△OEF的外角， ∴∠AOF＝∠OFE+∠OEF＝2θ+2β， ∵∠AOF的角平分线为OP， ∴∠AOP∠AOF＝θ+β， ∴∠EOQ＝∠AOP＝θ+β， ∵∠AOP是△OPE的外角， ∴∠AOP＝∠P+∠OEP， ∴θ+β＝∠P+β， ∴∠P＝θ， 在△OEQ中，∠Q＝180°﹣（∠EOQ+∠OEQ）＝180°﹣（θ+β+90°﹣β）＝90°﹣θ， 在△PEQ中，∠PEQ＝90°，∠P＝θ，∠Q＝90°﹣θ， ∴当△PEQ的某一个内角是∠P的2倍时，有以下两种情况： ①当∠PEQ＝2∠P时，则90°＝2θ，此时∠OFE＝2θ＝90°； ②当∠Q＝2∠P时，则90°﹣θ＝2θ， 解得：θ＝30°，此时∠OFE＝2θ＝60°， 综上所述：∠OFE的度数为90°或60°． 【题型5 飞镖模型】 19．将一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知∠1＝16°，∠2＝31°，则∠3＝ 　 　 度． 【分析】如图所示，连接EF，根据题意可得∠C＝90°，在△EFC中，由三角形的内角和定理，可得出∠CEF+∠CFE＝90°，结合已知∠1＝16°，∠2＝31°，即可得出∠DEF+∠DFE＝137°，在△DEF中，根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【解答】解：如图所示，连接EF， 由题意可知，∠C＝90°， 在△EFC中，∠CEF+∠CFE+∠C＝180°， ∴∠CEF+∠CFE＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠1＝16°，∠2＝31°， ∴∠1+∠CEF+∠2+∠CFE＝16°+90°+31°＝137°，即∠DEF+∠DFE＝137°， 在△DEF中，∠3+∠DEF+∠DFE＝180°， ∴∠3＝180°﹣（∠DEF+∠DFE） ＝180°﹣137° ＝43°． 故答案为：43． 20．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　 （填“增加”或“减少”） 　 　 度． 【分析】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可求出结论． 【解答】解：连接CF，并延长至点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠DCE＝∠ACB＝70°． ∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E， ∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E， 即110°＝70°+∠D+30°， ∴∠D＝10°， ∴20°﹣10°＝10°， ∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度． 故答案为：减少；10． 21．如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，OC平分∠AOB，DC平分∠ADB．若∠AOB＝70°，∠ADB＝120°，则∠A﹣∠C的度数为　 　 ． 【分析】设OC交AD于点F，由OC平分∠AOB，DC平分∠ADB，且∠AOB＝70°，∠ADB＝120°，求得∠AOC＝35°，∠ADC＝60°，由∠AFC＝∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC，得∠A﹣∠C＝∠ADC﹣∠AOC＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设OC交AD于点F， ∵OC平分∠AOB，DC平分∠ADB，且∠AOB＝70°，∠ADB＝120°， ∴∠AOC∠AOB＝35°，∠ADC∠ADB＝60°， ∵∠AFC＝∠A+∠AOC，且∠AFC＝∠C+∠ADC， ∴∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC， ∴∠A﹣∠C＝∠ADC﹣∠AOC＝25°， 故答案为：25°． 22．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究∠ABC（∠ABC＜180°）与∠A，∠D，∠C三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是∠ABC＝∠A+∠D+∠C，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，∠A+∠C+∠E＝90°，∠B+∠D＝150°，求∠AFE的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，AM∥EN，∠B+∠D＝150°，∠C+∠E＝50°，则∠MAB的度数为　 　 ． 【分析】（1）连接DB，并延长至点E，利用三角形的外角求解即可； （2）连接CF，利用（1）中结论可得∠B＝∠A+∠AFC+∠BCF，∠D＝∠E+∠EFC+∠DCF，结合已知可求解； （3）在直线EN上取一点P，连接AP，利用（2）中结论可得∠1+∠3＝100°，再利用平行线的性质可得∠2＝∠3，进而得到∠1+∠2＝100°即可求解． 【解答】解：（1）∠ABC＝∠A+∠D+∠C． 证明：我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”， 如图，连接DB，并延长至点E， ∵∠A+∠ADB＝∠ABE，∠C+∠CDB＝∠CBE， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE， ∴∠ABC＝∠A+∠ADB+∠CDB+∠C， ∴∠ABC＝∠A+∠ADC+∠C； （2）如图，连接CF，∠A+∠C+∠E＝90°，∠B+∠D＝150°， 由（1）可知∠B＝∠A+∠AFC+∠BCF，∠D＝∠E+∠EFC+∠DCF， ∵∠B+∠D＝150°，∠A+∠BCD+∠E＝90°， ∴150°＝∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF， ∴150°＝90°+∠AFC+∠EFC＝90°+∠AFE， ∴∠AFE＝60°； （3）如图，AM∥EN，∠B+∠D＝150°，∠C+∠E＝50°，在直线EN上取一点P，连接AP， 由（2）可知∠B+∠D＝150°＝∠1+∠3+∠C+∠E， ∵∠C+∠E＝50°， ∴∠1+∠3＝100°， ∵AM∥EN， ∴∠2＝∠3， ∴∠1+∠2＝100°， ∴∠MAB＝100°． 故答案为：100°． 【题型6 8字模型】 23．如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，若∠D＝42°，∠B＝38°，那么∠P的度数是 　 　 ． 【分析】先利用三角形内角和得到∠1+∠D+∠AMD＝∠3+∠P+∠PMC，再利用对顶角得到得到∠AMD＝∠PMC，所以∠1+∠D＝∠3+∠P①，同理可得∠4+∠B＝∠2+∠P②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到得到2∠P＝∠B+∠D，从而可确定∠P的度数． 【解答】解：∵∠1+∠D+∠AMD＝∠3+∠P+∠PMC， 而∠AMD＝∠PMC， ∴∠1+∠D＝∠3+∠P①， 同理得∠4+∠B＝∠2+∠P②， ①+②得∠1+∠4+∠D+∠B＝∠2+∠3+2∠P， ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D， ∴2∠P＝38°+42°， 解得∠P＝40°． 故答案为：40°． 24．如图，∠A＝50°，∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　 °． 【分析】连接CD，设CE与BD的交点为F，根据三角形的内角和定理可得∠B+∠E＝∠FCD+∠FDC，因此∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠FCD+∠FDC+∠ACE+∠ADB＝∠ACD+∠ADC＝180°﹣∠A，即可解答． 【解答】解：连接CD，设CE与BD的交点为F， ∵在△BEF中，根据三角形内角和定理得，∠B+∠E+∠BFE＝180°， ∠FCD+∠FDC+∠CFD＝180°， 又∵∠BFE＝∠CFD， ∴∠B+∠E＝∠FCD+∠FDC， ∵∠A＝50°， ∴∠B+∠ACE+∠ADB+∠E ＝∠FCD+∠FDC+∠ACE+∠ADB ＝∠ACD+∠ADC ＝180°﹣∠A ＝180°﹣50° ＝130°． 故答案为：130． 25．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　 ． 【分析】根据三角形外角的性质得∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，那么∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．由∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，得∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，进而解决此题． 【解答】解：根据三角形外角的性质可得：∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G， ∴∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG． ∴∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A． ∴∠D+∠E+∠F+∠G＝180°+∠A＝180°+60°＝240°． 故答案为：240°． 26．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝44°，∠ADC＝18°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝46°，∠ADC＝26°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设∠ABC＝α，∠ADC＝β，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用α、β表示∠P）． 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出∠1+∠B＝∠3+∠P，∠4+∠D＝∠2+∠P，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而可得出2∠P＝∠B+∠D＝62°，即可求出∠P． （3）由角平分线的定义得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，由补角的定义和性质得出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由（1）中结论得出∠P+∠PAB＝∠B+∠4，∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设∠BAP＝x，∠PCE＝y，则∠PAO＝x，∠PCB＝y，由（1）中结论得出∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，∠ABC+∠BAO＝∠OCD+∠D，x+∠P＝180°﹣y+β，α+2x＝180°﹣2y+β，整理即可得出∠P． 【解答】（1）证明：在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB＝180°， 在△CED中，∠C+∠D+∠CED＝180°， ∵∠AEB＝∠CED， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）解：由（1）得∠1+∠B＝∠3+∠P，∠4+∠D＝∠2+∠P， ∴∠1+∠B+∠4+∠D＝∠3+∠P+∠2+∠P， ∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D＝44°+18°＝62°， ∴∠P＝31°； （3）解：∠P＝36°，理由如下： 如图， ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠PAD＝180°﹣∠2∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠PAB＝∠1，∠P+∠PAB＝∠B+∠4， ∴∠P+∠1＝∠B+∠4， ∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD， ∵∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）， 即∠P﹣∠2＝∠D﹣∠3，∠P﹣∠1＝∠D﹣∠4， ∠P﹣（∠B+∠4﹣∠P）＝∠D﹣∠4， ∴2∠P＝∠B+∠D， ∴． （4）解：． ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴设∠BAP＝x，∠PCE＝y，则∠PAO＝x，∠PCB＝y， ∵∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，∠ABC+∠BAO＝∠OCD+∠D， ∴x+∠P＝∠PCD+β，α+∠BAO＝∠OCD+β， ∴x+∠P＝180°﹣y+β，α+2x＝180°﹣2y+β， ∴． 【题型7 多结论问题】 27．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90° ∴∠ADC＝90°﹣∠ABD， 即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵90°∠ABC＝90°﹣∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC， ∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD， ∴∠ADB＝45°∠CDB，④错误； 故选：B． 28．如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，故③错误； ④∵∠BED＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BED＝∠ABE+∠C，故④正确， ∴正确的有①②④，共三个， 故选：D． 29．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　）个． ①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A，即可判定③；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的性质可判定④；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定②；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠ABD即可判定①． 【解答】解：由条件可知，∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A， 故③正确，符合题意； 由条件可知，∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A， ∴∠D∠A， 故④正确，符合题意； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°∠A， 故②正确，符合题意； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 30．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，CF平分∠ACE，交BA的延长线于点F，交BD的延长线于点M，下列结论：①∠BMC＝∠MBC+∠F；②∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④3（∠BDC+∠F）＝4∠BAC．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：①∵∠BMC是△BMF的外角， ∴∠BMC＝∠FBM+∠F， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠FBM＝∠MBC， ∴∠BMC＝∠MBC+∠F， 因此①正确； ②在△ABD中，∠ABD+∠BAD+∠ADB＝180°， 在△ABD中，∠DCM+∠DMC+∠CDM＝180°， ∵∠ADB＝∠CDM， ∴∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC， 因此②正确； ③∵BD平分∠ABC， ∴∠FBM＝∠MBC∠ABC， 又∵CF平分∠ACE， ∴∠ACF＝∠ECF∠ACE， 又∵∠MCE＝∠BMC+∠MBC， ∴∠ACE＝∠BMC∠ABC， ∵∠ACE＝∠BAC+∠ABC， ∴（∠BAC+∠ABC）＝∠BMC∠ABC， ∴∠BAC＝∠BMC 即2∠BMC＝∠BAC， 因此③正确； ④∵∠BDC在是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD， 同理∠BAC＝∠F+∠ACF，∠BDC＝∠ACF+∠BMC， 由③得2∠BMC＝∠BAC， ∴3（∠BDC+∠F） ＝3（∠BAC+∠ABD+∠F） ＝3（∠BAC+∠BMC） ＝3（∠BAC） ∠BAC， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C． 31．若一个三角形的两个锐角分别为∠α与∠β，如果2∠α﹣∠β＝90°，那么我们称这个三角形是差余三角形，∠α叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为20°，55°和105°，则这个三角形　是　 （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝28°，D是边BC上一点，若△ACD是差余三角形，则∠ADC的度数是　 　 ． 【分析】（1）根据差余三角形的定义求解即可； （2）先根据差余三角形的定义求∠DAC的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）∵2×55°﹣20°＝110°﹣20°＝90°， ∴内角分别为20°，55°和105°的三角形是差余三角形， 故答案为：是； （2）如图， ∵∠ADC＞∠B＝90°， ∴在△ACD中，∠C和∠DAC是锐角， ∵∠C＝28°， ∴2∠C＝56°＜90°， ∵若△ACD是差余三角形， ∴2∠DAC﹣∠C＝90°， 即2∠DAC﹣28°＝90°， 整理得，2∠DAC＝118°， 解得∠DAC＝59°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝180°﹣59°﹣28°＝93°， 故答案为：93°． 32．我们给出定义：若三角形中一个内角α（α为正整数度数）是另一个内角的n分之一（n为大于1的正整数），我们称这个三角形是“n分角三角形”，其中α称为“分角”已知一个“2分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“2分角三角形”中分角α的度数是 　 　 ；已知一个“n分角三角形”中有一个内角为50°，那么这个“n分角三角形”中分角α的度数可能值共有 　 　 种． 【分析】若一个“2分角三角形”中有一个内角为60°，根据新定义，当α＝60°，则2α＝120°，不合题意舍去；当2α＝60°，则α＝30°；当α+2α+60°＝180°，解得α＝40°；若一个“n分角三角形”中有一个内角为50°，当α＝50°，另一个角为nα，n可以取2；当nα＝50°，即α，则可求出α可以为25°、10°、5°、2°、1°；当α+nα+50°＝180°，解得α，则α可求出α为26°、13°、10°、2°、1°，从而得到分角α的度数可能值共有8种． 【解答】解：若一个“2分角三角形”中有一个内角为60°， 当α＝60°，则2α＝120°，不符合三角形内角和定理，舍去； 当2α＝60°，则α＝30°，符合三角形内角和定理； 当α+2α+60°＝180°，解得α＝40°， 综上所述，这个“2分角三角形”中分角α的度数是30°或40°； 若一个“n分角三角形”中有一个内角为50°， 当α＝50°，另一个角为nα，n可以取2； 当nα＝50°，即α，n为大于1的正整数，则α可以为25°、10°、5°、2°、1°； 当α+nα+50°＝180°，解得α，n为大于1的正整数，则α可以为26°、13°、10°、2°、1°； 综上所述，这个“n分角三角形”中分角α的度数可能值共有8种． 故答案为：30°或40°；8． 33．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝18°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝18°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．如图2，已知∠C＝20°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为　 　 ． 【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【解答】解：如图2所示： ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠C＝20°， ∴∠ADB＝∠C+90°＝110°， ∴∠BAC＝35°； 如图3所示： ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝45°； 如图4所示： ∵CD＝BD，∠C＝20°， ∴∠C＝∠CBD＝20°，∠ABD＝90°，∠ADB＝∠C+∠CBD＝20°+20°＝40°， ∴∠BAC＝50°； 综上所述，∠BAC的度数为35°或45°或50°． 故答案为：35°或45°或50°． 34．【引入概念1】：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【引入概念2】：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 ；②　 ． （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 【分析】（1）由题意知∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∠CAD＝∠BCD，∠ACD＝∠CBD，可说明△ACD与△CBD是“等角三角形”，根据∠CAD＝∠BAC，可说明△ACD与△ABC是“等角三角形”，进而可得答案； （2）根据三角形内角和定理计算∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，由角平分线的定义可知，∠ACD＝∠A，可说明△ACD是有两个角相等的三角形，由∠CDB＝2∠A＝80°＝∠ACB∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，可说明△CBD与原来△ABC是“等角三角形”，进而结论得证． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCD， 同理∠ACD＝∠CBD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”， ∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD与△ABC是“等角三角形”， 故答案为：△ACD与△CBD；△ACD与△ABC． （2）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°， ∵∠ACD＝∠A， ∴△ACD是有两个角相等的三角形， ∴∠CDB＝2∠A＝80°＝∠ACB，∠A＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△CBD与原来△ABC是“等角三角形”， ∴CD是△ABC的等角分割线． 35．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　 　 ，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”； （2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”； （3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°，不是； （2）∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC， 又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°， ∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE， 而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $