专题01 解三角形解答题讲义-【2026年高考数学二轮复习解答题解题大招（方法技巧+分层突破】-（会一题通一类系列）（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，整合正弦定理、余弦定理、面积公式及三角恒等变换，按“基础公式—综合应用—实际情境”逻辑构建知识体系，通过解题大招梳理、10道高考真题典例精讲、分层课后练习（基础练、能力练、压轴练）三环节，帮助学生系统突破边角互化、面积计算、最值探究等难点。 讲义以高考真题为载体，突出“数学思维”与“数学语言”培养，如通过典例归纳“中线问题坐标法”“角平分线定理应用”等解题策略，分层练习匹配不同难度需求，助力学生用数学眼光发现问题、用逻辑推理解决问题，既提升学生解题效率，也为教师提供精准复习节奏把控依据。

解答题解题大招 会白题通白类系列 专题01解三角形解答题讲义 ©解题大招 【典例1】 16'b=5,0=2 (2024·天津·高考真题)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,山，c,已知cosB=9, (1)求a的值； (2)求sinA的值； (3)求cosB-2A)的值. 【典例2】 (2024·新课标IⅡ卷·高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin 4+3 cos 4=2. (1)求A. (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求ABC的周长. 【典例3】 (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为√3， D为BC中点，且AD=1. ①)若∠4DC=,求anB, (2)若b2+c2=8,求bC. 【典例4】 (2022·新高考全国I卷·高考真题)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cosA sin2B 1+sinA 1+cos2B ①若C-,求B 1/6 解答题解题大招 会白题通台类系列 2)求a+6的最小值. 【典例5】 31 如图，在平面直角坐标系xOy中， A 2’2 为单位圆上一点，射线OA绕点0逆时针方向旋转O后交单位 圆于点B,点B的横坐标记为∫(0). B 1求1)的表达式。并求2025：的值： 2)若a为任意角，f)-},求sina-例cosa-cs(B-a)sina的值. 【典例6】 如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,AD上的点(P,Q不与点A重合)，已知 ∠PCQ= 4… P B (1)求证：△APQ的周长为定值，并求出该定值； (2)求△PCQ面积的最小值 【典例7】 .(2025·福建厦门·二模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知bsinA-acosB=0. (1)若c=√2，b=√5，求a; 2/6 解答题解题大招 会白题通台类系列 (2)若c=22a,求tan(A-B)的值. 【典例8】 (2025·江苏苏州·三模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,ABC的面积和周长分 3 别为S,L,且cosA= 5 (1)若L=3a,b>c,求B; ②若5cosC=5功-3e且C+号，求s的最大值. 【典例9】 (2025·江苏·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 bcosC=2a+V2c· (1)求B; (2)若b=√13，c=22,D为AC的中点，求BD. 【典例10】 (2025·江苏南通·二模)在ABC中，Q,b,c分别是内角A,B,C的对边， b sin Aa tan A cos B 2a sin C. (1)求角A的大小： 2设E为边BC上一点，若A6=7,且E=。求ABC面积的最小值 ◆课后基础练 1.(2026·四川绵阳·二模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 sin C=2sin B+sin(A-B). (1)求角A; (2)若b-c=2√2-1，ABC的面积为1，求边a的值 2.200·陕面成用·一钱)已知函数=snx+smos子xe0 3/6 解答题解题大招 会白题通台类系列 (1)求函数f(x)的最大值及所对应的x值； ②)若方程/(x=k在0上有两个不同的实根x,x,求k的取值范围及x+x,的值。 3. (2026·河北保定·一模)已知点 是函数f(x)=V3 sin @xcos@x+c0s2ox-B(o∈Z且0<0<6) 图像上的一个最高点. (1)求o和B: (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值，并求出取最大值与最小值时对应x的值 4.（2026·黑龙江大庆·二模)在4BC中，角4，B,C的对边分别为a,bc,且6cos4+5 a.sinB=c. (1)求B; (2)若a+c=6,且ABC的面积为√5，求ABC的周长. 5。(2026·吉林长春·一核)在ABC中，角A,8,C的对边分别为a,D,6,若cos8=片，且 4ABC的面积为5V2 (1)求ac的值； (2)若bsin C=2√2，求AC边上的高BD ◆课后能力练 6.(2026·河南开封·一模)已知函数f(x=sinr+acosx, 且曲线y=f(x)在点 处的切线斜率 为√2 (1)求实数a的值； ②)求函数f()在区间0习上的最大值与最小值， 7.(25-26高三上·重庆·月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a sin C=csin2A. (1)求A: (2)若c-2b=2,a=27,求sinA-B). 8.(2026·陕西西安·一模)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且有 cos2 A-sin B sin C cos(C+B)cos(C-B). 4/6 解答题解题大招 会白题通台类系列 (1)求角A: (2)若D为BC中点，且AD=2,求ABC面积的最大值. 9.(2026·广东茂名·一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanC=-√5， csinA=15. (1)求a: (2)若ABC的面积为3√5，求AB边上的高CD 10.(2026·云南·模拟预测)已知函数fx)=sin(ox+p) 0>0,0<p< f(x)图象的一个对称中心 为后0 一条对称轴方程为x= 2 (1)求0： (2)若0<0<100，求满足条件的⊙值的和. ◆课后压轴练 11.(2025·四川成都·模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知2 beosC=e-2 ccosB. (1)求c; (2)若LACB=60,AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 12.(2025·陕西汉中·一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若(sinA-sinC)2=sin2B-sin Asin C,求角B的大小. (2)设E为ABC外接圆上的点，ABC外接圆的半径为2，且BE平分∠ABC,BE=2V5 (i)当b=4时，求a+c的值； （i)证明：sin∠BAE=5 2 13.(25-26高三上·江西·期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,∠AOB=0. D 0> B 5/6 解答题解题大招 会白题通台类系列 (1)求证：AD2+BC2-AB2-CD2=2AC.BDcos0; (2)己知AB=2,BC=CD=2V5,AD=2V7,0=60°. ①求四边形ABCD的面积； ②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD. 14.(2025·浙江·一模)已知ABC的角4，B,C的对边是a,bc,a2=6+bc且cosB=3 (1)求a:b:c; ②)若AM为4BC的中线，AD为ABC的角平分线，求4M AD 15.(2025·山东泰安·模拟预)函数f)=sin(x+)o>01水受的最小正周期为x,(0为 该函数的一个对称中心 (1)求函数∫(x)的解析式及单调递增区间； ②当e0,0+写0eR时，设()-c训的最大值为Fo),求FO)的值域： (3)把曲线y=∫(x)向右平移刀个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲 线y=g.试间当m,ne0到时，8m,8,8■+网能否作为AC三边长？若能，给出证明， 并探究ABC的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 6/6 专题01 解三角形解答题讲义 解题大招 【典例1】 （2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 【典例2】 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【典例3】 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【典例4】 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【典例5】 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为．    (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析可知射线为角的终边，利用三角函数的定义可得出的表达式，再利用余弦函数的周期和两角和的余弦公式可求得的值； （2）解法一：由已知结合三角恒等变换可得出关于、的方程组，解出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解； 解法二：由已知可得出的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式可计算出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解. 【详解】（1）设射线为锐角的终边，则，则， 射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，则射线为角的终边， 由三角函数的定义可得， . （2）法一：因为， 联立，解得或， 又因为或； 法二：因为，则， 所以，， 当时，则 ， 此时，； 当时，则 ， 所以，. 综上所述，或. 【典例6】 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，2； (2). 【分析】（1）法一：设，，，，应用和角正切公式得并变形代入的周长为化简即可证；法二：延长至点，使，连接，证明得，进而得到，即可证结论； （2）法一：由，结合，应用基本不等式及一元二次不等式的解法得，即可求最值；法二：设，，结合三角形全等有，由和角正切公式得，应用基本不等式求得，即可求最值. 【详解】（1）法一：设，，，，则，， 因为，所以，变形得①， 的周长为②， 将①变形得代入②， 所以， 又，所以， 所以的周长为定值2； 法二：延长至点，使，连接， 易得，则，，， 所以，则， 的周长为. （2）法一： ， 由①得，当且仅当时取等号③， 将③变形得，， 所以或（舍去）， 所以， 所以面积的最小值为， 法二：设，，则，， 由第一问知，， 所以， 因为，所以，展开得， 由基本不等式变形可得，解得， 所以，所以面积的最小值为. 【典例7】 ．（2025·福建厦门·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)若，，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知边角等式通过正弦定理转化为三角函数等式，约去共同因子后得到角B的正切值，从而确定角B的具体大小；接着根据已知的两边和其中一边的对角，运用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程计算求值. （2）根据边长比例和正弦定理得到角的正弦值比例关系，结合三角形内角和消去角C，将等式展开并化简得到角A的正切值；然后利用两角差的正切公式，代入已知的角B的正切值，直接计算得到所求正切值；或采用余弦定理先求出第三边，再求角A的三角函数值，最后用两角差公式得到结果. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以， 则，即． 因为，所以， 根据余弦定理得， 即，解得或 (舍去)，故． （2）方法一：由和正弦定理，得， 即． ，即， 则得． 所以． 方法二：根据余弦定理得， 则，， 则角A是锐角，故， 则， 所以． 【典例8】 （2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案； （2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 【典例9】 （2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角. （2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求. 法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值. 法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值. 【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 【典例10】 （2025·江苏南通·二模）在中，，，分别是内角，，的对边，． (1)求角的大小； (2)设为边上一点，若，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理化简可得，整理可推得，结合三角形内角和公式以及诱导公式化简推得，即可求出答案； （2）法一：结合图形得，两边平方整理推出由基本不等式得出，即得面积最小值；法二：设，，则，根据面积关系推得利用两角关系求得，再由推得，同法求得面积最小值；法三：过点作，交于点.根据平行线的性质得.由余弦定理推得，即得，同法求得面积最小值. 【详解】（1）依题意，，即， 结合正弦定理，可得， 因为，，所以， 即， 故， 因为，，则，故. （2）法一：因为， 所以，， 所以， 所以， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法二：设，，则，为点到边的距离. 因为，所以， 又， 故，得， 所以，整理得， 因为，得， 显然，，故，. 根据，得， 即，整理得. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 故面积， 即面积的最小值为. 法三：过点作，交于点. 据，可得，， 因为，故，， 所以，，得. 在中，，， 由余弦定理，， 则，解得， 所以，即. 由，可得，当且仅当时，等号成立. 所以面积， 即面积的最小值为. 课后基础练 1．（2026·四川绵阳·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合两角和差正弦公式化简即可求解； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理化简即可求解. 【详解】（1）中，，所以 所以 又，所以， 又因为，所以. （2）因为， 由余弦定理， 将，代入解得， 所以. 2．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)当时，. (2)，. 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值； （2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围. 【详解】（1）由， ，则， 当，即时，. （2），则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 3．（2026·河北保定·一模）已知点是函数（且）图像上的一个最高点． (1)求ω和B； (2)求在区间上的最大值和最小值，并求出取最大值与最小值时对应x的值． 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，当时，取得最小值 【分析】（1）由二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，结合已知即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意得 ． 因为点是图像上的一个最高点， 所以，且， 所以，， 因为且，所以． （2）由（1）知，，，所以， 当时，， 所以当，即时，函数取得最大值，最大值为． 当，即时，函数取得最小值，最小值为． 综上所述，当时，取得最大值，当时，取得最小值． 4．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长. 【详解】（1）由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 （2），所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 5．（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 课后能力练 6．（2026·河南开封·一模）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1． 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）利用导数可判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1），依题意，，解之得：； （2）令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 7．（25-26高三上·重庆·月考）记的内角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式计算可得； （2）利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 又由二倍角公式，得 ， 又， ∴在三角形内，有． 又． （2）在中，由余弦定理，得：． 又由条件可知代入上式有： ， 或（舍负）．， 由正弦定理得， 故在中， ， 又由（1）可知，，又，， 则，故，则为锐角，， 8．（2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. (1)求角A； (2)若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解； （2）运用中线向量定理得，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，即可得解. 【详解】（1）， ， 又因为， 故 ， 整理得， ，，， ，. （2）由题意知， 则， ，， （当且仅当时等号成立），， 面积的最大值为. 9．（2026·广东茂名·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由面积为，可得，由余弦定理可得，再结合面积为可得答案. 【详解】（1）根据，可知，， 因为，即， 所以，即； （2），解得， 则，解得， ， ．    10．（2026·云南·模拟预测）已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为. (1)求； (2)若，求满足条件的值的和. 【答案】(1) (2)792 【分析】（1）根据整体代换法求对称轴、对称中心建立关于和的方程组，解之即可； （2）由（1），求得，由，得，结合等差数列的定义和前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，消去解得， 令，则，因为， 则，解得， 而，故，所以. （2）由（1）知，代入，得， 所以，因为， 故，解得，而，故， 则值是首项为，公差为6的等差数列的前16项，设这16项的和为， 则. 课后压轴练 11．（2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 12．（2025·陕西汉中·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角B的大小． (2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理可得，再由余弦定理得的值，从而得角B的大小； （2）（ⅰ）设外接圆的圆心为，则为的中点，连接，根据圆的性质与余弦定理可得，，从而根据一元二次方程的根得的值；（ⅱ）过点作，交于点，结合圆的圆周角定理与正弦定理可证得结论. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）（ⅰ）当时，为外接圆的一条直径，所以，则， 设外接圆的圆心为，则为的中点， 连接，如图所示： 因为，所以， 则， 在中，根据余弦定理可得：， 则， 同理，在中，， 所以即为方程的两个实根，所以； （ⅱ）证明：如图，过点作，交于点， 设，则，， 则， 在中，根据正弦定理可得，即， 所以. 13．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.    (1)求证：； (2)已知. ①求四边形的面积； ②若与面积相等，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明； （2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积； ②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可 【详解】（1）由余弦定理得 在中，① 在中，② 在中，③ 在中，④ 由③+④-①-②得： . 故 （2）①由（1）得， 又 可求得. 又四边形的面积为 . ②由若与面积相等，因为为公共底边， 故两个三角形上的高相等，即，所以. 设. 在中得：，即 在中得：.两式相加得：，两式相减得：， 所以，故. 故，所以. 又，所以， 由勾股定理得：. 14．（2025·浙江·一模）已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 15．（2025·山东泰安·模拟预测）函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)能，证明见解析，为定值 【分析】（1）根据周期及对称性求得，再利用整体法结合正弦函数的性质可求增区间； （2）就对称轴是否在区间中分类讨论后可求，从而求得其值域； （3）图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数，结合余弦定理可证外接圆的半径为定值. 【详解】（1）函数的最小正周期为， 则 ， 又，则，， 又，，所以， 令解得， 所以函数的单调递增区间为； （2）的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内， 则的最大值为1，当，即时， 的最小值为； ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值， 则 ， 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为，即的值域为. （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，可以作为三边长，将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数 . 证明如下： 先证明： 由题意可知，，，， 故， 同理， 又. 综上能作为三边长. 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，， 所以，， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $