【大题专项】专题1 函数定义域、值域（求值）（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为函数的定义域、值域（求值）。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题1 函数的定义域、值域（求值） 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 空间几何体的特征、表面积与体积 1. 了解简单多面体和旋转体的有关概念、结构特征和性质 B A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2. 掌握常见柱体、锥体以及球的表面积和体积公式 C 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 19 分段函数求值 4 （1）题型：近三年考查重点集中在填空题。 （2）分值：4分 （3）内容：重点考查球的表面积与体积 2024 无 无 无 无 2023 解答题 19 函数定义域的求解（分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零） 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试对该知识点的考查侧重于几何体的表面积与体积的计算，题型以填空题为主。备考时重点放在常规几何体的表面积和体积的计算上。具体考点可能涉及如下内容： · 棱柱、棱锥、棱台、球等常见几何体的结构特征 · 常见几何体的表面积与体积计算（高频考点） 四、知识梳理 （一）函数定义域 1、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2、求函数的定义域的主要依据 （1）分式的分母不能为零. （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. （3）指数函数的底数必须满足. （4）对数函数的真数必须大于零，底数必须满足. （5）零次幂的底数不能为零，即中. （6）正切函数的定义域是. 3、复合函数的定义域的求法 （1）求函数的定义域 一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域. （2） 求函数的定义域 ①一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是的定义域. ②一般先分别求函数和函数的定义域和，以及的集合, 则就是的定义域. 4、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 【温馨提醒】函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则. 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. （二）函数定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式. （三）函数的值域（求值） 函数值的集合叫做函数的值域，其中，叫做自变量，的范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值。 1.单调性法求值域： (1)一次函数 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. (2)二次函数 当，函数开口向上，函数在 上单调递减，函数在 上单调递增； 当，函数开口向下，函数在 上单调递增，函数在 上单调递减. (3)反比例函数 当时，函数在上单调递减，在 上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在 上单调递增. 2.配方法求值域：转化为二次函数，利用二次函数求值；常转化为型如：的形式； 3.换元法求值域：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 4.分离常数法求值域：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后仅出现在分母上，这样对函数的影响就比较清晰了 ① ，再利用的范围求解 ② ，再利用的范围求解 5.判别式法求值域 令 ，即可求出的范围。 【温馨提醒】 1.求函数的值域必须先明确函数的对应法则和定义域. 2.对于分段函数 (1)定义域：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)值域：分段函数的值域是各段函数值域的并集. (3)对分段函数求值时，需注意分类讨论. 五、10分钟小测验 1.求函数的定义域 2. 求函数 的定义域. 3.求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 参考答案 1.【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故定义域为：． 2.【答案】 【分析】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成. 【详解】由题意得，所以，所以 则函数定义域为 3.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数值域定义，（2）利用二次函数函数图象及单调性 【详解】（1）， 所以的值域为 （2）二次函数的开口向下，对称轴为， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 所以的值域为. 六、经典例题解析 （一）求函数的定义域 【考试题型1】求简单函数的定义域 方法一 直接法 使用情景 函数的结构比较简单. 解题步骤 直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域. 【例1】（2023届·山西省吕梁市柳林县高级职业中学高三一模）函数的定义域是 【答案】 【知识点】区间的定义与表示、解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据算术平方根底数为非负值，解一元二次不等式即可求解. 【详解】∵函数，而算术平方根底数为非负值， ∴，化简为， 解得或. 因此，函数的定义域是. 故答案为：. 【考试题型2】求复合函数的定义域 方法二 求交法 使用情景 函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为型. 解题步骤 一般先分别求函数和的定义域和,再求,就是函数的定义域. 【例2】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）求已知函数的定义域. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域 【分析】由函数中偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0，0次幂的底数不为0列出不等式，求解即可. 【详解】因为函数为， 所以有，所以有， 函数定义域为且， 即. 【例3】（2025届·山西省中等职业学校高三下学期第四次对口升学模拟联考）求函数的定义域． 【答案】或 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】要使函数有意义，分母不为零且根号下有意义，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以且， 由得，即，解得； 由得， 综上，的定义域为或． 方法三 剥洋葱法 使用情景 适合复合函数型定义域 解题步骤 剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式 【例3】（2023届·河南省中等职业学校高三4月联考数学试题求函数的定义域． 【答案】． 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据分母不为0及真数大于0，列不等式组即可求解. 【详解】由题意知：，即， （第一层：对数真数大于0.第二层分母不能为0） 即，解得， 所以，函数的定义域． 【考试题型3】由函数定义域求参数 【例5】（2024届·山西省中职生对口升学第五届沃米杯高三一模）函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】一元二次不等式恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】根据题意得出不等式恒成立，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于任意实数，不等式恒成立， 则，即. 因此，使函数的定义域为的实数的取值范围为. （二）分段函数求值 分段函数求值问题解题思路 （1）求函数值 当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值 （2）求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 【例6】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）设函数，求. 【答案】6 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即. （3） 函数的值域 方法一 观察法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域 【例7】（2022届·湖南省对口升学联合体考试高三模拟）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、函数的值域 【分析】化为，根式有意义时，，由定义域得出值域. 【详解】因为函数 根式成立的条件是， 当时， ， 所以， 所以的值域为. 故选：D 方法二 分离常数法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 【例8】（2025届·江苏省连云港生物工程中等专业学校高二期中）求函数的值域． 【答案】 【知识点】分式型函数的值域 【分析】利用分离常数法求函数的值域即可； 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 则， 由于 所以. 方法三 配方法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 【例9】（2023年·浙江省高校招生宁波市中职第一次模拟）已知一元二次函数的图像与轴交于点，若不等式的解集为.求： (1)此函数的解析式； (2)此函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根据函数图象确定解析式、二次函数的值域 【分析】（1） 根据的解集设一元二次函数解析式，再由图像上的点求解即可； （2） 根据二次函数的解析式求解值域即可； 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以函数与的交点为， 设所求函数为， 因为又函数图像过点， 所以，即，解得，    所以所求函数的解析式为. （2）因为， 又因为， 所以， 则此函数在区间上的值域为. 方法四 单调性法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 确定函数的定义域； 第二步 求出函数的单调区间； 第三步 确定函数的值域或最值. 【例10】（2023届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）已知二次函数的图像经过点，且对称轴是，求它的解析式、单调递增区间和最值. 【答案】，单调递增区间是，最大值为5，无最小值 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、二次函数的值域 【分析】根据已知求得二次函数解析式，再根据函数性质求得单调区间及最值. 【详解】设二次函数的解析式是   由题可知  ， 解得：  ，   所以.   因为，开口向下且对称轴是， 所以该函数的单调递增区间是， 当时，函数有最大值是.无最小值. 方法五 数形结合法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 作出函数在定义域范围内的图像； 第二步 利用函数的图像求出函数的值域. 【例11】（2021届·浙江省高职考试研究联合体第三次联合考试）已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段. (1)写出函数的定义域和值域； (2)求的值. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数的值域或最值、分段函数的定义域 【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域； （2）求出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】（1）由图象可知，函数的定义域为，值域为. （2）当时，设，将，代入得 解得，∴； 当时，设， 将，，代入得解得 ∴. 综上所述， ∵，∴. 方法六 换元法 使用情景 函数值域求解 解题步骤 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 【例12】（2024届·重庆市职业教育联盟高三上学期高等职业教育分类考试第一次模拟）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求特殊角的三角函数值、求含sinx（型）的二次式的最值及对应x值、求具体函数的函数值 【分析】(1)将自变量的值代入函数解析式即可求解； (2)对函数解析式化为类二次函数，结合三角函数和二次函数的性质即可求解 【详解】（1）函数， ； （2）， 令，当时，，，即， 原函数可转化为，， 其函数图象开口向上，对称轴为，在单调递增， 所以当时，，当时，， 所以函数的值域是． 七、专题归纳小结 结合中职数学的学习特点和考试重点，针对函数定义域与值域的复习，可从“基础巩固 → 方法突破→错题复盘 →实战训练” 四个维度展开，具体建议如下： 一、先抓核心概念，筑牢基础 1.明确定义本质 先熟记定义域（自变量x的取值范围，需满足解析式有意义+实际意义）和值域（函数值的取值范围，由定义域和解析式共同决定）的定义，可通过简单例子（如一次函数的定义域、值域均为）强化理解，避免死记硬背。 2.梳理 “有意义” 的核心规则 整理定义域求解的核心约束条件，做成“规则清单”随时翻看： · 分式：分母≠0； · 二次根式：被开方数≥0； · 分式 + 根式混合：同时满足两者； · 实际问题：结合变量含义（如长度、数量为正，时间非负） 二、分类突破方法，掌握解题模板 1.定义域：按类型总结解题步骤 针对不同解析式类型，提炼固定解题流程，避免遗漏条件: 解析式类型 解题步骤 单一分式 列分母≠0 的不等式→解不等式→用集合或区间表示定义域 单一二次根式 列被开方数≥0 的不等式→解不等式→用集合或区间表示定义域 混合类型（分式 + 根式） 列不等式组（分别满足各类型约束）→解不等式组→验证边界值→表示定义域 实际问题 先分析变量实际意义→结合解析式约束列不等式→解不等式→结合实际取舍结果 2.值域：按函数类型适配方法 中职考试中值域重点考查一次、二次、简单分式、根式函数，针对性掌握方法： （1）一次函数： 定义域为时，值域直接写； 定义域为闭区间时，代入区间端点求最值，直接确定值域（因一次函数单调） (2)二次函数： 核心方法是“配方+定义域结合”，步骤： 1 配方成顶点式； 2 判断开口方向（向上，向下）； 3 看顶点横坐标是否在定义域区间内： 若在：顶点纵坐标是最值，再代入区间端点求另一最值；若不在：直接代入区间两端点求最值，确定值域。 (3) 简单分式函数（）： 用 “分离常数法”，步骤： 1 分子变形（凑出分母形式）→分离成“常数+分式”； 2 分析分式部分≠0→得出函数值≠常数，确定值域。 (4) 根式函数（）： 由，直接推出，快速确定值域。 三、聚焦易错点，针对性纠错 整理错题本，标注错因把练习中出错的题目分类整理，标注错误类型： 定义域类：忽略实际意义（如人数取正整数）、漏看分母≠0； 值域类：二次函数未结合定义域、分式函数忘分离常数直接判断。 高频易错点专项练针对中职生常错的 “二次函数在闭区间上的值域”“混合类型定义域”，集中做5-10道同类题，强化解题敏感度。 四、分层训练，贴合考试要求 1.基础题保底先做教材课后习题、单元测试中的基础题（如单一分式、根式的定义域、一次函数值域），确保正确率≥90%，夯实基础分。 2.中档题突破练习中职期末或单招考试真题中的中档题（如二次函数在区间上的值域、分式 + 根式混合定义域），每道题按“定类型→套方法→写步骤”规范解答，培养解题逻辑。 3.实际应用题巩固关注与生活结合的题目（如面积、利润问题中的定义域和值域），重点训练 “从实际情境中提取约束条件”的能力。 五、复习小技巧 1.口诀辅助记忆：定义域：“分式分母不为零，根式被开方非负数，实际问题看意义”； 值域：“一次单调看端点，二次配方结合域，分式分离常数定，根式非负直接求”。 2.限时小测：每天花 10 分钟做 3-5 道定义域 + 值域题，保持手感，及时发现漏洞。 3.同桌互考：互相出混合类型的定义域、值域题，交换解答并批改，通过“讲题”加深对方法的理解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $