5.1.1导数的概念（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及其意义，从高铁速度、自由落体等现实情境出发，通过平均速度到瞬时速度的过渡，结合时间段细分的极限思想，搭建从初等数学匀速运动到导数概念的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析渗透极限思想，通过自由落体瞬时速度求解等案例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的核心素养。小结明确平均与瞬时变化率公式，助力学生理解导数本质，也为教师提供清晰的概念教学路径。

5.1 导数的概念及其意义 第五章 导数及其应用 5.1.1导数的概念 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系，体会极限思想. 掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题，培育数学运算的核心素养. 理解割线斜率与切线斜率的关系，会求其斜率. 1 章前导读 初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析，能够顺利解决形状规则物体的测量问题.然而，人类在实际生活中面临的问题往往更为复杂.例如，运动中速度在不断变化，图形的边界不再是规则的，等等.要处理这一类问题，本质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具.这是初等数学所缺乏的，需要用到高等数学特别是微积分的知识. 但系统学习高等数学的内容不是高中课程的任务.本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本的概念——导数，为我们研究函数性质提供了一个工具，从而可以解决变速运动等现实问题. 深入的学习将在未来的大学课程中继续. 2 当我们乘坐高铁时，常常会在车厢内看到如图所示的列车信息显示屏.如何理解图中“速度303 km／h”? 新知探究 当物体作匀速运动时， 运动的速度v是运动距离s除以运动时间t，即速度 v = . 当物体作变速运动时， 在时间段t内的运动距离是s，只能有 平均速度 . 1 2 平均速度难以准确地描述一个变速运动过程. 如果把整个运动时间分割成若干个时间段，分别求每个时间段的平均速度， 那么， 随着时间的分割越来越精细 ， 分段的平均速度对整个运动的描述会越来越精确. 新知探究 1s 2s 3s 4s 5s 6s 路程 s ... 2 自由落体运动中，已知物体下落的距离d（单位：m）与时间t(单位：s) 满足函数关系d = gt²，其中g是重力加速度. 若近似地取g=10m/s²，则 d=5t². 新知探究 2 当t∈[1，3]，有 把时间段[1，3]分为[1，2]和[2，3]两段， 当t∈[1，2]，有 当t∈[2，3]，有 2 新知探究 1s 1.5s 2s 2.5s 3s 路程 s 以0.5s为间隔，把[1，3]分为4个时间段，有 平均速度 12.5m/s 17.5m/s 22.5m/s 27.5m/s 随着时间段的不断细分，自由落体的运动状态确实得到了越来越精确的描述，这种做法其实蕴含着 “极限” 这个朴素而深刻的思想. 2 新知探究 先把时间段分割，在越来越小的时间段内对运动进行分析，再从整体上得到对运动状态越来越精确的描述，这就是被称为 “微积分” 的数学工具给我们提供的解决此类问题的基本途径. 在这里，我们只寻找适当的数学工具刻画运动物体在某一时刻的瞬时速度. 这里的瞬时速度指的是，运动物体在临近指定时刻的某个时间段内的平均速度在时间段长度越来越小的变化过程中所趋近于的一个稳定值. 下面的例子展现了利用平均速度趋近瞬时速度的过程. 3 举例分析 例1 自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系 d=5t2 . 试求物体在 t=2 时的瞬时速度. 解：对不同时间段长度值|h|，t=2附近时间段[2+h，2] (h＜0) 或者 [2，2+h] (h＞0) 内的平均速度为 左边的式子在h>0 时是显然的. 在h<0时， 时间段[2+h,2]上的平均 速度一开始应写为 它和h>0时一样，也可 统一地写为 3 举例分析 思考1：利用计算工具，计算不断缩小|h|时的平均速度，你有什么发现？ 发现：在h趋近于0的过程中 ， 平均速度趋近于一个确定的值 20． 因此 ， 可以说物体在 t＝2 秒时的瞬时速度为20 m/s ． 3 举例分析 思考2：你能用数学的计算与推理证实这个判断吗？ 当h≠0时，t=2附近时间段[2+h，2] (h<0)或者[2，2+h](h>0)的平均速度是 因为当h趋近于0时， 趋近于20，所以物体在t=2时的瞬时速度为20m/s. 2 当我们乘坐高铁时，常常会在车厢内看到如图所示的列车信息显示屏.如何理解图中“速度303 km／h”? 新知探究 可以理解为： 在9时30分的某一瞬间，列车以303km/h的瞬时速度前进. 1 3 举例分析 因为当h趋近于0时， 趋近于20，所以物体在t=2时的瞬时速度为20m/s. 例1 自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系 d=5t2 . 试求物体在 t=2 时的瞬时速度. 例1告诉我们，研究运动物体的瞬时速度，本质上就是在已知函数关系 y = f(x)的前提下，对于自变量某个给定值x0，赋予x0一个变化量h，分析当h趋近于0时，函数值的变化量f(x0+h)﹣f(x0)相对于自变量变化量h的比值 是否趋近于某个稳定值. 4 新知讲授 如果这个稳定值存在，就说明 在h趋近于0时有极限，并把这个极限值记作 ，称为函数y = f(x)在 x=x0处的导数(derivative，记作f '(x0)，即有 因此，在函数d=f(t)在t = t0处的导数f ′(t0)就是t0时刻的瞬时速度. 4 新知讲授 一般地，对于一个函数y=f(x)，通常将 称为函数y=f(x)在以x0和x0+h为端点的区间上的平均变化率， 而 就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率. 平均变化率反映了一个函数在一个区间上的平均变化情况，而瞬时变化率则反映了该函数在某个自变量x0处的瞬时变化情况. 5 举例应用 已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)=10⁵+10⁴t﹣10³t². (1) 求f ' (10)； (2) f ' (10)的实际意义是什么? 解：(1) 当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10+h，10] (h＜0) 或者[10，10+h](h>0)内，细菌数量关于时间的平均变化率为 例2 5 举例应用 已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)=10⁵+10⁴t﹣10³t². (1) 求f ' (10)； (2) f ' (10)的实际意义是什么? 解：从而，令h趋近于0，就得到 例2 (2) f ' (10)的实际意义是细菌数量在t=10时的瞬时变化率. 它表明在t=10附近，细菌数量大约以每小时10⁴的速率减少. 6 巩固练习 自由落体运动中，物体下落的距离d (单位：m)与时间t (单位：s)近似满足函数关系d=5t². (1)求物体在[2，4]时间段内的平均速度； (2)求物体在t=3时的瞬时速度； (3)求物体在t=a (a>0)时的瞬时速度. 解：(1) 1 解：(2) 当h≠0时，在时间段[3+h，3] (h＜0) 或者[3，3+h](h>0)内，物体的平均速度为 6 巩固练习 自由落体运动中，物体下落的距离d (单位：m)与时间t (单位：s)近似满足函数关系d=5t². (1)求物体在[2，4]时间段内的平均速度； (2)求物体在t=3时的瞬时速度； (3)求物体在t=a (a>0)时的瞬时速度. 1 解：(3) 当h≠0时，在时间段[a+h，a] (h＜0) 或者[a，a+h](h>0)内，物体的平均速度为 6 巩固练习 将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散. (1)当半径r从a增加到a+h(h>0)时，求圆周长相对于半径的平均变化率； (2)当半径r=a时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率. 2 解：设圆周长C与半径r满足函数关系 C(r)=2πr. (1) 在时间段[a，a+h](h>0)内，圆周长相对于半径的平均变化率为 课堂小结 平均变化率和瞬时变化率 1. f(x)在[x0，x0+h]区间上的平均变化率： 2. f(x)在x=x0处的瞬时变化率/导数： 取 极 限 研究方法 无限逼近的极限思想 补充强化练 7 1．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系 ，则火箭在时的瞬时速度为________m/s. 70 2．函数 在区间[0,π]上的平均变化率为（    ） A． B．﹣π C．π D． C 补充强化练 7 3．设定义在R上的函数y = f(x)的导函数为y = f ' (x)，若 f ' (1)=2025，则 ________. 4050 4．已知 f(x)在x=x0处可导，若 ，则 f ' (x0) = ________. 2 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 $