第4章 图形的认识 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（湘教版2024）

数理极 专题复习 第4章 图形的认识 ◎安徽徐浩飞 知识回厨 图3 1.概念 ③“三个二”型和“二个三”型，如图3. (1)我们认识了长方体、正方体、圆柱、球 (3)圆柱的侧面展开图是 点、线段、三角形、四边形等，它们都是从各式各 (4)圆锥的侧面展开图是 样的物体外形中抽象出来的图形，我们把这种 3.与三线有关的概念和性质 图形统称为 (1)线段：线段是一个不定义的概念，可以 (2)有些几何图形各部分不都在同一平面 形象地描述为“一根绷紧的琴弦”或是“一根拉 内，它们是 紧的绳子”等其特征为：有 个端点. (3)有些几何图形的各部分都在同一个平 (2)射线：把线段向一个方向无限延伸所 面内，它们是 形成的图形.其特征为：有」 个端点。 2.展开与折叠 (3)直线：把线段向两个方向无限延伸所 (1)棱柱的展开图是由两个 和 形成的图形.其特征为： 端点， 个 直线的性质：两点 组成的，沿棱柱表面不同的棱剪开， 条直线 (4)线段的中点：线段上，把这条线段分成 可以得到不同组合方式的展开图， 两条相等线段的点.类似地，还有线段的三等分 (2)正方体的展开图共有11种不同的形 点 式，可将其分为如下三种类型： (5)两点的距离：连接两点间的线段的长 ①“一四一”型，如图1 度，叫作这两点的距离。 线段的性质：两点的所有连线中， 最 短 图1 4.角 ② 三二”型，如图2 (1)概念：①角是 考点解密 故选D. 例3“马牛羊，鸡犬（狗）豕（猪）.此六 冬考点1：认识立体图形 畜，人所饲。”作为传统启蒙教材的《三字经》， 例1下列立体图形中，是圆锥的是 让最早出现于《周礼》《左传》中的六畜概念深 入了千家万户.将“六畜”的名字分别写在某正 方体的表面上，如图1是它的一种展开图，则在 原正方体中，与“豕”字所在面相对面上的汉字 是 ( D A.马 B.羊 解：选项A为四棱柱：选项B为球：选项C C.鸡 D.犬 为五棱锥；选项D为圆锥。 故选D. 解：根据正方体展开图的“‘Z’字两端是对 面”可知，与“豕”字所在面相对面上的汉字是 ●专项练习 “羊” 1.下面几何图形：①三角形：②长方形：③ 故选B. 长方体；④圆：⑤圆锥：⑥圆柱.其中属于立体 图形的有 ( 马牛 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱有 图1 个面，有 条棱 ●专项练习 ÷考点2：展开与折叠 3.如图2，是某立体图形的展开图，则该立 例2下列由小正方形组成的平面图形 体图形是 中，能围成正方体的是 ) A.五棱柱 B.五棱锥 C.六棱柱 D.六棱锥 4.如图3，是一个正方体的展开图，把展开 图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相 等，则3a+1+b的值为」 解：选项A是“凹”字型，选项B是“田”字 -4b 型，均不能折叠成一个正方体；选项C折叠后有 3a+123 两个面重合，缺少一个侧面，也不能折叠成一个 正方体 3 13 组成的图形；②角是 形成的图形 【注意】平角与直线，周角与射线的区别： 角的大小与边的长短无关 (2)角的表示方法：如图4，表示 或 :如图5，表示；如图6，表示 B 图4 图5 图6 (3)特殊角之间的计算：1个周角的度数= 个平角的度数=个直角的度数= 360°. (4)角的度量单位及换算： 角的度量单位是 ,是 进制，即1°= 1′= (5)角的平分线：从一个角的顶点出发，把 这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角 的平分线.若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB 类似地，还有角的三 等分线等 (6)余角和补角：若两个角的和是 则这两个角互为余角， 的余角相 等；若两个角的和是 ,则这两个角互为 补角， 的补角相等 5.如图4，在5×5的正方形网格图中，每个 小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴 影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影， 使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小 正方体的涂法有 种. 考点3：直线、射线、线段 例4如图5中有 条线段 A C D B 图5 解：以A为端点的线段有：AC,AD,AB;以C 为端点的线段有：CD,CB;以D为端点的线段有 DB.所以共有6条线段， 故填6. ●专项练习 6.如图6，从长春站去往胜利公园，与其他 道路相比，走人民大街最近，其中蕴含的数学道 理是 长春站 民大 胜利公园 图6 图7 7.如图7，下列说法不正确的是 A.点A在直线BD外 B.点C在直线AB上 C.射线AC与射线BC是同一条射线 D.直线AC和直线BD相交于点B 8.某特快列车从济南西站开往枣庄站的沿 途会经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到 达枣庄站，那么铁路运营公司要为这条线路制 作的往返车票最多有 种 14 ÷考点4：线段的比较与运算 例5已知线段AB=12cm,C是线段AB 的中点，若N是线段AC的三等分点，则线段BN 的长为 解：因为线段AB=12cm,C是线段AB的 中点，所以AC=BC= B=6m 因为N是线段AC的三等分点，所以分两种 情况讨论： ①当cN=了4c=2cm时，如图S: A N C B 图8 所以BN=CN+BC=8cm. ②当AN=号AC=2cm时，如图9： A N C B 图9 所以BN=AB-AN=10cm. 综上所述，线段BN的长为8cm或10cm. 故填8cm或l0cm. ●专项练习 9.如图10，用圆规比较两条线段的长短，正 确的是 ( A.AC AB B.AC =AB C.AC>AB D.无法确定 A B C 图10 图11 10.如图11，已知线段a,b,c,用尺规按下列 要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作一条线段，使它等于a+2c; (2)作一条线段，使它等于a-b. 11.如图12，点M在线段AB上，线段BM与 AM的长度之比为5：4，点N为线段AM的中点 N M B 图12 (1)若AB=27cm,求BN的长； (2)在线段AB上作一点E,使BM=3EB.若 EB=t,求AB的长（用含t的代数式表示）. 考点5：角的概念及比较大小 例6如图13，下列表示 ∠1的方法正确的是（)》 A.∠E B.∠ACE C.∠AEC D.∠AED E 解：选C. B 图13 ●专项练习 12.如图14，下列表示角的方法错误的是 ( A.∠1与∠PON表示同一个角 B.∠2表示的是∠MOP C.∠MON也可以用∠O表示 D.图中共有三个角：∠MON,∠POM,∠PON D M B 图14 图15 …专题复习 13.如图15，下列各式中，不一定正确的是 A.∠BOD>∠COD B.∠AOC= ∠1+∠2 C.∠1+∠2 = ∠3 D.∠AOD-∠1>∠BOD-∠2 ×考点6：度、分、秒的换算 例7把下面的角度化成度的形式： 11820'42”= 解：填118.345°. ●专项练习 14.若∠1=2512'，∠2=25.12°，∠3= 25.2°，则下列结论正确的是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠2=∠3 D.∠1=∠2=∠3 15.计算： (1)56.28°= o (2)5136'= (3)40°16'31"+3418'42"= 冬考点7：钟面角 例8下午2时整，钟表的时针和分针所夹 的锐角的度数为 解：下午2时整，钟表的时针指向2，分针指 向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角 的度数为：2×30°=60°. 故填60. ●专项练习 16.上午8：30时，时针和分针所夹锐角的 度数是 ( A.75 B.80° C.70° D.67.5° 17.某天，时钟从10时45分走到11时 15分，它的时针转了」 度 考点8：有关角的计算 例9 已知∠AOB,∠COD共J顶点O,OM 平分∠AOD,ON平分∠BOC. (1)如图16-①，当0B与0D重合时，若 ∠A0B=130°，∠M0N=25°，求∠B0C的度 数； (2)将∠C0D绕点0逆时针旋转至图16- ②所示位置，若∠B0D=60°，∠A0C=10°，求 ∠MON的度数， M M B(D) B 图16 解：(1)因为∠A0D=∠A0B=130°，0M 平分∠A0D, 所以∠B0M=2∠A0D=6 因为∠M0N=25°， 所以∠BON=∠BOM-∠M0N=40°. 因为ON平分∠BOC, 所以∠BOC=2∠BON=80. (2)因为OM平分∠A0D, 数理极 所以∠AOD=2∠DOM. 因为∠B0D=60°，∠A0C=10°， 所以∠BOC=∠AOC+∠AOD+∠BOD =2∠D0M+70°. 因为ON平分∠B0C, 所以∠B0N=∠B0C=∠D0M+350 所以∠DON=∠BON-∠BOD=∠DOM +35°-60°=∠D0M-25°. 所以∠MON=∠DOM-∠DON=∠DOM -(∠D0M-25°)=25. ●专项练习 18.如图17，直线AB, A E CD相交于点O,OE平分 ∠A0D.若∠E0D=55°，则C D ∠BOD的度数为 19.在同一平面内，若 B 图17 ∠A0B=60°，∠A0C=45°，则∠B0C的度数 是 () A.15° B.105° C.25°或105 D.15°或105° 20.五条有公共端点的射线0A,OB,OC, 0D.0E如图18所示，已知∠B0E=冬LB0C, ∠B0D=子∠A0B,0E平分∠BOD,若∠A0C =57°，则∠D0E= M B B 图18 图19 21.已知点0为直线AB上一点，将直角三 角板MON如图19放置，且直角顶点在点O处， 在∠MON内部作射线OC,且OC恰好平分 ∠MOB. (1)若∠C0N=20°，则∠AOM= (2)若∠BON=2∠NOC,求∠AOM的度数 ÷考点9：余角和补角 例10 已知一个角的余角是这个角的 2倍，那么这个角的补角是 0 解：设这个角的度数是x°，则这个角的余角 的度数是(90-x)°. 根据题意，得90-x=2x. 解得x=30. 所以这个角的度数是30°.所以这个角的补 角的度数是：180°-30°=150°. 故填150. ●专项练习 22.若∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，∠3 =110°，则∠1与∠2的度数分别为（) A.50°，40° B.70°，20° C.50°，130° D.70°，110° 23.已知∠α的余角是23.46°，∠B的补角 是11327'36”，则∠a和∠B的大小关系是 (本章检测卷见第21~22版)18 (2)①+2×②，得7x2+28y2=119,即7(x2 +4y2)=119.所以x2+4y2=17. 25.解：(1)因为T(3,1)=5,T(-1,2)=-9, 到0.4。 解得=2， 1b=1. (2)因为T(m,n)=0, 所以2mn+m-4=0, 又因为n≠-乃，所以m= 4 2n+1 因为m,n都是整数， 所以2n+1=±4或2n+1=±2或2n+1 =±1， 所以m=号或-}或}或-号或0或-1， 故满足m,n都是整数值的有 m=4,「m=-4, Ln=0, n=-1. (3)因为T(kx,y)=T(y,x), 所以2kxy+kx-4=2kxy+y-4, 化简得x-y=0,即k(x-y)=0. 因为T(x,y）)=T(y,x)对任意有理数x,y 都成立，所以k=0. 26.解：(1)设1辆甲型货车满载一次可运 输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆 花卉. 根据题意，得+3y=1700, 3x+y=1900. 解得x=500, Ly=400. 答：1辆甲型货车满载一次可运输500盆花 卉，1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉， (2)根据题意，得500m+400n=6500. 整理，得m=1B-号 因为m,n均为正整数， 所90或 所以共有3种运输方案： 方案1：派出甲型货车9辆，乙型货车5辆； 方案2：派出甲型货车5辆，乙型货车10辆： 方案3：派出甲型货车1辆，乙型货车15辆. 《图形的认识》专项练习 1.C;2.10,24:3.C:4.-4;5.4; 6.两点之间，线段最短； 7.C:8.20;9.C 10.图略. 11.(1)因为BM:AM=5：4,AB=27cm, 所以BM=SAB=15cm,AM=4AB=12cm 0 9 因为点N为线段AM的中点，所以MN= 、AM 6cm.所以BN=BM+MN=21cm. (2)因为BM:AM=5:4,所以AM= 因为BM=3EB,EB=L,所 所以1B=AW+BW=号BM+BM=3 12.C;13.C;14.B; 15.(1)56,16,48,(2)51.6,(3)743513"; 16.A;17.15;18.70°：19.D:20.19 21.(1)40°； (2)因为OC平分∠M0B,所以∠MOC= 参考答案 ∠BOC.因为∠MON=90°，所以∠MOC + ∠NOC=∠BOC+∠NOC=90°，即∠BON+ 2∠NOC=90°.又因为∠B0N=2∠NOC,所以 4∠N0C=90°.解得∠N0C=22.5°.所以 ∠B0N=45°.所以∠A0M=180°-∠M0N- ∠B0N=45°. 22.B;23.∠=∠B. 《图形的认识》复习检测卷 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B B B B 提示： 10.解：分两种情况： ①如图1，若点D在BC上，因为E为线段AC 的中点，CE=3,所以AC=2CE=6,因为D是 折线A一C一B的“折中点”，所以BD=AC+CD =6+1=7,所以BC=BD+CD=7+1=8; B 图1 图2 ②如图2，若点D在AC上，由①可知AC= 2CE=6,所以AD=AC-CD=6-1=5,因为 D是折线A一C一B的“折中点”，所以BC+CD= AD=5,所以BC=5-CD=5-1=4. 综上，线段BC的长为8或4. 二、11.125°；12.7,8；13.801'；14.2； 15.-6;16.117°；17.12；18.5或23. 提示： 17.解：设BD=xcm,则AB=3xcm,CD= 4x cm,AC 6x cm. 因为点E,点F分别为AB,CD的中点， 所以AB=合B=1.5xem,cf=c0 2x cm, 所以EF=AC-AE-CF=2.5xcm. 因为EF=10cm,所以2.5x=10, 解得x=4, 所以AB=12cm. 18.解：因为∠B0C=100°， 所以∠A0C=80°. 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如图3 ①，∠B0N=2∠A0C=40,此时三角板旋 - 转的角度为90°-40°=50°， 所以t=50°÷10°=5； M 图3 当ON在∠A0C的内部时，如图3-②，三角 板旋转的角度为360°-90°-40°=230°， 所以t=230°÷10°=23. 综上，1的值为5或23. 三、19.解：(1)如图4，AQ即所作. 图4 数理极 (2)PQ>PB.理由如下： 因为AQ=AB, 所以PQ=PA+AQ=PA+AB, 因为PA+AB>PB(两点之间线段最短)， 所以PQ>PB. 20.解：(1)小明的划分方法不正确.若按柱 体、锥体、球体来划份：③⑤⑥是柱体；②④是锥 体；①是球体. (2)答案不惟一，略， 21.解：(1)由∠a,∠B都是∠y的补角，得 ∠a=∠B, 所以(2n-1)°=(68-n)°，解得n=23. (2)∠a与∠B互余.理由如下： 因为n=23,所以∠a=(2n-1)°=45°， ∠B=(68-n)°=45°，所以∠+∠B=90°， 所以∠a与∠B互余. 22.解：因为点0是线段AB的中点，OB=14cm, 所以AB=2OB=28cm. 又因为AP:PB=5:2, 所以PB=2AB=8cm 7 所以OP=OB-PB=6cm. 3.解：(1)因为∠AOM=0°，0C平分∠A0M, 所以∠A0C=45°， 所以∠A0D=180°-∠A0C=135°. (2)因为OM平分∠CON,所以∠MOC= ∠MON. 因为∠AOM=∠BOM=90°， 所以∠AOC=∠BON. 因为∠BOC=4∠BON,∠AOC+∠BOC= 180°， 所以∠BON+4∠BON=180°， 所以∠B0N=36°， 所以∠M0N=90°-∠B0N=54°. 24.解：(1)因为∠B0D=70°，OD平分 ∠BOC, 所以∠B0C=2∠B0D=140°. 又因为∠AOF=30°， 所以∠C0F=180°-∠AOF-∠BOC=10°. (2)∠A0E与∠AOC互余.理由如下： 因为∠B0D=70°，OD平分∠B0C, 所以∠COD=∠BOD=70°. 因为∠C0F=10°，∠A0F=30°， 所以∠A0C=∠C0F+∠A0F=40°， ∠DOF=∠COD+∠COF=80°. 因为OF平分∠DOE, 所以∠E0F=∠DOF=80°. 所以∠A0E=∠E0F-∠AOF=50°. 所以∠A0E+∠A0C=90°，即∠A0E与 ∠A0C互余. 25.解：(1) 2 a. (2)∠D0E=}∠A0C.理由如下： 2 因为∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°， 所以∠BOC=180°-∠AOC. 因为OE平分∠BOC, 所以∠C0E=之∠B0C=2(180- ∠10C)=90-3∠40C 因为∠C0D=90°， 所以∠DOE=∠C0D-∠C0E=90°- (90°-3∠A0C)=2∠A0C