专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

数理极 第18期1,2版参考答案 14.1数据的收集 基础训练1.B;2.D;3.0.2 4.(2)适宜用普查；(1)(3)适宜用抽样调查， 5.(1)总体是全年级1000名学生英语作业的完成情 况：个体是每一名学生英语作业的完成情况：样本是抽取 的100名学生英语作业的完成情况：样本容量是100. (3)他们的抽样是简单随机抽样.因为简单随机抽 样要求总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到， 从全年级1000名学生中抽取100名进行调查，即总体 中的个体被抽到的机会均等，所以他们的抽样是简单 随机抽样 14.2数据的表示 14.2.1频数分布直方图 基础训练 1.C;2.8. 3.略 4.（1)10%,18:（2)补全频数分布直方图略； (3)估计成绩为优秀的学生有：280×20% 56(人). 14.2.2扇形统计图 基础训练1.B;2.210. 3.(1)八年级(1)班的学生共有：6+11+15+10 +8=50(人)，60及60分以上的学生有：11+15+10+ 8=4(人).所及格率为：若×100%=8%，优秀率 为：50 ×100%=16%. (2)70~79分的人数最多，其百分比为： 1 0 100%=30%. (3)“优”所对的扇形圆心角的度数为：16%× 10 360°=57.6°；“良”所对的扇形损心角的度数为： 50 360°=72°；“中”所对的扇形圆心角的度数为： 11+15 50 ×360°=187.2°：“差”所对的扇形圆心角的度数为： 、品×360°=43.2.绘制扇形统计图略. 4.(1)150: (2)a=150-12-30-54-9=45,m%= 54 150 100%=36%,即m=36. (3)1200×品=96（人）. 150 答：估计该校最喜爱花样跳绳的学生人数为96. 14.2.3容易误导读者的统计图 基础训练1.D；2.3. 身高m 3.(1)小明绘制的统计 6146155-1.61, 1.8 1.52 图能反映每一位同学的身 高，但是容易给人一种错觉， 如单从条形统计图来看，小 0.2 华的身高好像是小丽的2倍； 小小小小小、 小姓 旭强丽华 名 (2)此图会使人产生错 觉，改正如图所示 第18期3,4版参考答案 题号 8 10 11 12 答案 B B 二、13.0.25；14.39；15.48： 16.14. 三、17.(1)总体是建造的长100km、宽0.5km的 防护林中树木的棵数；个体是一块长1km、宽0.5km 的防护林中树木的棵数：样本是从中选出的10块区域 防护林中树木的棵数；样本容量是10. (2)采用抽样调查的方式较好.理由是数量较大， 耗费人力、物力，不易调查 18()25码的皮鞋的量最大，其频率为：10 31 =0.31. …参考答案 (2)因为25码的皮鞋的销量最大，所以在进货时应该 多进一些25码的皮鞋，其次是24.5码的，再次是24和25. 5码的，其他的y少进一些（答案不惟一，合理即可）. 19.(1)组距是：85-80=5，组数是4. (2)全校参加比赛的共有：5+10+6+3= 24(人). (3)分数段在85~90范围内的人数最多，其频数 9 是10，占参赛总人数的百分比为： ×100% 41.7%. 20.(1)选择甲公司订餐.理由如下： 甲公司送餐用时在24分钟和30分钟内波动，波动 较小：乙公司送餐用时在14分钟和35分钟内波动，波 动较大。 (2)选择乙公司订餐.理由如下： 甲公司10个工作日送餐用时都超过20min,故送 餐用时超过20min;乙公司10个工作日送餐用时的平 均数为：六×(20+18+21+16+34+32+15+14+ 35+15)=22(min),接近20min. 21.(1)该企业共有：30÷30%=100（人）. (2)A档次所占百分比为：品×100%=20%：C 档次的有：100-20-30-10=40（人），所占百分比为： 40 100 ×100%=-40%:D档次所占百分比为：品×10% =10%.填表略 (3)绘制扇形统计图略.A档次所对应的圆心角度 数为：360°×20%=72°；B档次所对应的圆心角度数 为：360°×30%=108°：C档次所对应的圆心角度数为： 360°×40%=144°；D档次所对应的圆心角度数为： 360°×10%=36°. 22.(1)学校抽取的八年级同学有：12÷30%= 40(名). (2)D组的人数为：40-4-12-16=8.补全频数 分布直方图略. (3)A组人数所占的百分比为：表x100%=109%, C组所对应的扇形圆心角度数为：360°×40%=144° (4)八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀的 有：500×=10（名）. 复习专号参考答案 《数的开方》专项练习 1.C;2.D;3.3√10；4.1或16 5.（1)x=±3；(2)x=3或x=-2. 6.x=-2;7.7;8.3:9.105或104 10.D:11.0;12.1-2m. 13有理数集合：-3314-返，0.0，…： 无理数笑合：万，号-212356- ,… 正实数集合：5，牙，3.14,0.49，…： 负实数集合：-7-河-21234%，- 14.(1)>,(2)<,(3)>. 15.实数在数轴上表示略.-(-3)> 2 -万>-4 16.-22. 17.(1)12.41;(2)36. 18.(1)由题意，得4a+7=27,2a+2b+2=16. 解得a=5,b=2.因为4<√17<5，c是√17的整数 部分，d是√7的小数部分，所以c=4,d=√17-4. (2)当a=5,b=2,c=4,d=√17-4时，c(d- 15 7)2+3a+b=81.因为±√8T=±9，所以c(d- 17)2+3a+b的平方根是±9. 《数的开方》复习检测卷 题号 2 8 11 12 答案 A C B =13.6,±了；141-而：15.5： 16.-3a+b-c. 三、7.有理数集合：25.6，子，-0.05，V6… 无理数集合：{-1.565565556…（相邻两个6之间 5的个数逐次加1)，8,9，牙，-而，…； 负实数集合：{-1.565565556…（相邻两个6之间 5的个数逐次加1)，9，-0.05，-√而，…： 正整数集合：{6，√/16，…}. 18(1)3 (2)-2. 19.(1)由题意，得3m+1=25,5n-m=27.解得 m=8,n=7.所以m-n=8-7=1.因为1的平方根 为±1，所以m-n的平方根为±1. (2)由题意，得4a+m=16,即4a+8=16.解得 a=2.所以3a-2n=-8.因为-8的立方根为-2，所 以3a-2n的立方根为-2. 20.(1)0-3,4-3; (2)因为8I<90<00,即9<√90<10， 所以√0的整数部分为9，即a=9.因为1<√5<2， 所以W3的小数部分为5-1，即b=5-1.所以a+b -5+28=9+3-1-√3+28=36.所以a+b-3 +28的平方根为±√/36=±6. (3)因为2<√5<3，所以9<7+√5<10.又因 为7+5=x+y,其中x是整数，且0<y<1,所以x =9,y=7+5-9=5-2.所以x-y+5=9-(5 -2)+√5=11. 21.(1)规律：数a的小数点每移动三位，它的立方 根ā的小数点就向相同的方向移动一位 (2)①因为/2.14≈1.2887，所以/2140≈ 12.887.所以/2140介于整数12和13之间. ②12.26. ③设正方体的棱长是a米.根据题意，得a= 1.843≈1.226.所以6a2≈9.02. 答：大约需要9.02平方米的铁皮. 22.(1)10,W5;(2)11,5-1; (3)当点C在线段AB的延长线上时，BC=√3-c, AC=10-c.因为AC=2BC,所以10-c=2(5-c). 解得c=25-10. 当点C在线段AB上时，BC=c-√3，AC=10-C 因为AC=2BC,所以10-c=2(c-√5).解得c= 25+10 3 当点C在线段BA的延长线上时，BC=c-√5，AC =c-10,此时AC=2BC不成立. 综上所述，实数c的值是23-10或25，+10 3 《整式的乘除》专项练习 1.C;2.8.64×10":3.4. 4.(1)；(2)2a;(3)-3 5.-4:62m+b:73y-y+:85. 16 9.(1)8xy2;(2)-6a3b+4a22+8ab3; (3)x2-14x-2. 10.S=(2a+b)(a+b)-a2=2a2+2ab+ab+ b2-a2 =a +3ab+b2. 11.-10:12.0: 13.±1. 14.(1)8a2-6ab+10b2;(2)a2+2a+1-4b2; (3)90601;(4)9999;(5)x4-8x2y2+16 15.A;16.x2+2x-3. 17.(1)3m;(2)-a;(3)2xy-2. 18.原式=3y-x. 当x=3,y=-1时，原式=-6. 19.C;20.A;21.B. 22.(1)(x+2y)(2m+n)(2m-n); (2)(y+2)2(y-2)2;(3)x(x-1)(x2+1). 23.D:24.D. 《整式的乘除》复习检测卷 题号 8 10 11 12 答案 D B A B 二、13.y(x+1)2；14.41;15.36: 16.-69. 三、17.(1)-6a°；(2)-2x-3;(3)899.91. 18.(1)(m-2)(3x+y)(3x-y);(2)40000. 19.1)2×分×7m(m+2n) ++=m +mn+2n,即空白部分的面积为(2m+mm 2n2)cm2; (m+m)(m+2n）-(号m2+m +2n2）=m2+ 2mn mu 2nmm -2m=m2+2mn,即 箭头的面积为（分m2+2mn)em2. (2)当m=10,n=20时，7m2+2mn=分×10 +2×10×20=450,即箭头的面积为450cm2. 20.(1)因为32×92m+1÷27m+1=81,所以32×34m+2 ÷333=32+4m2-3m-3=3m1=34.所以m+1=4.解 得m=3. (2)因为x2=2,所以原式=9x"-4x=9(x2") -4(x2)2=9×23-4×22=72-16=56. 21.(1)1,0 (2)因为x2+2y2-2xy-6y+9=0,所以(x-y)2 +(y-3)2=0.所以x-y=0,y-3=0.解得x=y =3.所以x'=33=27. (3)因为a2+b2+c2-4a-6b-8c+29=0,所 以(a-2)2+(b-3)2+(c-4)2=0.所以a-2=0, b-3=0,c-4=0.解得a=2,b=3,c=4.所以 △ABC的周长为：2+3+4=9. 22.(1)①5：②3+4i. (2)因为(1+2i)2=1+4i+42=1+4i-4= -3+4i,a+bi是(1+2i)2的共轭复数，所以a=-3, b=-4.所以(b-a)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (3)因为(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i+i2=ab -1+(a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3. 所以ab=2,a+b=-3.所以a2+b2=(a+b)2-2ab =(-3)2-2×2=5.因为2+i°++5=-1-i+ 1+i=0,2+++…+2025有2024个加数，2024 ÷4=506,所以2+2++…+2m5=0.所以i+2 +2+1+…+2脑=i所以(a2+b2)(i+2+3+ +…+25)=5i. 《全等三角形》专项练习 1.两条直线相交，这两条直线一定不平行；2.A; 3.C;4.C:5.B;6.C; 7.在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,BD=CE, AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SSS).所以∠BAD= 参考答案 ∠CAE.所以∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,即∠1 =∠2. 8.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B.在△CDE和 △ABC中，因为∠EDC=∠B,CD=AB,∠DCE=∠A, 所以△CDE≌△ABC(ASA).所以BC=DE=1O.所以 BD BC-DC =2 9.设AC与BD交于点O,图略.在△AOD和△BOC 中，因为∠AOD=∠BOC,∠A=∠B,AD=BC,所以 △AOD≌△BOC(AAS).所以AO=B0,D0=C0.所 以A0+C0=B0+DO,即AC=BD. 1O.因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE =CD.因为GE⊥BC,FD⊥BC,所以∠GEB=∠FDC =90°.在Rt△BEG和Rt△CDF中，因为BG=CF,BE =CD,所以Rt△BEG≌Rt△CDF(HL).所以GE=FD. 11.根据题意，得∠D=∠ABP=90°.因为∠DPC =33°，所以∠PCD=90°-∠DPC=57°.因为∠APB =57°，所以∠APB=∠PCD.因为DB=20米，PB= 8米，所以PD=DB-PB=12米在△PCD和△APB 中，因为∠PCD=∠APB,CD=PB,∠D=∠ABP,所 以△PCD≌△APB(ASA).所以AB=PD=12米 答：楼高AB为12米. 12.D; 13.A. 14.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 ∠DBC= 子∠ABC=40=∠C.所以DB=Dc所以 △BCD为等腰三角形 (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=180 -∠DBC-∠C=100°.因为DB=DC,E为BC的中点， 所以∠EDC=<BDC=50 15.D:16.A. 17.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形. 18.8. 19.(1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD = BD.所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD= 2∠A.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为 AB=AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A +∠ABC+ ∠C=5∠A=180°，所以∠A=36°. (2)由(1)得，∠ABD=36°，∠ABC=72°.所以 ∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平分∠ABC 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF,∠DEB= ∠DFB=90°.在Rt△BDE和Rt△BDF中，因为BD = BD,DE=DF,所以Rt△BDE≌Rt△BDF(HL).所以 BE=BF.所以BD垂直平分EF 20.35°；21.12 《全等三角形》复习检测卷 题号1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AA A 二、13.答案不惟一，如AB=BC;14.1.6; 15.108°：16.1100. 三、17.（1)图略 (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 ∠EAB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B= 70°. 18.过点D作DF⊥BC于点F,图略.所以∠CFD= 90°.因为∠DEB+∠C=180°，∠DEB+∠AED= 180°，所以∠AED=∠C.在△DAE和△DFC中，因为 ∠A=∠CFD=90°，∠AED=∠C,DE=DC,所以 △DAE≌△DFC(AAS).所以DA=DF.因为DA⊥AB, DF⊥BC,所以BD是∠ABC的平分线 19.因为△ABD是等边三角形，所以AB=AD, ∠ADB=60°.因为点E是AB的中点，所以DE⊥AB, 数理极 ∠ADE=∠ADB=30.所以∠DEA=90在 △ACB和△DEA中，因为∠C=∠DEA,∠BAC= ∠ADE,AB=DA,所以△ACB≌△DEA(AAS).所以AC =DE. 20.(1)因为∠BAC=∠FAG,所以∠BAC- ∠CAD=∠FAG-∠CAD,即∠BAF=∠CAG.在 △ABF和△ACG中，因为∠BAF=∠CAG,AB=AC, ∠ABF=∠ACG,所以△ABF≌△ACG(ASA). (2)因为△ABF≌△ACG,所以AF=AG,BF= CG.因为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD.因 为∠BAD=∠CAG,所以∠CAD=∠CAG.在△AEF和 △AEG中，因为AF=AG,∠FAE=∠GAE,AE=AE,所 以△AEF≌△AEG(SAS).所以EF=EG.所以BE= BF FE CG EG. 21.(1)因为△ABC与△ABD关于直线AB对称， ∠C为直角，所以AC=AD,BC=BD,∠D=90°.在 Rt△ACE和Rt△ADF中，因为AE=AF,AC=AD,所以 Rt△ACE≌Rt△ADF(HL).所以CE=DF.所以BC- CE=BD-DF,即BE=BF (2)①当∠C为纯角时，BE=BF成立.证明如下： 过点A作AG⊥BC交BC的延长线于点G,作AH⊥ BD交BD的延长线于点H,图略.所以∠G=∠H= 90°.因为△ABC与△ABD关于直线AB对称，所以 ∠ABC=∠ABD.在△AGB和△AHB中，因为∠G= ∠H,∠ABG=∠ABH,AB=AB,所以△AGB兰 △AHB(AAS).所以BG=BH,AG=AH.在Rt△AGE和 Rt△AHF中，因为AE=AF,AG=AH,所以Rt△AGE≌ Rt△AHF(HL).所以EG=FH.所以BG-EG=BH- FH,即BE=BF. ②当∠C为锐角时，BE=BF不一定成立.举反例 如下： 以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F,F”', 图略.则AE=AF=AF'.易证BE=BF≠BF'. 22.(1)因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.在 Rt△ABC和Rt△ADE中，因为AB=AD,BC=DE,所以 Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).所以AC=AE. (2)延长AF,交BC的延长线于点G,交CD于点H, 图略.因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.因为△ABC≌ △ADE,所以∠BAC=∠DAE.因为∠ABC=∠CAD, 所以∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC= 90°=∠ACB.所以BG∥AE.所以∠G=LEAG.因为 F为BE的中点，所以BF=EF.在△AEF和△GBF中， 因为∠EAF=∠G,∠AFE=∠GFB,EF=BF,所以 △AEF≌△GBF(AAS).所以AE=BG.因为AC=AE, 所以BG=AC.在△ABG和△DAC中，因为AB=DA, ∠ABG= ∠DAC,BG=AC, 所以△ABG ≌ △DAC(SAS).所以∠G=∠ACD.因为∠ACD+ ∠GCD=180°-∠ACB=90°，所以∠G+∠GCD= 90°.所以∠CHG=90°.所以AF⊥CD. 《勾股定理》专项练习 1.D. 2.船向岸边移动了9米 3.B:4.45 5.(1)连结CD,图略.因为DE是BC的垂直平分 线，所以CD=DB.因为BD2-DA2=AC,所以CD2- DA2=AC2.所以CD2=AD+AC2.所以△ACD是直角 三角形，且∠A=90°.所以△ABC是直角三角形 (2)设AD=3x,BD=4x,则CD=BD=4x,AB= AD+DB=7x.在Rt△ACD中，AC=/CD2-AD2= /16x2-9x2=√7x,在Rt△ABC中，AC+AB2=BC2, 所以（√7x)2+(7x)2=(√56）.解得x=1(负值舍 去).所以AC=√万×1=万. 6.2.5;7.7m;8.a,b都不能被5整除. 数理极 《勾股定理》复习检测卷 题号 2 8 10 12 答案 B D 二、13.3或41：14.4：15.15：16.60. 三、17.△ABD是直角三角形 18.钟摆AD的长度为17cm. 19.连结BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 点F,图略.由题意知BF=b-a,因为S四边形BD=S△BE +ab,SaD=S+SE= + -a),所以28 *2a(6 -a).所以a2+2=c2. 20.(1)因为BC=8m,CD=6m,BD=10m,所 以BC2+CD2=82+62=102=BD2.所以△BCD是直 角三角形，且∠BCD=90. (2)过点A作AE⊥BD于点E,图略.因为AB=AD =13m,BD=10m,所以BE=子80=5m在 Rt△ABE中，AE=√AB-BE=12m.所以S阴影= SAABD -S6w=2BD:AE-2BCCD=362.所以 200×36=7200(元)，即此块空地全部种植花卉共需 花费7200元. 21.(1)2. (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4,所以4s内， 点P在线段BC上，连结AP,图略.因为BP=AP= 2tcm,BC=8cm,所以PC=(8-2t)cm.根据勾股定 理，得PC+AC=AP2,即(8-2t)2+62=(2)2.解得 空所以Bp=2×客-草(cm). (3)①当∠APB=90°时，点P和点C重合，t=4; ②当∠BAP=90°时，点P在线段BC延长线上，因为 BP=2tcm,BC=8cm,所以PC=(2t-8)cm,在 Rt△ACP中，AP2=AC2+PC=62+(2t-8)2,在 Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(21)2-102,所以62+ (21-8)2=(2)2-10,解得1=空 综上所述，当△ABP为直角三角形时，1=4或 5 22.(1)13 (2)因为AC=2,DF=1,CF=5,所以AH=2+ 1=3,HD=5.所以AD=√32+52=√34.所以 x+4+√(5-x)2+1的最小值是34. (3)构造△ABC,CD⊥AB于点D,AC=6,BC=8,图 略.设CD=x,则AD=√36-x无，BD=√64-.所以 AB=√36-+√64-x=10.因为6+82=102，所 以∠4CB=0所以}×6×8=子×10所以x=48 《数据的收集与表示》专项练习 1.抽样调查；2.①④. 3.不合适，因为小强他们四个人坐在教室最后面， 所以他们身高的平均数会大于整个班同学身高的平均 数，这样的样本不具有代表性 4.B;5.C;6.B. 7.(1)6,16%;(2)补图略； (3)600×(40%+24%)=384(人). 答：估计该校八年级600名学生成绩达到优秀的人 数为384. 8.(1)由统计表可知第一组的频数是3，第二组的 频数是：20×35%=7；由频数分布直方图可知第三组 的频数是6，所以第四组的频数是：20-3-7-6=4. 补全频数分布直方图略。 (2)6,第四组中被盖住的数字为：84.5×4-82 参考答案 88-83=85. (3)扇形统计图中第四组所对应的扇形圆心角的 度数为：360°× =72 9.36°；10.D; 11.C. 12.(1)150: (2)扇形统计图中B级所对应扇形的圆心角度数 54 为：360°× 150 =129.6°，C级的人数为：150-30-54- 24=42,补全条形统计图略. (3)27000×20%=5400(人)，27000×24 150 4320(人). 答：估计优秀的有5400人，不及格的有4320人 《数据的收集与表示》复习检测卷 题号 8 答案 二、13.1200：14.26；15.乙；16.30. 三、17.(1)小明采取了全面调查的方式 (2)该班同学每周做3h家务的人数最多，做0h 和1h家务的人数最少. 18.参与调查的学生共有：30+24+36+18+12= 120(人).选择各球类运动人数占总人数的百分比依次 为：羽毛球：识×100%=25%：篮球：0 30 24 ×100% 20%:乒兵球：36×100%=30%排球：18 120 ×100% 120 15%:足球：品×100%=10%.选择扇形统计图猫述， 120 图略. 19.(1)40,72°； (2)成绩在90≤x≤100的人数为：40× 1080 360 12,所以成绩在80≤x<90的人数为：40-(6+8+12) =14,补全频数分布直方图略 (3)参加这次比赛的学生中达到“优秀”等级的约 有：400×12 0 =120(人) 20.(1)20%: (2)两次共调查的人数为：(24+32)÷56%= 100.所以A类4月底调查的人数为：100×20%-8 = 12,C类2月底调查的人数为：100×24%-6=18.补全 折线统计图略. (3)由扇形统计图得，B类使用的人数占比较大， 由折线统计图得，2月底到4月底A类和B类的使用情 况在增加，C类的使用情况在减少：建议5月份多投放A 类和B类共享自行车（答案不惟一，合理即可）· 21.(1)10,25,0.25,补全频数分布直方图略； (2)全校位于51≤x<61分数段的学生有：2000 ×0.1=200(名)，200÷30≈7（个）. 答：约需安排7个补测的考室 (3)全校位于91≤x<101分数段的学生有：2000 3 ×0.12=240(名)，240×1+3+6=72（名）： 答：全校获得二等奖的学生约有72名 22.（1)喜欢文娱版的男读者所占的百分比为：1- 30%-48%-12%=10%;喜欢体育版的女读者所占 的百分比为：1-32%-30%-18%=20%.补全条形 统计图略。 (2)喜欢新闻版的总人数为：500×30%+500× 32%=310:喜欢文娱版的总人数为：500×10%+500 ×30% =200;喜欢体育版的总人数为：500×48%+ 500×20%=340:喜欢生活版的总人数为：500×12% +500×18%=150.绘制折线统计图略. (3)希望该报社关注民生，提高生活版面质量，让 更多的人喜欢生活版，并从中受益（答案不惟一，积极 向上、有意义即可) 17 八年级第一学期期末复习检测卷（一） 题号 2 8 10 11 12 答案 A B D 二、13.-8b;14.6;15.100:16.30° 三、17.(1)3(x-2y)2;(2)-2. 18.作DF⊥AB于点F,图略.因为BD是△ABC的 角平分线，所以BD平分∠ABC.因为点D在∠ABC的 平分线上，且DF⊥AB,DH⊥BC,所以DF=DH=2. 因为S△ABD+S△D=S△ABc=15,BC=5,所以7×2AB 2×5×2=15.解得AB=10. . 19.(1)300,45: (2)扇形统计图中“轮滑”所占的百分比为 60 300 100%=20%. (3)2500×75=625(人). 300 答：估计该校最期待飞盘项目的学生人数为625. 20.(1)因为∠C=90°，AC=9千米，AB=15千 米，所以BC=√AB2-AC=12千米.因为BD=5千 米，所以CD=BC-BD=7千米.所以AD= √/AC2+CD2=√130千米. (2)因为DH1AB,所以Sam=BD·AC= 4B·DH解得Dm=3千米所以修建公路DM的费 用为：3×2000=6000（万元）. 21.(1)±2； (2)①由题意知，(x+y,y）☆(2x+y,y)=(x+ y)2-y(2x+y)+y2=x2+y2=104.因为x+y=12, 所以(x+y)2=x2+2xy+y2=144.所以2xy=40.所 以xy=20. ②由图可知，S形=SAm+S长方心-Sr=2 2x+2y2-7(x+2)=f+-7因为y 202+y2=104,所以S=104-7×20=4 22.(1)因为∠BAC=∠BCA,所以AB=BC=10. 因为BF=8,所以CF=BC-BF=2. (2)延长CD至点M,使DM=DC,连结FM,图略.因 为.点D为AF的中点，所以AD=FD.在△ACD和△FMD 中，因为DC=DM,∠ADC=∠FDM,AD=FD,所以 △ACD≌△FMD(SAS).所以∠ACD=∠M,AC=FM.因 为∠ACE=∠B,所以∠ACE+∠BCE=∠B+∠BCE,即 ∠ACB=∠AEC,∠CFM=180°-∠M-∠MCF=180°- ∠ACD-∠MCF=180°-∠ACE-∠BCE=180°-∠B -∠BCE=∠BEC.因为∠ACB=∠BAC,所以∠AEC= ∠BAC.所以AC=CE.所以FM=CE.因为AB=BC,AE= BF,所以AB-AE=BC-BF,即BE=CF.在△CMF和 △BCE中，因为MF=CE,∠CFM=∠BEC,CF=BE,所 以△CMF≌△BCE(SAS).所以∠M=∠BCE.所以 ∠ACD=∠BCE. 八年级第一学期期末复习检测卷（二】 题号 10 11 12 答案 二、13.绝对值相等的两个数相等；14.弓； 15.3；16.1或7或12. 三、17.(1)25-1. (2)原式=3a-2b. 当a=-号6=-2时，原式=3数理极 知识 回顾 1.平方根 (1)一般地，如果一个数的平方等于a,那 么这个数叫做a的 即如果x2=a,那 么x叫做a的平方根.正数a的平方根可以表示 为 ,读作 (2)一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a,那么这个正数x叫做a的 非负数a(a≥0)的算术平方根记作“a”,读作 ,a叫做 .a≥0. 温馨提示：平方根与算术平方根的区别与 联系： 对于平方根，要注意：①一个正数有两个平 方根，它们互为相反数，如4的平方根是±2；②0 的平方根是0；③负数没有平方根 对于算术平方根，要注意：①一个正数只有 一个正的算术平方根，如4的算术平方根是2； ②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方 根. 可见，算术平方根是特殊的平方根 (3)求一个非负数的平方根的运算，叫做 开平方. 2.立方根 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a的立方根.数a的立方根记作“a”,读作 ·正数的立方根是一个 数；负 数的立方根是一个 数；0的立方根是 3.实数 (1)无理数： 叫做 无理数 温馨提示：无理数与有理数的区别： ①定义不同.任何有限小数和无限循环小 数都是有理数；而只有无限不循环小数才是无 理数 ②循环与不循环.有理数有时是无限循环 小数.而无理数则永远为无限不循环小数.无理 数的三种形式：开方开不尽的方根、无限不循环 小数、含有π的数 (2)实数： 数和 数 统称为实数.每一个实数都可以用数轴上的一 个点表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个 实数，即实数与数轴上的点是 的关系 ①对于数轴上的任意两个点，右边的点表 示的实数总比左边的点表示的实数 ②实数a的相反数是 ③一个正实数的绝对值是 ；一个 负实数的绝对值是它的 ;0的绝对值是 4.实数的分类 有限小数或 无限循环小数 实 数 }无限不辆环小教 专题复习 第10章 数的开方 ©山西王学云 考点解密 A.100 B.√10 C.±100 D.±10 冬考点1：平方根 11.若a是5-2的绝对值，b是5-2的相 例1√9的平方根是 反数，则a+b= 解析：9=3,3的平方根是±√5. 12.实数m在数轴上的位置如图2所示，则 故填±5. 化简√m+1-ml的结果是 ●专项练习 1.下列说法中，不正确的是 m 0 1 A.-11是121的一个平方根 B.11是121的一个平方根 13.把下列各数填人相应的集合中： C.121的平方根是11 -25,号3.14.-海0，-2123456… D.121的算术平方根是11 2.估计43的值在 ( 号 A.3和4之间 B.4和5之间 有理数集合：{ …}； C.5和6之间 D.6和7之间 无理数集合： … 3.一个长方形信封，长与宽之比为4：3，面 正实数集合： …; 积为120，则这个长方形信封的宽是 负实数集合： …. 4.已知3a-2与6-5a均为正数n的平方 冬考点4：实数的大小比较 根，则n的值是 例4在实数-1，-2,0,1中，最小的是 5.求下列各式中x的值： (1)3x2=27; A.1 B.0 C.-2D.-1 (2)(2x-1)2-16=9. 冬考点2：立方根 解析：根据实数比较大小的方法，可得-2 31 例2计算：、8 <-1<0<1.所以最小的数是-2. = 故选C. 1 ●专项练习 14.比较大小：(1)√ 3:(2)-√6 故填子 -2;(3)5+1 2 (填“>= ●专项练习 或“<”) 6.方程3(x-1)3=-81的解是 15.把下列实数近似地表示在数轴上，并比 7.将两个正方体按如图1 较它们的大小（用“>”连接）. 所示的方式叠放在一起.已知 大正方体的体积为125cm, -45-万号-(-3) 小正方体的体积为8cm3,则 考点5：实数的运算 小正方体的最高点A到地面B 的距离AB为 cm. 5计算12-厅1+(-4)×号-√7 图1 8.已知x2=1,万=-2，且y<0,则 解：原式=2-5+(-2)-(-宁)=号 /x-y= 5. 9.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的 ●专项练习 立方根是4，c是算术平方根等于自身的数，则a 16.若√a+2与1b-21互为相反数，则 +2b-c2的值是 ab 考点3：实数及其性质 17.计算： 例3下列各数中，是无理数的是( (1)25+45(精确到0.01)； A.π B.9 (2)2+26+12-61. C.-2 18.已知4a+7的立方根是3,2a+2b+2的 解析：9=3和-2是整数，- 是分数，均 算术平方根是4，c是√7的整数部分，d是7 的小数部分 属于有理数，π是无理数： (1)求a,b,c,d的值； 故选A. (2)求c(d-√7)2+3a+b的平方根. ●专项练习 (本合刊专项练习答案见第15~18版) 10.若1x1=√0，则x的值为 (本章检测卷见第7~8版) 4 知 识 回顾 1.幂的运算 (1)同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数 ,指数 即am·a”=am+"(m,n 为正整数) (2)幂的乘方：幂的乘方，底数 指数 .即(am)”=a"(m,n为正整数). (3)积的乘方：积的乘方，把积的每一个因 式分别 ,再把所得的幂 即 (ab)"=a"b"(n为正整数). (4)同底数幂的除法：同底数幂相除，底数 ,指数 .即am÷a”=am-"(d ≠0，m,n为正整数，且m>n). 2.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：只要将它们的 系数、相同字母的幂分别 ,对于只在 个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作 为积的一个 (2)单项式与多项式相乘：将单项式分别 乘以多项式的 ,再将所得的积 (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项 式的每一项分别乘以另一个多项式的 ,再把所得的积 3.乘法公式 乘法公式包括平方差公式和两数和（差） 的平方公式，这是整式乘法的特殊情形，要弄清 公式中字母的含义，把握公式的结构特点。 (1)平方差公式：两数和与这两数差的积， 等于这两数的 即(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)两数和（差）的平方公式：两数和（或 差)的平方，等于这两数的 加上（或减 去)它们的积的 倍 即(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 4.整式的除法 (1)单项式相除：把系数、同底数幂分别相 除作为商的 ,对于只在被除式中出现 的字母，则连同它的指数一起作为商的一个 (2)多项式除以单项式：先用这个多项式 的每一项除以这个 ,再把所得的商 5.因式分解 (1)概念：把一个多项式化为几个 的 的形式，叫做多项式的因 式分解 (2)方法 ①提公因式法，即ma+mb+mc= ②公式法，即a2-b2= 2ab +b2= 2 ;a -2ab+b2= (3)因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式，那么先提 ②如果多项式的各项没有公因式，那么可 以尝试运用 来分解； ③如果多项式的各项提出公因式后，还能 用公式法分解，必须分解彻底. 专题复习 数理极 第①章整式的乘除 ⊙四川雷嘉伟 考点解密 考点1：幂的运算 例1下列运算正确的是 A.(x5)2=x7 B.x2·x4=x8 2a+b C.x6÷x3=x3 D.(-3x)3=-9x3 图1 解析：(x5)2=x”,故选项A不正确； 考点3：乘法公式 例3如图2，在长方形 X2·x=x,故选项B不正确； ABCD中，AB=6,点E,F是 x5÷x3=x3,故选项C正确； 边BC,CD上的点，EC=3,且 (-3x)3=-27x3,故选项D不正确. BE=DF=x,分别以FC,CB 故选C. 为边在长方形ABCD外侧作 图2 ●专项练习 正方形CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积 1.已知a2÷a=a',则“？”是 为20，则图中阴影部分的面积和为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：设CF=a,BC=b. 2.地球可以近似地看成是球体，球的体积公 由题意，得FC=6-x,BC=3+x,即a= 式是V=号m.已知地球的半径约为6×10千6-，b-3+ 米，则它的体积大约是 立方千米（π取 因为长方形CBQF的面积为20， 3). 所以ab=20. 3.已知3m=6,9”=3,则32m-的值为 又因为a+b=(6-x)+(x+3)=9, 所以S阴影=CF2+BC2=a2+b2=(a+b)2 4.计算： -2ab=92-2×20=41. (1)(x3)3÷x; 故填41. (2)(a2)2.a2+(-3a3)2-(2a2)3; ●专项练习 11.若m-n=-2,且m+n=5,则m2-n2 (3)(号2×25×(-1)2m, 考点2：整式的乘法 12.小北将(2024x+2025)2展开后得到 例2若整式(2x+m)(x-1)不含x的一a1x2+bx+c1,小湖将(2025x-2024)2展开后 次项，则m的值为 ( )得到a2x2+bx+92,若两人计算过程无误，则b A.-3 B.-2 +b2的值为 C.-1 D.2 13.若(2x+m)2=4x2+4mx+1,则m的值 解析：(2x+m)(x-1)=2x2+(m-2)x-m. 是 因为(2x+m)(x-1)不含x的一次项， 14.利用乘法公式计算： 所以m-2=0. (1)(3a-b)2-(a-3b)(a+3b); 解得m=2. (2)(a-2b+1)(a+2b+1); 故选D. (3)3012; ·专项练习 (4)101×99: 5.若(x-1)(x+a)=x2-5x+4,则a= (5)(x-2y)2(x+2y)2 考点4：整式的除法 6.李老师做了一个长方形教具，其中一边长 例4小明与小亮在做游戏时，两人各报 为2a+b,另一边长为“，则该长方形教具的面积：个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整 为 式作为被除式，要求商必须为2xy若小明报的 7.老师在黑板上书写了一个正确的演算过 整式是xy-2xy3,则小亮应报的整式是 程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 乡÷(-）)=-6+2y-1,则手掌括住 解析：根据题意可知，小亮应报的整式为： (x3y-2xy3)÷2xy=x3y÷2y-2xy2÷2y= 的多项式为 8.已知ab=1,a+b=-3,则代数式(a- 1)(b-1)的值为 9.计算： 故填)2-y2 (1)4x2y·2xy; ●专项练习 (2)(-2ab)(3a2-2ab-462); 15.若(-3ab)2÷9ab=ab,则m+n的 (3)(2x-1)(x-4)-(x+3)(x+2). 值为 () 10.计算图1中阴影部分的面积S(用含a,b A.3 B.4 C.5 D.6 的代数式表示). (下转第5版) 数理招 (上接第4版) 16.已知多项式3x3+6x2-8x+2除以A得 商式3x,余式x+2,则多项式A为 17.计算： (1)(2m3)2+m2·m-2m8÷m2; (2)(-2a3b2)3÷8a2b6: (3)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)门÷x2y 18.先化简，再求值：[(2x-y)2-x(4x-y) +8y2]÷3y,其中x=3,y=-1. ?考点5：因式分解的定义 例5下列从左到右的变形，属于因式分解 的是 A.a2+2ab+b2=(a+b)2 B.ab ac +d=a(b +c)+d C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.12ab2=3a·4b 解析：a2+2ab+b2=(a+b)2是因式分解， 故选项A符合题意； ab+ac+d=a(b+c)+d不是因式分解， 故选项B不符合题意； (a+b)(a-b)=a2-b2是整式乘法，故选 项C不符合题意； 12ab2=3a·4b不是因式分解，故选项D不 符合题意 故选A. ●专项练习 19.若x2+kx+16=（x-4)2,那么下列说 (上接第31版) (1)补全频数分布直方图； (2)墨汁盖住的数字共 个，若第四 组学生的平均运动时间为84.5分钟，求第四组 中被盖住的数字； (3)求扇形统计图中第四组所对应的扇形 圆心角的度数 ”考点4：扇形统计图 例4某校图书管理员清 甲 理课外书籍时，将其中甲、乙、丙 丙 15% 三类书籍的有关数据制成如图 乙 45% 4所示不完整的扇形统计图，已 知乙类书有90本，则丙类书的 图4 本数是 A.80 B.144 C.200 D.90 解析：甲、乙、丙三类书籍共有：90÷45%= 200(本)，所以丙类书的本数是：200×(1-15% -45%)=200×40%=80. 故选A. ●专项练习 9.某校举办“安全知识竞不合格 赛”，将参赛学生的竞赛成绩分 合格 为优秀、良好、合格、不合格四个 良好以 45% 优秀 等级，并制作了如图5所示的扇 20% 图5 形统计图，则“不合格”部分所 对应扇形的圆心角的度数为 …专题复习 法正确的是 A.k=-8,从左到右是乘法运算 B.k=8,从左到右是乘法运算 C.k=-8,从左到右是因式分解 D.k=8,从左到右是因式分解 20.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为 (x-3)(x+1),则m+n= ( A.-5 B.-1 C.1 D.-6 考点6：因式分解的方法 例6 因式分解：x2-x4= 解析：原式=x2(1-x2)=x2(1+x)(1-x): 故填x2(1+x)(1-x). ●专项练习 21.下列因式分解正确的是 A.ax+ay=a(x+y）+1 B.3a+3b=3(a+b) C.a2+4a +4= (a+4)2 D.a2+b=a(a+b) 22.分解因式： (1)4m2(x+2y）-n(x+2y): (2)(y2-1)2+6(1-y2)+9; (3)x4-x3+x2-x. 考点7：因式分解的应用 A 例7如图3，将长方形 B ac ed ABCD分成四个面积分别为 ac,cd,ab,bd的小长方形，则 ab bd AB的长为 D A.a+b 图3 10.甲、乙两校采用相同标准，各自对本校所 有学生的综合素质按A,B,C,D,E五个等级进行 了测评，并将结果绘制成如图6所示的扇形统计 图，则两校C等级的学生人数 11% 9% E D E D A 17% A 17% 28% C 33% C B 19% B 19% 25% 22% 甲校 乙校 图6 A.甲校比乙校多 B.乙校比甲校多 C.两校一样多 D.无法确定 11.每年的4月23日为“世界读书日”，读书 能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴.某校对学 生最喜欢的书籍种类进行了随机抽样调查，要求 每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘 制的不完整统计图如图7所示，则下列说法不正 确的是 ( 人数人 0 70 其他 文学类 科幻类 00000 艺术类 35% 30% 历史类判 文学艺术历史科幻其他种类 类类类类 图7 A.本次调查的样本容量是200 B.全校1800名学生中，最喜欢历史类书籍 5 B.b+c C.c+d D.a+d 解析：根据题意可得长方形ABCD的面积= ac ed +ab +bd=c(a+d)+b(a+d)=(a +d)(c+b), 当AB=c+b,AD=a+d时，与图形不符 合； 当AB=a+d,AD=c+b时，与图形符合 所以AB=a+d. 故选D ●专项练习 23.若k为任意整数，则(k+5)2-(k-2)2 的值总能 A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 24.如图4为某正方形的 房屋结构平面图，其中主卧与 客卧都是正方形，它们的边长 分别为a,b,其面积之和比其 客卧 主卧 余面积（阴影部分）多6.25平 图4 方米，则主卧与客卧的周长差 为 A.2.5米 B.5米 C.6米 D.10米 (本章检测卷见第9~10版) 的大约有270人 C.在扇形统计图中，“文学类”所对应的扇 形的圆心角度数是40° D.被调查的学生中，最喜欢科幻类书籍的 人数最多 12.为了深入探索青少年体质发展与体育教 育成效，某市教委开展了一项名为“阳光青春· 活力校园”的专项调研项目，研究人员从城区多 所学校的九年级学生中随机选取了一批样本对 象，对其进行了全面而系统的体能测试.测试内 容覆盖了耐力跑、跳远、跳绳等多项运动技能，依 据学生的表现划分为四个能力等级：A级：优秀； B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结 果绘成了如图8所示两幅不完整的统计图. 调查结果条形统计图 调查结果扇形统计图 人数 60 54 40 30 A 24 20% 20 B 0 ABCD等级 图8 请根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生； (2)求扇形统计图中B级所对应扇形的圆 心角度数，并把条形统计图补充完整； (3)若该城区九年级学生有27000人，如果 他们全部参加这次体能测试，请估计优秀和不及 格的人数 (本章检测卷见第19~20版) 专 题复习 第②章全等三角形 ●============================● ○贵州齐云鹏 4.证明三角形全等的思路 知识回顾 r找夹角：SAS 1.命题与定理、互逆命题与互逆定理 (1)已知两边 找直角： (1)命题、定理、公理 找另一边： 命题是由_ 和 两部分组成.命 (2)已知两角找夹边： 题可以分为」 命题和命题.公理和 找角的对边： 定理可作为判定其他命题真假的原始依据， (3)已知一边一角 (2)互逆命题、互逆定理 边为角的对边：找一角： 找边的另一邻角： 任何一个命题都 逆命题，只需将 对调即可得到；但是一个定 边为角的邻边找边的对角： 找角的另一邻边： 理」 一（填“一定”或“不一定”）有逆定理。 5.等腰三角形 2.全等三角形的概念 (1)概念：有两条边 的三角形叫做 能够 的两个三角形是全等三角 等腰三角形，相等的两边都叫做 ,另 形，相互重合的顶点是 ,相互重合的边 边叫做 ,两腰的夹角叫做 ,腰 是 相互重合的角是 夹边就和底边的夹角叫做 是三角形中相邻两角的公共边.夹角就是三角形 (2)性质：①等腰三角形的两个底角 中有公共端点的两边所组成的角 (简写成“■ 对■ ”). 3.全等三角形的性质 ②等腰三角形底边上的 全等三角形的 相等 及顶角的 重合（简写成 等全等三角形的一切对应元素都 ”) 考点解密 为 ( A.4 B.8 C.12 D.13 考点1：命题与定理、互逆命题与互逆定 解析：根据题意，得△ABC≌△DEC.所以 理 DC=AC=8.所以8-5<DE<8+5,即3< 例1下列命题是真命题的是 )DE<13 A.一个角的补角一定大于这个角 故选D. B.平行于同一条直线的两条直线平行 ●专项练习 C.等边三角形不是轴对称图形 4.如图2，△ABC≌△A'B'C',点B与点B D.旋转改变图形的形状和大小 是对应点，BC=B'C',边B'C'过点A且平分 解析：一个角的补角不一定大于这个角，如∠BAC交BC于点D,∠B=27°，∠CDB'=98°， 直角的补角等于它，故选项A是假命题；平行于则∠C'的度数为 () 同一条直线的两条直线平行，故选项B是真命 A.60° B.45 题；等边三角形是轴对称图形，故选项C是假命 C.439 D.34° 题；旋转不改变图形的形状和大小，故选项D是 假命题 故选B. ●专项练习 1.命题“相交的两条直线一定不平行”的条 图2 图3 件 ,结论是 5.如图3，已知△ABC≌△ADE,连结BD 2.对于命题“若m2>9,则m>3”,下列条若∠EAC=90°，AB=4,则图中阴影部分的面 件能说明该命题是假命题的是 ( )积为 A.m=-4 B.m=-3 A.4 B.8 C.m=3 D.m=4 C.16 D.无法确定 3.下列命题中，逆命题为真命题的是( 考点3：三角形全等的判定 A.对顶角相等 例3小明准备证明命题：如果两个三角形 B.邻补角互补 有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这 C.两直线平行，同位角相等 两个三角形全等.他已经画出如图4的图形，请 D.互余的两个角都小于90° 你帮他用符号表示已知、求证，并写出证明过程 考点2：全等三角形的性质 例2如图1，将 △ABC推倒后变为 △DEC,其中B,C,D在同 条直线上，若CE=5,B 图4 AC=8,则DE的长不可能 解：已知：如图4，在△ABC和△A'B'C'中， 数理极 (3)判定： 如果一个三角形中有两个角 ,那么 它就是■ 三角形（简写成“ 对 ”) 6.等边三角形 (1)概念：三条边都相等的三角形叫做 三角形 (2)性质：等边三角形的三条边都 ,三个角都 ,并且每一个内角 都等于」 (3)判定： ①三个角都相等的三角形是 三角 形. ②有一个角是60°的 三角形是等边三 角形 7.线段垂直平分线 (1)性质：线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离 (2)判定：到线段两端距离相等的点在线段 的 8.角平分线 (1)性质：角平分线上的点 (2)判定： 在角的平 分线上 AB=A'B',BC=B'C',AD和A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'. 求证：△ABC兰△A'B'C'. 证明：因为AD和A'D'分别是△ABC和 △AB'C的中线，所以BD=2BC,B'D= B'C.因为BC=B'C',所以BD=B'D.在 2 △ABD和△A'B'D'中，因为AB=A'B',BD= B'D'.AD =A'D', 所以 △ABD ≌ △A'B'D'(SSS).所以∠B=∠B'.在△ABC和 △A'B'C'中，因为AB=A'B',∠B=∠B′，BC= B'C',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). ●专项练习 6.如图5，已知BD=BC,BE=CA,∠DBE =∠C=61°，∠BDE=76°，则∠EBC的度数为 () A.12° B.13° C.15 D.25° 图5 图6 7.如图6，已知AB=AC,BD=CE,AD= AE,求证：∠1=∠2. 8.如图7，在△ABC中，点D在边BC上，CD =AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.若DE=10,AB =8,求BD的长 B B 图7 图8 9.已知：如图8，∠A=∠B=90°，AD=BC, 求证：AC=BD. (下转第29版) 数理招 (上接第6版) 例4 如图9，已知 AD⊥BE,垂足C是BE的 中点，AB=DE.求证： Rt△ABC≌Rt△DEC. 图9 证明：因为AD⊥BE, 所以∠ACB=∠DCE=90 因为C是BE的中点， 所以BC=EC. 在Rt△ABC和R△DEC中，因为AB=DE, BC EC. 所以Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). ●专项练习 10.如图10，D,E是BC上 两点，且BD=CE,GE⊥BC, FD⊥BC,分别与BA,CA的延 长线交于点G,F.若BG=CF,B4 D E 求证：GE=FD. 图10 考点4：全等三角形的应用 例5如图11，工人师傅 要检查三角形工件ABC的∠B 和∠C是否相等，但他手边没 E 有量角器，只有一个刻度尺，他 是这样操作的： B D F 图11 ①分别在BA和CA上取 BE CG; ②在BC上取BD=CF; ③连结DE,FG,量出DE的长为a米，FG的 长为b米. 若a=b,则说明∠B和∠C是相等的，他的 这种做法合理吗？为什么？ 解：他的这种做法合理.理由如下： 在△BDE和△CFG中，因为BE=CG,BD CF.DE FG. 所以△BDE≌△CFG(SSS). 所以∠B=∠C ●专项练习 11.如图12，为了测 量一幢楼的高AB,在旗杆 C 田田 CD与楼之间选定一点P, 测得旗杆顶C的视线PCD P B 与地面的夹角∠DPC= 图12 33°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB =57°，量得点P到楼AB的距离PB与旗杆CD的 高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离DB为 20米，且CD⊥BD,AB⊥BD,点D,P,B在同一 条直线上，求楼高AB. 考点5：等腰三角形 例6如图13，直线1 ∥L2,Rt△ABC的直角顶点 B在直线L2上，AC,BC分别 E 交直线l于点D,E.若∠CF B =35°，DE=CE,则∠1的 图13 度数是 A.30° B.15° C.25° D.20° 解析：因为DE=CE, 所以∠CDE=∠C=35. 所以∠CED=180°-∠CDE-∠C=110°. 一趣味数学。 因为直线1，∥12， 所以∠CBF=∠CED=1I0°. 因为∠ABE=90°， 所以∠1=∠CBF-∠ABE=20°. 故选D. ●专项练习 12.已知等腰三角形的一个外角为140°，则 它的底角度数为 ( A.40° B.70° C.30°或60° D.40°或70° 13.如图14，在△ABC中，AB=AC,∠BAC =24°，延长BC到点D,使CD=AC,连结AD,则 ∠D的度数为 ( A.39° B.40° C.49° D.51° A A D B B C D E 图14 图15 14.如图15，在△ABC中，∠A=60°，∠C= 40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为BC 的中点，连结DE. (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)求∠EDC的度数： 冬考点6：等边三角形 例7如图16，△ABC为 A 等边三角形，D为BC延长线上 的一点，作DE∥AB,交AC的 延长线于点E.若AB=5,DE 图16 =3,则AE的长为() A.2 B.5 C.8 D.11 解析：因为△ABC为等边三角形， 所以AC=AB=5,∠A=∠B=60° 因为DE∥AB, 所以∠D=∠B=60°，∠E=∠A=60° 所以∠DCE=180°-∠D-∠E=60°. 所以△CDE为等边三角形， 所以CE=DE=3. 所以AE=AC+CE=8. 故选C. ●专项练习 15.如图17，△ABC是等边三角形，AB=6, BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E,使CE =CD,则BE的长为 A.7 B.8 7 C. 2 D.9 A C D 图17 图18 16.如图18，在等边三角形ABC中，点E在 AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落 在BC边上的点D处，且ED⊥BC,则∠EFD的 度数是 ( A.45° B.50 C.40° D.55° 29 17.如图19，点D是 △ABC边AC上的点，且点D 在线段AB的垂直平分线上， ∠ABC=87°，∠C=33.求 证：△ABD是等边三角形. 图19 冬考点7：线段垂直平分线 例8如图20，以△ABC 的顶点C为圆心，CA为半径 作圆弧交AB于点D,边BC的 垂直平分线恰好过点D,交B D BC于点E.若BD=6,AD= 图20 4,则△ACD的周长是 解析：由作图可知CA=CD.因为ED垂直平 分BC,所以CD=BD=6.所以△ACD的周长 为：CD+CA+AD=16. 故填16. ●专项练习 18.如图21，在 △ABC中，AB,AC边 G 的垂直平分线分别 交BC于点D,E,垂 B D E 足分别为点F,G.若 图21 △ADE的周长为8，则边BC的长度是 19.如图22，在△ABC 中，AB=AC,DE是AB的垂 D 直平分线，交AB于点E,交 AC于点D,连结BD,且BD= E 图22 BC. (1)求∠A的度数； (2)作DF⊥BC,垂足为F,连结EF.求证： BD垂直平分EF. 冬考点8：角平分线 例9如图23，在 Rt△ABC中，∠C=90°，利 用尺规在BA,BC上分别截 取BM=BN;分别以点M,A M N为圆心，以大于2N的 图23 长为半径作圆弧，两弧在∠CBA内部交于点E, 作射线BE交AC于点F.若CF=2,点H为AB上 的一动点，则FH的最小值是 解析：当FH⊥AB时，FH的值最小.由作图 可知BF平分∠ABC.因为FC⊥CB,FH⊥AB, 所以FH的最小值为2. 故填2. ●专项练习 20.如图24，有三条道路围成Rt△ABC,其中 ∠C=90°，一个人从C处出发沿着CB行走了 200m到达D处，此时他到直线AB的距离DE也 是200m.若∠B=20°，则∠CAD= E E D 图24 图25 21.如图25，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AB=10,AC =6,BC=8,则△BDE的周长为 (本章检测卷见第11~12版) 30 知 识 回 顾 1.勾股定理 直角三角形 等 于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三 角形的两条直角边和斜边的长度，那么 在运用勾股定理时，要注意： (1)勾股定理只对直角三角形适用，而不 适用于锐角三角形和钝角三角形； (2)要分清斜边和直角边，避免盲目代入 公式致错 2.判定直角三角形的方法 如果三角形三边的长度a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形 利用这一判定方法，要注意如下两点： (1)这一方法与勾股定理的条件和结论正 好相反，值得注意的是，在这一方法的描述中， 不能带有“斜边”“直角边”字样； (2)要判定一个三角形是否是直角三角 形，先确定最长边，即斜边c,再验证c2与a2+b2 的关系 3.勾股数 满足a2+b2=c2的三个 ,称为勾股 数.常见的勾股数有 等 4.应用 (1)勾股定理的应用主要有： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②已知直角三角形的一边，求另两边的关系： ③用于说明含有平方关系的式子的关系； ④用于作长为√n(n为正整数)的线段； ⑤借助勾股定理来构造方程，解决实际问题 (2)判定直角三角形的方法的应用主 要有： ①判定某三角形是否为直角三角形； ②说明两条线段垂直， (3)求几何体表面两点间的最短路程是一 类比较常见的数学问题，解答这类问题时，通常 将几何体的表面 ,把立体图形转化为 ,利用勾股定理及其他知识加以 解答 5.反证法 (1)概念： 在证明时，先假设结论的 是正确 的，然后推导出与 、已证的 或已知 相矛盾的结果，从而 证明原结论一定成立.这种证明方法叫做反证 法 (2)步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证得出矛 盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。 简而言之就是“反设一归谬一结论”三步 曲. 专题复习 数理极 第13章 勾股定理 ⊙江苏沈青莲 考点解密 4.如图4，∠BAC=90°，AB=4,AC=4,BD =7,DC=9,则∠DBA= 考点1：勾股定理 例1如图1，有一张长方 形纸片ABCD,AB=8cm,BC= 10cm,点E为CD边上一点，将 纸片沿AE折叠，BC的对应边 图4 图5 B B'C'恰好经过点D,则线段DE 5.如图5，在△ABC中，BC的垂直平分线DE 图1 的长为 分别交AB,BC于点D,E,且BD2-DA2=AC. A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm (1)求证：△ABC是直角三角形； 解析：由长方形的性质，得AD=BC= (2)若BC=√56，AD:BD=3:4,求AC 10cm,∠B=90°.根据折叠的性质，得AB'=AB的长. =8 cm,C'E CE =8-DE,B'C'=BC 考点3：勾股定理的应用 10cm,∠B'=∠B=90°.在Rt△AB'D中，由勾 例3如图6，桌上有一个圆柱形无盖玻璃 股定理，得B'D=√AD2-AB2=6cm.所以 杯高6厘米，底面周长为16厘米，在杯口内壁离 C'D=B'C'-B'D=4cm.在Rt△EC'D中，由勾 杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外 股定理，得C'E2+CD2=DE2,即(8-DE)2+42 壁A的相对方向有一只小虫P,小虫离杯底的垂 =DE2.解得DE=5cm.故选C 直距离是1.5厘米，则小虫爬到蜜糖A处的最短 ·专项练习 距离是 厘米 1.如图2,5个阴影四边形都是正方形，所有 三角形都是直角三角形，若正方形A,C,D的面积 依次为4,5,20，则正方形B的面积为 A.8 B.9 C.10 D.11 图6 图7 解析：如图7，将圆柱形玻璃杯沿侧面展开， B 作点A关于BC的对称点A',连结A'P,此时A'P D 的长度即为小虫爬到蜜糖A处的最短距离.过点 图2 图3 P作PE⊥AA',交A'A的延长线于点E,PE为底 2.如图3，在离水面高度为8米的岸上，有人面周长的一半.由题意，得PE=8厘米，A'C= 用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，AC=1.5厘米.所以4'E=6-1.5+1.5=6(厘 几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长 米).在Rt△A'PE中，由勾股定理，得A'P= 为10米，问船向岸边移动了多少米 √PE2+A'E=10厘米.故填10. ?考点2：直角三角形的判定 ●专项练习 例2满足下列条件的△ABC,其中是直角 6.如图8，一只小猫沿着斜立 三角形的为 在墙角的木板往上爬，木板底端 A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 距离墙角0.7米.当小猫从木板底 B.AB =1,BC =3,AC =2 端爬到顶端时，木板底端向左滑 C.AB =2.BC=4.AC =6 动了1.3米，木板顶端向下滑动了 D.∠A=∠B=2∠C 0.9米，则木板的长为 解析：A.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以 米 5 最大角∠C=180°×3+4+575°，所以△MBC 7.在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放 不是直角三角形，不符合题意；B.因为AB2+BC 进一根竹竿，竹竿最长可以是 ÷考点4：反证法 =12+(5)2=4=AC2,所以△ABC是直角三角 形，且∠B=90°，符合题意；C.2+4=6,不满足 例4用反证法证明“在△ABC中，已知AB 三角形三边关系，不能构成三角形，更不能构成直 =AC,则∠B必为锐角”的第一步是假设 角三角形，不符合题意；D.设∠C=x,则∠A= ∠B=2x,所以x+2x+2x=180°，解得x=36°， 解析：因为在△ABC中，∠B可能是钝角、直 所以∠A=∠B=72°，∠C=36°，所以△ABC不 角、锐角三种情况，所以∠B是锐角的反面是 是直角三角形，不符合题意故选B. ∠B是直角或钝角.故填∠B是直角或钝角. 。专项练习 ●专项练习 3.下列各组数中，是勾股数的是 8.用反证法证明命题：“若a,b是整数，且ab A.0.6,0.8,1 B.3,4,5 能被5整除，那么α，b中至少有一个能被5整除” c34 时，应假设 D.1,2,5 (本章检测卷见第13~14版) 数理极 专题复习 第4章数据的收集与表示 ⊙河北张振东 2.数据的表示 知识回顾 ()条形统计图一适用于显示不同对象 1.数据的收集 之间的数量特征，根据条形的高度能直观地看 (1)普查：为特定目的而对 作 出被统计对象的数量 的全面调查 (2)折线统计图—一适用于显示同一对象 (2)抽样调查：为特定目的而对 在不同时期的数量变化特征，根据变化能直观 作的调查 地看出事物的变化（如上升或下降、增长快慢 (3)总体： 叫做总 等) 体 (3)扇形统计图—一用圆代表整体，能直 观地显示各部分（不同的统计对象）在总体中所 (4)个体：把组成总体的 叫做个体 占的百分比，能清楚表示各部分数量相对于总 体数量的大小 (5)样本：从总体中 叫做 (4)频数分布直方图 这个总体的一个样本 ①频数分布表：能直观地显示数据的分布 (6)样本容量：一个样本包含的 叫情况 做样本容量 列频数分布表的三步骤：分组，划记，频数 (7)频数：表示每个对象出现的 ②画频数分布直方图的步骤：a.计算最大 (8)频率：表示每个对象出现的次数与各对值与最小值的差；6.决定组数和组距；c.确定分 象出现的总次数的 :点，列出频数分布表；d.画频数分布直方图. 考点解密 强所选用的这种抽样调查的方式你认为合适吗？ 为什么？ 考点1：调查方式的选用 冬考点2：频数与频率 例1下列调查中，适合用普查方式的是 例2某校共有学生4000人，为了解这些 ( ）学生的视力情况，对其中100名学生进行了抽 A.了解一批笔芯的使用寿命 查，对所得数据进行整理.若数据在4.85~5.15 B.了解昆明市区八年级学生的视力情况 这一组的频率为0.45，则该校学生视力在4.85 C.了解某班同学周末时间的安排情况 ~5.15的约有 ( D.了解玉溪市70岁以上老人的健康状况 A.45人 B.180人 解析：选项A具有破坏性，适合采用抽样调 C.1600人 D.1800人 查；选项B,D调查范围广，所费人力多，适合采 解析：该校4000名学生视力在4.85~5.15 用抽样调查；选项C调查范围小，容易实现，适合 的约有：4000×0.45=1800（人）. 采用普查。 故选D. 故选C ●专项练习 ●专项练习 4.在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合 1.为了解四川省中小学生的心理健康情况， 应采用的调查方式是 一（填“描样调查”格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有 或“普查”) 15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合 格人数的频率是 ( 2.今年某市有4万名学生参加中考，为了解 这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的 A.12 B.0.25 数学成绩进行统计分析.在这个问题中，下列说 C.36 D.0.75 法：①这4万名考生的数学成绩是总体；②每名 5.一组数据共60个，分为6组，第1组至第 考生是个体；③2000名考生是总体的一个样4组的频数分别为6,89,1山，第5组的频率为 本；④样本容量是2000，其中正确的是 0.2,则第6组的频数为 ( (填序号) A.11 B.13 C.14 D.15 3.课堂上老劉师布置给每个小组一个任务，用 冬考点3：频数分布直方图 抽样调查的方法估计全班同学的平均身高，坐在 例3某校组织全体学生进行义卖活动，从 教室最后面的小强为了速度快，立即就近向他周：中抽取部分学生的义卖所得金额制成如图1所 围的三个同学做了调查，计算出他们四个人的平示的频数分布直方图，那么金额在20~30元的 均身高后就举手向老师示意已经完成任务了.小人数占调查总人数的百分比是 () 31 个人数 80- 50 30 10 01020304050金额/元 图1 A.15% B.25% C.40% D.50% 解析：金额在20~30元的人数占调查总人 50 数的百分比是：10+30+50+80+30 ×100% =25%. 故选B. ●专项练习 6.有40个数据，其中最大值为100，最小值 为55，对这组数据进行等距分组，若组距为5，则 这组数据应该分成的组数为 ( A.8 B.9 C.10 D.11 7.“爱中华诗词、寻文化基因、品文学之 美.”为了让更多学生喜欢中国文化，学校组织 八年级学生开展古诗词知识大赛，随机抽取部 分学生的成绩进行整理，并绘制了如下不完整 的频数分布直方图，每组包含最小值，不包含最 大值（如图2）和频数分布表. 分组 频数百分比 个频数（人数） 20 50~60 4 8% 1 16 60~70 12% 4 12 70-80 8 b 80-90 20 40% 86 90~100 12 24% 420 5060708090100成绩/分 图2 请根据图表信息解答下列问题： (1)a= ,b= (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩为80分及以上为优秀，请估计 该校八年级600名学生成绩达到优秀的人数. 8.为响应“健康中国”战略号召，某中学创 新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真 正实现“在汗水里绽放笑脸”的素质教育新实 践.现随机抽取八年级20名学生，统计其每日体 育活动时间，并绘制了如下频数分布表和如图3 所示两幅不完整的统计图，其中统计数据时不慎 将墨汁滴到统计表中，遮盖了一部分数据。 运动时间x/分钟 数据 第一组 50≤x<60 54,57,53 第二组 60≤龙<70 63,65, 68,64,66 第三组 70≤x<80 72, 76,79 第四组 80≤x<90 82, 88,83 个频数 8 7 6 第三组 5 第一组 4 3 第二组\第四组 2 35% 01 5060708090时间/份钟 图3 (下转第5版)