第19期 27.2.1 相似三角形的判定(2) 27.2.2 相似三角形的性质 27.2.3 相似三角形应用举例【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第17~20期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第17.20期 第17期2版 (2)设反比例函数表达式为y=真，依题意可知C(40,8) 26.2实际问题与反比例函数 在图象上，所以：=320，所以反比例函数表达式为y=32四 基础训练1.A2.0.8:3.200,2.5;4.0.06. t (3)依题意可知，DE,CF的函数图象关于y轴对称，所以E, 能力提高5.()ya=90(x>24. F两点关于y轴对称，所以点F的纵坐标为32.把y=32代入y x =320,可得x=10,所以F(10,32),所以E(-10,32),所以EF (2)老师安排不合理，理由：由题易得yAB=2x+20,令yAB =2x+20=38,解得x=9.令y0=90=38,解得x=25.3. =20m,即上底面圆形的直径EF的长为20m 20.(1)一次函数表达式为y1=x+2,反比例函数表达式 因为25.3-9=16.3<23，所以老师安排不合理 为为=3 重点集训营 1.6；2.-3；3.2；4.18. (2)由图象可得，当y1>y2时，x的取值范围为-3<x< 5(1)反比例函数的表达式是y=6 0或x>1. (3)设直线y1=x+2与y轴相交于点D,过点A作AM⊥ (2)将y=3代人y=6中，得x=2,即点N的坐标是(2,3)， x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,则D(0,2),所以OD= 2,因为点B,C关于原点对称，所以C(3,1),所以MN=2,CW 因为四边形OABC是矩形，B(4,3),M(4,1.5),所以∠BC0= =1,ON=3,所以S△ABc=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形Ac-S△ON ∠BAO=∠B=90°，BN=4-2=2,OC=BA=3,CN=2,AM =8,即△ABC的面积为8. =BM=1.5,所以SAMON=S矩形0c-S△OCY-S△Y-S△OAM= 4×3-分x3×2-7×2x15-7x4x1.5=45 21.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)根据题意，得S正方形Bm=4×4=16,EF=4,设P(m, 第17期3,4版 m),则Sr=P小m1=21m1=8,解得m=±4，当m 题号12345678910 =4时，n= 答案CBDBABCCBB 子=子此时P4,子》当m=4时a= 4 二、11.-1；12.0；13.35；14.52<y1<y3； 子此时(-4.- 3 三，16反比例函数的关系式为y=-2,一次函数的关系 综上可知，在反比例函数的图象上存在点P,使得△PEF的 面积等于正方形ABCD面积的一半，点P的坐标为(4，之)或 式为y=-x-1 17.(1)函数表达式为y=二 (2)物距为4cm. 五，2(1)反比侧函数的表达式为y=至 18.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)由题意得A(1,3),设一次函数y=-x+4与x轴交于 （2)反比例函数y=的图象经过点(1,6)，(2,3)，(6， 点E,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,所以C(0,4),E(4, 0),所以△OAB的面积=S△OE-S△A-S△E0=4,因为 1),画图略. △ACD的面积是△OAB面积的2倍，所以△ACD的面积为8，设 (3号 D(t,0),则DE=14-tl,所以SAAD=S△cDE-SaDE=8,所以 四、19.(1)(40,8) 子14-1×4-4-1×3=8，解得4=-12或20.所以 中考数学人教(GDY) 第17~20期 点D的坐标为D(-12,0)或D(20,0) 因为点B在函数y=3的图象上， (3)过点A作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于点C,ED⊥ CD于点D,设E(a,名)(a>D.因为A(1,3),所以AD=a- 所以设点B的坐标为(m,3)(m>0), m 1,DE=3-子由题意得AE=A,∠FAE=90,所以∠EAD 所以BE=3-3,AE=m-1, m +∠CAF=90° 因为∠CDA=∠BEA=∠BAC=90°， 因为∠EAD+∠AED=90°，所以∠CAF=∠AED,所以 所以∠CAD+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，所以 △ACF≌△EDA,所以CF=AD=Q-1,AC=DE=3-3 ∠CAD=∠ABE, 由旋转的性质可知，AC=AB,所以△ACD≌△BAE, 所以F(3-2,4-a).因为点F恰好也落在这个反比例函数的 所以AD=BE=3-3,CD=AE=m-1, m 图象上，所以(3-2)(4-a)=3, 所以点C的坐标为(3-2,4-m), 解得a=6或a=1(舍去)，所以E(6,) 因为点C在函数y=是图象上，所以（品-2(4-m） 23.(1)①点(-1,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为 3,解得m1=6,m2=1(舍去)， (2,1),把x=2代入y=2x-1,得y=2×2-1=3≠1，所 以点(2,1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(-1,2)不是 所以点B的坐标为〔6，宁》。 原点0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 第18期2版 ②点(1,3)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(3，-1)， 把x=3代入y=2x-1,得y=2×3-1=5≠-1，所以点 27.1图形的相似 (3,-1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(1,3)不是原点 基础训练1A:2.C:3.2:3:4. 2 0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 5.设运动ts能使矩形CFVM与矩形AEFD相似，由题意得 ③点(-3,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(2,3)， 把x=2代入y=2x-1,得y=2×2-1=3,所以点(2,3)在 兰-受或9=是解得=4或1=1所以当M,N运动4： 2t1 函数y=2x-1的图象上，所以点(-3,2)是原点0关于一次 或1s能使矩形CFWM与矩形AEFD相似. 函数y=2x-1图象的“直旋点”.故填③ 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） （2)如图1，设点M绕点V顺时针旋转 90°的对应点为M',过点M作MA⊥x轴于 基础训练1A;2.D;3.6;4,2 点A,过点M'作M'B⊥x轴于点B, 5.ch的长为g 因为M(-2,4),N(1,0),所以0A=AON 2,MA=4,0N=1,所以AW=2+1=3, 图1 能力提高6()因为AD∥BE∥c,所光== 因为∠MAN=∠M'BW=∠MWM'=90°， 所以∠AMWN+∠AWM=∠ANM+∠BNM'=90°，所以 号.所以50=号，所以0E=4,所以DF=DE+EF=4 ∠AMW=∠BWM',由旋转的性质可知，MW=M'W, +10=14. 所以△MAN≌△NBM',所以BN=MA=4,BM'=AW= 3 (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 所以0B=1+4=5, =分所以01=6，因为D∥8E∥C,所以册=品 QG 所以M的坐标为(5,3)，把(5,3)代人y=,得k=15. 所以=号，所以PH=15 (3)如图2，设点B绕点A顺时针旋转 27.2.1相似三角形的判定（第二课时） 90°的对应点为C,连接AC,AB,过点A作x 基础训练1.A；2.C;3.18;4.2或4. 轴的平行线DE,过点B作BE⊥DE于点E, 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 过点C作CD⊥DE于点E, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 因为点A(1,3)在反比例函数y=的 图2 1化 图象上， 在△c和△4c0中，因为胎-5-5%-2 2 所以k=1×3=3,所以反比例函数的解析式为y= 5是-后=5.所始-%-光所以A4cA4n 一2 中考数学人教(GDY) 第17~20期 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） AB=AD,所以△ABD~△ACE. AC AE 基础训练1.C:2.C:3.专；42或8 19.(1)如图3，设AB=x,由翻折的性质得， 能力提高5.(1)证明：因为AB=2AD,AC=2AE,所以 LACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF= 号=怨=2又因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC ∠BDF=90°. 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= (2)因为AE=2,AD=3,所以AB=2AD=6,AC=2AE ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 图3 =4,所以DC=1,BE=4.因为AED=AS=1,S△4®=AD SABDE BE 2'SACDE CD ∠ECF=45°，所以BC=2x,所以BD=BC=N2x,所以AD= 1 AB+BD=(D+1)x,所以EF=CE=AD=(D+1)x,因为 3,所以5E=9ASwE=2Sa,所以3 EEAC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2+2)x,所以号 2SAAED 6 -(5+2)=万+2=万. (2+1)x2+1 第18期3版 (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 题号12345678 (万+1)x,A5纸短边长为(，+2)x,所以在A5纸中，长边： 2 答案DBBBC C DB 二、9.都是；10.8；11.△MCB;12.70,28; 短边=5+)=V巨，所以A4纸与A5纸相似 13.6;14.9. 巨+2)x 2 三、15.证明：因为菱形AEFG∽菱形ABCD,所以∠DAB= 20.(1)BE=AD.理由如下： ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 如图4，连接CE.因为a=60°，AB=AC,且由旋转的性质 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 得CD=DE, =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 所以△ABC,△DCE均为等边三角形，所以BC=AC,CE 16.(1)△BCD△BAC.理由如下： =DC,∠BCA=∠ECD=60°， 4 所以∠BCE=∠ACD,所以△BCE≌△ACD,所以BE= 因为BD=专，AB=3,BC=2,所以股= 3 2 BC BC=2=3BA AD. 子，所以批-断因为∠DBC=∠CBA,所以△BCD BC △BAC. 5 ②因为△C0△BC,所2器即亮=子所 AC (2)BE=√2AD.理由如下： 以AC=2 5 如图5，连接CE.因为a=90°，AB=AC,且由旋转的性质 得CD=DE, 17.(I)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 所以△ABC,△DCE均为等腰直角三角形.设AB=AC= 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 x,DE=DC=y,则根据勾股定理得BC=√2x,CE=√2y,所以 以BE=BC. (2)AE=BC理由：因为4D/EF,所以昭器=能因为DF 能=巨品-万，所以怨=C 又因为∠BCA=∠ECD=45°，所以∠BCE=∠ACD,所 =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC 以△BCE∽△ACD, 18(1)证明：因为8-能-怎所以AAC△A0E。 所5-股=厄，所以E=万AD 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (3)因为在△ABC中，∠BAC=120°，AC=AB=2BE= (2)因为△ABC△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 25,所以BE=3,∠ABC=30°， ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 所以AP=AB=万， ∠EBC=∠BAD=21° (3)证明：由(1)知∠B0:∠C北因为治-长所以 当点E在直线BC上方时，连接CE,如图6，同(2)得 △BCE∽△ACD,所以EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AD 一3 中考数学人教(GDY)第17~20期 1 =31 能力提高5.过点A作AG⊥DE,交BC于点F,垂足为G, +AP=1+3,所以DP=1+52: 由题意，得AF=CM=60厘米=0.6米，AG=EN=30米，BC 当点E在直线BC下方时，连接CE, =24厘米=0.24米，因为BC∥DE,所以∠ABC=∠ADE, 如图7，同(2)得△BCE∽△ACD,所以 ∠4ACB=∠AD,所以△A0C△A0E,所以%-装-是 EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AP 1 AD=5-1,所以DP=5 =0解得DE=2米 答：这个建筑物DE的高度为12米 5+1 2 第19期3版 综上品的值为5安5 2 一、 题号12345678 答案ABBACB BD 第18期4版 二、9.∠AED=∠B(答案不惟一)；10.36；11.4： 重点集训营 12.4:10:25;13.24；14.30°或60° 1G:2B:3946 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为∠BFE+ 第19期2版 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 基础训练1.A;2.D:3.70:4.4. 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5.(1)作图略. ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 16.因为AO⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BMD=分∠BAC, △40E△CE,所以品=8票-87=1， 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BMC,所以∠BMD=∠C, 设OF=xm,则A0=0D=x+0.7, 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA 能力提高6.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC 又因为A40E△ck.所品=器即2兰=装 =∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB, 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=6.3m. 所以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD 答：0A的高度是6.3m. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 △E△4wc所u-器-所以-0又 ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DW=EN. 27.2.2相似三角形的性质 基础训练1.B;2.D;3.A;4.A; （2②)因为DE∥BC,所以器=%=子，因为DE∥C. 5.12；6.16. 能力提高7.(1)证明：因为DE∥BC,所以∠AMD= 所以△D0E△c0B,所以2器=器=号， ∠ANB=90°，∠ADM=∠B,∠AED=∠ACB, 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△= DE SAABC BC 所以△AE∽△ABC,△ADN△ABY,所以铝-瓷， = 2S,设SAE=4x(x>0),则SA4c=25x,因为四边形BCED =所以器=兴 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△4B=50. (2)因为D是4B的中点，所以光=之由()知△40E 18.(I)过点E作EH上CD于点H,交AB于点J,则四边形 EFBJ,四边形EFDH都是矩形，所以EF=BJ=DH=1.5米， 一△A0C,所以5=铝=子，所以AE=BC,所以5e= BF=EJ=2米，DB=JH=23米.因为AB=2.5米，所以AJ =AB-BJ=2.5-1.5=1(米).因为AJ∥CH,所以∠EAJ= S因为△A0E一△4BC,所以E=(8= 1)2= SAABC ∠BC,∠AB=∠CEB,所以△B~△BCI,所以出-品 =品=232解得cH=125米，所以cD=CH+01= 27.2.3相似三角形应用举例 12.5+1.5=14(米). 基础训练1.D;2.D;3.4.5;4.3.6. 答：大楼CD的高度为14米 4 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R,连接EG,由 第19期4版 题意得，点E,A,G在同一条直线上.设BF=x米，因为AR∥ GT,易证得△BMR~△BcT,所以号=祭=35 重点集训营 1.D; 23+2解得x=2.5.因为2.5-2=0.5（米），所以标杆AB应 22或号 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 该向大楼方向移动0.5米. 所以△ACE兰△ABF,所以∠CAE=∠BAF 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF, 因为∠AGB=180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB. ∠B4P,因为4E=A0·AB,4C=A,所以号=-是即瓷= 又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 长所以△4CE∽△4F0 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 第20期2版 CB CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 27.3位似 以CW1BC由I)得品-胎所以Bc·BM=A.所以 基瑞训练1C:2.C:3(8,10:4空 BG·BM=BC.所以EC=BC 能力提高5.(1)图略. BC=BM (2)图略。 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 (3)△A0B与△A2O2B2是关于某一点为位似中心的位似 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 图形，位似中心的坐标为(6，-2). 20.(1)证明：因为∠ACD=∠B,∠A=∠A,所以△ADC 重点集训营 一△4CB,所以是-治所以4C=A0·AB 1.C:2D:3.B49:53或2万 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC,∠A 6.(1)因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点， =∠C. 所以∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°. 又因为∠BFE=∠A,所以∠BFE=∠C. 因为CE=CE,所以△BCE≌△ACE,所以∠EBC= 又因为∠FBE=LCBF,所以△BFE∽△BCF,所以 ∠EAC,AE=BE. BC 因为EF=EB,所以∠EBF=∠EFB,所以∠EFB= 能所以B=BE~BC,所以BC--号所以4D= 9 2 ∠EAC. 因为∠EFB+∠EFC=18O°，所以∠EFC+∠EAC= (3)如图8，分别延长EF,DC相交于 180°，所以∠AEF=360°-（∠EAC+∠EFC)-∠ACB=90°. 点G, (2)证明：因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点，所 因为四边形ABCD是菱形，所以AB 以∠ADE=90°. ∥DC,LBAC=2∠BAD. 1 因为EF⊥FG,所以∠ADE=∠EFG=90°，所以∠AED 因为AC∥EF,所以四边形AEGC为 图8 +∠DAE=90°，因为∠AEF=90°，所以∠AED+∠GEF= 平行四边形，所以AC=EG,CG=AE=1,∠EAC=∠G 90°，所以∠DAE=∠GEF,所以△AED△EGF, 因为LEDF=∠BAD,所以∠EDF=∠BAC,所以 所以瓷=兴即A北：水=AD:C ∠EDF=∠G. 因为AE=EB,EF=EB,所以EF=AE,所以AE=AD· EG 又因为∠DEF=∠GED,所以△EDF~△EGD,所以 G 第20期3,4版综合评估卷 品所以DE=F.EG 题号12345678910 又因为EG=AC=2EF,所以DE2=2EF2,所以DE= 答案ABACABBACA √2EF 二、11.∠B=∠E(答案不惟一)；12.2：1；13.20； 又丙为e-2华所以DG=0F=3万，所以DC=G 14.20；15.4. 三、16.甲、乙两地的实际距离是12.5km. -CG=32-1,所以菱形ABCD的边长为32-1. 17.(1)图略. 中考数学人教(GDY)第17~20期 (2)3:1. 3 (3)9+35+32. 4、3 t,所以t=3. 6t 18.证明：(1)略. (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC= 23.(1)证明：因为△ABC△ADE,所以∠B=∠D,4g 'AD ∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 8能因为F,G分别是BC,DE的中点，所以BF=弓BC,Dc ∠BDC=∠DE,所以△C~△R,所以2%=品所以cW 2 =DE·DB. 号DE,所以 DG =E-8所以△4GD一△AB 四、19.这条河的宽度为30米 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADB= (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH, ∠AED=90°.因为∠DAB=∠DAE,所以△DAE△BAD,所 因为4CF=BC,4G=BD,所以先-器。 给-治所以4心=8 又因为4AC=2BC,则CF=子Bc=24C (2)瓷的值为号（规示：运△4GE△DGF. 设CF=a,则BC=4a,所以BM=CH=AH=弓BC= 21.(1)由题意得AB⊥L,A'B'⊥L, 2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是等边三角 所以AB∥A'B',所以∠ABO=∠A'B'O,∠BAO = 形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC=30°，所 ∠B'A'O 以AF=2AB 所以△AB0一△A'B'0,所以45=OC A'BOD' 因为0C=35.2cm,0D=12.4cm,AB=8.8cm,所以 因为△4C~△40E,所以铝=%=长<C=∠E, 器-总子解得4"公=31m ∠CB=∠BAD=90,所以器-能所以△4Cr~△AC 答：像A'B的长为3.1cm. 所以%-长Lca=LiC (2)由题易得号-品因为BL1,v1,所以AB∥N 又因为∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所 以∠FAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG,即∠FAG=∠BAD. 因为AP∥1，所以四边形ACOP为平行四边形，所以AP=OC =35.2cm. 又因为名-铝所以装-治所以△A5G一△4n所 易证得△40一△PA,所以智-，所 CD =AP 因为0D=12.4cm,所以CD=0C+0D=47.6cm,所以 (3)连接4P,由(2)得品-铝所以FG=告·D,所以 名-5解得0P9.2em 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值 答：焦距OF的长约为9.2cm. 因为4C=4,4=2.△ABC△A0E,所以能-指=2 五，2智或号 当E在4C上.D在4上时，因为器-器所瓷-% EG ED =2. (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD =t cm,BD (4-t)cm,BE 2t cm,CE =(5- 又因为∠C=LAED=60°AE-花=2，所以A4EGG 2)em(0≤t≤). △ACF.所以∠AGE=∠AFC 又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线， 因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90°，所以Rt△BFEM 所以FG=AF-AG=AF-方F=分4 △8C,所贺-能-片即臀-号所以BF=号 5 cm, 所以当MF⊥BC时，FG取得最小值，最小值为了 EF=号cm,所以N=(4-)em, 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=4,所以BC=8,AB= 因为CD⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF 43. =90°， 在Rt△ABF中，∠ABC=30°， 因为∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以 所以4F=之4B=25. ∠ACD=∠EDF,所以△ACD一△F0E,所以-是即 所以FG的最小值为√3. —64 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 报纸发行质量反馈电话 19.(12分)如图17，在菱形ABCD中，M为 AD的中点，BM与AC的交点为E,点F在边BC 重点集训营 辅助线周周练 0351-5271248 上接4版参考答案) 上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC. 所以∠BCE= (1)求证：△BAG∽△BMA; 1.在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5, 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC ∠FEC, (2)若∠ABC=60°，连接CG,求证：CG⊥ AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角 BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 所以∠BCE= BM. 形与原三角形不相以的是 ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 ∠BEC, BC于点F,若CF=8,AD=11,则CD的长为 所以BE=BC. (2)AE =BC. 理由略. 18.(1)证明： 2.将三角形纸片△ABC按 为： = DE 如图1的方式折叠，使点B落在 AC 边AC上，记为点B',折痕为EF AE 已知AB=AC=3,BC=4,若B 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= 所以△ABC∽ 以点B',F,C为顶点的三角形与 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC △ADE, △ABC相似，则BF= 上，AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则 所以∠BAC= 3.如图2所示，在等腰△ABC中，AB=AC, S△ADE+SACEF的值是 ∠DAE, 点E,F在线段BC上，CE=BF,点Q在线段AB 所以∠BAC- p30s+307S ∠DAF= 上，且AE2=AQ·AB.求证： ∠DAE 用水血￥‘x用米‘盘.4明x上关不 ∠DAF, 20.(12分)【基础巩固】 (1)∠CAE=∠BAF: 缸兴剂y￥电‘aQ‘QV业￥x出x=O 所以∠BAD (1)如图18-①，在△ABC中，D为AB上 (2)△ACE∽△AFQ. ‘0L=WV=IV辨‘義舌8☑VV唑aWVV ∠CAE. -点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD·AB. 影竖‘NWa7倭aOa7转4‘W士VaT (2)∠EBC的 【尝试应用】 W8a‘va斗【些】8b海0E乙 度数为21°. (2)如图18-②，在口ABCD中，E为BC上 1适口HH8=Ha甲‘AHaV (3)证明：由 一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若 云AH8VI義，苦群‘x忆=HaMx (1)知∠BAD = ∠CAE. BF=3,BE=2,求AD的长 =00*0=H阳子=阳低单锅9鲜 【拓展提高】 AE (3)如图18-③，在菱形ABCD中，E是AB 唑狂身三都義野御‘N⊥Hg T Wa 上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC,AC= I‘Qa=Ha度音⊥‘Haa7=H7哇 所以光- 2EF,LEDF=)∠BAD.若AE=1,DF=3,请 甘我单刊9新本群-职 所以△ABD∽ △ACE. Yg“HaV∽AaV知婚‘H⊥衫斗 直接写出菱形ABCD的边长. 数理报社试题研究中心 19.(1)A4纸较 (参考答案见下期) 4 1308T H88【坐部】￡I【荸号】 长边与较短边的比 第18期2版参考答案 为2. 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） (2)相似.理由 27.1图形的相似 基础训练 1.c:2.C:3学：42或8 略 基础训练1A:2.C:32:34号 20.(1)BE= 能力提高5.(1)证明略 AD.理由略 15 5.当M,N运动4s或1s能使矩形CFNM与 (2)氵严的值为行 (2)BE 矩形AEFD相似 SABDE 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 第18期3版参考答案 √2AD.理由略 基础训练1.A;2.D:3.6;4.2 -、题号12345678 (3)册的值为 答案D BBB CC D B B1或5*1 5.CH的长为 二、9.都是；10.8；11.△MCB; 2 2 12.70,28;13.6;14.9. 第18期4版参考答案 能力提高6.(1)DE的长为4，DF的长为14. 三、l5.证明：因为菱形AEFG菱形 重点集训营 (2)PH长为15. ABCD,所以∠DAB=∠EAG,所以∠DAB+ 1.C;2.B; 27.2.1相似三角形的判定（第二课时） ∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB=∠GAD, 基础训练1.A;2.C;3.18;4.2或4. 3 4.26 因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE= 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标 AG,AB=AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD= (全文完) 可以得到OA=3,OB=4,AD=1,CD=2,所以 EB. AB=5,AC=√5，BC=2V5, 16.(1)△BCD∽△BAC.理由略 在△6c和△4CD中，因为6=5 1 5, (2)AC的长为 %=2=5能=青-5，所以%-89 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB CD 2 所以∠FEC=∠BEC, 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) -2所以△ABC△4CD 因为EF∥BC, (下转1,4版中缝) 数理报 2025年11月20日·星期四 初中数学 第19期总第1163期 人教 中考(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-157 名师课堂 例1如图1是跷 性质应用小超市 跷板示意图，支柱OM 经过AB的中点O,OM 与地面CD垂直于点M, ◎山东王文静 OM=30cm,当跷跷板 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应 中线的比、对应角平分线的比、对应高的比都等 K若 ,则 的一端A着地时，另一 O = SACDF 端B离地面的高度为 相似三 于相似比；面积比等于相似比的平方”等性质， 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所 东 cm. 灵活运用上述性质，可以帮助同学们解决许多以AB=CD,AB∥CD,所以∠AEF=∠CDF, 除 相关问题. 一B ∠EAF=∠DCF,所以△EAF∽△DCF,因为 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 AE 2 CD 例1若两个相似三角形周长的比为1：4，EB ，所以 子，所以品= 图1 S△cDF 则这两个三角形对应边的比是 () 解析：过B作BE⊥ 形用处 A.1:2B.1:4C.1:8 D.1:16 （cD CD于E,则OM∥BE: 解析：因为两个相似三角形周长的比为1： 因为O是AB的中点，所 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 以Q4 4,所以相以三角形对应边的比为1：4.故选B. 易证得 例3已知△ABC∽△DEF,且AC:DF= AB 应用二：相似三角形面积的比等于相似比 OM 01 的平方 2:3,BC与EF边上的高分别记为h,和h2,则 △BAE∽△OAM,所以 EAB =2,所以BE 例2如图，在平行四 h,:h2等于 =20M=2×30=60(cm).故填60. 边形ABCD中，E是线段AB 解析：因为△ABC∽△DEF,AC:DF=2: 例2《九章算术》中 上一点，连接AC,DE交于点 3,所以h:h2=AC:DF=2:3.故填2：3. 有这样一个问题：“今有 邑方不知大小，各中开门， 疑难解析· 出北门一百步立一表，出 运动中的相似三角形 西门二百二十五步适可见 之，问邑方几何？”它的意 思是：如图2，M,N分别是正方形城邑ABCD的 河南 陈梦洁 边AD,AB的中点，ME⊥AD,NF⊥AB,已知EF 一、利用相似求运动时间 所以BC=10,①当∠EDC=90°时，因为 过点A,且ME=100步，NF=225步，那么该正 例1如图1所示，在 ∠DCE=∠ACB,∠EDC=∠A,所以△CDE 方形城邑的边长AD约为步. Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 4cm,BC=3cm.动点M从点C出 △cA,所以需-，即5-；解得cE 解析：因为ME⊥AD,NF⊥AB,所以 CB M ∠FNA=∠AME=90°.因为四边形ABCD是 发，以1cm/s的速度沿CA向终点 ;2当∠DEC=90°时，因为∠DCE= 25 B 正方形，所以∠MAN=90°，所以∠F= A移动，同时动点P从点B出发，以 图1 2cm/s的速度沿BA向终点A移动，连接PM,设 ∠ACB,∠DEC=∠A,所以△CED△CAB,所 ∠BAM,所以△4WE∽△PN1,所以祭- 移动时间为10<125)，求当1为何值时，凭-品即袋=高解得cB=4 设AD=2a步，则AM=AN=a步，因为ME= 以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？ 综上所述，CB的长为4或2故城4或空 10步.N-25步，所以25-0解得a= a 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm, 150(负值舍去)，所以正方形城邑的边长AD= BC=3cm,根据勾股定理，得AB=5cm,所以 例3如图3，梯形 2a=300步.故填300 4M=(4-t)cm,AP=(5-2t)cm,①当△AMP ABCD中，AD∥BC,对角线 例3“矩”在古代 一△AC时=即2-45，解得4C1BCAD=9,4C=12. 指两条边呈直角的曲尺 4 (即图中的DEF).小南 是：②当△AP△ABC时，把-即 BC=16,点E是边BC上一 图3 利用“矩”测量大树AB 个动点，∠EAF=∠BAC,AF交CD于点F,交 的高度.如图3，小南通 图3 4-t=5-21,解得1=0（舍去）. BC延长线于点G,设BE=x.用含x的代数式表 过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使 示FC. 斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直 综上所述，当t=弓时，以A,P,M为顶点的 解：因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.因为 线上.已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m, AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=90°.因为AD DE=0.3m,点D到地面的距离DM为1.6m, 三角形与△ABC相似 =9,AC=12,BC=16,所以AB=20,DC=15 测得AM=21m,求树高AB. 二、利用相似求线段的长 解：根据题意，得∠DEF=∠BCD=90° 例2如图2，在Rt△ABC 因为=折=台∠AcB=∠D4C,所以 4 ∠EDF=∠CDB,所以△DEF∽△DCB,所以 中，∠BAC=90°，AB=6,AC= -8折因为BF=0.2m,DB-03m,A EF 8,点E是AC上一个动点，点D △ABC△DCA,所以∠B=LACD.因为 在BC上，且CD=5,若以C,D, 图2 ∠EAF=∠BAC,所以∠BAE=∠CAF,所以 =D=21m,所以号%=号解得8C E为顶点的三角形与△ABC相似以.则CE的长度△4BE~△4CF,所以长=华所唱=C 14m.因为AC=DM=1.6m,所以AB=AC+ 为 BC=15.6m. 解析：因为∠BAC=90°，AB=6,AC=8, 所以CF=3 答：树高AB为15.6m. 素养专练 数理极 27.2.2相似三角形的性质 27.2.3相似三角形应用举例 跟踪训练 屋础训练 基础训练 1.两个相似三角形的相比为1：2，则这两 1.如图1是测量河宽的示意图，测得BD= 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） 个三角形的周长比为 ( 150m,DC=75m,EC=60m,则河宽AB的长为 A.1:1 B.1:2 屋础训练 C.1:V2 D.1:4 A.60m B.80m 1.如图1，AD与BC相交于点0，要使△AOB 2.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC C.100m D.120m 与△D0C相似，可添加的一个条件是 ( △ODC,其中点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标 A.∠A=∠D B.∠A=∠B 为(1,0)，则△ABC与△ODC的面积比是 C.∠C=∠D D.∠AOB=∠DOC A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.9:1 2.如图2，一个高为1m的油筒内有油，一根 图1 图2 木棒长1.2m,从桶盖小口斜插入桶内，一端到底 2.如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油 ⊥AB于点D,则图中相似的三角形有 部分的长为0.36m,则桶内油的高度为() A.0对B.1对C.2对 D.3对 A.0.28m B.0.385m 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 图 图 C.0.4m D.0.3m 40°，点D是边AC上的动点（点D不与，点A,C重 3.两个相似三角形的面积之比为1：4，小三 3.如图3，身高为1.5m的小明AB站在小河 合)，当∠BDC= °时，△ABC 角形一条边上的中线长为4，则另一个三角形对 的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的 △BDC. 应边上的中线长为 高度，CD在水中的倒影为C'D,点A,E,C'在一条 A.8 B.6 C.4 D.5 直线上.如果小河的宽度BD为12m,BE=3m, 4.如图2所示的是某家用晾衣架的侧面示意 那么这棵树CD的高为 m. 图，已知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的 距离是 A.0.6m B.0.8m 4.如图4，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是 C.0.9m D.1m BC上一点，BE=1,AE与BD交于点F,则DF的 BC 图3 C 4 5在△ABC与△AB'C中，B=B”% = 长为 4.如图4，数学兴趣小组下午测得一根长为 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=2∠C. 0.8m的竹竿影长是1m,同一时刻测量树高时发 AB =7 cm,BC =5 cm,AC =4 cm,A'C= (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD(要 现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明)； 3cm,则△A'B'C'的周长为 m 留在墙壁上的影高为1.2m,地面上的影长为 (2)求证：△ABD∽△CBA, 6.如图3，在Rt△ABC 3m,请你帮算一下，树高是 中，∠C=90°，棱长为1的立 方体的表面展开图有两条边 能刀提高 分别在AC,BC上，有两个顶 图3 5.如图5，晓波拿着一根笔直的小棍BC,站在 点在斜边AB上，则△ABC的 距某建筑物约30米的点N处（即EN=30米），把 面积为 手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE,晓波 看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和 能刀提高 底端E在一条直线上.已知晓波的臂长CM约为 7.如图4，在△ABC中，点D在AB上（点D不60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN,CM⊥ 与，点A,B重合)，且DE∥BC交AC于点E. AN,DE⊥EN.求这个建筑物DE的高度 (1)若AN⊥BC于点N,交DE于点M,求证： 能刀提高 DE BC 6.如图6，四边形ABCD中，AC平分∠DAB, (2)若D是AB的中点，设△ABC的面积为S, ∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE 求证： △DBC的面积为S,求)的值 (1)AC2=AB·AD: (2)△AFD∽△CFE. 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(10分)小言家窗外有一个路灯，每天晚 步 检测题（十二 上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知 道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知 识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图 【检测范围：27.2.1（第四课时）~27.2.3】 14,路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地 面的长度为DE,小言测得窗户距离地面高度BF (满分：120分) 8.有一块锐角三角形余料 =0.7m,窗高BC=1.4m,某一时刻，FD= △ABC,边BC为15cm,BC边上 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 的高为12cm,现要把它分割成若 0.7m,DE=2.1m,请你根据小言测得的数据，求 出路灯的高度OA. 题号12345 67 8 干个邻边长分别为5cm和2cm 答案 的小长方形零件，分割方式如图6 图6 所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形 1.如果两个相似三角形的相比为16：9，那 的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的 么这两个三角形对应边上的高之比为 小长方形零件最多有 14 A.16:9 B.4:3 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 C.9:16 D.256:81 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 2.如图1，小明在打网 a 9.如图7，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC 球时，要使球恰好能过网， -0.9m ih m. 边上，要使△ABC∽△AED,则需要添加的一个条 而且落在离网5m的位置 10m 上，则拍击球的高度h应为 图1 件是 (写出一个即可) A—B A.1.8m B.2.7m C.3.6m D.4.5m 3.在△ABC和△A'B'C'中，若LA=68°，∠B 17.（10分)如图15，△ABC中，DE∥BC,BE B =40°，∠A'=68°，∠C'=72°，则这两个三角形 图7 图8 与CD交于点O,AO与DE,BC分别交于点N,M. ( 10.如图8，AB∥GD,AD,BC交于点0，若0J (1)若点M是BC的中点，求证：DN=EN; A.全等或相似 B.相似 (2)若0N:OM=2:5,四边形BCED的面积 C.全等 D.无法确定 3且△A0B的周长是12cm,则△C0D的周长 为42，求△ABC的面积. 4.如图2，在边长为1的小正方形网格中，AB, 是 cm. CD相交于点O,点A,B,C,D都在这些小正方形网 11.图9-①是装满了液体的高脚杯（数据如 格的格点上，则△AOC与△BOD的周长比为 图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上如图9一 ( ②所示，此时液体AB= cm. 8 cm 3 k8 cm A. B 9 D. 4 ① 图9 ② 图10 12.如图10，在口ABCD中，E为CD上一点， 图2 图3 DE:CE=2:3,连接AE,BE,BD且AE,BD交于F, 5.如图3，D是△ABC边AB上一点，连接CD, 则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC 则SADEF:S△ADF:S△ABF = 18.（10分)学习了相似三角形相关知识后，小小 13.如图11，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已 的是 () 明和同学们想利用标杆测量大楼的高度.如图16， 知B0=2A0,则要使该圆球向上抬升（竖直高 A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB 小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、标 C.AD CD 度)12cm,杠杆的另一端点B需要向下压的竖直 杆顶点A、大楼顶点C在一条直线上(，点F,B,D也 ·AC=BC D.AC2=AD·AB 距离是 cm. 在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米，标 6.如图4，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD, D 杆AB=2.5米，BD=23米，FB=2米 点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E,GF∥AC (1)求大楼CD的高度为多少米(CD垂直于地 60°2 且交CD于点F,若 S△AEG 4 A B C 面BD)? ,AC=9,则GF的长 四边形EBDG 5 图11 图12 (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标 为 ( ) 14.如图12，在Rt△ABC中，LBAC=90°，∠C杆，可以用同样的方法测得大楼CD上点G的高度 A.2 B.3 9 D.6 =60°，BC=24,点P是BC边上的动点（点P与点GD=11.5米，则标杆AB应该向大楼方向移动多 B,C不重合)，过动点P作PD∥BA交AC于点D.少米？ 若△ABC与△DAP相似，则∠APD= o 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 15.（10分)如图13，在Rt△ABC中，∠ACB= 图4 图5 90°，CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点，连接AE, 7.如图5是一个铁夹子的侧面示意图，点C是作EF⊥AE交AB于F.求证：△AGC∽△EFB. 连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面 图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴.若DA= 15mm,D0=24mm,DC=10mm,则点A与点B之 间的距离为 ( A.20 mm B.30 mm C.40 mm D.50 mm (下转第4版)