第18期 27.1 图形的相似 27.2.1 相似三角形的判定(1)【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第17~20期 发理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第17~20期 第17期2版 (2)设反比例函数表达式为y=冬，依题意可知C(40,8) 26.2实际问题与反比例函数 在图象上，所以片=320，所以反比例函数表达式为y=320 基础训练1A:208:3,25:4Q06 (3)依题意可知，DE,CF的函数图象关于y轴对称，所以E, 能力提高5.(1)ym=960(x>24. F两点关于y轴对称，所以点F的纵坐标为32.把y=32代入y x =320,可得x=10,所以F(10,32),所以E(-10,32),所以EF (2)老师安排不合理，理由：由题易得yB=2x+20,令y4B =2x+20=38,解得x=9,令3m=960=38,解得x≈25.3. =20m,即上底面圆形的直径EF的长为20m 20.(1)一次函数表达式为y1=x+2,反比例函数表达式 因为25.3-9=16.3<23，所以老师安排不合理. 为五=3 重点集训营 1.6；2.-33.2；4.18. (2)由图象可得，当y1>y2时，x的取值范围为-3<x< 5(1)反比例函数的表达式是y= 0或x>1. t (3)设直线y,=x+2与y轴相交于点D,过点A作AM⊥ (2)将)y=3代入y=6中，得x=2,即点N的坐标是(2,3)， x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,则D(0,2),所以OD= 2,因为点B,C关于原点对称，所以C(3,1),所以MN=2,CN 因为四边形OABC是矩形，B(4,3),M(4,1.5),所以∠BC0= =1,0N=3,所以SAAC=S△BoD+S梯形ADOM+S梯形Awc-S△coN ∠BAO=∠B=90°，BN=4-2=2,OC=BA=3,CN=2,AM =8,即△ABC的面积为8. =BM=1.5,所以S△M0N=S矩形0HBc-S△CY-S△N-SAHw= 4x3-分×3×2-7x2x1.5-7×4×1.5=45 21.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)根据题意，得S正方形BcD=4×4=16,EF=4,设P(m, 第17期3,4版 ),则Sam=F小m1=21m1=8,解得m=主4，当m 题号12345678910 答案CBDBABCCBB =4时=至=子此时P代4，》：当m=-4时=4 3 二、11.-1；12.0；13.35；14.y2<1<y3; 15.3 此时P-4,-》。 2 综上可知，在反比例函数的图象上存在点P,使得△PEF的 三、6.反比例函数的关系式为y=- ,一次函数的关系 面积等于正方形BCD面积的一半，点P的坐标为(4，子)或 式为y=-x-1. 17.(1)函数表达式为y=12 (2)物距为4cm. 五，2（)反比例函数的表达武为y=子 18.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)由题意得A(1,3),设一次函数y=-x+4与x轴交于 点E,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,所以C(0,4),E(4, (2)反比例函数y=6的图象经过点(1,6)，(2,3)，(6， 0),所以△0AB的面积=S△coE-SAco1-S△E0=4,因为 1),画图略 △ACD的面积是△OAB面积的2倍，所以△ACD的面积为8，设 a)是 D(t,0),则DE=4-tl,所以S△AcD=S△ce-S△ADE=8,所以 四、19.(1)(40,8). 号14-1×4-714-11×3=8，解得1=-12或20所以 中考数学人教(GDY) 第17~20期 点D的坐标为D(-12,0)或D(20,0) 因为点B在函数y=3的图象上， (3)过点A作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于点C,ED⊥ CD于点D,设E(a,名)(a>1).因为4(1,3)，所以AD=a- 所以设点B的坐标为(m,3)(m>0). m 1.DE=3-子由题意得AE=AP,∠FAE=90,所以∠EAD 所以BE=3-3,AB=m-1, m +∠CAF=90. 因为∠CDA=∠BEA=∠BAC=90°， 因为∠EAD+∠AED=90°，所以∠CAF=∠AED,所以 所以∠CAD+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，所以 △ACF≌△EDA,所以CF=AD=a-1,4C=DE=3-3 ∠CAD=∠ABE, 由旋转的性质可知，AC=AB,所以△ACD≌△BAE, 所以F(3-2,4-）.因为点F恰好也落在这个反比例函数的 所以AD=BE=3-3,CD=AE=m-1, m 图象上.所以（子-2）(4-0)=3. 所以点C的坐标为(3-2,4-m), 解得a=6或a=1(舍去)，所以B(6,). 因为点C在函数了=子图象上，所以（品-2(4-m）= m 23.(1)①点(-1,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为 3,解得m1=6,m2=1(舍去)， (2,1),把x=2代人y=2x-1,得y=2×2-1=3≠1，所 所以点B的坐标为(6，. 以点(2,1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(-1,2)不是 原点O关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”： 第18期2版 ②点(1,3)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(3，-1)， 把x=3代入y=2x-1,得y=2×3-1=5≠-1，所以点 27.1图形的相似 (3,-1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(1,3)不是原点 基础训练1.A:2.C:3.2:3:42 2 0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 5.设运动ts能使矩形CFVM与矩形AEFD相似，由题意得 ③点(-3,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(2,3)， 把x=2代人y=2x-1,得y=2×2-1=3,所以点(2,3)在 -登或奖=受解得4=4或1=1所以当M.N运动4s 函数y=2x-1的图象上，所以点(-3,2)是原点0关于一次 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 函数y=2x-1图象的“直旋点”.故填③ 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） (2)如图1，设点M绕点N顺时针旋转 90°的对应点为M',过点M作MA⊥x轴于 基础训练1小：2.D:36:47 点A,过点M'作M'B⊥x轴于点B, 5.GH的长为 因为M(-2,4),N(1,0),所以0A=A 2,MA=4,0N=1,所以AN=2+1=3, 图1 能力提高6()因为AD∥BE∥CF,所以光=张 因为∠MAN=∠M'BN=∠MNM'=90°， 所以∠AMN+∠ANM=∠AWM+∠BNM'=90°，所以 号，所以70=子.所以0E=4,所以DF=0E+F=4 ∠AMN=∠BNM',由旋转的性质可知，MN=M'N, +10=14. 所以△MAN≌△NBM',所以BN=MA=4,BM'=AN= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以C 3, DE 所以0B=1+4=5, 8%=分所以Q1=6因为AD∥版∥GF.所以册-能 所以W的坐标为5,3)，把(5,3)代入y=车，得=15. 所以月=号所以Pm=15 (3)如图2，设点B绕点A顺时针旋转 27.2.1相似三角形的判定（第二课时） 90°的对应点为C,连接AC,AB,过点A作x 基础训练1.A;2.C;3.18;4.2或4. 轴的平行线DE,过点B作BE⊥DE于点E, 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 过点C作CD⊥DE于点E, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 因为点A(1,3)在反比例函数y=k的 图2 图象上， 在△4C和△4CD中，因为光-卓-5%-空。 2 所以k=1×3=3,所以反比例函数的解析式为y=3 V5,4B=5=5,所以AC=C=,所以△ABC一△ACD AD CD AC 2 中考数学人教(GDY) 第17~20期 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） AB=AD,所以△ABD~△ACE. AC AE 基础训练1.C:2.C:3号42或8 19.(1)如图3，设AB=x,由翻折的性质得， D 能力提高5.(1)证明：因为AB=2AD,AC=2AE,所以 ∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF= 8=e=2又因为∠A=∠A,所以△ADE一△ABC ∠BDF=90. 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= (2)因为AE=2,AD=3,所以AB=2AD=6,AC=2AE ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 图3 :4版心=1旺-4国-能·尝品 SBDE CD ∠ECF=45°，所以BC=2x,所以BD=BC=√2x,所以AD= =3,所以S6ms=}5am,S6e=2SA4m,所以匹- 1 AB+BD=(2+1)x,所以EF=CE=AD=(2+1)x,因为 S△BDE D正=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(G2+2)x,所以% 2S AAED ÷6 -(2+2)x-2+2=2. (2+1)x2+1 第18期3版 (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 题号12345678 (2+1)x,A5纸短边长为(2+2)，所以在A5纸中，长边： 2 答案DBBBC C DB 二、9.都是；10.8；11.△MCB;12.70,28; 短边=5+1)正=万，所以A4纸与A5纸相似 13.6:14.9. (2,+2x 2 三、I5.证明：因为菱形AEFG∽菱形ABCD,所以∠DAB= 20.(1)BE=AD.理由如下： ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 如图4，连接CE.因为a=60°，AB=AC,且由旋转的性质 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 得CD=DE, =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 所以△ABC,△DCE均为等边三角形，所以BC=AC,CE 16.(1)△BCD∽△BAC.理由如下： =DC,∠BCA=∠ECD=60°， 4 所以∠BCE=∠ACD,所以△BCE兰△ACD,所以BE= 因为BD=专，AB=3,BC=2,所以 3 2 BC BC=立=3B AD. 号所以2-断因为∠DaC=∠CB4,所以△BD 入 △BAC. 5 图4 ②)因为△8CD△84C,所以2=脂即是- (2)BE=√2AD.理由如下： 以C:多 如图5，连接CE.因为=90°，AB=AC,且由旋转的性质 得CD=DE, 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 所以△ABC,△DCE均为等腰直角三角形.设AB=AC= 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 x,DE=DC=y,则根据勾股定理得BC=√2x,CE=√2y,所以 以BE=BC. (2)AE=BC理由：因为AD∥ER,所以2=能因为DF 形=能2，所以ee 又因为∠BCA=∠ECD=45°，所以∠BCE=∠ACD,所 =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC 以△BCE∽△ACD, 18()证明：因为8-E=长所以△ABc一△AE, 所以E=BC=2,所以BE=2AD. ADAC 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (3)因为在△ABC中，∠BAC=120°，AC=AB=2BE= (2)因为△ABC△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 23,所以BE=√3，∠ABC=30°， ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21°. 所以P=宁=点 当点E在直线BC上方时，连接CE,如图6，同(2)得 (3)证明：由(（)知∠BAD=∠C1E因为8=长所以 :△BCE∽△ACD,所以EB=W3AD,所以AD=1,所以DP=AD 3 中考数学人教(GDY)第17~20期 +AP=1+3,所以A0 1 3、1 能力提高5.过点A作AG⊥DE,交BC于点F,垂足为G, 1+52 由题意，得AF=CM=60厘米=0.6米，AG=EN=30米，BC 当点E在直线BC下方时，连接CE, =24厘米=0.24米，因为BC∥DE,所以∠ABC=∠ADE, 如图7，同(2)得△BCE∽△ACD,所以 B ∠4ACB=LABD,所以△AC△AE,所以-若-是 EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AP 1 图7 AD=5-1,所以P=3 =0,解得DE=12米 答：这个建筑物DE的高度为12米. 3+1 2 第19期3版 综上品的值为或百 一、 2 题号12345678 答案ABB ACB BD 第18期4版 二、9.∠AED=∠B(答案不惟一)；10.36；11.4； 重点集训营 12.4:10:25;13.24;14.30°或60° 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 1.c2B:35:426 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为∠BFE+ 第19期2版 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 基础训练1.A;2.D;3.70;4.4. 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5.(1)作图略. ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 16.因为AO⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, (2)证明：因为AD平分∠BMC,所以∠BAD=方∠BAC, △40E△CFE,所以品-8-87， 因为∠BAC=2LC,所以∠C=7∠BAC,所以∠BAD=∠C, 设OF=xm,则A0=OD=x+0.7, 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 又因为△40E~△CF,所以品=器即兰=8 能力提高6.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC 2.8+x-2.8' =∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB, 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=6.3m 所以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 答：0A的高度是6.3m. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE-AE,所以∠EAC 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADW△ABM, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 △E△4wc.所以别-器-所以器-器又 ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 27.2.2相似三角形的性质 基础训练1.B;2.D;3.A;4.A; （2)因为DE/Bc,所以器=8%=号，因为DE∥BC 5.12;6.16. 所以△D0E~△C0B,所以PE=0E=2 能力提高7.(1)证明：因为DE∥BC,所以∠AMD= CB=0B=5, ∠ANB=90°，∠ADM=∠B,∠AED=∠ACB, 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以SR BC 所以△DE一△4BC,△DN~△ABN,所以0-e 去设Sam=4(s>0),则S6版=25，因为四边形BCBD 8兴所以能-兴 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S4c=50. (2)因为D是AB的中点所以治-子由()知△40E 18.(1)过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形 EFBJ,四边形EFDH都是矩形，所以EF=BJ=DH=1.5米， 一△16C,所以光-治-分所以4E=6C,所以Sw BF=EJ=2米，DB=JH=23米.因为AB=2.5米，所以AJ =AB-BJ=2.5-1.5=1(米).因为AJ∥CH,所以∠EAJ= Sc因为△ADE一△ABC,所以=（设2=（分）- S△ABC AB ∠BC,∠A-∠c,所以△EU△sC.所以出-引 4 =432解得ch=2.5米，所以cD=cM+pM= 27.2.3相似三角形应用举例 12.5+1.5=14(米). 基础训练1.D:2.D:3.4.5:4.3.6. 答：大楼CD的高度为14米 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R,连接EC,由 第19期4版 题意得，点E,A,G在同一条直线上.设BF=x米，因为AR∥ GT,易证得△5△BCT,所以答-器=5 1 重点集训营 23+2,解得x=2.5因为2.5-2=0.5（米），所以标杆AB应 1.:22成号 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 该向大楼方向移动0.5米. 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF, 因为∠AGB=180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB. ∠BAF,因为AB=A0·AB,AC=AB,所以45=45即45= A=AE 'A0 又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA. (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 长所以△4cEn△AF0 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 第20期2版 CB=CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 27.3位似 以CW1BC由)得品-6所以BG·BW=A,所以 基础训练1C:2.C:3(8,10):4空 BG·BM=BC.所以BS=BC 能力提高5.(1)图略。 BC BM (2)图略 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 (3)△AOB与△AO2B2是关于某一点为位似中心的位似 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 图形，位似中心的坐标为(6，-2). 20.(1)证明：因为∠ACD=∠B,∠A=∠A,所以△ADC 重点集训营 一△4CB,所以光=器所以AC=AD:AB 1C:2D3B:4953或22 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC,∠A 6.(1)因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点， =∠C. 所以∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°. 又因为∠BFE=∠A,所以∠BFE=∠C. 因为CE=CE,所以△BCE≌△ACE,所以∠EBC= 又因为∠FBE=LCBF,所以△BFE∽△BCF,所以 ∠EAC,AE=BE. BC= 因为EF=EB,所以∠EBF=∠EFB,所以∠EFB= 器所以BF=E,C,所以Bc-E-号所以D= 2 ∠EAC. 因为∠EFB+∠EFC=180°，所以∠EFC+∠EAC= (3)如图8，分别延长EF,DC相交于 180°，所以∠AEF=360°-（∠EAC+∠EFC)-∠ACB=90°. 点G, (2)证明：因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点，所 因为四边形ABCD是菱形，所以AB 以∠ADE=90. ∥DC,∠BAC=∠BAD 因为EF⊥FG,所以∠ADE=∠EFG=90°，所以∠AED 因为AC∥EF,所以四边形AEGC为 图8 +∠DAE=90°，因为∠AEF=90°，所以∠AED+∠GEF= 平行四边形，所以AC=EG,CG=AE=1,∠EAC=∠G. 90°，所以∠DAE=∠GEF,所以△AED∽△EGF, 因为∠B0F=分∠BD,所以∠EF=∠BC,所以 所以瓷=品即A·F=A0:BC ∠EDF=∠G 因为AE=EB,EF=EB,所以EF=AE,所以AE2=AD· EG 又因为∠DEF=∠GED,所以△EDF△EGD,所以 EG 第20期3,4版综合评估卷 品所以DE=EF,EC 题号12345678910 又因为EG=AC=2EF,所以DE2=2EF2,所以DE= 答案ABACABBACA √2EF. 二、11.∠B=∠E(答案不帷一)；12.2：1；13.20： 又因为-器所以DG=2DF=3,所以Dc=nc 14.20;15.4. 三、16.甲、乙两地的实际距离是12.5km. -CG=32-1,所以菱形ABCD的边长为32-1. 17.(1)图略 5 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)3:1. 3 :立所以4=后称 (3)9+35+32. 4、13 5 18.证明：(1)略. (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC= 23.(1)证明：因为△ABC~△ADE,所以∠B=∠D,Ag 'AD ∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 能因为R,G分别是BC,DE的中点，所以BF=宁BCc,Dc = ∠B0C=∠E,所以△DEGADCE,所u25-8品所烈cm =DE·DB. DE,所以能 1BC -BC=AB,所以△AGD∽△AFB 四、19.这条河的宽度为30米 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADB= (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH, ∠AED=90°.因为∠DAB=∠DAE,所以△DAE∽△BAD,所 因为4CF=BC,4BG=BD,所以8器-S 岩-治所以A0=服A版 又因为AC=2BC,则CF=BC=2AC (2)瓷的值为号（提示：证△4CE~△DGP. 设CF=a,则BC=4a,所以BM=CH=AM=BC= 21.(1)由题意得AB⊥1，A'B⊥L, 2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是等边三角 所以AB∥A'B',所以∠ABO=∠A'B'O,∠BAO = 形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC=30°，所 ∠B'A'O 以AF=之AB 所以△AB0△A'B0,所以A5=0C」 A'BOD' 因为0C=35.2cm,0D=12.4cm,AB=8.8cm,所以 因为△4C∽△A0E,所以8-%-长∠C=∠E, 8-瓷异解得g=31m ∠CB=∠BAD=90,所以哈器-长所以△ACP△ABG 答：像A'B的长为3.1cm. 所以%-会LcF=LEAG （2由题易得粉-0因为B上1.N1所以B/nN 又因为∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所 以∠FAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG,即∠FAG=∠BAD. 因为AP∥1，所以四边形ACOP为平行四边形，所以AP=OC =35.2cm. 又因为能-治所凭-铝所以△AG∽△ABD.所 易证得△F0一△P,所以积-所以 OF 以 AF I CD AP BD =AB=2 因为0D=12.4cm,所以CD=0C+OD=47.6cm,所以 (3)连接4F,由（②）得品-A所以FG=D,所以 活853解得0F=9.2m 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值. 答：焦距OF的长约为9.2cm. 因为4C=4,4E=2,△MBC△M0E,所以8e-6=2. 五2)8或号 当E在AC上，D在AB上时，因为器-部所以凭=% EG ED =2. (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD t cm,BD =(4-t)cm,BE 2t cm,CE =(5- 又因为∠C=LAD=60-器=2.所以△ABG 2)cm(0≤1≤7). △ACF.所以∠AGE=∠AFC. 又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线， 因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90°，所以Rt△BFE∽ 所以FG=AP-AG=AP-分F=号AC R△B1C,所u货-能-，即华-号所以BF=。 5 cm, 所以当AF⊥BC时，FG取得最小值，最小值为)AF BF=号em,所以nF=(4-号)em, 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=4,所以BC=8,AB= 因为CD⊥DE,所以∠CDE=9O°，所以∠ADC+∠EDF 43」 =90°， 在Rt△ABF中，∠ABC=30°， 因为∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以 所以AF=分B=25, ∠ACD=∠EDF,所以R△ACD~△PDE,所以祭-即 所以FG的最小值为√3. 6素养·拓展 A 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 (上接第3版) 报纸发行质量反馈电话 19.(12分)如图15-①，将A4纸进行2次 折叠后，第一次的折痕与A4纸较长的边重合， 重点集训圳营 辅助线周周练 0351-5271248 如图15-②，将1张A4纸对折，使其较长的边 上接4版参考答案) 分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸.。 (3)依题意可 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上，且 (1)求A4纸较长边与较短边的比； 相交于点O,OE∥DC交BC于点E.若AD=BE=2AE,连接ED,点F为ED的中点，连接 知，DE,CF的函数图 象关于y轴对称，所 (2)A4纸与A5纸是否为相似以图形？请说明 8cm,则OE的长为 AF,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则AF的 以E,F两点关于y轴 理由 A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cmi 长为 对称，所以点F的纵 坐标为32.把y=32 代人y=320,可得x =10,所以F(10. 图2 32),所以E(-10, 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD 32),所以EF=20m, 2.如图2，AD是△ABC的中线，E是AD上 的中点，连接AE,将△ADE沿AE折叠得 即上底面圆形的直径 一点，4E=4D,BE的延长线交AC于点F,则 △AFE,连接BD,分别交AF于点M,交AE于点 EF的长为20m. AF 20.(1)一次函 的值为 若AF1GD于点G,MN=2,=分，则 数表达式为y,=x+ AN的长度为 A B.1 2,反比例函数表达 D. 6 c 2 3.如图3，正方形ABCD的边长为6，E为CD 斗阴W甲￥型Y‘ 式为5=是 20.(12分)如图16，在△ABC中，AB= 边中点，G为BC边上一点，连接AE,DG,相交于 (2)由图象可 A=vO元NOZ NJ张电围 点R若DF 得，当y1>y2时，x 4 AC,∠BAC=,点D是平面内不与点A,C重合 ,则FE的长度是 FG 5 草部義乐WHQV适看业职‘班卫头WNHO 的取值范围为-3< 的任意一点，连接CD,将线段DC绕点D顺时针 :q园R‘:其三封厚毙X NOVV散 x<0或x>1. 旋转a得到线段DE,连接BE,AD, ‘单狂亲琴华‘H学⊥ (3)△ABC的面 观察猜想：(1)如图16-①，当α=60°时， HW卒‘形垂阴WO学‘W‘Ha‘O 积为8. 线段BE,AD之间有怎样的数量关系，请说明理 买‘0学士IaOV斜买【些】￡乙 21.(1)反比例 由； 函数的表达式为y 小酷搏未一 类比探究：(2)如图16-②，当=90°时， 楼上美彩中丁楼县三男厚興世‘丑北 = 6 请写出线段BE,AD之间的数量关系，并仅就图 4.如图4，以△EBC的边BC为边作正方形 苦关4H‘门8缸兴部☑电‘狂男 (2)在反比例 16-②的情形说明理由； ABCD,AD与BE,CE分别交于点F,G,若BF= 三其草鄱義头O4a71咯‘OH=Ha世 函数的图象上存在 拓展应用：(3)如图16-③，当a=120°， EF,AF=1,BC=12,则CE的长为 圆H符彩9彩本御‘H学上Da卒 点P,使得△PEF的 AB=2BE=23,点A,D与BC的中点P三点 数理报社试题研究中心 彩锤明a!学【些群】心1【孝号】 面积等于正方形 (参考答案见下期) 共线时，请直接写出 ABCD面积的一半， 的值 第17期2版参考答案 第17期3,4版参考答案 点P的坐标为(4， 26.2实际问题与反比例函数 -、题号12345678910 3)或(-4，-3》 基础训练1.A:20.8:3.200,2.5: 答案CB D BABCC BB 五、22.(1)反 二、11.-1；12.0；13.35；14.y2<y 比例函数的表达式 4.0.06 为y=3 能力提高 5.(1)ym=960(x>24. (2)存在，点D 三、16.反比例函数的关系式为y= (2)老师安排不合理，理由略 的坐标为D(-12 0)或D(20,0) 重点集训营 次函数的关系式为y=-x-1. 1.6;2.-3:3.2:4.18. 17.(1)函数表达式为y= (3)E(6,2). x 5.(1)反比例函数的表达式是y=6 (2)物距为4cm. 23.(1)③. (2)k的值为15. 18.(1)反比例函数的表达式为y= 6 (2)将y=3代入y=6中，得x=2,即点 x (3)点B的坐 N的坐标是(2,3)， (2)反比例函数y=6的图象经过点(1， 标为(6,2) （全文完) 因为四边形0ABC是矩形，B(4,3),M(4,6),(2,3),(6,1),画图略. 1.5), 所以∠BCO=∠BAO=∠B=90°，BN=4 四、19.(1)(40,8). -2=2,0C=BA=3,CN=2,AM=BM=1.5, 所以S△ON=SEf形o1Bc-S△ocN-S△BwN- (2)设反比例函数表达式为y=名，依题意 数理报社试题研究中心 sam=4×3-方×3×2-方×2×1.5-分×可知C(40,8)在图象所以k=20,所以反比 (参考答案见下期) 14×1.5=4.5. 例函数表达式为y=320 (下转1,4版中缝) 数理报 2025年11月13日·星期四 初中数学 第18期总第1162期 人教 中考(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 爱题辅导 各角对应相等，各边对 详谈平行线分线段成比例 应成比例的两个多边形叫 做相以多边形，相似多边形 对应边的比叫做相似比.由 ◎山西 张耀君 定义可知，两个多边形相似 一、“口诀”帮你找对应线段 120cm.故填120. 需同时满足：①对应角相 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截， 二、基本图形帮你学推论 等；②对应边成比例.利用 识 所得的对应线段成比例 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两 它可求相似多边形的边或 2.如图1，当1，∥12∥1，时，都可得4D4 边相交，截得的对应线段成比例， 别边 B \E2 角，下面举例说明 车根华比的性质还可得到 2.已知△ABC,DE是截线，上述推论包含了 例1如图1，四边形 如图3所示的三种情况，可以简单称为“A”型和 BC EF AB DE AC DF BC ABCD∽四边形GFEH,且 AB=DE'AC=DF'AB=DE'AC 图1 “X”型，上面的口诀同样适用于这些基本图形. ∠A=∠G=70°，∠B 的 应 EF AC_DF 60°，∠E=120°，DC=24 DF'BC=EF HE=18,HG=21.求∠D. 为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简单 ∠F的大小和AD的长 附缘酒风表示卡卡：卡车 例2如图4，在△ABC 上，全=全，天=天，拿=美另外，根据比例的性中，LB=∠C=60,点D为 全正全全卡= 质还可得提-斧斯定套 AB边的中点，DE⊥BC于点 图1 DE 右 E,若BE= ,则AC的长为 解：因为四边形ABCD∽四边形GFEH, 例1 一个三层折叠花架如 2 ∠B=60°，∠E=120°，所以∠C=∠E= 图2所示，已知AB∥CD∥EF,AC 120°，∠F=∠B=60°. =30 cm,CE 50 cm,BD 解析：作AF⊥BC于点F,因为DE⊥BC于点 因为∠A=70°，所以∠D=110°， 45cm,则BF的长为 cm. E,所以AF∥DE,所以0-华因为点D为4B边 因为四边形ABCD~四边形GFEH,所以 解析：因为AB∥CD∥EF,所 DC AD -80,又因为4C=306m,CE=50m. 图2 的中点阴0-器=1，肌以BE=分因 HEHG 所以装-”解得40=28 BD=45cm,所以 30 BF,所以BF= 4 为LB=∠C=60°，所以△ABC为等边三角形，所 0+50= 以BF=CF=1,所以AC=BC=2.故填2 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28. 例2如图2，在四边形 题型空间 ABCD的边AB上任取一点 特殊矩形求相似 O(不与点A,B重合)，连接 OC,0D,分别取0A,OB,0C, A 图2 ◎河南 李彦英 OD的中点A',B',C',D',连接 特殊矩形一、对折后与原矩形相似 A'D',D'C',CB,四边形A'B'C'D'与四边形 例1如图1，取一张长为a,宽为b的矩形 ABCD相以吗？为什么？ 纸片(a>b),将它对折两次后得到一张小矩形 解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,理 纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸 由：因为A',D'是OA,OD的中点，所以A'D'∥ 片的边a,b应满足的条件是 图2 AD,4=方40.所以招=方同理部 CD 解：设原矩形的长是a,宽是b(a>b>0), 则剩下矩形的长为b,宽为a-b. 由题意可得公=，名 因为A',B'分别为OA,OB的中点，所以 -a-b1 解：由折叠可知，对折两次后的小矩形的长 所以a2-ab-b=0. 01'=201,0B'=20B,所以AB'=0M'+ 为6，宽为0， 将a2-ab-b2=0的两边同除以b2,得 0B=0A+0B)=B,所以g=宁 因为小矩形与原矩形相似， (8)2-8 1=0,所以号 所以号=之，所以a=2弘 所y CD 4a 1±(-1)2-4×1×(-1)-1±⑤ 2×1 2 因为A'D'∥AD,所以∠OA'D'=∠OAD 故填a=2b. 因为矩形的长和宽均为正数， ∠OD'A'=∠ODA,同理∠OD'C'=∠ODC 特殊矩形二、截去一个矩形后与原矩形相似 L0C'D'=∠0CD,∠OC'B'=∠OCB,∠0B'C 例2如图2，从一个矩形ABCD中剪去 所以公=1青5 2 =∠OBC 个正方形ABEF,若剩下的矩形ECDF与原矩形 所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'CB'= ABCD相以，求原矩形ABCD的长与宽的比. 故原矩形ABCD的长和宽的比为'专5 ∠DCB,所以四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD, 素养专练 数理极 ● 跟踪训练 能刀提高 5.如图3，在平面直角坐标系中，已知A(3 0),B(0,4),C(4,2),作CD⊥x轴，垂足为点D, 27.1图形的相似 网3 4 连接AB,BC,AC.求证：△ABC△ACD. 4.如图4，点D是BC的中点，AM=MD,BM 垦础训练 的延长线交AC于点N,则AN:NC的值为 1.如图1，用放大镜将 贺兰山旅游图标放大，这 5.如图5，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC 两个图形之间属于以下哪 图1 与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长. 种图形变换 A.相似 B.平移 C.轴对称 D.旋转 2.下列多边形一定相似的是 ( A.两个等腰三角形B.两个平行四边形 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） C.两个正五边形 D.两个六边形 3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm, 垦础训练 4.5cm,那么它们的相似比为 1.如图1，已知点D是△ABC的边AC上的一 4.如图2，将一张 点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的 □ABCD(AD<AB<2AD) 能刀提高 浪 ( 纸片，以它的一边为边长剪 6.如图6，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直 线L1,2,山于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,l2 A. AB BC BDBD B.AC_AC 去一个菱形ADEH,在余下 D CD BC 的平行四边形中，再以它的 与k相交于0E的中点c.光：号 C.BC CD D.BD 一边为边长剪去一个菱形FECG,若剪去两个菱 CB 、 CD BD 形后所剩下的口FHBG∽□ABCD,则口ABCD的 (1)如果EF=10,求DE,DF的长； 相邻两边AD与AB的比值是 (2)如果QG=3,求PH的长 5.如图3，在矩形ABCD中，AB=12,BC= /6 A D D 75 16,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF=8, G 两动点M,N都以2cm/s的速度分别从C,F两点 图1 图2 沿CB,FE向B,E两点运动，判断当M,N运动多长 2.下列四个三角形中，与如图2中△ABC相 F 时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明 似的是 你的结论 图6 5/ 人75 30 5 C 27.2.1相似三角形的判定（第二课时）】 3.如图3，在等边三角形ABC中，D为BC边上 点，E为AC边上一点，且AB=6,BD=2,当CE 垦础训练 时，△ABD△DCE. 1.若△ABC的三边长分别为1，√2，√3 △DEF的三边长分别2,22,23，则△ABC与 △DEF 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） A.一定相似 B.一定不相以 图3 图4 C.不一定相以 D.无法判定是否相似 4.如图4，在△ABC中，AB=8,BC=16,点P 垦础训练 2.如图1，在4×4的正方形网格中，是相似三 是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ 角形的是 ( ) 时，△BPQ与△BAC相似 1.如图1，在△ABC中，DE∥BC,BD AD =2,若 A.①和② B.②和③ 能刀提高 AE=6,则EC的值为 C.①和③ D.无法确定 A.3 B.2 C.1 D.9 5.如图5，在△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，AB=2AD,AC=2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC: (2)连接DE,BD,CE,若AD=3,AE=2,求 (2 图 图1 图2 S△cDE的值. 3.已知一个三角形的三边长分别为6cm, 2.如图2,1∥12∥13，两条直线与这三条平 9cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为 行钱分别交于点4，B.C和DEP,已奥提 3 2 12cm,15cm, 一cm时，这两个三角形相似. 若DF=10,则DE的长为 ( 4.如图2，正方形ABCD的边 A A.2B.3C.5 D.6 长为8，AE=EB,MN=2√5，线 3.如图3，练习本中的横格线都平行，且相邻 段MN的两端在CB,CD上滑动， 两条横格线间的距离都相等，若AB=2cm,则线 当CM= 时，△ADE与 数理报社试题研究中心 段BC= cm △CMN相似. 图2 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图12，D是△ABC的边AB上的 同 检测题（什一 点，BD=AB=3,BC=2 (1)△BCD与△BAC相以吗？请说明理由 【检测范围：27.1~27.2.1（第三课时）】 (2)若CD=,求4C的长 8.如图5，在平行四边形G (满分：120分) ABCD中，点E,F分别在边AD, 一、精心选一选（每小题4分，共32分） BC上，且EF∥CD,G为边AD 题号12345678 延长线上一点，连接BG,则图 答案 中与△ABG相似的三角形有 1.如图1是世界休闲博览会吉祥物“晶晶” A.3个B.4个C.5个 D.6个 右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 换得到的 9.所有的正方形 相以图形（填“都 A.平移 B.旋转 是”或“都不是”) C.轴对称 D.相似 10.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离 的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来 记载音乐.如图6，A,B,C为直线与五线谱横线相 交的三个点，若AC=12,则AB的长为 17.(10分)如图13，在四边形ABCD中，点E, 图 F分别在边AB,CD上，连接EC,EF,EC平分 图2 2.如图2，已知AB∥CD,A0=2,B0=3,C0 ∠FEB,EF∥BC. =6,那么D0= ( (1)求证：EB=BC: 图6 图7 A.3 B.4 C.5 D.6 (2)若AD∥EF,DF=FC,请判断AE与BC 3.下列各组图形中是相似图形的是（ 1山.在综合与实践课上，老师组织同学们以的大小关系，并说明理由 矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形 纸片ABCD如图7所示，点N在边AD上，现将矩形 折叠，折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M A B 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相以的 4.在比例尺为1：36000的某市旅游地图上， 三角形是 图13 某条道路的长为5cm,则这条道路的实际长度为 12.如图8，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' )则∠1= °，AD= A.0.18km B.1.8 km 24 D 18✉C C.18 km D.180 km D时 2 5.如图3，某位同学用带 有刻度的直尺在数轴上作图 人80°703BA80°1A 图8 若PQ∥MN,点Q,点M在直 尺上，且分别与直尺上的刻度 13.如图9，在□ABCD中，AE=了AD,连接 1和3对齐，在数轴上点N表 图 BE,交AC于点F,若AC=15,则AF的长为 18.(10分)如图14，点B,D,E在一条直线上， 示的数是10，则点P表示的数是 14.如图10，在四边形 B.3 C.10 D.5 BE与AC相胶T点P8-能-胎 ABCD中，AC平分∠BAD,D (1)求证：∠BAD=∠CAE; 6.下列各组图形必相似的是 ( 且AB=4,AC=6.当AD (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； A.任意两个等腰三角形 时，△ABC∽ 图10 (3)连接EC,求证：△ABD~△ACE. B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等 △ACD. 的两个三角形 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两 15.(10分)如图11，点E是菱形ABCD对角线 个三角形 CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱 D.两边为4和5的直角三角形与两边为8和形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接EB 10的直角三角形 GD,求证：GD=EB. 7.如图4，八个完全相同的小长方形拼成一个 正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无 刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其 中会相似的三角形是 图4 A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④ (下转第4版)