第二单元 比例-【学海乐园】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

第日单元 比例 第1课时比例的认识（比例的意义） 一、选一选。（从下列选项中选出正确的选项） 1.下面各式中，( )是比例。 A.2×6=3+9 B.48:8=12:2 C.3:2.4=6:48D.2.5:1.5>20:15 2.在比例 9 中，此例的两个外项是( )。 A.3和9 B.7和21 C.3和21 D.7和9 3.下面四张不同的长方形贴纸中，( )的长与宽的比与5：4正好能组成比例。 A圈 B. c D.a 10 cm 18 cm 12 cm 15cm 二、教材变式⊙下面各组中的两个比能组成比例吗？如果能组成比例，把组成的比例写出来。 1 1 1.10:12和25：30 2.0.93和亏： 1:上和上：1 三、学科融合语文“木落雁南度”描述了北雁南飞的自然景象。大雁迁徙飞行情况如下表所示。 根据表中的数据写出三个不同的比例。（江西·南昌） 时间/天 2 路程/km 350 700 1050 1400 四、新题型题组练看图想一想，做一做。 1.这两个圆的半径比是( ),直径比是( ),这两个比( (填“能”或“不能”)组成比例。 2 cm 3 cm 2.这两个圆的周长比是( ),这个比和半径比( (填“能”或“不能”)组成比例。 3.这两个圆的面积比是( ),这个比和半径比( )(填“能”或“不能”)组 成比例。 五、能力提升°学科素养推理意识用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成 的比例，单位：cm) 14 数学·六年级BS版 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆ 第2课时比例的认识（比例的基本性质） 一、填空题。 1.如果a:b=5:7,那么a×( )=bX( );如果5a=4b(a,b都不为0)，那么a :b=( ：)。 5 2.16:8=( ):1 :4=4:( 14 70 3.在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是4，另一个外项是( ):两个外项的积是 最小的质数，其中一个内项是6，另一个内项是( )。 4.在5：8=15：24中，如果外项5增加5，要使比例仍然成立，可将内项8乘( )。 二、教材变式⊙利用比例的基本性质，判断下面每组的两个比能否组成比例，能组成比例的写出 比例。 1.35:2和7： 5 2 :15和0.6：36 3.0.6:0.8和9：12 三、新情境人文最观：大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔结构的佛塔。大雁塔 高度的约等于开封铁塔高度的。写出大雁塔与开封铁塔高度的最简整数比。 四、能力是开新题型探究题一个比例的两个内项分别是0.6和1.5，两个比的比值都是 你能写出这个比例吗？（广东·惑州） 思路引导：假设比例的两个外项分别是a和b。 两个内项分别是0.6 a:0.6=1.5:b a:0.6= g和1.5：b= 根据比各部分 和1.5，两个外项分 的关系，求出a 别是a和b。 和b的值。 解答过程： 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆) 下册·第二单元 15 第3课时比例的应用 一、解比例。 x2.4 24:x=12:14 x:15=13:52 3.2:8=x:5 10.53.5 二、写出比例，并求出未知数x。 1.x与10的比等于2与的比。 2.买6支钢笔用去39元，买同样的5支钢笔用去x元。 三、新情境人文景观水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作 了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1：50。已知园中一架水车的实际高度 是12m,则水车模型的高度是多少厘米？ 四、新题型题组练用食盐水浸泡菠萝，能缓解菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，让菠萝更香甜可 口。水果超市将10g食盐与80g水配制成食盐水来浸泡菠萝。 1.现有20g食盐，需要多少克水？ 2.700g水里需要加多少克食盐？ 五、能力提升°新情境生活运用乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL.水调制了酸梅汤。为 了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 当酸梅原汁和水的比 是37时，口感最佳。 16 数学·六年级BS版 」作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆了 第4课时比例尺（比例尺的意义）】 一、填空。 1.在比例尺是1：4000000的地图上，图上距离是实际距离的( ),实际距离是图 上距离的( )倍。 2.一幅地图的比例尺是0200400m,这是( )比例尺，表示图上1cm相当于实际距 离( )m,改成数值比例尺是( )。 3.我国首条设计时速350km的跨海高铁一福厦高铁，全长约300km。佳佳在图上画了 6cm的路线图，那么她用的比例尺是( )。 二、选择。（从下列选项中选出正确的选项） 1.下列说法正确的是()。 A.比例尺的前项都是1 B.图纸上20cm表示实际1cm,这幅图的比例尺是1：20 C.比例尺是一个比，它表示图上距离与实际距离的倍比关系，不能带单位名称 D.一幅图的图上距离是10cm,实际距离是500m,则这幅图的比例尺是10：500=1：50 2.新情境传统文化裴秀的《禹贡地域图》18篇是按照“一分为十里，一寸为百里”的标准绘制 而成。以“一寸为百里”为例，一寸相当于2.42cm,百里相当于41.5km,换算成比例尺大 约是( )。 A.1:100430 B.1:1715000 C.024.2km D.0415km 三、某只七星瓢虫的实际长度是5mm,将其按比画在图上。先量出下图中七星瓢虫的长度，再计 算出这幅图的比例尺。 四、学科素养几何直观：如下图，小恒家到超市的实际距离是300m。 1.这幅图的比例尺是( ）。 超市， 北 2.已知学校在小恒家的正西方向200m处，先算一 十东 算，再在右图中标出学校的位置。 小恒家 五、能力提升°一块长方形菜地的长与宽的比是8：3，长与宽的长度之和是55m。如果画在 比例尺是1：500的图纸上，那么这块菜地的图上面积是多少平方厘米？ 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆1 下册·第二单元 第5课时比例尺（比例尺的应用） 一、填空。 1.在一幅比例尺是1：2500000的地图上量得湛江西站到广州南站的距离是17cm,则湛江西 站到广州南站的距离是( )km。(广东·湛江) 2.新情境知识科普：长江是中国第一大河，发源于唐古拉山脉主峰各拉丹冬雪山。 (1)在一幅比例尺是1：18000000的地图上，长江的长度约35cm,实际长度约( )km。 (2)若另一幅地图上长江的长度是7cm,小明算出这幅地图的比例尺是1：900000000，他 的计算( )。(填“正确”或“错误”) 3.在一张比例尺是1：100的设计图上，量得一个长方形建筑物的长是30cm,宽是20cm。 这个建筑物的实际占地面积是( )m2。 乙 二、选择。（从下列选项中选出正确的选项） 白马 1.学科融合历史《三国演义》中，曹操佯攻延津，吸引袁军兵力，关羽 阵斩颜良，从而解了白马之围。已知延津在白马西南方丙处，那么延 津与白马的实际距离大约是( )km。 3264km A.73.6 B.24 C.34.5 D.22.4 2.有四张地图，比例尺分别如下，地图中5cm长的线段表示的实际距离最长的是( )。 A.1:3000000 1 B.1500000 C.02040kmD.50:1 三、看图回答问题。 北 1.小宇家到学校的实际距离是1050m,量一量图上距离 是( )cm,这幅图的比例尺是( )。 小宇家超市 2.量一量小宇家到超市的图上距离是( )cm,实际距离是( )m。 3.图书馆在小宇家的正西方向，实际距离约是350m。请在上图中标出图书馆所在的位置。 四、新题型说理题王叔叔下周准备到南京出差，右面是一幅比例尺为1：350000O0北京市 的地图（局部）。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 1.他到达南京时看到的景象可能是( )。(填“华灯初上”或“繁星满天”) 2.请通过计算说明你的判断理由。 @南京市 五、能力提开°学科素养应用意识在比例尺是1：22000000的地图上量得北京到广州的铁路 线大约长10c,甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知 甲、乙两列动车的速度比为11：9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 18 数学·六年级BS版 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆ 第6课时图形的放大和缩小 一、看图填一填。 1.图中( )号图形是①号长方形放大后得到的图形，它是 按( )的比放大的。 2.图中( )号图形是①号长方形缩小后得到的图形，它是 按( )的比缩小的。 3.图中( )号图形是②号长方形放大后得到的图形，它是 按( )的比放大的。 二、选一选。（从下列选项中选出正确的选项） 1.下面说法正确的是( )。 A.一个圆按3：1的比放大后，周长和面积都放大到原来的3倍 B.一个图形按1：10的比缩小就是把这个图形的面积缩小到原来的品 C.放大后的三角形与原三角形相比，三条边分别变长，但三个内角的大小不变 2.新情境传统文化山西乔家大院里的犀牛望月镜由三部分构成，上方是圆形的镜子。如果 将这个圆先按1：2缩小，再按3：1放大，那么这个圆现在的面积是原来的( )。 A号 R号 三、新趋势实践操作：下面的每个小方格表示1cm。先按要求将图形放大或缩小，再填一填。 1将下面的三角形放大，使放大后的图形与 2.将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与 原图形对应线段长的比是3：1。 原图形对应线段长的比是1：2。 放大后的图形与原图形的面积比是 缩小后的图形与原图形的周长比是 )。 ( )。 四、学科素养几何直观：把左边的梯形按一定的比放大后得到右边的梯形，求未知数x,y。 x cm 8 cm y cm 12 cm 18 cm 36 cm 五、能力提升°一个平行四边形的底边长为18cm,高为12cm,先按5：1的比放大，再按1：6 的比缩小。缩小后的平行四边形的面积是多少平方厘米？ 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆1 下册·第二单元 19 综合与实践主题活动大树有多高 提出问题 要想知道一棵大树的高度，可以怎么做？ 分析问题 大树的高度不好直接测量，要怎样间接测量呢？ 大树在阳光下会有影子，可以通过测量影子的 长度来估计大树的高度。 海海同学的想法很好，不过我们要先确定物体的高度 与影长之间是存在关系的，同学们可以四人一组来完 成下面的实验。 实验用品 2根2m的长竹竿，2根1m的短竹竿，1个卷尺。 实验操作 同一时间，在阳光下，把2根2m的长竹竿，2根1m的短竹@ 竿直立在平坦的地面上，同时用卷尺测量出每根竹竿的影 长，再计算出竹竿长与影长的比值，将相关数据记录在下面 的表格中。（影长取整厘米数，竹竿长与影长的比值保留两 位小数) 短竹竿① 短竹竿② 长竹竿① 长竹竿② 竹竿长/cm 影长/cm 竹竿长与影长的比值 比较几根竹竿的影长，以及每次求得的竹竿长与影长的比值，你有什么发现？ 解决问题 同一时间，在阳光下，测量出1根1m的短竹竿和大树的影长，先把结果填入下表，再根据表中数 据计算出大树的高度。（影长取整厘米数，大树的高度保留两位小数） 短竹竿 大树 影长/cm 20 数学·六年级BS版 作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆ 单元知识梳理 知识点 基本概念与性质 1,比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 2.比例的项：组成比例的四个数叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项 比例的认识 叫作比例的内项。 3.比例的基本性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积 1.解比例的意义：求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 比例的应用 2解比例的方法：先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式，即方程，根据等式的 性质解方程，求出未知项的值 1,比例尺的意义：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 2.比例尺的分类：(1)按表现形式分，可分为数值比例尺和线段比例尺：(2)按将实际距离 比例尺 缩小还是放大分，可分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.根据比例尺求图上距离或实际距离：(1)图上距离=实际距离X比例尺：(2)实际距离= 图上距离÷比例尺 1.图形放大和缩小的特点：形状相同，大小不同。 图形的放 2.图形放大和缩小的方法：一看，看原图形每边各占几个格：二算，计算按给定的比将图形 大和缩小 的各边放大或缩小后，得到的新图形每边各占几个格：三画，按计算出的结果画出原图形 的放大图或缩小图 单元整体作业 一、我会填。 1.4:3和0.2：0.15( )(填“能”或“不能”)组成比例；用21的因数组成一个比例是 )。 2如果- 二，那么a×( )=bX( 3 )。 3.在比例5：30=7：42中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上( ),比例仍 然成立。 4.天和核心舱的某精密零件实际长7.5mm,放大后画在图纸上，在图纸上长15cm,这幅图 纸的比例尺是( )。一个长5mm的零件，在这幅图纸上应画( )cm 5.新情境人文最观将滕王阁按1：500的比拍摄成照片，照片中滕王阁的高度为11.5cm, 滕王阁的实际高度是( )m。(江西·南昌) 二、选择。（从下列选项中选出正确的选项） 1.下列比例中，错误的是( ）。 A.10:12=35:42 B.4:3=60:45 C.20:10=60:20 2.新情境地域特色：河北省邯郸市有一座长32m的学步桥，其名源于成语“邯郸学步”。将它 绘制在一幅比例尺为1：160的地图上，学步桥在该地图上的长应为( ）。 A.0.2 cm B.2 cm C.5cm D.20 cm 3.小宇和小恒分别画出学校花坛的平面图（如右图）。小宇是按 1：50的比例尺画的，那么小恒是按( )的比例尺画的。 d 5 cm B.1:25 C.1:100 -10cm A.1:2 小恒画的 小宇画的 下册·第二单元 三、解方程。 1.320 3.g=7 4:7=1.4:x x:-4: 1.5=10 四、1.把网格中的图形按3：1的比放大并画出来。 人医院 30° +东 学校 0()()m 第1题图 第2题图 2.医院在学校东偏北30°方向，距离学校1km处；超市在学校西偏南45°方向，距离学校 0.5km处。通过测量将图中的比例尺补充完整，并标出超市的位置。 五、原创题。荆州，古称江陵、郢都、南郡，湖北省辖地级市，位于湖北省中南部。“禹划九州，始有 荆州”，荆州建城史长达5000年，自古以来是荆楚文化的根脉所在，从爱国诗人屈原到李白、 杜甫，历史上有大批文人墨客曾在荆州吟诗作赋。 1.(1)荆州现存明清重建城墙东西长约3.75km,在比例尺是1：20000的地图上约多少厘米？ (2)在这幅地图上量得该城墙南北相距约6c,那么该城墙南北实际相距约多少千米？ 2.荆州市某工厂要加工1320个零件，前5天已经加工了240个。照这样计算，余下的还需要 多少天才能完成？ 3.学科融合语文李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城 到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1：4000000的 地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒 谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 22 数学·六年级BS版 )作业评价：书写☆☆☆正确率☆☆☆了3.14×1.452×2.20-3.14×0.95×2.20≈8.29(cm) 三1.35×号=142X7=1435:2=7:号 五、3×3.14×4×9=150.72(cm2) 150.72÷(3.14×10)=0.48(cm) 2}×36=915×0.6=9÷:15=0.6:36 【解析】下降部分水的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆 3.0.6×12=7.20.8×9=7.20.6￥0.8=9￥12 锥形铁块的底面半径和高，根据圆锥的体积公式即可求出 铁块的体积，用体积除以圆柱形容器的底面积，即可求出 三、大雁塔高度×子=开封铁婚高度×号，所以大雁塔高度 水面下降多少厘米， 开封铁塔高度=号：子=8：7 综合与实践主题活动圆锥的侧面积 解决问题 四a15=0.6:6a15=号和06：6=号 2多号1r1 解：设比例的两个外项分别是a和b,则得到比例a:0.6= 1.5:b或a÷1.5=0.6b. 得出结论 4 27 πrl 当a06=号和1.56=合时=6= 81 实际应用 3.14×(10÷2)×13=204.1(cm2) 当。15=号和06：6=时a-号6-器 9 201 单元整体作业 答：这个比例是言Q6=1.5:号支号15=0.6 20 一、1.1.23203.07530752602.88 3.12.563.144.392.55.5 第3课时比例的应用 二、1.C2.B3.D4.C -=8=9 x=2x=7.2 三1.314x5×3×号+3.14x2×4=12874(dm) 2.表面积：3.14×32×2+2×3.14×3×4=131.88(dm2) 三1.110=2：号 体积：3.14×32×4=113.04(dm2) 四、1.(1)3.14×8×11=276.32(cm2) 解：2=10x2 (2)厂家欺骗了消费者，理由如下： 3.14×(8÷2)2×11=552.64(cm3) 552.64cm3=552.64mL600mL>552.64mL 2后-号 2×.14×4÷2×6=25.12(cm） 解：6x=5×39 6.x=195 号×3.14×4÷2rX12=50.24m） x=32.5 25.12+50.24=75.36(cm3) 三.12m=1200cm 3.250mL=250cm350mL=50cm3 解：设水车模型的高度是xcm, 250÷10=25(cm2)50÷25=2(cm) x:1200=1:50 25×(10-2+6)=350(cm)350cm3=350mL x=24 4.1cm=10mm 答：水车模型的高度是24cm, 3.14×(5÷2)×10×72=14130(mm) 四、1.解：设需要xg水， 14130÷3.14÷(6÷2)2÷10=50(次) 10￥80=20￥x 第二单元比例 x=160 第1课时比例的认识（比例的意义） 答：需要160g水， -、1.B2.C3.D 2.解：设700g水里需要加yg食盐. 二、1.能.10：12=25：30 y￥700=10：80 2不能，3能，：日=： y=87.5 答：700g水里需要加87.5g食盐. 三、示例：1：350=2：7001：2=350：700 3:4=1050:1400 五，周为器-号号>号所以位往酸降汤中加水。 四、1.2：34：6能2.12.56：18.84能 解：设应往酸梅汤中加水xmL. 3.12.5628.26不能 240:(500十x)=3:7 五、一共可以组成8个比例， 3×(500+x)=240×7 6:3=8:43:6=4:86:8=3:4 x=60 8:6=4:38:4=6:34:8=3:6 答：应往酸梅汤中加水，加60mL, 3:4=6:84￥3=8：6 第4课时比例尺（比例尺的意义） 第2课时比例的认识（比例的基本性质） -.1.4000000 40000002.线段2001：20000 -1.754:5222413是}42 3.1:5000000 数学 2 六年级BS版 二、1.C2.B 单元整体作业 三，量出的长度是2cm, 一、1.能31=21：7（后一空答案不雌一） 2cm=20 mm 20 mm 5 mm=4 1 2.1.633.144.201105.57.5 四、1.1：10000 二1.C2.D3.C 2.200m=20000cm20000÷10000=2(cm) 8 自己标一标. 三，x=60x=0.05x=5 x=40 8 五.长：55×8十3-40(m)40m=4000m 四，1.自己画一画2.5001000自己画一画 3 五，1.(1)3.75km=375000cm375000× 宽：5×8十3=15(m）15m=1500m 20000=1875(cm) 1 图上长：4000÷500=8(cm)图上宽：1500÷500=3(cm) (2)6÷20000-1200(cm）120000cm=1.2km 图上面积：8×3=24(cm2) 2.解：设余下的还需要x天才能完成， 第5课时比例尺（比例尺的应用）】 240:5=(1320-240):x 一，1.4252.(1)6300(2)错误3.600 x=22.5 二.1.C2.A 答：余下的还需要22.5天才能完成. 三1.1.51：700002.17003.自己画一画 3.15÷ =60000000(cm)60000000cm=600km 四、1.华灯初上 4000000 30×24=720(km)720km>600km 1 2.3÷35000010300000(cm）1050000cm=1050km 李白没有“撒谎”， 1050÷300=3.5(时)3.5时=3时30分 第三单元图形的运动 15时+3时30分=18时30分 第1课时图形的旋转（一） 通过计算可知，他到达南京的时间是18时30分，看到的 一，1.259072.逆时针72顺时针72 景象可能是华灯初上， 二、1.C2.A 1 五.10÷200000=22000000(cm）22000000cm=2200km 三，逆135逆45 四、自己画一画 2200÷5=40(千米/时)40X十6×5=1210(km 五、自己画一画 第6课时图形的放大和缩小 第2课时图形的旋转（二） 一、1.顺902.逆903.（答案不唯一）逆90① 一、1.⑤2.5￥12.③1￥23.④21 二②① 二.1.C2.C 三、自己画一画 三、1.自己画一画9￥12.自己画一画1：2 四、自己画一画 y=24 五、1.自己图一图2.60 五、18X5÷6=15(cm)12×5÷6=10(cm) 【解析】1.2个三角形组成1个梯形，共有4个这样的梯形。 15×10=150(cm2) 360°÷4=90°，每次旋转90°得到. 2.整个图形由6个相同的图形组成，360÷6=60°，每次旋 综合与实践主题活动 大树有多高 转60°得到. 实验操作 (影长测量数据不唯一，合理即可) 第3课时图形的运动（平移、旋转和轴对称） 一.1.90上1右2（或90右2上1） 短竹竿①短竹竿@长竹竿①长竹竿② 2.上2左2（或左2上2） 竹竿长/cm 100 100 200 200 二、 影长/cm 246 246 488 488 三、自己画一画 竹竿长与影长的比值0.41 0.410.41 0.41 四、示例： 发现：①同一时间，两根短竹竿的影长相等，两根长竹竿的影长 方法一：先将图形甲绕点B顺时针旋转90°，再向上平移3 相等。 格，最后向右平移7格，与图形乙拼成一个正方形。 ②长竹竿与短竹竿的竹竿长与影长的比值相等。 方法二：先将图形甲绕点C顺时针旋转90°，再向右平移4 解决问题 格，与图形乙拼成一个正方形， (影长测量数据不唯一，合理即可) 五、1.示例：把右边的阴影部分向左平移6cm. 短竹竿 大树 2.6×6=36(cm) 影长/cm 208 914 第4课时图形的运动（图形的还原） 解：设大树的高度为xcm, 一、1.右4顺902.下4逆903.上44左4 100x 二、A 208914 三、自己画一画 x439.42 四、A,B不变， 答：大树的高度约为439.42cm C先向右平移3格，再向上平移3格。 下册 3 参考答案