第21期 4.3 等比数列-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知{an是等差数列，{bn是等比数列，a2+a= 18.(17分）数例{an}中，a1=1,an1(an-4)=an-6(n∈N). 19.(17分)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两 a3+9=8b1=b4=16 an-2证明：6，是等比数列； (1)设b。=1-1 项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和 (1)求{an},{bn的通项公式； 充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5， (2)将an},{bn}的项从小到大排序，组成一个新的数列{cn}, (2)设数列} 的前n项积为Tn,求T,取得最大值时n的取值， 3;第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列a,b,c 记{cn}的前n项和为Sn,若c=101,求k的值，并求出S 经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为P,所有项的和为Sn, (1)若a=2,b=3,c=4,求P2,S2; (2)求不等式Pm≥2024的解集； (3)是否存在实数a,b,c(a,b,c∈R),使得数列{Sn}为等比数 列？若存在，求出α，b,c满足的条件；若不存在，请说明理由. 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年12月1日·星期 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 第 21期总第1165期 人教A 0351-5271248 选择性必修第二册 名人名言 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-289 变式题库 ● 解：由等比数列的性质， 关键词：爱国 可知a3a5aaa1=a=243,所以a1=3. 1.苟利国家生死 以，岂因祸福避趋之 变式探究等止数列的性质 则生-：a1:a,=3故选(D 一林则徐 变式3在等比数列{an}中，a6,ao是方程 ◎河南卫向东 2.为天地立心 x2-8x+1=0的两根，则a8= 例题已知等比数列{an}满足a,>0,n= 变式1等比数列{a}的各项均为正数，且 为生民立命，为往圣 (A)1 1,2,…,且a5am-5=22"(n≥3)，则当n≥1时，a5a6+a4a7=18,则loga1+loga2+…+log,a0 (B)-1 继绝学，为万世开太 (C)±1 (D)不能确定 logza logza3 +logza2-1= ( )= 平 —张载 (A)n(2n-1) (B)(n+1)2 (A)12 (B)10 解：因为an}是等比数列， 3.壮志饥餐胡虏 (C)n2 (D)(n-1)2 (C)8 (D)2+1og35 所以=a6·a0=1,所以as=±1. 肉，笑谈渴饮匈奴血 解：根据等比数列的性质， 解：根据等比数列的性质，由aa6+a44,= 因为a6,ag,ao同号，且a6+a10=8>0, 一岳飞 由a5a2n-5=22(n≥3)得a2=22 18得2aa6=18,即asa6=9. 所以as=1.故选(A). 4.靖康耻，犹未 又an>0,则an=2", 因为等比数列{an}的各项为正， 变式4已知数列{xn}满足gx+1=1+ 雪；臣子恨，何时灭 所以log2a1+log243+…+l08a2m-1 所以loga1+log,a,+…+l0ga10 lgxn(n∈N,),且x1+为2++…+x1w=1, 一岳飞 =l0g22+log23+…+l0g2m- =log3(a1a10)+log3（a2ag）+…+ 则1g(x01+x10m+…+x2m）= 5.以身殉道不苟 =1+3+…+(2n-1)=n2 logs(asas) 解：由lgx1=1+lgx得gx1-lgxn=1, 生，道在光明照千古 故选(C). =5log3(a5a6)=5log9=10.故选(B). 所以出=10，则数列{x,}是公比为10的 一文天祥 点评：在解析的过程中运用了等比数列的 变式2在等比数列{an}中，若aa5a,agan xn 6.松柏后凋于岁 性质：在等比数列{an}中，若项数m+n=p+ 等比数列，所以x+1m=x。·1010 寒，鸡鸣不已于风雨 q(m,n,P,9∈N,),则am·an=a。·a,这是等 =243,则 ( 又xo1+x1m+…+x20 保天下者，匹夫之贱 比数列应用最为广泛的一条重要性质.由此性 (A)9 (B)1 =10100(x1+x2+3+…+xm）=10100 与有责焉耳矣 质的应用，可有以下变式供同学们探究练习： (C)2 (D)3 所以lg(x1o1+x102+…+x0）=100. 顾炎武《日知论》 三、通项公式法 7先天下之忧而 方法指津 例3已知a,}是各项为不同的正数的等 忧，后天下之乐而乐。 差数列，lga1,lga2,lg4成等差数列，又bn= 上比登数列 一范仲淹 等此数列判定囚法 1 8.捐躯赴国难 ,n=1,2,3,…,证明：数列{bn是等比数 者点清单 视死忽如归. 。湖南储含玲 列 -曹植 证明：因为lga1,lga2,lga4成等差数列， ◎山西裴秀玲 9.王师北定中原 一、定义法 一、等比数列的判定 所以2lga2=lga1+lga4,即a=a1a4 日，家祭无忘告乃翁 例1已知数列{an}满足a1=1,a+1= 例1已知数列{an},Sn是其前n项和，并且 又设等差数列的公差为d(d≠0)， Sn+1=4am+2(n∈N,),a1=1.设bn=an+1 一陆游 2an+1,证明：数列{an+1}是等比数列 则(a1+d)2=a,(a1+3d). 2an(n∈N,),证明：数列{bn}是等比数列. 10.人生自古谁 证明：因为an+l=2an+1, 故d=ad,从而d(d-a1)=0. 证明：由Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2, 无死，留取丹心照汗 所以a41+1=2(an+1) 又d≠0，则d=a1≠0， 两式相减，得Sn2-Sn1=4(an+1-an), 青 —文天祥 由a1=1知a1+1≠0， 11.风声雨声读 故a2=a1+(2”-1)·d=2”·d. 即an2=4an1-4an, 所以an+1≠0， 11 变形得an2-2a+1=2(a+1-2an). 书声声声入耳，国事 bn= 又bn=an+1-2a,所以bn1=2bn ① 家事天下事事事关 所以1+1 a 1 =2(常数) 已知S2=4a1+2,a1=1, 心 一顾宪成 所以a1+a2=4a1+2, 所以数列{an+1}是等比数列. 故数列6，是以品为首项，子为公比的等 12.英雄非无泪」 比数列 解得a2=5,b1=a2-2a1=3. ② 不洒敌人前.男儿七 二、等比中项法 由①和②得数列{b}是首项为3，公比为 四、前n项和公式法 尺躯，愿为祖国捐 例2已知(b-c)logm+(c-a)logy+(a 2的等比数列，且bn=3×2-1,n∈N, 例4数列{a}的前n项和为S.,且lg(S, 一陈辉 -b)1ogmz=0,若a,b,c依次成等差数列，且公 二、等比数列性质的运用 +1)=n,则数列{an}是 ( 13.我们爱我们 差不为零，证明：x,y,3成等比数列. 例2已知等比数列{an},Sn是其前n项和 (A)等差数列 的民族，这是我们自 若S1。=10,S0=30,求S30 证明：因为a,b,c成等差数列， (B)等比数列 信心的源泉 解：因为S1o,S0-S10,S-S0成等比数列， 设公差为d(d≠0)， (C)既是等差数列也是等比数列 所以(S20-So)2=So(S0-S0). 一周恩来 则c-b=b-a=d,c-a=2d. (D)既不是等差数列也不是等比数列 又因为S10=10,S20=30,所以S30=70. 15.谁不属于自 由已知得-d(lognx-2 2logy+logn）)=0, 三、构造新的等比数列求通项公式 己的祖国，他就不属 解：由lg(Sn+1)=n 于人类 一海涅 所以logmx-2 logay+log&=0, 例3数列an}满足an+1=2an-1,n∈N+, 可得Sn+1=10”, log+logm3 2l0gmy, a1=2,求a 则S。=10”-1. 解：设an+1+x=2(an+x),即an+1=2an+x, 所以y2=xz(x,y,z>0), 所以该数列是一个以9为首项，10为公比 对照原递推式，便有x=-1. 所以x,y,z成等比数列 的等比数列.故选(B) (下转第2版) 素养·专练 数理极 (上接第1版) 专项小练一、等比数列的概念 专项小练二、等比数列的前n项和公式 故由a41=2a-1得a41-1=2(an-1), 1.若数列1,4，b,c,9是等比数列，则实数b的 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S; 则新数列{an-1是以a1-1=2-1=1为首 值为 (）=3,S=9,则S5= ( 项，2为公比的等比数列 (A)-3(B)3 (C)-9(D)9 (A)20(B)21 (C)22 (D)23 所以an-1=2-l,则an=2-+1,n∈N 2.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若8S。 四、等比数列前n项和公式的应用 2.等比数列，-1,2，-4，…，则数列的第七 =7S3,则公比 ( 例4设首项为正数的等比数列，它的前n项 项为 () 和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大 (A)32(B)-32(C)64 (D)-64 (A)-2 (®)分 的项为54，求此数列的首项和公比9. 3.（多选)若{an}为等比数列，则下列数列中 是等比数列的是 () (C)2或3 (D)-2或-2 分析：由该等比数列前n项和为80，前2n项 和为6560，结合等比数列前n项和公式S,= (A)1a2 3.(多选)设数列{an}的前n项和为Sn,a1= (B){k·an(其中k∈R且k≠0) 1,且2S。=3an+m,则 ( 4(1-g)可以得到公比q的关系式，再结合首 1-9 (c} (A)m=-1 (B)an}是等差数列 项，为正数，可以获得g的范围，由此定义数列 (D)In a (ca.=() 8 的递增特征 解：设等比数列{an}的前n项和为Sn, 4.若等比数列{an}满足a1+a2+a3=7,a3+ 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1+ 依题意设a1>0,S.=80,S2n=6560. a4+a5=28,则a5+a6+a,= a3=5,S4=15,则S7= 因为S2n≠2Sn,所以g≠1， 5.等比数列{an}中，a1,=256,a4+a6=40, 5.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒 则公比9的值为 钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有 从而1-g)-80且41-g) 1-9 1-q 6.小张买了一辆价值10万元的新车，根据市一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病 6560. 场行情，该款车每年按20%的速度折旧. 毒全部杀死至少需要 秒钟. 两式相除得1+g=82,即g=81, (I)用一个式子表示n(n∈N,)年后这辆车 6.在正项等比数列{an}中，a4=16,且a2,a3 的价值； 的等差中项为a1+a2: Eg=心g=0 (2)如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大 (1)求数列{an}的通项公式； 可得a1=g-1>0,即g>1. 概能得多少万元？（精确到0.01） (2)求数列{an+n的前n项和S.: 从而等比数列{an}为递增数列， 故前n项中数值最大的项为第n项 所以a1g-1=54, 从而(g-1)g-1=g”-9”-1=54, 所以9-1=81-54=27， 所g=名=》=3,4，g-1=2 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 故此数列的首项为2，公比为3. 数列b.}不存在极限， 第20期2版参考答案 第20期3,4版参考答案 因为当n→+∞时，(2n-1)→+o,log2(2n-1)→ 专项小练一 一、单项选择题1~4ADBB5~8CBCC +0,所以数列{bn}不存在极限. 1.B:2c:3.C4子-95-1 二、多项选择题9.ACD;10.AC;11.ACD. 三、填空题 (2(1)解：两为产=1，所以受=1+写a-）- 6.解：(1)设等差数列{a,}的首项为a,公差为d, 12.70;14.-2;14.n+1. +号，得到3.=号a+2a ① 叱。®d 四、解答题 15.(1)a.=3n-17.(2)10. 当n≥2时，S=号(n+1)a ③ 所以a。=10+(n-1)×(-3)=13-3n, 16.（1)5m=2m2-4n. 故a0=13-30=-17. 由①-②，得到a,=含(n+2)a,-号(n+1)a, (2)a。=4n-6,证明略 (2)由(1)知am=13-3n,由-56=13-3n, 17.(1)am=-2n+11. 得到n=23eN,由-40=1B-3n,得到n=号生 l0n-m,n≤5， 整理得到-日a≥2neN, N,所以-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这 (2)7,=-10m+50n>5, 丽站品导出子子 个数列中的项 18.解：(1)a1=1,a2=(2-)a1=2-A=-1, 得=3，故a=(4+2-3)a=3×(-1)=-3. 得到2=nn(n≥2，neN,), 专项小练二 2 (2)a1=1,a2=(2-A)a1=2-A,a3=(6-A)a2= 1.A;2.B;3.CD.4.16;5.9. 所以当n≥2时，am=(n+1)n, 6.解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d, (6-A)(2-A)=A2-8入+12， 显然a1=2满足an=(n+1)n, 因为S3=a5,2a2=3, 假设数列a,}是等差数列，则2a,=a1+a, 所以数列{an}的通项公式为a.=(n+1)n. 1 所以3a+3h-a1+4d, 则2(2-)=1+2-8入+12，即（入-3）2=0，入=3， 当入=3时，a+1=(n2+n-3)am, (（)证明：I)可知站。+D=片-+ l2a1+2d=3, a2=-1,a3=(6-3)a2=3a2=-3 解得 所以7.=(1-)+（分）+ a4=(9+3-3)a3=9a3=-27, d=1, 故2a3≠a2+a4,数列{an}不是等差数列， (兮-4）++（分+） 故假设不成立，故数列{a.}不可能为等差数列 所以a,=7+(n-1)1=n-合 19.)解：数列10，存在极限，因为当n一+时，1-n+ 即a,=n-之 (-）→0，所以ima.=1m[3+(-)门=3 则m,=m（1-n+）=l 8.已知数列{an}的前n项和Sn满足S。=1-2an(n∈N,),则 项和Tn= 等比数列同步核心素养测评 S,的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分 (A)(分，] (B)[片) 15.(13分)设等比数列{an}的前n项和为Sn ◎数理报社试题研究中心 (1)若公比9=2，an=96,Sn=189,求n; (c[片) D(兮 (2)若S3:S,=3:2,求公比g. 第I卷选择题（共58分） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 9.已知等比数列{an}的公比为q,且a1=1,a,=8,则( 1.已知等比数列1a,中，十凸=8,46=32，则a,= a1+a4 (A)q=2 (B)9=2 (C)a4=22 (D)a3=64 (A)16 (B)4 l0.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,3aa1=Sm,则下 (C)2 (D)1 列命题正确的是 2.已知等差数列1an}满足2a3-a+2a13=0,且数列{bn是等 数学 (a=写 (Ba.=() 比数列，若bg=ag,则b4b2= ( ) 数学 选择 (A)2 (B)4 cs=(倍) (D)S·S>Sg 性 (C)8 (D)16 11.如图，正方形ABCD的边长为2cm,取 必 3.已知数列{an}满足a1=1024,点(n,an)在函数y= 修第一 正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个 ·选择性必修第一 a(分)广(aeR)的图象上，则am= ( 正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的 16.(15分)小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红 册 中点1，J,K,L,作第3个正方形JKL,依此方 包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获 册 (A)2 (B)3 法一直继续下去设第k个正方形面积为a4, 得的投资收益是该月月初投入资金的10%，并从中拿出1000元作 (C)4 (D)5 教 A 则下列结论正确的是 为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n A 版 4.已知公比不为1的等比数列{an}满足an+2=4an+1-3an,a1 (A)a3=1cm2 个月月底的投资总资金为an 版 同 =1,则S,= 同 步 (B)a2=16a6 (1)求数列{an}的通项公式； 步 核 (A)40 (B)81 (C)前6个正方形面积和为3。 核 心素养测评 (C)121 (D)156 16c (2)如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按 心 摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否 5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a·a6=4,则数列 (D)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的 素养 足够？(1.11≈2.85) 测 {log2an}的前10项和为 ( 面积之和将趋近8cm 评 (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 6.等比数列{an}中，已知a1= 9 8,an= 1 39= 号则 Sn 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (a号 (B)I5 12.数列{an}中，a1=2,an+1+2an=0,若其前k项和为86，则 8 (C)3 (D)6 13.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数 7.已知等比数列{an}有2n+1项，a1=1,所有奇数项的和为 列”.若a1=2,数列{an}的“差数列”是首项为2，公比为2的等比数 85,所有偶数项的和为42，则n= 列，则数列{an}的前n项和S。= (A)2 (B)3 (C)4 14.已知数列1a,满足a。=(3n-2)·3,则数列a的前n (D)5高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期(2025年12月) 解得ag=4或ag=0(舍去)， 第21期2版参考答案 即bg=ag=4,则b4b12=b=16. 专项小练一 3已知a.=a(分)(aeR), 1.B:2.A;3.ABC.4.112;5±2或±2 6.解：(1)设第n年后车辆的价格为a., 则4，=a(分) =1024,解得a=2048, 由题意得(1-20%)a.=a1,即=80%， a 所ua2(分)广=（台） 因为一年后的价格为a1=10×0.8, 0-11 所以ao= =2 所以an=a1×0.8"-1=10×0.8",neN () (2)由(1)得a6=10×0.86=2.62144≈2.62（万元）， 4.设公比为q,由题可得an92=4an9-3an, 所以使用6年后卖掉这辆车，他大概能得2.62万元. 因为an≠0，所以92-4g+3=0, 专项小练二 因为g≠1，解得9=3，所以an=a19-1=3"-1, 1.B;2.B;3.AD.4.127;5.7. 所以S,=1-)。1-3 6.解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(g>0), 1-9 1-3-121 由题意可得49=16， 5.由等比数列的性质可得a1a10=a2a,=…=a5a6=4, la19+a192=2(a1+a19), 所以数列{log2a.}的前10项和loga1+log2a2+…+ 解得，2， logz ano log2 (aazao)=log2 45 =10. lg=2, 6因为等比数列中，a=号a=号9=号 9 1 所以数列{an}的通项公式为an=2×2-1=2” (2)Sm=(a1+a2+…+an)+(1+2+…+n) 所u写=是×（层）”-二所以=4 =2(1-22+n1+m 54 1-2 2 a(1-g) =21+n1+ml-2. u子g“9行1+ 2 =骨×(+号)=号 第21期3,4版参考答案 7.因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项 有n项，设公比为q, 等比数列同步核心素养测评 得到奇数项为1+g2+9+…+g2m=1+9(q+q3+93+ 一、单项选择题 …+92m-1)=85, 1~4 CDAC 5 ~8 ABBC 提示： 偶数项为9+93+g+…+g2-1=42, L.设等比数列{an}的公比为q, 整体代入得9=2， 则%+a=Ca+a）:g=8,解得g=2, 所以前2+1项的和为2”。85+2：127. a1+a4a1+a4 解得n=3. 因此号-是-2 8因为S=1-2a,则5，=a1=1-2a→0，=}， 2.因为数列{bn}是等比数列，若bg=ag≠0， 且Sm-1=1-2am-1(n≥2)， 由等差数列的性质可得a3+a3=2ag, 即有=4as, 两式相减得3a.=2a-1,因为a=3,所以a.≠0， 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 =号 2 所以第k个正方形面积为a%=c?=23, an-1 所以a=2°=1，故(A)正确； 则数列口，是首项为写，公比为子的等比数列， 4=2a=23=g 所以a2=16a6,故(B)正确； 所以S,= 1-号 a1+a2+…+a5+a6=22+2+2°+21+22+23= 由于y(号) 号故(C)错误： 随n的增大而减小，故Sn单调递增， 所以S≥S=3, a1+a2+…+an=22+2+…+23-m 4-(] 1- 综上se[兮 二、多项选择题 =8-) ,如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这 9.BD;10.AC;11.ABD. 些正方形的面积之和将趋近8cm,故(D)正确. 提示： 故选(A)(B)(D) 9.因为a1=1,a1=a19=8,所以g°=8，有g2=2, 三、填空题 解得g=±√2，故(A)错误，(B)正确； 127:182-2:4-6m5× 、3 当q=2时，a4=a193=22; 提示： 当q=-2时，a4=a193=-22,故(C)错误； a3=a192=64,故(D)正确.故选(B)(D). 12.由a1=2,a1+2a。=0可得21=-2， a 10.因为a1=1,3a+1=S, 所以{an}是以a1=2为首项，公比为-2的等比数列， 1 令n=1,得3a,=a=1,a,=3,(A)正确： 所以其前项和为5=2=2》白=86， 1-(-2) 3an1=Sn,所以3an=Sn-1(n≥2)， 故1-(-2)=129，即k=7. 两式相减可得3am1-3a.=a.(n≥2)， 13.由题意a+1-a.=2”, =n≥2)a=1时，不符合， 当n≥2时，an=(an-a-1）+(a-l-an-2）+…+（a2 a -a1）+a1 所以从第2项起，数列口，是公比为子的等比数列， =2+2-2+…+2+2=21-22+2=2, 1-2 n=1, 当n=1时，上式也成立， 之写之2®钢 41 所以a,=2,所以3-21-22】=2-2. 1-2 则5=a+g=(告)广)正确： 1-9 147,=134×宁+7×京++(3m-50× 1 则·s=(号)八·（告）”=（告）”=8= +(3m-2)×3, 1 ① [(告)门)循误 ①×号得7.=1x+4×+7×++(3n 1 故选(A)(C) 5) 3+(3n-2)×,. 1 ② 11.设第k个正方形的边长为ck, 则第k个正方形的对角线为2c, x3+3× ①-②得号7=+3× 33+3× 34+…+ 则第k+1个正方形的边长为汽。 1 3× 3-(3n-2)×3 所以出= 2 故c}是首项为2，公比为号的等比数列， -(3n-2)×3 1 1-3 k-1 所以c=2× =2岁， 2 一2 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 18.(1)证明：由a*1(an-4)=am-6(n∈N,) 2 得aH1=,-6 = 56n+51 an -4 4 4×3 四、解答题 4-4-2--。-2 即a1-2=a-6 a -4 15.解：(1)依题意 整理得」 。a.-4 2 「0a=a1·2"=96, 012- 4,-2-1+。-2 s=1-2”) 又1 1-2 =a1(2”-1)=189, 义a.-2=1-6, 96 所以1-ba1=-1+2(1-b.), 由于4≠0，所以两式相除得2二=8) 即bm+1=2b.(n∈N,). 解得n=6. (2)依题4=子， 又6=102=2 a1+a2 故{b,}是首项为2，公比为2的等比数列. 即+ag+a4=1 3 a1+a19 +4±正=是 1+9 2)解：自1)知么=2设6号-号 21 化简得242-9-1=0，解得9=1或g=-2 则c-6=a,t-号-m+2-2 2+1 -2" 16.解：(1)依题意第1个月底的投资总金额为a1=20000 =-2+2n+1 ×(1+10%)-1000=21000, 21+1 an1=(1+10%)a.-1000, 当n=1,2时，cnl-cn>0; 即a+l=1.1a-1000, 当n≥3时，c+1-cn<0, 可化为an+1-10000=1.1(am-10000). 即c1<c2<c3>c4>c3>…, 又a1-10000=21000-10000=11000, 又6=分4=l6=是=16=2 所以数列{a.-10000}是首项为11000，公比为1.1的等 比数列， 放1==之，1=7=6 则a.-10000=11000×1.1-1, 当n≥5时，cn<1,Tn1<T., 故数列{an}的通项公式为 综上，当n=3或n=4时，Tn取得最大值， an=11000×1.1-+10000. 19.解：(1)a=2,b=3,c=4, (2)由(1)知a12=11000×1.1"+10000 第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4， ≈11000×2.85+10000=41350， 第二次“和扩充”后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4， 41350<41388, P2=9,S2=2+7+5+8+3+10+7+11+4=57. 所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够 (2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中 的 增加一项， 17.解：(1)设an}的公差为d,{bn}的公比为9， 数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为P., 因为a2+a5=a3+9=16, 则经第(n+1)次“和扩充”后增加的项数为P.-1, 所以4=7，a4=9,d=a4-a3=2, 所以P1=Pn+(P.-1)=2P.-1, 故am=a3+(n-3)d=2n+1. 所以P.1-1=2P.-2=2(P.-1). 因为861=b4=16, 其中数列a,b,c经过1次“和扩充”后，得到a,a+b,b,b+ =6=8,即q=2,6=2, 所以(= c,c,故P=5,P1-1=4, 故{P.-1}是首项为4，公比为2的等比数列， 故bn=b1g-1=2" 所以P。-1=4×2=2,故P。=2+1+1, (2)因为an}与{bn}均为递增数列， 则21+1≥2024，即2+1≥2023. 且as0=2×50+1=101, b6=26=64,b2=27=128, 又neN,解得n≥10， 所以不等式P.≥2024的解集为[10，+∞)，n∈eN 所以当k=50+6=56时，ck=101,故k=56. (3)因为S1=a+a+b+b+b+c+c=2a+3b+2c,S2 Se=Ss6=a1+a2+…+as0+b+b2+…+b6 =3+101)×50+2×(1-22=2726 =S1+3(a+2b+c),S3=S2+32(a+2b+c), 2 1-2 依次类推，S.=Sm-1+3"-(a+2b+c), —3 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 故S.=Sn-1+3"-(a+2b+c) 6.根据题意得at1-a2=2(n≥l,neN), =Sn-2+3-2(a+2b+c)+3"-(a+2b+c) 故{a}是公差为2的等差数列， =…=S1+(a+2b+c)(3+32+…+3"-1) 所以a2=ag+2(n-9)=2n, =2a+36+2c+(a+2b+c).31-3- 又{an}各项为正，则an=√/2n, 1-3 所以2 2 =(6+)3+9 an anl √2n+2+√2n 2 若使{S}为等比数列， 2(2n+2-2n)】 （√2n+2+√2n)(√2n+2-√2m) ra+c=0, 2 ,4+C≠0， 2 =2n+2-2n, 则 或{ 6+≠0， 2 b+utc=0. 故数列 ∫2 的前24项和为(4-√2)+(6 2 Lan an+i 即存在实数a,b,c,满足的条件为a+c=0,且b≠0或2b 4)+…+(50-48)=50-2=42. +a+c=0,且b≠0. 7.设数列{an}的公差为d, 第22期3,4版参考答案 ra+d=-7, 由已知 数列核心素养综合测评 2a=5a,+5x4解得/-10， 2d,ld=3, 一、单项选择题 则s.=-10n+nn,)×3=3n,23n 1~4 DBBC 5 ~8 CADC 2 2 提示： 因为f(到)=宁(32-23)的零点为=0=号 3 1.因为根据数列1,3,5，√7,3，…， 所以If(x)](x∈N,)的最小值是靠近零点处的函数值. 所以an=√2n-I(neN), 又1S1I=10,IS,1=7,ISg1=4, 又33=√27， 所以n=8时，ISnI最小 所以2n-I=√27，解得n=14. 8.设等比数列{an}的公比为q,9>0,且am>0, 2.a=gxg×a,=2×5×a=9a,=3 3222 由意意符a1+）:20两式相除得矿=子 az a a(1+q2)=5, 3.设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1,a,…,ag 由题意可得a1+a2+a3=0.5,a,+ag+ag=2.5, 所以g=之所以a=16,放a,=2 所以3a2=0.5,3ag=2.5→a2+ag=1, 显然当n≤5时，aa2…a4<1不成立， 所以4，=十=0.5 所以n>5且neN, 2 则a1a,a.=234210(-(-245-0=292<1, 4.设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 即(9，m<0,则n>9, 由题意知a=a2ag,a4=4, 2 所以(4-2d)(4+4d)=16, 故正整数n的最小值为10. 解得d=1或d=0(舍去)，所以a1=1, 二、多项选择题 所以S。=10×1+10×9×1=55. 9.ACD;10.ACD;11.AC. 2 提示： 54=a4349=ls4= 9.根据题意，等比数列{a.}的首项为3，公比为q,(q∈ Z), 5,+1=12→2g+3+4=12, 9 若243是该数列中的一项，设243是该数列的第n项， 则2g2-9g+4=(2g-1)(g-4)=0 则a1g1=243,变形可得g-=81, 又由q∈Z,当n=2时，9=81， →91=24=4， 当n=3时，9=±9，当n=5时，9=±3. 由于a,}为递增数列，则9=4,4=4， 故选(A)(C)(D). 10.{an}的前若干项依次为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1， 所以a}的通项公式为am=4"-2, 0,· 1(1-4) 所以a5=0,故(A)正确； 所以S。= 41-4=4-0 4 由a1=1>0,am≥0，可得Sn>0,故(B)错误； 4 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 由a5=0,可得S4=S,故(C)正确； 则当n=1时，S=a1三名 S2=1+2+10×(1+1+0)=23,故(D)正确 故选(A)(C)(D) 当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+am 11.设等差数列的公差为d,因为a1+3a5=S, =2+11 1 3+3京+3+…+ 3 所以a1+3(a+4d)=7a1+21d, 11 解得a1=-3d. 2,373" 5 1 + = 又am=a1+(n-1)d=(n-4)d, 3 1 1一3 2.3 所以a4=0,所以(A)正确； 因为公差d的正负不能确定， 因为当n=1时，、=子也满足上式， 所以S可能为最大值，也可能为最小值，故(B)不正确； 5 1 因为S。-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4=0, 所以5=合2：3meN 所以S。=S,所以(C)正确； 因为S= 1 5 因为a+a5=2a4=0,所以a3=-a5, 623<6 即1a3I=IaI,所以(D)错误 且Sn<k对任意neN,恒成立， 故选(A)(C) 所以k≥名，即实数上的最小值为名 三、填空题 四、解答题 12a=0, 153-1:4音 l2n-1,n≥2； 15.解：(1)设{an}的公差为d. 提示： 由Sy=-a5得a5=a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2. 12.由Sn+1=n2-1+an+1得 因此an}的通项公式为am=10-2n. n≥2时，Sn=(n-1)2-1+an, (2)由(1)得a1=-4d, 两式相减得a.=n2-(n-1)2=2n-1(n≥2)， 当n=1时，S2=12-1+a2=a1+a2→a1=0, 故a.=(n-5)d,s.=n,9)4 2 故am= J0,n=1, 由a1>0知d<0, l2n-1,n≥2. 故Sn≥a.等价于n2-11n+10≤0， 13.“追梦数列a,}满足1-=0(n∈N,), 解得1≤n≤10. antl an 所以n的取值范围是{nI1≤n≤I0,neN}. 即a=3a,,则数列a,是公比为子的等比数列 16.(1)证明：由a1=1,a.=3an-1+4(n≥2) 可得am+2=3a-1+6=3(a1+2),a1+2=3., 若数列{+}为道梦数列， 即数列{a.+2}是首项和公比均为3的等比数列， 则an+2=3”,即a。=3“-2. 2)解数列c.=”=4+2 3" 则bn+1=3“,则b.=3“-1. am·a1a.·aH(3”-2)(3-2) 14.当n=1时，4=3， 2 则出= 3m+1 .(3”-2)(3"1-2) (3+1-2)(32-2) 3" 当n≥2时，由a1+3a2+9a,+…+3-a,=n+1 3 31-6<1, 3*2-2 可得a+3a,+9a,+…+32a1=3 所以c,为递诚数列，可得c,≤4=马 两式相减，可得3-a,=”+1-是 1 3-3=3 若任意正整数n,不等式cn≤2入-1恒成立， 1 则21-1≥号，即有入≥号 解得a.=3 因为当n=1时，44=子不满足上式 即A的取值范围是[号，+）小 17.解：(1)当n=1时，2a1=3a1-4,即a1=4, 2n=1, 3 所以a1+2=6, 所以an= 1 由2S.=3an-4n, ① l3r'n≥2， 当n≥2时，2S.-1=3a1-4(n-1), ② 5 高中数学人教A版选择性必修第二册 第21一24期 ①-②得2am=3am-3am-1-4,即an=3an-1+4, 所以am+2=3(a-1+2), 所以数列{日+山}是指数型致对 所以当入=2时，a.+入}是等比数列，首项为6，公比为3. (3)因为数列an}是“指数型数列”， (2)由(1)得a+2=6×3-1=2×3“, 故对任意的n,m∈N, 所以6，=n(0.+2) 有atm=an·am,则anl=an·a1, 2 =n×3", 所以an=an-1·a1=…=a= (a+3,n≥2， a+2 所以T.=1×3+2×32+3×33+…+n×3", 3T.=1×32+2×33+…+(n-1)×3"+n×3l 。=日牛号适合该式 故2T。=n×3-(3+32+…+3")=n×31- 假设数列{an}中存在三项a.,a,a.构成等差数列， 2=(-）x3+ 不妨设u<v<W, 则有2a。=a。+am, 所以7，=(2m-1)31+3 4 则2（日）=（号）°+（号） 18解：()依题意+a9+a192=14, 故2(a+3)"-(a+2)-=(a+3)"-“+(a+2)-“， l2(a19+1)=a1+a19, 当a为偶数且aeN,时，2(a+3)-(a+2)-“是偶数，而 而g>1,解得a1=2,9=2,则a.=2”, (a+3)"-“是奇数，(a+2)"-“是偶数， 等差数列{b.}中，由4b1=a2=4,得b1=1, 故2(a+3)"-"(a+2)-=(a+3)-:+(a+2)"-“不能 又4=4=8则公老1=专中=1 成立； 当a为奇数且a∈N,时，2(a+3)"-"(a+2)-“是偶数，而 bn=b1+(n-1)d=n, (a+3)"-“是偶数，(a+2)-“是奇数， 所以数列{an},{bn}的通项公式是a.=2",bn=n 故2(a+3)"-"(a+2)-=(a+3)"-“+(a+2)"-“不能 (2)由(1)知，数列{an}与数列{bn}都是递增数列， 成立； a5=32<50,a6=64>50, 所以对任意的aeN,2(a+3)-"(a+2)-“=(a+3)"-“ 因此新数列前50项中，有5项是数列a,}的前5项， +(a+2)"-“不能成立. 另45项为数列{bn}的前45项， 即数列{a.}中任意三项都不能构成等差数列. 而a1+a2+a3+a4+a=1-2=62, 第23期3,4版参考答案 6+b2+…+6s=45×()+45）=1035. 核心素养阶段测评（四） 2 所以新数列的前50项和为62+1035=1097. 一、单项选择题 19.解：(1)因为数列{an}是“指数型数列”， 1~4 CBCB 5~8 ADBA 所以对于任意的n,m∈N,都有atm=an·am 提示： 因为a=2, 1.由am=2+(-1)“×2得， 所以a=a1·a1=2×2=4, a3=32-2=7,a4=42+2=18. a3=a1·a2=2×4=8. 2.若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行， (②)数列什+}是“指数型数 则a-1=0a=l: a+1≠0 证明：由a,=2a,a1+3a1得1=3+2， 若a=1,则直线x+y-1=0与直线x+y+1=0平行， 所以直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行是a= 即+1=安小， 1的充要条件 3.因为p在基底{a,b,c}下的坐标是(1,3,2)， 所以数列{位+1}是等比数列，且+1-3 所以p=a+3b+2c, a 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则站+1（日+）×3=33=3”， 则p=x(a+b)+y(a-b)+zc (x+y)a+(x-y)b+zc, (合+1(+1）=33=3 因此a+3b+2c=(x+y)a+(x-y)b+2c, 1+1=3+m 所以x+y=1,x-y=3,2=2, 即x=2,y=-1,z=2, -6 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 即向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(2，-1,2). 则点M到y=-名x(即bx+ay=0)的距离为 4.由等差数列的性质知 a1+ag=2a5,a1+am=a5+a-4, bc be 2+2 子101-号 因为S,= _9(a+a）=9a,=18,故a=2, Va +b 2 又5，=aa=na1）=240, 解得9a=5c,则双曲线的离心率e=￡=35 5 2 2 8.如图2，由题可知F(1,0), 故0(2十30=240，所以n=15. 2 5.当直线的斜率不存在时，直线x=4满足与点A(1,2)距 离为3，且与点B(3,2)距离为1， 以点A(1,2)为圆心，1=3为半径的圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=9, 以点B(3,2)为圆心，2=1为半径的圆的方程为 图2 (x-3)2+(y-2)2=1, 设A(x0,0),x0>0,0>0, 因为1AB1=2=r1-2,则两圆相内切， 则1AFI=x。+1=4,所以x=3, 故两圆的公切线有且仅有1条，即x=4, 则y0=25,A(3,23) 故在坐标平面内，与点A(1,2)距离为3，且与点B(3,2) 距离为1的直线共有1条。 放w2 6.如图1，以D为原点，以DA,DC,DF所在直线为x轴，y 所以∠AFx=60°， 轴，z轴建立空间直角坐标系。 则直线！的倾斜角 a=60°+45°， 所以直线！的斜率 k=am(60°+45)=5+号：-2-5， 1-3 图1 所以直线l的方程为y=（-2-5)(x-1), 则A(2,0,0),E(2,3,2),C1(0,3,4),G(1,3,0), 联立y=(-2-5)(x-1), 所以AC=（-2,3,4),A正=(0,3,2)， ly2 =4x, c=(1,0,2) 可得(7+43)x2-(18+83)x+7+45=0. 设C(x1y1),D(x2), 设n=(x,y,z)为平面AECF的法向量， 则·正=0， 3y+2z=0, 期+5=15+85=30-16g， 所以 7+45 n…4G=0, -2x+3y+4z=0, 所以1CD1=x1++2=32-165. 令：=1，所以n=(（山，-子1 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.ABD. 所以点C到平面AEC,F的距离为 提示： d=1·nl-922 9.由题可得T2=a1a2=ag>0, I nl 22 双曲线为 -=1(a>0,b>0)渐近线方程为 则a=经>1a-头<1用a,>1>4a a y±6 所以a=4g>1a<女<1 , 由0F的垂直平分线为x=分， 所以a4>0,0<g=4<1,故(A),(B)正确： a 所以T=a1·a·a3·a4·a5=a>1, 将=分代人y=则y=会 a T6=a1·a2·a·a4·a5·a6=(a3·a4)3<1,故(C)正 确，(D)错误. 则交点坐标为M(行，2二)， 故选(A)(B)(C). 7 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 0当A>0时方程-兰-4=0北为号-云=1 设e,0.o(-29≤a≤2）0e 曲线C是焦距为2√4+4入=4√+入的双曲线，(A)正确； 设Cd=AC,A∈[0,1]，得Q(0,2-2λ，2入)， 当4<-1时办程2关4=0化为号=1， 1PQ1=√(-a)2+(2-2)2+(2)7 曲线C是焦点在y轴上，焦距为2√4(-A)-4= =√+8(A-2)+2, 4√一1-A的椭圆，(B)错误； 当x=-1时，曲线C表示圆x2+y2=4,(C)错误； 当a=0且A=子时，1PQm=E,放(B)正确： 当-1<A<0时方程2-号-4=0化为号+亡 当P,Q分别为线段BD,CA的中点时，P(0,0,0),Q(0,1, =1,曲线C是焦点在x轴上，焦距为 1.可=01)而=(290，-2 2√4-4(-入)=4√个+入的椭圆，(D)正确. 设PQ与AD所成的角为0， 故选(A)(D). 则cos0=JPd·A 2 6 11.取BD的中点0，连接OA,OC. I POIL ADI /16 4 ×N3 在菱形ABCD中，AB=45,∠BD=60 所以PQ与D所成角的余弦值为故(D)正确 所以0A=00=A8n60:=9×9=2 2 故选(A)(B)(D) 三、填空题 因为AC=22,所以0A2+0C2=AC2, 所以OA⊥OC. 12(x+1)2+(y+3)2=1;13. 14:14.4 又因为AB=AD,O为BD的中点，所以OA⊥BD, 提示： 同理可得OC⊥BD. 12.设圆心C(a,b)(a<0,b<0), 因为OA⊥OC,OA⊥BD,OC∩BD=O,OC,BDC平面 圆C:(x-a)2+(y-b)2=1, BCD,所以OA⊥平面BCD.因为OAC平面ABD, 依题意有a=-1,圆心C(a,b)到直线4x-3y=0的距离 所以平面ABD⊥平面BCD,故(A)正确； 又OA⊥BD,OA⊥OC,OC⊥BD, 为=43b1=1, 5 故以0为原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立 解得6=-3或6=宁（舍去） 如图3所示的空间直角坐标系， 所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+3)2=1. 13.平面α的方程为x-2y+3z+3=0, 所以平面a的法向量为m=(1,-2,3), 平面2x-y+2=0与平面x-2z+1=0的法向量分别为 m1=(2,-1,0),m2=(1,0,-2), 设直线l的方向向量为n=(x0少。，)， 图3 则m=0即26-6=0取n=24,, 则a(25.00.c0.20)40.0,2).n(-250.0 ln·m2=0,lx0-2z0=0, 设直线l与平面α所成的角为0， 当AQ=QC,4PD=DB时， 则sin9=lcos(m,n1=mn Im·nl 001,0.P(-00 3 = =14 成=(1.1=(90.0 14×2I 14联立+a:=18, 所以点D到直线PQ的距离为 a2a3=a1a4=32, 可得=之 fa1=16, la4=16la4=2. 又因为数列{an}是递增的等比数列， 年，故（©）错误： 所以4,2， la4=16, 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 则公比g=2,a.=2",S46-Sk=al+ak2+…+ak46 -2122=21-2, 1-2 所以S6-S=27-2=21-2,所以k=4. 四、解答题 15.解：(1)由题意得边BC上的高所在直线的斜率为1， 则直线BC的斜率为-1， 图4 所以直线BC的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0. 期(-2号0），c0万.0).r0,0 (2)设A(,少)，因为AC边上的中线所在直线的方程为y =3,且61,0.所u”=3,则0=6 所以成=（9号，-，元=0反.-1. 因为BC边上高所在直线经过点A, 设平面PBC的法向量为m1=(x,y,z), 所以0-y0+1=0,则x0=0-1=5, 故A的坐标为(5,6). am-+5-=0, 则 16.解：设{an}的公差为d, n,·P元=2y-z=0, 由a。=q,a,=p得a。-ag=(p-q)d=g-p, 令y=1,则x=-1,z=2,得n1=(-1,1,2), 因为p<9,所以p-9≠0， 由题意得n2=(0,1,0)为平面PAD的一个法向量， 所以d=-1,a+4=a,+9qd=9-9=0, 所以p+9-3=0,P+9=3, m=是=分 所以1cos(n,n,)1=1=2x1 因为p<9,所以p=1,9=2, 则(n1,2〉=60°， 由a。=9得a1=2, 故平面PBC与平面PAD的夹角为60°. 所以an=a1+(n-1)d=2-(n-1)=-n+3. 18.(1)解：若入=0，则a=2an (2)由(1)得a.=-n+3,所以a4=-1,a5=-2, 因为a1=1,且数列{an}各项为正， 故a4,a5,a1,a2,…,a.是首项为-1，公比为2的等比数 列 所以a=2a1=2,则a2=√2， 所以a,=-1×21=-21， 所以aG=2a,=22=22,则a,=22 由am=-n+3得a6=-b.+3, (2)证明：若入=3，则a21-2an=3. 所以-b。+3=-2+1,所以bn=21+3. 因为a+-9=2(a-3), 17.(1)证明：因为AB⊥BC,2AB=2BC=2,AB∥CD, 即(a1-3)(a+1+3)=2(a.-3) 所以AB=BC=1,∠ACD=∠BAC=45°， 一方面，am1-3与am-3显然同号. AC=√AB2+BC=2. 因为a1-3<0,所以am-3<0,即a<3. 在△ACD中，CD=2.由余弦定理可知 AD2=AC+CD2-2AC·CDeos,∠ACD ,3-a1-2 另一方面，3-a am1+3 =(a)+2-2×万×2×号=2， 由a1=2an+3>3,得a+1>5>1, 故AD+AC2=CD2,所以AD1⊥AC. 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD= AC,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面PAC, 所以3-4<(3-4)×7<…<3-4，)×（合） 又因为ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAC. (2)解：因为AD⊥平面PAC,PAC平面PAC, (3）广(a≥2. 所以AD⊥PA.又因为CD⊥PA, CD∩AD=D,所以PA⊥平面ABCD. 所以,>3-(分)(n≥2)， 因为AB∥CD,所以∠PBA是异面直线PB与CD所成角， 即∠PBA=45°， 又因为4=1，所以a≥3-（分） -2 所以m∠Pa==1,所以PA=AB=l 综上可得3- ()≤a<3 以点A为坐标原点，AD,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴 19.解：(1)如图5，以FE所在的直线为x轴，FE的中点0 建立如图4所示的空间直角坐标系. 为原点建立平面直角坐标系， 9 高中数学人教A版选择性必修第二册 第21~24期 =×银g×4E =321k1(1+2) (1+42)(4+2) 音>9得2> 图5 整理得4-F-4<0,得-子<<2。 设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知 又2>0，所以0<2<2， I MFI+I MEI =I AEI =4 >I EFI =23, 所以-2<k<0或0<k<√2， 所以点M的轨迹是以F,E为焦点，长轴长2a=4的椭圆， 所以k的取值范围为(-2,0)U(0,2) 因为2c=25,2a=4, 所以c=5,a=2, 第24期2版参考答案 则b2=a2-c2=1, 专项小练一 所以椭圆C的方程为聋+子=1. 1.A;2.D;3.ABC (2)由(1)知D(0,-1), 4.9:5.f3)<f2<f10. 3 2 所以直线4y=-1(k≠0)，6y=-冬-1，如图6所 6.解：(1)△s=s(20+△t)-s(20) =10×(20+△t)+5(20+△t)2-10×20-5×202 示， =10△t+200△t+5A =1+20+0.05=21.05, 4s=21.05 △t-0.1 =210.5. (2)由(1)知A=10y+20+5Y-210+5a, D △t △t 图6 当△趋于0时，A趋于210， 设M(x1y),N(x22), At 所以赛车在t=20时的瞬时速度为210m/s. 2 联立年+=1整理得(1+4)2-8=0， 专项小练二 Ly =kx -1, 1.A;2.D;3.BC. 8k2 所以有=1中4纸，所以方=1十4级1， 4.3:5.y=(2+22)x-(2+22)或y=(2-22)x -(2-22) 所以IDMI=√+(1+1) 6.解：点P(1,1)处的切线的斜率 64k 64h4 = √(1+4)+(1+4) k=limf1+h）-f山-lim] n Ith-1 0 h =81处+胶 1+4h2 -1 =四+h=-1, 4+=1, 故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0, 联立 整理得(4+2)x2+8kx=0, 1 令x=0,y=2,则B(0,2), y=- x-1, 令y=0.x=2,则42.，0)，则5s=之×2×2=2 8 所以6所以为二 第24期3,4版参考答案 所以IDN1=√+(y2+1)了 导数的概念及其意义同步核心素养测评 64k2 64 =√4+)+4+了 一、单项选择题 1~4 CBBA 5~8 ABBA 8 4+原1+， = 提示： 所以SAn=之IDMI-I DNI 1.根据平均变化率的定义，在35m范围内，当水深每增加 5m时，水库储水量的平均变化率依次为： 10