第18期 学业水平测评（二）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 数评柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期(2025年11月）) 第17期3,4版参考答案 2后 2 学业水平测评（一） 6.由题意，以C,C店，CC的方向分别为x轴、y轴和z轴正 一、单项选择题 方向建立空间直角坐标系， 1 ~4 ACCB 5~8 BADC 设CA=CB=CC1=1,可得 提示： A10.0),41.0,1).c(0.0.0E(分01）F(0,31 1L向量a+b在向鼓a上的投影向量为a十8》口·日 a 则花=(-0,1，亦=(（0,3,1) =L,-12)(00.0,0山=0,0,2). 所以1cos(A正，1=」A正. 1A正1C1 2.由AB>0且BC<0,可得A,B同号，B,C异号， 所以A,C也是异号； 令x=0,得y=-C B >0; 7.圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(2-1)2与圆N:(x-a)2 令y=0,得x=- A>0 +y2=(2+1)2有两条公切线，所以圆M与圆N相交， 所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限 圆M的圆心为M(-1,2a),半径为2-1， 3.因为双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0)， 圆N的圆心为N(a,0),半径为2+1. 又抛物线了=mx的准线方程为x=-严 依题意可得(2+1)-(2-1)<1MW1<(2+1)+ 4 (2-1), 则-婴 =2,即m=-8, 即2<(a+1)2+(-2a)2<22, 4.m=1时，方程化为y=0,为直线； 即50+2a-3>0, m<1时，方程化为2m+二m 一=1，为椭圆； l5a2+2a-7<0, 1<m<2时，少程化为。片1，为烈层袋： 解得a∈(-子，-1)u(号，1) 8.由题可得A(-1,0),B(1,0),设P(x,y）, 而m-1≠m-2,因此曲线不可能是圆， 由双纽线的定义得IPAI×IPB1=1, 5.由题可得AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,2), 即(x+1)2+y×√(x-1)2+y=1, 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 化简得(x2+y2)2=2(x2-y2), A记·n=0,n「-x+2z=0, 则 即 显然IOBI=1,设IOPI=r,∠POB=0, AB.n=0,-x+2y=0, 则P(rcos0,rsin0), 取x=2,则y=1,2=1, 代人方程(x2+y2)2=2(x2-y2), 于是n=(2,1,1)是平面ABC的一个法向量， r=2r2(cos20-sin20)=2r2cos 20, 又因为平面AB0的法向量为0C=(0,0,2), 所以cos0=1cos(o元，1=10元：nL 所以r=2a20=22as0-0=2×(2×名-=子 1o元1lnl 由余弦定理得 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 IPBI2=IOPI2+lOBI2-2 I OPII OBI·cos∠P0B 由上述分析可知，直线2关于原点O对称的直线过点 =子+1-2x分x1×子=分 1 (-3,0),(0,2), 所以直线，2关于原点0对称的直线方程为y-2= 所以1PB1=号所以1PA1==2 1 0-(-3)(x-0), 2-0 二、多项选择题 即2x-3y+6=0,所以(C)选项正确； 9.ABD:10.ABD:11.AC. 点(3,0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 提示： 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2,0)， 9.由题得m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x =0,解得x=2,故(A)正确； 所以直线马关于直线4对称的直线方程为宁+名3=1， 因为m∥n,所以存在入∈R,使得m=An, 即3x-2y-6=0,所以(D)选项错误 则(-1,2,5)=A(2,-4,x)=(2入，-4，Ax), 故选(A)(C). 2入=-1， 三、填空题 即4认-，解得A=云故（)正确 2(2.0:13(5-1:14(o,25] Ax=5, x=-10, 因为m+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x), 提示： 所以1m+n1=√2+(-2)2+(5+x)7 12.由题可得B(3,1)关于x轴的对称点为B'(3,-1), 则直线松的方程为=3产已 x+1 =√5+(5+x)7=5, 解得x=-5,故(C)错误； 可得y=-x+2, 因为x=/10,则m=（-1,2,5),n=(2,-4,10), 令y=0,可得x=2,所以点P(2,0) 所以cos(m,n)=,m·n I m ll nl 13设.则Q(县少小 :X5x=-2,故(D)正确 又四边形PQFF2为平行四边形， √1+4+25×√4+16+10 所以m-。+E-2c=20-2ac-C∈(-a,), 故选(A)(B)(D). a a 10.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c], 即-a<2a-2ac-c2 <a, a (A)正确； 当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，面积守恒 规律，速度更慢，(B)正确： ==子。1，当比值储大周：越小，疏圆轨 道越圆，(C)错误 所以-1<2-2e-e2<1,可得2-1<e<1. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最 14.因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， 大，在远地点时向径最大，故速度最小，(D)正确。 所以PA,AB,AD两两垂直. 故选(A)(B)(D). 以点A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴， 11.由厂+y=0, 建立空间直角坐标系， 2x-3y-6=0, 解得x= 5y=-6 , 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),P(0,0,1) 所以交点坐标为（号，号），所以(A)选项正确； 设点Q(a,b,0),其中0≤a≤2,0≤b≤1，且a+b≤2. 设平面PDQ的一个法向量为m=(x,y,z). 直线2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3,0)，与y轴的交 又Dp=(-2,0,1),D0=(a-2,b,0), 点为(0，-2)，直线(1过原点， m·Dp=-2x+z=0, 所以 取x=b, 所以直线4，山4和x轴围成的三角形的面积为分×3× 6 m·Dd=(a-2)x+by=0. 则y=2-a,z=2b,可得m=（b,2-a,2b), =号，所以()选项错误； 易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,O). 2 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 由已知条件可得 (x-2)2+(y-a)2=4[(x-2)2+(y-b)2]. m·nl 12-a1 1cos(m,m）1=l-m=/2-a+5不 2 又(x-2)2=4-y2, 2 所以2(a-4b)y+462-a2+12=0. 即a+√56=2. 所以46， 解得=4或=-4， 由题可知Saw=立AD1xb=6 l462-a2+12=0 b=1,lb=-1, 所以满足题意的定点为M(2,4),N(2,1)或M(2,-4), 结合图形，当a=2时，b取得最小值，为0； N(2,-1) 当a=0时，6取得最大值，为 18.解：(1)依题意k1=tan01,k2=tan02, 所以6的取值范围为[0,2] 且0,4均不为0或7， 若选①0，+02=T,则0=T-02, 若要组成△ADQ,则点Q不在线段AD上， 则tan01=tan(π-02)=-tan02,即k1+k2=0; 所以sm=6e(o,25] 若选②4112，则k·k2=-1. 四、解答题 (2)依题意直线1：y-1=k(x-1), 15.解：(1)由焦点F到准线的距离为2，得p=2, 直线2：y-1=k(x-1), 故抛物线的标准方程为y2=4x. 又l1过A(a,2),所以2-1=k(a-1)且a≠1， (2)由(1)知：F(1,0),则直线1为y=2(x-1), 即1=k(a-1)且a≠1， 即2x-y-2=0, 又2过B(2,b),所以b-1=k2(2-1)且b≠1， 联立抛物线可得x2-3x+1=0, 即b-1=k2且b≠1： 则xA+xg=3,xAxg=1, 若选①，则k1+2=0,所以k1=-k2=1-b, 所以IAB1=xA+xg+2=5, 即1=(1-b)(a-1)且a≠1，b≠1； 又0到直线1的距离d=-2L=25 5 51 若选@则6-1，所以6-)×。=1. 即b+a=2且a≠1，b≠1. 所以S△0B= 分1AB1d=5 (3)直线l1:y-1=k（x-1), 2a=4b. 16.解：(1)由题意有： 81 解得2， 将直线1向右平移4个单位长度， =1， lb=1, 再向上平移2个单位长度得到 a y-1=k[(x-4)-1]+2, 所以双曲线C的方程为 4 -y2=1. 即y-1=kx-5h1+2,所以-5k1+2=-k1, ②)设点八)则暗-答-1，即 2 Yo b a' 解得名，=宁 又A1(-a,0),A2(a,0) 此时直线4y-1=之(x-1),所以2-1=(a-1), 2 则有·,=。方三 =2, 解得a=3； xo +a xo-a 所以点=2， 若选①，则=-分，此时直线：y-1=-之(x-D, 所以渐近线方程为y=±2x 所以6-1=-之(2-0，解得6=分 17.解：(1)易得直线l:mx+y-2m-1=0过定点D(2, 若选②，则k2=-2,此时直线2：y-1=-2(x-1), 1), 所以b-1=-2(2-1),解得b=-1. 又圆C:(x-2)2+y2=4,所以C(2,0) 19.(1)证明：AP·AB=-2-2+4=0, 易得1AB1=2√4-CD产=25. 所以AP⊥AB,即AP⊥AB; (2)满足题意的定点M,W存在，证明如下： AP.AD=-4+4+0=0, 设P(x,y),M(2,a),N(2,b)(a≠b), 所以AP⊥AD,即AP⊥AD. 因为1PMI=21PWI,等式两边平方得 又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 3 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 (2)解：(AB×AD)·AP1 =1-4-32+0-0-4-81=48, 故双曲线C的渐近线方程为y=±马， 7.抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=-1, 又6（花，动=4++6·6+4+0 8-2+0 /105 359 圆x2+(y-1)2=4的圆心F(0,1),R=2, 所以sin(A店，4=4而 I FBI =2,I AFI y +1,I ABI yn-y, 35, 所以三角形△AFB周长为： w=专14sin(店，4动小产=16， I FBI +I AFI+I ABI=2+ya+1 +ya-ya =3+y8, 因为1<yB<3,所以△AFB周长的取值范围是(4,6)· 1(AB×A)·AP1=3Vp-Bn 8.设圆心C坐标为(a,b),则Q(0,b), 猜测：I(AB×A)·AP产在几何上可表示以AB,AD,AP为棱 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2, 的平行六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）. 因为E,F两点在圆上， (2-a)2+(4-b)2=a2, 第18期3,4版参考答案 所以 (4-a)2+(2-b)2=a2, 学业水平测评（二） 解得a=2或a=10, 一、单项选择题 1b=2b=10, 1 ~4 DBBC 5 ~8 CCDB 当=10时，∠E0F为劣弧所对角，故合去 提示： (b=10 1.由题可得a-2b=(8,-5,13), 所以Q(0,2),C(2,2), 所以1a-2b1=√82+(-5)2+132=√/258. 所以1QF1=4,IQE1=22,IEF1=22, 2.由题可得a·n=0即a⊥n,所以l∥a或lCa 所以△QEF为等腰直角三角形，所以∠EQF=45. 3.直线5x-12y+2=0,即10x-24y+4=0, 二、多项选择题 则平行线间的距离d=4-（-3)=7 9.AD;10.AC;11.AB. 102+242 26 提示： 4.由题得a=25,c=3, 9.设过点P的直线方程为y=k(x+√3)-1， 因为原点O是FF2的中点， 则由直线与圆相切知-=1， 所以PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴， 个+ 设1PFI=x,则1PF2I=45-x, 解得k=0或k=√5. 故直线1的倾斜角为0°或60°.故选(A)(D) 在Rt△PFF2中，(45-x)2+36=x2, 解得x=7所以1PR,1=所以1=7 10.当m (分2时0<2-m<号<m+1<3, 所以0<1 1 5由直线：若+古=1(a>0,6>0)过点(1,4)， m+I<2-m 一=1表示焦点在x轴上的椭圆， +告=1，所以a+6=a+b)(合+)=1+ 则上 盼以—+了 2-mm+1 即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故(A)正确； +号45+2√×要=9， b 若曲线C表示双曲线， 当且仅当名=名，即a=36=6时，等号成立， 则(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2, 即实数m的取值范围为(-∞，-1)U(2,+∞)，故(B)错 所以直线1方程为芳+合=1，即2x+y-6=0, 误： 6.不妨设F1(-c,0),F2(c,0),M(xoy%),且x≥2， 当m=2时，曲线C3=1,即y=. 则1MF,12-MF212=(x+c)2+后-[(x-c)2+6] 即曲线C表示两条直线，故(C)正确； =4cx0≥8c, 所以8c=86,解得c=6,b=2, 若曲线C为等轴双曲线，则2-m)(m+)<0, l-(2-m)=m+1, 4 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 解集为⑦，所以不存在m∈R,使得曲线C为等轴双曲线， 所以点M在圆O外， 故(D)错误， 过M作圆的两条切线.两切点为A,B, 故选(A)(C) 则A,B在以OM为直径的圆上， 1.若n=之则点Q到平面4BD的距离为定值，所以三校 即4,8是圆(x-)+(-子)=3与圆0：2+ 锥Q-ABD的体积为定值，(A)正确： y2=4的交点， 若m=n,则Cd=A0-AC=Ad-(AB+A)=(m-1) 两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为x+3y-4 ·AB+(n-1)AD+pA41, =0. DB=AB AD,CO.DB (m -1)-(n -1)=0, 又直线OM的方程为y=3x, 所以QC⊥BD,(B)正确； 2 若m=n,由(B)选项可知QC⊥BD,且AC⊥BD, +3y-4=0 「x= 5 解得 所以BD为平面QAC的一个法向量， Ly 3x 6 y 且1B=2,BD=AD-AB=AA+Ad-A店，BD= (AA+AD-AB)2=3,1BD1=5, 所以M的反演点的坐标为（号，号） 又因为B成，D=(而-A·(AM+A市-A)=2, 所以1励，D1.2 14,因为双曲线「的离心率为2，所以么=1， 耐方文万 不妨设A(x1y),B(x22),D(xoo), 即BD与平面QAC所成角的正弦值为，(C)错误； 因为点A,B在T上， ICd12=1(m-1)AB+(n-1)A+pAA12=(m- 1)2+(n-1)2+p2+p(m-1)+p(n-1)=m2+n2+p2- 两式相减，得+）(-）_y+)(0-) p+() a 63 因为点D是AB的中点，所以龙1+x名2=2xo+3=20, 当且仅当m=m=p=方时等号成立，所以0C长度的最 没瑞-号 小值为7，(D)错误故选(A)(B). 所以k=业.。-0-尽 三、填空题 斯-6物-0=a=1 23,1(号号)：43 同理4好=1,4的=1因为分+定+吉=3 提示： 1.1,1 12.因为d=aa+b+yc=a(e1+e2)+B(e2+e3)+y(e1 所以+6+=有+店+店=3 +e3)=(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e3, 四、解答题 即(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e=e1+2e2+3e3, 15解：由题意得e=台=即e一。 a , .0+y=1, 可得{+B=2,相加得2(a+B+y)=6, 由椭圆定义知IPF,I+lPF2I=2a,IF,F2I=2c=√5a, B+y=3, 又IPFI-PF2I=3, 即a+B+y=3. 所以1P所1=a+,1P所1=a-子 13.圆0：x2+y2=4, 圆心0(0,0)，半径r=2, 在△PF,E,中，由余弦定理得os∠FPF,=2 = 则0M=√2+3=√0>2， +2)广+(a-多)- ,解得a2=2 2(a+)(a-2） 8 所以SA=(a+子)(a-2)sn骨 图1 d-)-盟 -5 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 16.(1)证明：圆的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+ 令c=1,则a=2,b=1,则n=(2,1,1), 2y+20)=0(a≠2)， 故1em1--方6 ,30 由题可得+y-20=0, 得4， 30 l-4x+2y+20=0,ly=-2, 所以该圆恒过定点(4，-2). 放平面PHB与平面PCD夹角的余弦值为织 (2)解：圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a- 18.解：(1)由题得圆P的圆心坐标为(1,0)，半径为1， 2)(a≠2)，两圆圆心之间的距离d=√5a2, 设Q(x,y)(x>0),依题意有(x-1)2+y=x+1, ①当两圆外切时，d=r1+12, 化简整理得：y2=4x, 即V50=2+V5(a-2,解得a=1+5 故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为y2=4x(x>0). (2)设直线l1的方程为x=my+1(m≠0)， ②当两圆内切时，d=11-21, 则直线！的斜率k=1 即V5a=V5(a-2)-21,解得a=1- m 5 因为4,2的倾斜角互补，故直线2的方程为x=-my+1, 综上所述，a=1± 设A(x1y1),B(x22),C(3y3),D(x4,4), 5 17.(1)证明：取PD的中点为S,连接BF,SF,SC, x=m时+1得}-4m时-4=0. 由 ly2=4x 则sF∥ED,Sf=2ED=1, 所以y1+2=4m,y1y2=-4, 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC, 所以S医=宁1PE川%-为1=号G+为产-房 故四边形SFBC为平行四边形， 故BF∥SC,而BF平面PCD,SCC平面PCD, =号4m》+16=6m+, 所以BF∥平面PCD. (2)解：因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 同理可得SE=宁PE1为-1=6V层+， 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB, 因为△ABE与△CDE面积之和为125， 所以CE⊥平面PAD, 所以有12m2+1=125, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED, 而PE⊥ED, 解得m=士2，所以直线么的斜率=六=±2 1 故以E为原点，EC,ED,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 19.(1)解：把点(1,2)，(-1,0)分别代人x+y-1, 建立如图2所示的空间直角坐标系， 可得6=1+2-)-1+0-山=-2<0， 1+1 所以点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔 (2)解：联立 2-4=1可得(1-42)=1 ly =hx 1 图2 根据题意，此方程无解，故有1-4≤0，所以1k1≥ 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 当11≥子时，对于直线)=，曲线2-4y=1上的 则P=(0,-1,-2),P2=(1,-1,-2) P元=(1,0，-2)，P7=(0,2,-2), 点(-1,0)和(1,0)满足6=二尽 1+尽2<0， 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 即点(-1,0)和(1,0)被y=x分隔. 则由 可得y-22=0, m·PA=0, m·pi=0待1x-y-2z=0, 放实数k的取值花固是(”，一号]U[分+)】 令z=1,则x=0,y=-2,则m=(0,-2,1), (3)证明：设点M(x,y), 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 则由题意可得2+(y-2)2·1x1=1, fn·P元=0， ,「a-2c=0, 故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1. ① 则由 可得 n·p元=0 l2b-2c=0, 对任意的yo,(0,少)不是上述方程的解， -6 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 即y轴（即x=0)与曲线E没有公共点 则n=k+1时，1+(3-1)a=0,解得a=1-3 又曲线E上的点(1,2)，（-1,2)对于y轴（即x=0)对称， 满足6=1×业=-1<0， 1+0 4.4=0,4=%-5 5a1+1 =-5, 即点(1,2)和(-1,2)被y轴分隔， 所以y轴，即x=0为曲线E的分隔线. a=,-v3 -5-5=5, √5a2+15(-5)+1 若过原点的直线不是y轴， .a3-5 万-5=0， 设为y=kx,代人[x2+(y-2)2]x2=1, a4= √3a3+1N5(5)+1 可得[x2+(kx-2)2]x2=1, 所以数列{an}为周期数列，周期为3. 令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1, 所以a0=a2=-5. 当k≠2时f(0)·f(1)=-(k-2)2<0, 5.由an+l=an+n+1得a+i-a:=n+1, 所以f(x)=0在(0,1)有实数解， 所以an-am-l=n,am-l-an-2=n-1,an-2-am-3=n 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 2,…,a2-a1=2, 当k=2时f(x)=[x2+(2x-2)2]x2-1=0,解得x=1, 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 各式作和得：a。-a1=2+3+…+n=(n-)(n+2) 2 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔 所以a。=1+n-1)(n+2) 2 线， 即x=0. 所以ao=1+9×12=55. 2 第19期2版参考答案 6.因为an}是单调递增数列， 所以对于任意的n∈N,都有al>an, 专项小练 即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2hm, 1.BD;2.C;3.A.4. n+25.2. 化简得k<n+2 1 6解：因为3S4=a1-2+2+2, ① 所以当n≥2时，3S.-1=a。-21+2, ② 所以长<n+对于任意的neN,都成立， ①-②得3a=a+1-a。-2"(n≥2)， 因为+宁≥子，所以k<多 1 即a1=4an+2"(n≥2). 7.设第n行实心圆点的个数为a, 在①中，因为a1=2,令n=1得 由题图可得a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5, a2=3a1+2-2=12=4a1+22,也符合上式， …,则am=an-2+an-1(n≥3)， 所以al=4an+2l 故a7=a5+a6=8,ag=a6+a7=13, 第19期3,4版参考答案 ag=a7+ag=21,a10=ag+ag=34. 数列的概念同步核心素养测评 8.因为数列a,对任意n∈N,都有a1<+a2 2 一、单项选择题 所以an+an2>2an+,即am2-an+l>an+l-am, 1 ~4 BBBB 5~8 CACD 因此(an2-amtl)-（anl-an）>0, 提示： 所以{a+l-an}为递增数列. 1.(A),(B),(C)中的数列都是无穷数列，但是(A),(C) 所以a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5, 中的数列是递减数列，故选(B)· a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6, 2数列。的前5项依次为-1，子-宁。-。 同理可得，2a5<a4+a6<a3+a7<a2+ag<a1+ag 所以a1+a+a3+…+ag=(a1+ag)+(a2+ag)+（a3 即是是专名最 +a,）+(a4+a6）+a5>9a5, 所以数列a}的一个通项公式为a,=(-1)n+口 即9a5<9,所以a5<1. 2 二、多项选择题 3.若要使{an}为k项的有穷数列， 9.ACD:10.ABC:11.BC. 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 提示： 2女+1=(n品)+(n2)++(分 9因为a.=nn+2neN.), 1 3）+(（1-）+1=-+1+1=2-=2nn(m≥ 所以令中2=动解得n=0, n 2). 故0是这个数列的第10项，故(A)正确： 当n=1时，a1=1符合上式， 因为a=2-10+3=2(。-3)广-只。 所以6，=。，故（®）正确： 因为n∈N,,所以n=2或n=3时，an为最小项， 因为a,=2-n嘴大时，减小，增大， 即它的最小项是第2项或第3项，故(B)错误； 所以{an}为递增数列，(C)正确； 分析可得a1=2+1=3, 因为a.}为递增数列，最小项为a1=1,故(D)错误 a2=22+1=5,a3=23+1=9, 故选(B)(C) a4=24+1=17,a5=2+1=33,…, 三、填空题 故am=2”+1,故(C)正确； 12.1013;13.a10,a;14.11. 3 由递推关系4=2,4，=之， 提示： 所以4二子故D)正确 12.因为an=(n+2)(aml-an), 故选(A)(C)(D). 所以(a+3a.=（a+2a,所以2= 10.因为a.= 2,n为奇数， 所以{。年}是常数列，所以器=学 l0,n为偶数， 又a2=2,所以a2m4=1013. 所以a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故(A)正确； 因为an=1+(-1)1,所以a1=1+(-1)2=2, 13.因为a,=- (n∈N,), n-99 a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2, a4=1+(-1)5=0,故(B)正确； 所以a.=”-99+99-8 n-√99 因为a.=2m受 ,所以a=2sn受=2， =1+四-s n-99 d2 =2 sin 2 =0,a=2sin2=2, 所以当n≤9时，4=1-，随若n的增大，0. 9-n 4T da =2 sin 2 =0,故(C)正确： 越来越小且小于1，即1>a1>a2>a3…>ag>0. 因为0，=2，所以41=2=2,0，=2 当10≤n≤30时，a,=1+丽-⑧，随若m的增大， 1,4=2少=2，a4=2=1,故(D)错误 n-√99 an越来越小且大于1，即a0>a1>…>a0>1. 故选(A)(B)(C). 综上有：ag<ag<…<41<1<a0<…<a1o 1 3 1l.a=1a=a+2x1=2 所以前30项中的最大项为a1o,最小项为ag: 4=+与文哥山=+好女=子 14.因为数列{an}的每一项只可以是0或1， 所以连续3项共有23=8种不同的情况， 4=a+与文4=号.故(a)错误： 若m=11,则数列{an}中有9组连续3项， 1 则这其中至少有两组按次序对应相等， 由a。=a-1+n(n-1)' 即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”， 得aaa≥2. 1 若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”， 则4≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列 所以an=(a-a-1)+(a-l-am-2）+…+(a3-a2）+ {an}, 1 1 (a-a）+a=n(n-+(n-1)0n-2)+…+3x2+ 所以要使数列a.}一定是“3阶可重复数列”， 8 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 则m的最小值为1. (1)当a>1时，a-1>0,bn1-bn>0, 四、解答题 故数列不存在最大项 15.解：由(n+2)ait1-na+2a1am=0(neN,) (2)当a=1时，bn1-bn=1,数列也不存在最大项. 得[(n+2)am+1-nan](a1+an)=0, (3)当0<a<1时，a-1<0, 因为an>0,所以an+l+a>0, 6u-a.=a(a-)(n+a2） 所以(n+2)a1-m,=0,所以会=元中2 a 所以a=a,·2,g·2…品=1×分×子×号× 123 即66.与1+。有相反的正负值， al a2 a3 an-1 由于n为变量，而。巴为常数， 2 xn+i=n(n+1)n≥2)， 2 设台为不大于亡。的品大整数。 又a1=1满足上式，所以a.= n(n+1) ,>0,n<k, 16.解：(1)根据a,=3m2-28n, 则ba+1-bn{=0,n=k, 得a4=3×42-28×4=-64, O,n k. a6=3×62-28×6=-60. 即有b1<b2<b3<…<bk-1<bk, (2)令3n2-28n=-49,即3m2-28n+49=0, 且bk>bk+l>…, 解得n=7或m=子（含）， 故对任意自然数n,bn≤b 所以0<a<1时，{bn}存在最大项. 所以-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0, 19.(1)解：根据题意，若数列A为1,0,0,1， 可得b1=0,b2=0,b3=0,b4=1, 解得1=-2或”三；，均不是正整数， 即数列B为：0,0,0,1； 所以68不是该数列的项. 若数列A为1,2,3,4,5,6,7， 17.解：(1)由题意得当A=2,C=0时，S.=2n2+Bn. 可得b1=1,b2=2,b3=3,b4=4,b5=5,b6=6,b7=1, 则当n≥2时，a.=S.-S.-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+ 即数列B为：1,2,3,4,5,6,1. B(n-1)]=4n+B-2. (2)证明：由题设条件知b:≤a,i=1,2,3,…,n, 又a2=-10,所以8+B-2=-10, 所以Tn≤S, 所以B=-16,所以a.=4n-18(n≥2). 当且仅当b:=a,i=1,2,3,…,n时，等号成立， 当n=1时，a1=S1=2×12+(-16)×1=-14. 所以a1≤a2≤a3≤…≤am≤a1, 经检验，当n=1时，符合a,=4n-18, 所以若S=T,则a1=a2=a3=a4=…=a,neN, 所以a.=4n-18. (3)解：不妨设a1=mina1,a2,…,an}, (2)由题意得当n≥2时，an=S.-Sn1=2An+B-A, 若a1≥0，因为Sn=0,所以a1=a2=…=am=0, 所以a=6A+B-A=5A+B=-9, 此时b1=b2=…=bn=0,Tm=0, 所以B=-5A-9, 显然C,取任意实数都满足条件； 所以a.=2An+B-A=2An-6A-9(n≥2) 下面设a1<0,则Tn≤Cn·mina1,a,…,a.}的充分必要 若{an}的各项均为负数， 则A<0,a.=2An-6A-9在n≥2时单调递减， 条件是C,≤乙 a 又因为a1=-36<0,所以只需a2<0即可， 假设maxa1,a2,…,an}=a,2≤j≤n, 即4=41-61-9<0，所以4>-号 因为Sn=0,所以a;>0, 当2≤j<n时，由b1=a1,b2≤a2,…,b-1≤a-1,b;≤ 放实数4的取值范围为(-号，0） a1,b41≤a2,…,bn-1≤an,bn=a1, 18.解：因为bn=na"(a>0), 所以Tn≤Sn-a+a1=a1-a, 所以bn1-bn=(n+1)a"-na 当j=n时，有b1=a1,b2≤a2,…,bm1≤aa-1,b。=a, =a"[(n+1)a-n]=a"·[(a-1)n+a]. 仍然有Tn≤Sn-a.+a1=S4-a+a1=a1-a成立， 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 所以2≥4=1- 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1,a2,…,a2, a a a 前n项和为Sn(n≤12)， 因为4+(n-1)4≥5。=0，所以2≤-n 1 ,a2+a4+a6=3a1+9d=31.5, 由题可得 所哈产所以C百片气 3=8+874=s0. 解得a1=13.5,d=-1, 所以C,的最大值为nPn≥2，neN,). 所以小满日影长为a1=a1+10d=13.5-10-3.5(尺). 第20期2版参考答案 5.由41=9，a4=3,得公差d=4=-2, 4-1 专项小练一 则am=a1+(n-1)d=-2n+11, 显然当n≤5时，an>0,当n≥6时，am<0, 1B:2c:3Bc4子a-55-l 所以T21=|a11+la21+…+la211 6.解：(1)设等差数列an}的首项为a1,公差为d, =(a1+a2+…+a5)-（a6+a,+…+a21） 则4=0+21=4，解得a=10d=-3. =2(a1+a2+…+a5）-(a1+a2+…+a21） la,=a1+6d=-8, =2×59+1D.21(9-31山=281. 2 2 所以an=10+(n-1)×(-3)=13-3n, 6.设等差数列的公差为d,首项为a1, 故a10=13-30=-17. 则B-A=15d=45,所以d=3, (2)由(1)知a.=13-3n,由-56=13-3n, 因为2A=B+615,即2A=A+45+615,则A=660, 得到n=23eN,由-40=13-3n,得到n= 3N, 等差数列的奇数项是以a,为首项，2d为公差的等差数列， 所以-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这个数 等差数列an}的前30项中奇数项有15项， 列中的项。 所以A=15a,+1514×6=660,解得a1=2, 2 专项小练二 所以a.=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 1.A;2.B;3.CD.4.16;5.9. 7.设第n层放小球的个数为an, 6.解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d, 由题意a-a1=2,a3-a2=3,…, 因为S=a5,2a2=3, 数列{am+1-an}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以3a+3=a+4d, 解得 a1=2 所以an-aa-l=2+(n-2)=n(n≥2，neN) 2a1+2d=3, 0d=1, 故an=a1+(a2-a1）+…+(an-a-1) 1 所以a,=2+(n-l)1=n-2,即a。=n-2 =1+2+…+n=2n(n+1), 第20期3,4版参考答案 故a=7×40×41=820 等差数列同步核心素养测评 82=2可得院 =5n2-5m2-2n n·3n 3n2 一、单项选择题 因为数列{an},{bn}都是等差数列， 1~4 ADBB 5 ~8 CBCC 所以不妨令S。=(5m2-2n)t,Tn=3n2t, 提示： 所以a,=S7-S6=(5×72-2×7-5×62+2×6)t= 1.因为an}是等差数列， 63t,b=T,-T4=(3×52-3×42)t=27t, 所以a3+a1=2a5=24,即a5=12, 所以d=a6-a5=20-12=8. 所以子 2.设等差数列{an}的公差为d, 二、多项选择题 因为a=1,S=18,可得3a1+3d=3+3d=18, 9.ACD;10.AC;11.ACD. 解得d=5,所以S6=6a1+15d=6+15×5=81. 提示： 3.因为a2+a5+a17+a20=48=4a11,所以a1=12. 9.an=n+b(k,b为常数，n∈N,)的关系式符合一次函 4.设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、：数的形式，所以是等差数列，故(A)正确； 1017.(15分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD,AB=BC 18.(17分)已知y轴右侧一动圆Q与圆P:(x-1)2+y2=1相 19.(17分)在平面直角坐标系x0y中，对于直线1：ax+by+c= =1,AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD,PE=DE=2. 外切，与y轴相切. (1)若F为线段PE的中点，证明：BF∥平面PCD (1)求动圆圆心Q的轨迹M的方程； 0和点P(x1),乃，(，），记6=(a+b+c)(a,+by2+c） a2+b2 (2)若AB1平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值， (2)过P(1,0)分别作两条直线l1,l2,l1与轨迹M相交于A,B两 若δ<0，则称点P,P,被直线1分隔，若曲线C与直线没有公共点， 点，12与轨迹M相交于C,D两点，11,12的倾斜角互补，定点E(4,0) 且曲线C上存在点P,P2被直线1分隔，则称直线l为曲线C的一条 且△ABE与△CDE面积之和为125，求直线L,的斜率. 分隔线 (1)判断点A(1,2),B(-1,0)是否被直线x+y-1=0分隔并 E 证明； (2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值 范围； (3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点 M的轨迹为曲线E,证明：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E的分隔线 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）学业水平测评 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）学业水平测评 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 数评橘 2025年11月10日·星期- 报纸发行质量反馈电话： 第18期总第1162期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一册 平面三角形与空 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-289 间四面体的类比 热点问题一 证明问题 (三) 1 例1如图1，已知在四面 空间向量及其运第 (1)三角形：三 体PABC中，PA=a,PB=b, 2(9+r-p). 角形有正弦定理 PC=c,G∈平面ABC.若G 热点问题 b simA=sinB=sinC 为△ABC的重心，证明：PG 所以1M1=4(g+r-p)月 ◎山西赵鸿斌 四面体：四面体 1 =3(a+b+c). 1 有类似的正弦定理， =g+r+p+2(g7-9p-g 因为AB=DC,在DC上取点F, 如图 证明：连接AG并延长交BC于D,则D平分 =2++2+2(-号-号)川 使D,F=D,C BC,且G分AD所成的比为2：1，从而 =}×2= 2 因此号丽=子0G=正，又配=有 P元=+AC=a+子d 2 从而)不+B+子店 而=方（丽+d 所以1m1-亮.故MN的长为 EA+AD+DF=EF. B 点评：运用空间向量解题，应注意选取适当 sinA=sin B=sin C =(Pi-Pi+(P元-P] 的基底对相关的向量进行合理的分解.基底的 (2)m=M店+BN=D丽+子BC (2)三角形：三 选取应注意以下两点：一是三个向量不共面；二 角形的面积是通过 =2b+e-20). 是这三个向量中两两的夹角都可求.一般在四 =(D+A+子(BC+动 构造一个平行四边 故G=a+写(b+c-2a 面体、正方体和长方体中，都是以从同一个顶点 形而求得面积的 出发的三条棱所在向量作为基底的， (-而++子（而+ = 1 S%=25a =号a+b+e) 热点问题三求值问题 四面体：四面体 例3已知ABCD-AB,C,D,是平行六面体， 体积可通过构造一 热点问题二求线段的长 如图3所示 1 1 3 个平行六面体而求 例2已知空间四边形ABCD的每条边和每 可见=2B=4y=4 得体积的 条对角线长度都等于a,M,N分别是边AB,CD ()化简)A+BC+ 点评：空间向量基本定理揭示了向量间的 的中点，求MN的长 线性关系，空间中任意三个不共面的向量a,b,c V回西体=3V牛行六面休 2店，并在图上以AA的中 (3)三角形：直 解：如图2所示，设AB= 可以成为空间向量的一组基底.空间中的任何 点为起点标出计算结果； 图3 一个向量都有xa+yb+C的线性表示，且x,y, 角三角形3边长为 p,4C=q,Ad=r,由题意知 (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面：的值是唯一确定的.如果一个平面和其中的两 a,b,c(c为斜边)，则 1p1=1q1=1r1=a, BCC,B,对角线BC,上的点，且BN:BC,=3:1,个向量平行，则该平面内的向量用基底表示时， c2=a2+b2 且p,q,r三向量两两 设MN=aAB+BAD+yAA,试求&，B,y的值. 另一个向量的系数必须为0.如果一个向量和其 四面体：直角四 夹角均为60°， 中的一个向量平行时，则这个向量用基向量线 面体（同一顶点上的 因为MN=AN-AM 解：(1)取A1,的中点E,则}=E 3条棱两两垂直的四 性表示时，其他的两个向量的系数也必须为0. 面体，称为直角四面 方法指津 体。直角四面体中 掌握抛物线问题的， 则p=g=六则 p 1=4a,故选(C). 解得a=-1或a=5, 所以所求的抛物线方程为y2=-x或y2=5x 含有直角的面称为 二、巧设方程 三、建立关系、设而不求 直角面，不含直角的 几个巧解 确定抛物线的方程是一类重要的题型，在 有关解析几何的解题，通常把题目中某些 面称为斜面)中，各 许多情况下，若格守常规，不但过程繁琐，而且相关的点的坐标先设出来，但在解题中并不求 直角面的面积分别 ⊙山西段瑢芳 运算量大，若能根据题目的特点，采用相应的设 出它的具体值，只把它们作为解题过程中的“桥 为S1,S2,S3,斜面面 对于抛物线的求解，解题方法选用的是否 法，则可达到避繁就简的目的 梁”，使问题快速获解。 积为S4,则有 得当，常常引起解题的难易、繁简的差异.因此， 例2抛物线的顶点为原点，焦点在x轴上， 例3已知抛物线y2=-8x的弦PQ被点 S=S7+S号+S号 (4)三角形：直 解题时还需讲究一些策略，本文对有关抛物线 且被直线y=x+1所截的弦长为√0，求此抛A(-1,1)平分，求弦所在的直线方程 角三角形中，斜边与 问题的求解作简单的分析，以供参考，望对你有 物线的方程 解：设点P(x,),Q(x2y2), 二直角边所成的角 所帮助 解：设抛物线的方程为y2=ax(a≠0)， 由题意知x1≠x2, 为A,B,则有 一、巧取特殊点或特殊位置 则有=ax, 则有=-8， cos2 A cos2 B 1 对于一些选择题，从选择项中提供的信息 ly =x+1, y2=-8x2, 四面体：直角四 进行分析，选取恰当的特殊情况，往往也能迅 消去y得x2+(2-a)x+1=0. 两式相减得y异-y乃=-8(-)， 面体的斜面与各直 速，准确求解，避免小题大做 设弦AB的端点为A(x1y),B(x2,y2) 即(y1-2)(y1+y2)=-8(x1-), 角面所成的二面角 例1过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作 则x1+x2=a-2,x1x2=1. 因为A是PQ的中点， 分别为a,B,y,则有 直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ 由弦长公式得 所以y1+y2=2, cos'a cos B 的长分别是P,4,则+的值为 () AB=1+k2x,-x,1 即y-=-4(x1-x2), cos'y 1 q =2·√(x1+x2)2-4x1为 所以直线PQ的斜率k=-上=-4， x1-x2 (A)2a (B)2a (C)4a (D)4 =/10 所以所求弦PQ所在直线方程为y-1= 解：取直线PQ∥x轴 即/(a-2)2-4=√5 4(x+1),即4x+y+3=0. 2 素养专练 数理极 方法归纳 所以此圆的标准方程是(x+1)2+(y+2)2=10. 分析题型 点评：当圆心在直线上时，一般可阐述如下问题： 线段BC的中点为？，-》 (1)该直线与任何一条弦的垂直平分线都相 所以AB的垂直平分线方程为 四法定方程 交于圆心； y+1=2(x-5) (2)该直线将圆平分为面积相等的两部分； (3)该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半 BC的垂直平分线方程为 ⊙河南李建国 为圆半径 学会在各种条件下确定圆的方程是学习圆的 y+号=3-》 ② 二、当圆心在直线上，且已知圆的一条切线时 方程这一部分内容要做的基本功.要想解决好求 如何确定圆的方程 联立①2解得=1， 解圆的方程这一问题就必须了解各种这方面的题 ly=-3 例2求经过点A(2,-1),和直线x+y=1相 型，以保证再次遇到这类问题时，解决起来就会有 切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程 所以△ABC外接圆的圆心为E(1,-3), 据可依.下面分析四类这方面的常见问题， 解：因为圆心在直线y=-2x上， 半径r=1AE1=√(4-1)2+(1+3)7=5. 一、当圆心在直线上，且已知圆上两点时如何 所以可设圆心坐标为(a,-2a).据题意得 故△ABC外接圆的方程是 确定圆的方程 √(a-2)+(-2a+1)7=|a-2a-11 (x-1)2+(y+3)2=25. 例1已知一圆经过点A(2,-3)和点B(-2, √2 点评：相比较而言，应当特别重视解法二的解 -5),且圆心C在直线l:x-2y-3=0上，求此圆 解得a=1.圆心为(1，-2)，半径为2 题思路.这是一种程式化的解题过程，记住一题， 的标准方程 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 则可通过这一方法解决所有类似问题 解：如图1. 三、当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程 四、当圆过已知圆与直线的交点时，如何确定 因为A(2,-3), 例3已知△ABC的三个顶点坐标分别是圆的方程 B(-2,-5), A(4,1),B(6,-3),C(-3,0),求△ABC外接圆的 例4已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线龙 所以线段AB的中点 方程. +2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的 D的坐标为(0，-4). 解法一：待定系数法，请同学们自己动手完成 圆的方程 又k=-5-(-3) 解法二：如图2，因为 -2-2 解：设点P(x1y),Q(),则点P,Q的坐 △ABC外接圆的圆心既在AB 标满足方程组+y+x-6y+3=0, 的垂直平分线上，又在BC的垂 lx+2y-3=0. 所以线段AB的垂直平分线的方程是 直平分线上，所以先求AB,BC y=-2x-4. 的垂直平分线方程，求得的交 解方程组得，-1，=1， x2=-3,y2=3. 解方程组-2y3:0,得：=-1， 点坐标就是圆心坐标 即点P(1,1),Q(-3,3) y=-2x-4 ly=-2. 因为=。4-2 则线段PQ的中点坐标为(-1,2)， 所以圆心坐标为C(-1,-2), x0g2-号 1PQ1=√(x,-x2)2+(y-2)7=25. 半径r=CA1=√(2+1)2+(-3+2)7 故以PQ为直径的圆的方程是 =10 线段AB的中点为(5，-1)， (x+1)2+(y-2)2=5. 17.解：(1)易得直线1：mx+y-2m-1=0过定点D(2,1), 将直线11向右平移4个单位长度， 第17期3版参考答案 又圆C:(x-2)2+y2=4,所以C(2,0). 再向上平移2个单位长度得到y-1=k1[(x-4)-1]+2, 一、单项选择题 易得1 ABI min=2√4-|CD1下=25 即y-1=k1x-5k1+2,所以-5k1+2=-61, 1~4 ACCB 5 -8 BADC (2)满足题意的定点M,N存在，证明如下： 二、多项选择题 解得气=分， 设P(x,y),M(2,a),N(2,b)(a≠b), 9.ABD;10.ABD;11.AC. 因为1PMI=21PW1,等式两边平方得 此时直线4：y-1=之（x-),所以2-1=分(a-1), 三、填空题 (x-2)2+(y-a)2=4[(x-2)2+(y-b)2]. 解得a=3; 12.(2,0)；13.(2-1,1)； 14(o,5] 又(x-2)2=4-y2 所以2(a-4b)y+42-a2+12=0. 若选①，则？，=-之，此时直线2：y-1=-2(x-1), 四、解答题 15.解：(1)由焦点F到准线的距离为2，得p=2, me2[[ 所以6-1=-分2-)，解得6=子： 故抛物线的标准方程为y2=4x. 所以满足题意的定点为M(2,4),N(2,1)或M(2,-4),N(2 若选②，则2=-2，此时直线2：y-1=-2(x-1), (2)由(1)知F(1,0),则直线1为y=2(x-1), -1) 所以b-1=-2(2-1),解得b=-1. 即2x-y-2=0, 18.解：(1)依题意k1=tan01,k2=tan62 19.(1)证明：A.店=-2-2+4=0， 联立抛物线可得x2-3x+1=0,则x4+xB=3,xAxB=1, 所以|AB|=xA+xB+2=5, 且8，%均不为0或牙， 所以A正⊥A,即AP上AB: 又0到直线1的距离d=-2-25 若选①01+，=m,则=π-2， A序.A市=-4+4+0=0，所以A亦⊥A市，即AP⊥AD. /5 则tan91=an(r-02)=-tand2,即k1+k2=0: 又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 所以SAB=号1AB1d=5. 若选②1上2，则1·2=-1 (2)解：(AB×A)·A序1 (2)依题意直线l1:y-1=k(x-1), =1-4-32+0-0-4-81=48」 r2a 4b, 直线l2:y-1=k2(x-1), 又成.动=A16:646 8-2+0 /105 35 1b=1, 又1过A(a,2),所以2-1=k1(a-1)且a≠1， 所以双曲线C的方程为子-y=1 即1=k1(a-1)且a≠1， 所以sin(a店，Ad=4而 又42过B(2,b),所以b-1=k2(2-1)且b≠1， 351 2点测吾：1即号 即b-1=2且b≠1； p-m=子1·sin( 若选①，则1+2=0，所以1=-2=1-b, 41A1=16. 又A1(-a,0),A2(a,0), 即1=(1-b)(a-1)且a≠1，b≠1； yo 若选②.则名为=-1，所以6-D×。=-1 1(A证×市·=3Vp-Am 猜测：1(A店×A)·A1在几何上可表示 阴以女：E所以渐近线方程为y=±反x 即b+a=2且a≠1，b≠1. 以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积（或以 (3)直线11：y-1=k1(x-1), AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积). (C)(4,5) (D)(4,6) 的反演点：若点M在圆O内，则连接OM,过点M作OM的垂线，该垂 学业水平测评（二） 8.几何学史上有一个著名的米勒问题： 线与圆两交点处的切线的交点即为M的反演点.已知圆O:x2+y2= “设E,F是锐角∠APB的一边PA上的两点，试 4,点M(1,3),则M的反演点的坐标为 测试范围：选择性必修第一册 在边PB上找一点Q,使得∠EQF最大.”如图 2,其结论是：点Q为过E,F两点且和射线PB 4已知点A,层，C是离之率为万的风浅后云-1a> ◆数理报社试题研究中心 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问 0,b>0)上的三点，直线AB,AC,BC的斜率分别是k,2,k3,点D, 图2 题：在平面直角坐标系x0y中，给定两点E(2,4),F(4,2),点Q在y E,F分别是线段AB,AC,BC的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF 第I卷选择题（共58分) 轴上移动，则∠EQF的最大值为 的序分别是，的站+名+名=3，则+6+乌 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (A)30 (B)45 1.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则1a-2b1= (C)609 (D)1359 四、解答题：本题共5小题，共77分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. (A)√38 (B)42 (C)66 (D)√258 9.过点P(-5,-1)的直线1与圆x2+y2=1相切，则直线1 15.(13分)在离心率为的椭圆中，5,5是两个焦点，P是精 2.若直线1的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n= 的倾斜角可以是 毫 (-2,1,1),则 ( (A)0° (B)30° (C)45° (D)60° 圆上一点，且∠FPE,=牙，IPF,I-PF,I=3,求Sam 擊 (A)l∥a (B)lC&或l∥a 10.已知m∈R,则方程(2-m)x2+(m+1)y2=1所表示的曲 (C)l⊥a (D)l与a斜交 线为C,则以下命题中正确的是 选择 3.两平行直线5x-12y+2=0和10x-24y-3=0间的距离 性 (A)当m∈（分2）时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 必 为 ( 修 (B)当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是(2，+∞) 第 (A) c高 (D (C)当m=2时，曲线C表示两条直线 册 4已知RR为椭号+号 (D)存在m∈R,使得曲线C为等轴双曲线 :=1的两个焦点，点P在椭圆上，如 11.在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=AA,=1, 果线段PF,的中点在y轴上，且PF,=PF2,则t的值为（ ∠A,AB=∠A,AD=60°，∠DAB=90°，若A0=mAB+nAD+ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 版 () 学 pAA,其中m,n,p∈(0,1]，则下列结论正确的有 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）学业水平测 业 5当直线1：号+音-1a>0,6>0)过点P1,4),当a+6取 (A)若P=分，则三楼锥Q-ABD的体积为定值 16.(15分)已知圆x2+y2-4ax+2ay+20-20=0(a≠2). 水平测 得最小值时，直线1的方程为 ( (A)x+y-5=0 (B)4x+y-8=0 (B)若m=n,则QC⊥BD (1)证明：该圆恒过一定点； 评 (2)若该圆与圆x2+y2=4相切，求a的值. 评 (C)2x+y-6=0 (D)x+2y-9=0 (C)若m=,则BD,与平面QAC所成的角的正弦值为5 3 6.已知F,F,分别是双曲线C: :4-3=1(b>0)的左右焦 (D)当m+n=1时，线段QC的长度的最小值为5 点，M是双曲线C右支上的一个动点，且IMF,I2-MF212的最小 值是86，则双曲线C的渐近线方程为 ( 1 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (A)y=±2 (B)y=±√2x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3, 7.如图1，点F是抛物线C:x2=4y的焦点， 若e1,e2,e3不共面，当d=aa+Bb+yc时，则a+B+y= 点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的 13.圆的反演点：已知圆0的半径是r,从圆心0出发任作一条射 实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则 线，在射线上任取两点M,N,若1OM10N=2,则M,N互为关于 △AFB周长的取值范围是 圆O的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点M在 (A)(3,4) (B)(3,5) 圆0外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与OM的交点就是点M