第17期 学业水平测评（一）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

6(15分)设双曲线C=1(@>0,6>0),点41是 18.（17分)若两条相交直线11,12的倾斜角分别为0，02，斜率均 19.(17分)已知P是平面ABCD外的一点，四边形ABCD是平行 存在，分别为k,k,,且k,·k2≠0，若1,12满足 (从①61+ 四边形，AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1). 双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上 02=π；②l1⊥12两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答) (1)证明：PA⊥平面ABCD; (1)若A42=4b,点P(22,-1),求双曲线C的方程； (1)求k,k2满足的关系式； (2)对于向量a=(x1y1,),b=(x2y2,3),c=（x3,3） (2)当P异于点A1,A2时，直线PA,与PA2的斜率之积为2，求双 (2)若l1,l2交点坐标为P(1,1),同时11过A(a,2),l2过B(2, 定义一种运算：(a×b)·C=x1y23+2y3+x31-xy32-x2y123 曲线C的渐近线方程. b),在(I)的条件下，求出a,b满足的关系； -x,试计算(AB×AD)·AP的绝对值；说明其与几何体P (3)在(2)的条件下，若直线1上的一点向右平移4个单位长 度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a,b的值， ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(AB×AD)·AP的绝对 值的几何意义 高中数学·选择性必修第一册（人教 17.(15分)已知圆C:x2-4x+y2=0,直线l:mx+y-2m 1=0. (1)若直线1被圆C截得的弦为AB,求弦AB长度的最小值； (2)已知点P是圆C上任意一点，在直线x=2上是否存在两个 定点M,N,使得IPMI=2IPNI?若存在，分别求出点M,N的坐标； A 版 若不存在，请说明理由. )学业 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）学业水平测评 水平测评 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数淫括 2025年11月3日·星期- 高中数学 第 17期总第1161期 人教A 选择性必修第一册 平面三角形与空 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-289 间四面体的类比 例题设抛物线C:x=2py(p>0)的焦点 (A)双曲线 (B)椭圆 (二) 为F,准线为1，A为C上一点，已知以F为圆心， (C)抛物线 (D)圆 圆锥曲线的 (1)三角形：正 FA为半径的圆F交I于B,D两点.若LBFD=90° 解析：由题意知，焦点到A和B的距离之和 三角形的外心、内 △ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程 等于A和B分别到准线的距离之和，而该距离之 交汇看点 心、垂心合一。 命题立意：本题考查通过抛物线与圆的交 和为A和B的中点O到准线的距离的二倍，即为 四面体：正四面 江问题求抛物线的标准方程及圓的方程.圆锥2r=8(r为圆0的半径)，根据椭圆的定义得，所 ⊙山西杨庆芝 体的外心、内心、垂 曲线之间的交汇问题，不外乎椭圓与双曲线、椭 求焦点的轨迹方程是以A和B为焦点的椭圆， 心合一。 圓与抛物线、双曲线与抛物线或它们跟圆的交 故选(B) 汇.这些知识广泛“牵手”，就组成一幅幅绚丽多 最卧值为1-票 (2)三角形：正 看交汇二：椭圆与圆交汇 看交汇三：双曲线之间的交汇 三角形内任一点到 姿的图画，构成变化多端、引人入胜的各种变式 例2已知A为椭圆x2+4y2=4上任一点 例3在△ABC中，各边长互不相等，以B,C 三边距离之和为正 题，如用来求，点的坐标、轨迹方程等等，涉及的 三角形的高。 知识点较多，综合性强，能力要求高，能有效地B为圆M:2+()-2)2=写上任一点，求AB1 为焦点，过A作双曲线的一支；以A,B为焦点，过 四面体：正四面 考查相关知识和各种能力. C作双曲线的一支；以A,C为焦点，过B作双曲 体内任一点到四个 解析：由对称性知，△BFD是等腰直角三角 的最值 线的一支，证明：这三支双曲线交 点 解析：利用平面几何知识，可知AB过圆心 面的距离之和为正 形，斜边|BD1=2p, 证明：不妨设|AC1< 四面体的高。 点A到准线1的距离为 M(0,2)时1AB1有最大值，而1MB1为定值 ,IABI<IBCI,如图2 3 (3)三角形：三 d =1 FAI =I FBI =2p 所示.设以B,C为焦点， 所以问题转化为求IMAI的最值， 角形两边之和大于 Sa=42台7 xl BDIxd=42 过A的双曲线C1与以A, 第三边。 因为点A在稍圆片+)=1上， B为焦点，过C的双曲线C2相交于P点. 台p=2. 四面体：四面体 由IAC1<|AB|,知过A的双曲线C,是靠 圆F的方程为x2+(y-1)2=8. 不妨设A(2cos0,sin0),-1≤sin0≤1， 三面面积之和大于 看交汇一：圆与抛物线交汇 则1M412=(2cos8)2+(sin0-2)2 近C点的一支，且P点在C上， 第四面面积。 例1如图1，圆0：x2+y2 (4)三角形：三 =16,4(-2,0),B(2,0)为 =-3+)+9 所以IPBI-IPCI=IABI-1ACI,① 同理IPB|-IPAI=ICBI-ICAI.② 角形同底等高面积 两定点.1是圆0的一条切 由①-②得IPAI-IPC1=1BAI- 相等。 线，若过A,B两点的抛物线 所以1MA1=22工，1MA1=1, 3 I BCI PCI -1 PAI =I BCI-I BAI. 四面体：四面体 以直线1为准线，则抛物线的 所以1AB1的最大值为2②+ 此即说明点P在以A,C为焦点且过B的双 同底等高体积相等。 焦点所在的轨迹是( 3 -+ 3 曲线C,上，故三支双曲线交于一点 (5)三角形：三 角形具有物理上的 重点辅导/ 0与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0,当m为何 2 稳定性，被广泛用于 值时，两直线l1,l2的交点到直线4x-3y-12= [x=2-k 平面建筑。 直线与方程 解得交点P的坐标(x,y)为 0的距离最小？这个最小值是多少？ k2+k1 四面体：四面体 解析：由 =-k 具有高度的稳定性 热点问题韵析 ∫5x-2y=-3m(3m+1), 被广泛用于大型空 2x+6y=3m(9m+20), 而2x2+=2( 2 3+12 间建筑，如大跨度的 ⊙山西王霞 解得x=3m,y= 2m2+9m, 8+品+保+2k2+号+4 体育馆、候车厅、大 +-2kk2 热点问题1求直线的方程 居+房+4=1 型门楼、电视塔等。 例1若直线1过点(3,4)，且(1,2)是它的 4(3m)-3(?m2+9m）-12 此即表明胶点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上 (6)三角形：三 所以d 个法向量，则直线的方程为 √2+3 热点问题5直线与其他曲线的交汇问题 角形有余弦定理 解析：由于(1,2)是直线的一个法向量，则 例5已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函 =b2 +c2-2bccos A 直线方程为1×(x-3)+2×(y-4)=0, 引(+厂+ 数y=x的图象上，则使得△ABC的面积为2的 四面体：四面体 即x+2y-11=0. 47 点C的个数为 有类似的余弦定理 点评：本题主要考查了直线的法向量与直 所以当m=- 时，距离最小，其值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 cos a cos Bcosy 线方程的求解 点评：有关最值问题常常构造函数，运用函 解析：设C(a,a2),由已知得直线AB的方程 sin Bsin ycos A 热点问题2求参数的值 数的性质或运用基本不等式求解 其中A为二面角 例2若直线x-2y+5=0与直线2x+my 热点问题4两直线的位置关系 为5+=1，即x+y-2=0, 6=0互相垂直，则实数m= AD B,a 例4设直线l:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其 点C到直线4B的距离为d=a+a-2L ∠BDC,B=∠CDA, 解析：由于直线x-2y+5=0与直线2x+中实数k1,2满足k2+2=0. √2 my-6=0互相垂直， =∠ADB,如图。 (1)证明：l与12相交； 由三角形ABC的面积为2可得 则有A42+B,B2=1×2-2×m=0, (2)证明：，与l2的交点在椭服2x2+y2=1上 解得m=1. 11ABI d 证明：(1)反证法，假设1，与1，不相交， SAAIC=2 点评：本题主要考查了两条直线的位置关 系，以及两直线互相垂直的等价关系式的应用 则l与l2平行，有k1=k2, =2×22×0+a2-21 等.解决此类问题，可以从直线的系数关系式入 代入kk2+2=0,得保+2=0. 手，也可以从直线的斜率关系式入手加以分析 此与k,为实数的事实相矛盾。 =|a+a2-21=2, 与研究 从而≠2，即1与2相交 得a2+a=0或a2+a-4=0.显然方程共 热点问题3求最值 (2)由方程组=k,x+1, 有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点 例3已知直线1：5x-2y+3m(3m+1）= ly kx -1, 使得△ABC的面积为2.所以选择(A). 2 素养专练 数理极 第15期3版参考答案 所以PAI2=(x-3)2+y 所以根据双曲线的定义可知点P的轨迹为以M,N为焦点，实 轴长为4的双曲线的右支， 一、单项选择题 =-3)2+号-1=(-号)+ 由2a=4,c=4得a=2,2=c2-a2=12 1~4 BABD 5~8 CACD 二、多项选择题 当x=号时，1PA1?取得最小值号 所以c的方程为号-合=1(x≥2》： 2 9.AC;10.CD;11.ABD. 所以1PA1的最小值为25 (2)证明：设A,B两点的坐标分别为(x1,y),(x,y2), 三、填空题 23:.-=1：4-2 2 及1)解：由题意得宁+亦1， 2 两式相减并整理得， 四、解答题 1 低 3(x1-x2)(1+2）-(y1-)(y+2)=0, 15解：()由题可得√2+(-合)=y+分 所以椭圆C的方程为号+2=1. 设Q(00),依题意可得+=2o, 1+2=20, 化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y. (2)证明：设A(x1,y1)(x1y1≠0)，D(x2,2), 所以6x(x1-3）-2yo(1-）=0, (2)由题意设A(x1少1)，B(x2,2）, 则B(-x1,-y1. 将直线方程y=+1与抛物线方程x2=2y联立得 即6-2=0.所以6-2%×5=0， x2-2hx-2=0, 所以直线AB的斜率短-子 即3x0-5y0=0,所以点Q在直线3x-5y=0上. 则1+名=2k,x=-2. 设直线AD的方程为y=kx+m, 18.(1)证明：在△ACA1中，AC=A1C=万，A41=2, 所以|AB|=√个+2·/(1+2)2-4x1 由题意知k≠0，m≠0. 则AC2+A1C2=AA,所以A1C⊥AC, =+F,42+8=26, 因为AB上AD,所以k=-点 因为平面ACC1A1⊥平面ABC, 解得2=1，所以k=±1. 平面ACC1A1∩平面ABC=AC,A,CC平面ACC1A1, 16.解：(1)由题意可设C的标准方程为 方=1(a>0,b>0), {号+=1得1+)2+6n+3m2-3=0. y kx m, 所以AC⊥平面ABC, 由{ x- 又ABC平面ABC,所以A1C⊥AB. (2)解：如右图所示，以C 所以1+=1+31 6mk C 4 为坐标原点，CA,CB,CA1所在 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立 结合a2+b2=c2,解得a=3,b=4, n+归=k(x+)+2m=1+3 2m 空间直角坐标系， 故c的际准方程为号-石=山 12 所以直线BD的斜率 则A(2,0,0),B(0,5, (2)由(1)知C的右顶点为(3,0)， 0),41(0,0,w2), 可设直线l的方程为y=2x-6. 所以41B=(0,5,-2), r- 2 联立9-6=1消去y可得5-54x+117=0, 所以直线BD的方程为y+1一安(x+), A1E=A店=(-2,5,0)， Ly =2x-6 解得：=3或x=9 令，=0得=24即2,0，可得与=-六 易知平面CA1B的一个法向量为m=(1,0,0) 设平面A1BB1的一个法向量为n=(x0,0,0), 则两个交点的坐标分别为(3.0).(9，号) 令=0y即0号)可得与 所拟-子即A子 令x0=5,得%=2,0=5， 故11=√(9-3）+（尝）-245 因此，存在常数入。一子使得结论成立。 所以n=(5,2,5), 17.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 设平面CA1B与平面ABB1的夹角为9 则由2c=2得c=1, 第16期参考答案 则1os1=os(m,m1=m 因为片=吾所以。=厅6=厅， 一、单项选择题 1~4 CBAC 5 ~8 ACBA 肌以梢圆C的标准方程为芳+片=山 二、多项选择题 (2)设直线1：x=y+1, 9.ABD;10.BD;11.BCD. 所以in8=个-6=平 三、填空题 联立 写+号-1得2+3+-40. x=9+1, 2 12-2y+4=0,25:1B76148g 故平面CAB与平面A,BB,的夹角的正弦值为四 6 19.解：(1)设P(x,y)(x≠-2且x≠0)， 设A(x1,y1),B(x2y2), 四、解答题 -4 15.解：(1)x-y+2k+5=0整理得 由题意可得ke:士m=-之，n:-十分 -4 则1+力=2x+31为=2P+3 k(x+2)+(5-y)=0, 又kP+kOA=kPA, =-2.那u哈+是-子 所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5), 因此y-5=-(x+2). 所以之-分=整理可得2=4， Y3 2y1 即+2)2 所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y(x≠0且x≠-2). 即3x+4y-14=0. 12 (2)由题意得直线AB的方程为y-1=x+2, 航以P=子，解得1=±受 (2)设直线m的方程为y=-子+6,6子， 即y=x+3,与曲线C的方程联立并化简得2-4x-12=0, 解得x=6或x=-2,所以可得B(6,9) 故直线l:2x±y-2=0. ×(-2)+5-6 直线r的方程为y-分+， 18.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. 则3= 9 点P(x,)到直线x-2y=0的距离山=1x-21 √16+1 与曲线C的方程联立并化简得x2-2(t-1)x-4t=0, 点P(,)到直线x+2y=0的距离山，=x+2L 解得6=-子或6-9 所以-2·x=-4t,所以xA1=2L, 所以y1=2,所以A(2,P), 5 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 所以直线m的方程为y=子-子或y-子+空 直线BT的方程为y=+, 4d山=1x-2L.Lx+2L=12-421 16.解：(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为r 5 与曲线C的方程联立并化简得2+209)x-41=0, 5 5 由圆C的圆心在直线x-2y=0上，知a=2b. 3 又P(x,y)在双曲线C上， 又圆C与y轴相切于点(0,1)， 所以号y=1, 所以b=1,a=2,则r=1a-01=2. 所以6a=-4,以-兰a-号 所以圆C的圆心坐标为(2,1)， 即x2-4y2=4, 所以B(-号5) 则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 所以44=专，是一个常数 (2)∠ACB=120°，而1CAI=1CBI=2, 所以圆心C到直线1的距离d=1, 由题意可得k=一 (2)解：由子-2=1得 则d=2-1+mL=1, 个+I y=号-1≥0， 所以t=3k, 解得m=2-1或m=-2-1. 由题意1=Ak,所以入=3. 解得x≤-2或x≥2. 17.(1)解：因为IPM1-lPNI=4<1MNI, 所以存在入=3满足条件. (A)(-1,1) (®)(-子)u(房， (A)直线1与，相交于点（号，-）】 学业水平测评（一） (c)(-1,) (-子-u(3) (B)直线1,4和x轴围成的三角形的面积为号 测试范围：选择性必修第一册 8.“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图3），广场 (C)直线l2关于原点0对称的直线方程为2x-3y+6=0 ◆数理报社试题研究中心 中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比鸟 (D)直线2关于直线l,对称的直线方程为3x-2y+6=0 斯带（如图4）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号 第I卷选择题（共58分） “o”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a(a>0),坐标原点 第Ⅱ卷非选择题（共92分) O为AB中点且点A,B均在x轴上，若动点P满足IPAI×IPB|=a, 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1.已知向量a=(0,0,1),b=(1,-1,1),向量a+b在向量a 5).若a=1,点P在第象限且oLPOB=子，则1PA1 12.一条光线从点A(-1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后 上的投影向量为 ( 通过点B(3,1),则点P的坐标为 (A)(0,0,2 (B)(0,0,1) 13.已知E,E,分别为椭圆C:号+ +京=1(a>b>0)的左右 (C)(0,0,-1) (D)(0,0,-2) 毫 2.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 焦点，P是椭圆C上的一点，直线1x=。+公，且P011,垂足为Q 毫 警 ( (A)第一象限 (B)第二象限 点.若四边形PQF,F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围 图 是 (C)第三象限 (D)第四象限 (A) 14.如图7，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平 3.若抛物线y2=mx的准线经过双曲线x2-y2=2的右焦点， 面ABCD,BC∥AD,∠BAD=90°，PA=AB= 则m= ( ) (C)2 (D)2 选择性必 修 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 BC=?AD=1,已知点Q是四边形ABCD内部 修 第 (A)-4 (B)4 (C)-8 (D)8 册 4.实数m变化时，方程(m-1)x2+(m-2)y2+(m-1)(m-2) 9.已知空间向量m=（-1,2,5),n=(2,-4,x),则下列选项 一点（包含边界），且平面QPD与平面APD的夹 册 =0表示的曲线不可以是 ( ) 中正确的是 (A)直线 (B)圆 (A)当m⊥n时，x=2 角为牙，则△ADQ的面积的取值范围是 教 A (C)椭圆 (D)双曲线 (B)当m∥n时，x=-10 A 版 5.如图1，点A,B,C分别在空间直角坐标 四、解答题：本题共5小题，共77分 版 学 (C)当1m+nl=5时，x=-4 系0-yz的三条坐标轴上，0C=(0,0,2), (D)当x=而时，c0s(m,n）=i0-2 15.(13分)已知抛物线，y2=2px(p>0),其焦点F到准线的距 0=(1,0,0),0B=(0,2,0),设二面角C- 6 离为2. (1)求抛物线的标准方程； AB-0的大小为0，则cos0= 10.1970年4月24日，我国发射了自己的 ( 测 第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我 (2)若0为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线1交此抛物线 (A)6 (B)6 图1 3 国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星 6 于A,B两点，求△AOB的面积 绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星 (心9 (D经 图6 在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化 6.如图2，在直三棱柱ABC-AB,C,中，CA 的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连 CB=CC1,AC1BC,E,F分别是AC1,B,C,的 线)在相同的时间内扫过的面积相等.如图6，设椭圆的长轴长、焦距 中点，则直线AE与CF所成角的余弦值等于 分别为2a,2c,下列结论正确的是 ( (A)卫星向径的取值范围是[a-c,a+c] ( ($)卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运 行时间 (c) 0音 (C)卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 (D)卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 7.已知圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(2-1)2与圆N:(x-a)2 11.已知直线1：x+y=0,l2:2x-3y-6=0,则下列说法正确 +y2=(2+1)2有两条公切线，则实数a的取值范围是（)的是 (高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 数评柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期(2025年11月）) 第17期3,4版参考答案 2后 2 学业水平测评（一） 6.由题意，以C,C店，CC的方向分别为x轴、y轴和z轴正 一、单项选择题 方向建立空间直角坐标系， 1 ~4 ACCB 5~8 BADC 设CA=CB=CC1=1,可得 提示： A10.0),41.0,1).c(0.0.0E(分01）F(0,31 1L向量a+b在向鼓a上的投影向量为a十8》口·日 a 则花=(-0,1，亦=(（0,3,1) =L,-12)(00.0,0山=0,0,2). 所以1cos(A正，1=」A正. 1A正1C1 2.由AB>0且BC<0,可得A,B同号，B,C异号， 所以A,C也是异号； 令x=0,得y=-C B >0; 7.圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(2-1)2与圆N:(x-a)2 令y=0,得x=- A>0 +y2=(2+1)2有两条公切线，所以圆M与圆N相交， 所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限 圆M的圆心为M(-1,2a),半径为2-1， 3.因为双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0)， 圆N的圆心为N(a,0),半径为2+1. 又抛物线了=mx的准线方程为x=-严 依题意可得(2+1)-(2-1)<1MW1<(2+1)+ 4 (2-1), 则-婴 =2,即m=-8, 即2<(a+1)2+(-2a)2<22, 4.m=1时，方程化为y=0,为直线； 即50+2a-3>0, m<1时，方程化为2m+二m 一=1，为椭圆； l5a2+2a-7<0, 1<m<2时，少程化为。片1，为烈层袋： 解得a∈(-子，-1)u(号，1) 8.由题可得A(-1,0),B(1,0),设P(x,y）, 而m-1≠m-2,因此曲线不可能是圆， 由双纽线的定义得IPAI×IPB1=1, 5.由题可得AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,2), 即(x+1)2+y×√(x-1)2+y=1, 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 化简得(x2+y2)2=2(x2-y2), A记·n=0,n「-x+2z=0, 则 即 显然IOBI=1,设IOPI=r,∠POB=0, AB.n=0,-x+2y=0, 则P(rcos0,rsin0), 取x=2,则y=1,2=1, 代人方程(x2+y2)2=2(x2-y2), 于是n=(2,1,1)是平面ABC的一个法向量， r=2r2(cos20-sin20)=2r2cos 20, 又因为平面AB0的法向量为0C=(0,0,2), 所以cos0=1cos(o元，1=10元：nL 所以r=2a20=22as0-0=2×(2×名-=子 1o元1lnl 由余弦定理得 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 IPBI2=IOPI2+lOBI2-2 I OPII OBI·cos∠P0B 由上述分析可知，直线2关于原点O对称的直线过点 =子+1-2x分x1×子=分 1 (-3,0),(0,2), 所以直线，2关于原点0对称的直线方程为y-2= 所以1PB1=号所以1PA1==2 1 0-(-3)(x-0), 2-0 二、多项选择题 即2x-3y+6=0,所以(C)选项正确； 9.ABD:10.ABD:11.AC. 点(3,0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 提示： 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2,0)， 9.由题得m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x =0,解得x=2,故(A)正确； 所以直线马关于直线4对称的直线方程为宁+名3=1， 因为m∥n,所以存在入∈R,使得m=An, 即3x-2y-6=0,所以(D)选项错误 则(-1,2,5)=A(2,-4,x)=(2入，-4，Ax), 故选(A)(C). 2入=-1， 三、填空题 即4认-，解得A=云故（)正确 2(2.0:13(5-1:14(o,25] Ax=5, x=-10, 因为m+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x), 提示： 所以1m+n1=√2+(-2)2+(5+x)7 12.由题可得B(3,1)关于x轴的对称点为B'(3,-1), 则直线松的方程为=3产已 x+1 =√5+(5+x)7=5, 解得x=-5,故(C)错误； 可得y=-x+2, 因为x=/10,则m=（-1,2,5),n=(2,-4,10), 令y=0,可得x=2,所以点P(2,0) 所以cos(m,n)=,m·n I m ll nl 13设.则Q(县少小 :X5x=-2,故(D)正确 又四边形PQFF2为平行四边形， √1+4+25×√4+16+10 所以m-。+E-2c=20-2ac-C∈(-a,), 故选(A)(B)(D). a a 10.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c], 即-a<2a-2ac-c2 <a, a (A)正确； 当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，面积守恒 规律，速度更慢，(B)正确： ==子。1，当比值储大周：越小，疏圆轨 道越圆，(C)错误 所以-1<2-2e-e2<1,可得2-1<e<1. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最 14.因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， 大，在远地点时向径最大，故速度最小，(D)正确。 所以PA,AB,AD两两垂直. 故选(A)(B)(D). 以点A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴， 11.由厂+y=0, 建立空间直角坐标系， 2x-3y-6=0, 解得x= 5y=-6 , 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),P(0,0,1) 所以交点坐标为（号，号），所以(A)选项正确； 设点Q(a,b,0),其中0≤a≤2,0≤b≤1，且a+b≤2. 设平面PDQ的一个法向量为m=(x,y,z). 直线2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3,0)，与y轴的交 又Dp=(-2,0,1),D0=(a-2,b,0), 点为(0，-2)，直线(1过原点， m·Dp=-2x+z=0, 所以 取x=b, 所以直线4，山4和x轴围成的三角形的面积为分×3× 6 m·Dd=(a-2)x+by=0. 则y=2-a,z=2b,可得m=（b,2-a,2b), =号，所以()选项错误； 易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,O). 2 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 由已知条件可得 (x-2)2+(y-a)2=4[(x-2)2+(y-b)2]. m·nl 12-a1 1cos(m,m）1=l-m=/2-a+5不 2 又(x-2)2=4-y2, 2 所以2(a-4b)y+462-a2+12=0. 即a+√56=2. 所以46， 解得=4或=-4， 由题可知Saw=立AD1xb=6 l462-a2+12=0 b=1,lb=-1, 所以满足题意的定点为M(2,4),N(2,1)或M(2,-4), 结合图形，当a=2时，b取得最小值，为0； N(2,-1) 当a=0时，6取得最大值，为 18.解：(1)依题意k1=tan01,k2=tan02, 所以6的取值范围为[0,2] 且0,4均不为0或7， 若选①0，+02=T,则0=T-02, 若要组成△ADQ,则点Q不在线段AD上， 则tan01=tan(π-02)=-tan02,即k1+k2=0; 所以sm=6e(o,25] 若选②4112，则k·k2=-1. 四、解答题 (2)依题意直线1：y-1=k(x-1), 15.解：(1)由焦点F到准线的距离为2，得p=2, 直线2：y-1=k(x-1), 故抛物线的标准方程为y2=4x. 又l1过A(a,2),所以2-1=k(a-1)且a≠1， (2)由(1)知：F(1,0),则直线1为y=2(x-1), 即1=k(a-1)且a≠1， 即2x-y-2=0, 又2过B(2,b),所以b-1=k2(2-1)且b≠1， 联立抛物线可得x2-3x+1=0, 即b-1=k2且b≠1： 则xA+xg=3,xAxg=1, 若选①，则k1+2=0,所以k1=-k2=1-b, 所以IAB1=xA+xg+2=5, 即1=(1-b)(a-1)且a≠1，b≠1； 又0到直线1的距离d=-2L=25 5 51 若选@则6-1，所以6-)×。=1. 即b+a=2且a≠1，b≠1. 所以S△0B= 分1AB1d=5 (3)直线l1:y-1=k（x-1), 2a=4b. 16.解：(1)由题意有： 81 解得2， 将直线1向右平移4个单位长度， =1， lb=1, 再向上平移2个单位长度得到 a y-1=k[(x-4)-1]+2, 所以双曲线C的方程为 4 -y2=1. 即y-1=kx-5h1+2,所以-5k1+2=-k1, ②)设点八)则暗-答-1，即 2 Yo b a' 解得名，=宁 又A1(-a,0),A2(a,0) 此时直线4y-1=之(x-1),所以2-1=(a-1), 2 则有·,=。方三 =2, 解得a=3； xo +a xo-a 所以点=2， 若选①，则=-分，此时直线：y-1=-之(x-D, 所以渐近线方程为y=±2x 所以6-1=-之(2-0，解得6=分 17.解：(1)易得直线l:mx+y-2m-1=0过定点D(2, 若选②，则k2=-2,此时直线2：y-1=-2(x-1), 1), 所以b-1=-2(2-1),解得b=-1. 又圆C:(x-2)2+y2=4,所以C(2,0) 19.(1)证明：AP·AB=-2-2+4=0, 易得1AB1=2√4-CD产=25. 所以AP⊥AB,即AP⊥AB; (2)满足题意的定点M,W存在，证明如下： AP.AD=-4+4+0=0, 设P(x,y),M(2,a),N(2,b)(a≠b), 所以AP⊥AD,即AP⊥AD. 因为1PMI=21PWI,等式两边平方得 又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 3 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 (2)解：(AB×AD)·AP1 =1-4-32+0-0-4-81=48, 故双曲线C的渐近线方程为y=±马， 7.抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=-1, 又6（花，动=4++6·6+4+0 8-2+0 /105 359 圆x2+(y-1)2=4的圆心F(0,1),R=2, 所以sin(A店，4=4而 I FBI =2,I AFI y +1,I ABI yn-y, 35, 所以三角形△AFB周长为： w=专14sin(店，4动小产=16， I FBI +I AFI+I ABI=2+ya+1 +ya-ya =3+y8, 因为1<yB<3,所以△AFB周长的取值范围是(4,6)· 1(AB×A)·AP1=3Vp-Bn 8.设圆心C坐标为(a,b),则Q(0,b), 猜测：I(AB×A)·AP产在几何上可表示以AB,AD,AP为棱 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2, 的平行六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）. 因为E,F两点在圆上， (2-a)2+(4-b)2=a2, 第18期3,4版参考答案 所以 (4-a)2+(2-b)2=a2, 学业水平测评（二） 解得a=2或a=10, 一、单项选择题 1b=2b=10, 1 ~4 DBBC 5 ~8 CCDB 当=10时，∠E0F为劣弧所对角，故合去 提示： (b=10 1.由题可得a-2b=(8,-5,13), 所以Q(0,2),C(2,2), 所以1a-2b1=√82+(-5)2+132=√/258. 所以1QF1=4,IQE1=22,IEF1=22, 2.由题可得a·n=0即a⊥n,所以l∥a或lCa 所以△QEF为等腰直角三角形，所以∠EQF=45. 3.直线5x-12y+2=0,即10x-24y+4=0, 二、多项选择题 则平行线间的距离d=4-（-3)=7 9.AD;10.AC;11.AB. 102+242 26 提示： 4.由题得a=25,c=3, 9.设过点P的直线方程为y=k(x+√3)-1， 因为原点O是FF2的中点， 则由直线与圆相切知-=1， 所以PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴， 个+ 设1PFI=x,则1PF2I=45-x, 解得k=0或k=√5. 故直线1的倾斜角为0°或60°.故选(A)(D) 在Rt△PFF2中，(45-x)2+36=x2, 解得x=7所以1PR,1=所以1=7 10.当m (分2时0<2-m<号<m+1<3, 所以0<1 1 5由直线：若+古=1(a>0,6>0)过点(1,4)， m+I<2-m 一=1表示焦点在x轴上的椭圆， +告=1，所以a+6=a+b)(合+)=1+ 则上 盼以—+了 2-mm+1 即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故(A)正确； +号45+2√×要=9， b 若曲线C表示双曲线， 当且仅当名=名，即a=36=6时，等号成立， 则(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2, 即实数m的取值范围为(-∞，-1)U(2,+∞)，故(B)错 所以直线1方程为芳+合=1，即2x+y-6=0, 误： 6.不妨设F1(-c,0),F2(c,0),M(xoy%),且x≥2， 当m=2时，曲线C3=1,即y=. 则1MF,12-MF212=(x+c)2+后-[(x-c)2+6] 即曲线C表示两条直线，故(C)正确； =4cx0≥8c, 所以8c=86,解得c=6,b=2, 若曲线C为等轴双曲线，则2-m)(m+)<0, l-(2-m)=m+1, 4 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 解集为⑦，所以不存在m∈R,使得曲线C为等轴双曲线， 所以点M在圆O外， 故(D)错误， 过M作圆的两条切线.两切点为A,B, 故选(A)(C) 则A,B在以OM为直径的圆上， 1.若n=之则点Q到平面4BD的距离为定值，所以三校 即4,8是圆(x-)+(-子)=3与圆0：2+ 锥Q-ABD的体积为定值，(A)正确： y2=4的交点， 若m=n,则Cd=A0-AC=Ad-(AB+A)=(m-1) 两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为x+3y-4 ·AB+(n-1)AD+pA41, =0. DB=AB AD,CO.DB (m -1)-(n -1)=0, 又直线OM的方程为y=3x, 所以QC⊥BD,(B)正确； 2 若m=n,由(B)选项可知QC⊥BD,且AC⊥BD, +3y-4=0 「x= 5 解得 所以BD为平面QAC的一个法向量， Ly 3x 6 y 且1B=2,BD=AD-AB=AA+Ad-A店，BD= (AA+AD-AB)2=3,1BD1=5, 所以M的反演点的坐标为（号，号） 又因为B成，D=(而-A·(AM+A市-A)=2, 所以1励，D1.2 14,因为双曲线「的离心率为2，所以么=1， 耐方文万 不妨设A(x1y),B(x22),D(xoo), 即BD与平面QAC所成角的正弦值为，(C)错误； 因为点A,B在T上， ICd12=1(m-1)AB+(n-1)A+pAA12=(m- 1)2+(n-1)2+p2+p(m-1)+p(n-1)=m2+n2+p2- 两式相减，得+）(-）_y+)(0-) p+() a 63 因为点D是AB的中点，所以龙1+x名2=2xo+3=20, 当且仅当m=m=p=方时等号成立，所以0C长度的最 没瑞-号 小值为7，(D)错误故选(A)(B). 所以k=业.。-0-尽 三、填空题 斯-6物-0=a=1 23,1(号号)：43 同理4好=1,4的=1因为分+定+吉=3 提示： 1.1,1 12.因为d=aa+b+yc=a(e1+e2)+B(e2+e3)+y(e1 所以+6+=有+店+店=3 +e3)=(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e3, 四、解答题 即(a+y)e1+(a+B)e2+(B+y)e=e1+2e2+3e3, 15解：由题意得e=台=即e一。 a , .0+y=1, 可得{+B=2,相加得2(a+B+y)=6, 由椭圆定义知IPF,I+lPF2I=2a,IF,F2I=2c=√5a, B+y=3, 又IPFI-PF2I=3, 即a+B+y=3. 所以1P所1=a+,1P所1=a-子 13.圆0：x2+y2=4, 圆心0(0,0)，半径r=2, 在△PF,E,中，由余弦定理得os∠FPF,=2 = 则0M=√2+3=√0>2， +2)广+(a-多)- ,解得a2=2 2(a+)(a-2） 8 所以SA=(a+子)(a-2)sn骨 图1 d-)-盟 -5 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 16.(1)证明：圆的方程可整理为(x2+y2-20)+a(-4x+ 令c=1,则a=2,b=1,则n=(2,1,1), 2y+20)=0(a≠2)， 故1em1--方6 ,30 由题可得+y-20=0, 得4， 30 l-4x+2y+20=0,ly=-2, 所以该圆恒过定点(4，-2). 放平面PHB与平面PCD夹角的余弦值为织 (2)解：圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a- 18.解：(1)由题得圆P的圆心坐标为(1,0)，半径为1， 2)(a≠2)，两圆圆心之间的距离d=√5a2, 设Q(x,y)(x>0),依题意有(x-1)2+y=x+1, ①当两圆外切时，d=r1+12, 化简整理得：y2=4x, 即V50=2+V5(a-2,解得a=1+5 故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为y2=4x(x>0). (2)设直线l1的方程为x=my+1(m≠0)， ②当两圆内切时，d=11-21, 则直线！的斜率k=1 即V5a=V5(a-2)-21,解得a=1- m 5 因为4,2的倾斜角互补，故直线2的方程为x=-my+1, 综上所述，a=1± 设A(x1y1),B(x22),C(3y3),D(x4,4), 5 17.(1)证明：取PD的中点为S,连接BF,SF,SC, x=m时+1得}-4m时-4=0. 由 ly2=4x 则sF∥ED,Sf=2ED=1, 所以y1+2=4m,y1y2=-4, 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC, 所以S医=宁1PE川%-为1=号G+为产-房 故四边形SFBC为平行四边形， 故BF∥SC,而BF平面PCD,SCC平面PCD, =号4m》+16=6m+, 所以BF∥平面PCD. (2)解：因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 同理可得SE=宁PE1为-1=6V层+， 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB, 因为△ABE与△CDE面积之和为125， 所以CE⊥平面PAD, 所以有12m2+1=125, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED, 而PE⊥ED, 解得m=士2，所以直线么的斜率=六=±2 1 故以E为原点，EC,ED,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 19.(1)解：把点(1,2)，(-1,0)分别代人x+y-1, 建立如图2所示的空间直角坐标系， 可得6=1+2-)-1+0-山=-2<0， 1+1 所以点A(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0分隔 (2)解：联立 2-4=1可得(1-42)=1 ly =hx 1 图2 根据题意，此方程无解，故有1-4≤0，所以1k1≥ 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 当11≥子时，对于直线)=，曲线2-4y=1上的 则P=(0,-1,-2),P2=(1,-1,-2) P元=(1,0，-2)，P7=(0,2,-2), 点(-1,0)和(1,0)满足6=二尽 1+尽2<0， 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 即点(-1,0)和(1,0)被y=x分隔. 则由 可得y-22=0, m·PA=0, m·pi=0待1x-y-2z=0, 放实数k的取值花固是(”，一号]U[分+)】 令z=1,则x=0,y=-2,则m=(0,-2,1), (3)证明：设点M(x,y), 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 则由题意可得2+(y-2)2·1x1=1, fn·P元=0， ,「a-2c=0, 故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1. ① 则由 可得 n·p元=0 l2b-2c=0, 对任意的yo,(0,少)不是上述方程的解， -6 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 即y轴（即x=0)与曲线E没有公共点 则n=k+1时，1+(3-1)a=0,解得a=1-3 又曲线E上的点(1,2)，（-1,2)对于y轴（即x=0)对称， 满足6=1×业=-1<0， 1+0 4.4=0,4=%-5 5a1+1 =-5, 即点(1,2)和(-1,2)被y轴分隔， 所以y轴，即x=0为曲线E的分隔线. a=,-v3 -5-5=5, √5a2+15(-5)+1 若过原点的直线不是y轴， .a3-5 万-5=0， 设为y=kx,代人[x2+(y-2)2]x2=1, a4= √3a3+1N5(5)+1 可得[x2+(kx-2)2]x2=1, 所以数列{an}为周期数列，周期为3. 令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1, 所以a0=a2=-5. 当k≠2时f(0)·f(1)=-(k-2)2<0, 5.由an+l=an+n+1得a+i-a:=n+1, 所以f(x)=0在(0,1)有实数解， 所以an-am-l=n,am-l-an-2=n-1,an-2-am-3=n 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 2,…,a2-a1=2, 当k=2时f(x)=[x2+(2x-2)2]x2-1=0,解得x=1, 即y=kx与E有公共点，所以y=x不是E的分隔线. 各式作和得：a。-a1=2+3+…+n=(n-)(n+2) 2 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔 所以a。=1+n-1)(n+2) 2 线， 即x=0. 所以ao=1+9×12=55. 2 第19期2版参考答案 6.因为an}是单调递增数列， 所以对于任意的n∈N,都有al>an, 专项小练 即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2hm, 1.BD;2.C;3.A.4. n+25.2. 化简得k<n+2 1 6解：因为3S4=a1-2+2+2, ① 所以当n≥2时，3S.-1=a。-21+2, ② 所以长<n+对于任意的neN,都成立， ①-②得3a=a+1-a。-2"(n≥2)， 因为+宁≥子，所以k<多 1 即a1=4an+2"(n≥2). 7.设第n行实心圆点的个数为a, 在①中，因为a1=2,令n=1得 由题图可得a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5, a2=3a1+2-2=12=4a1+22,也符合上式， …,则am=an-2+an-1(n≥3)， 所以al=4an+2l 故a7=a5+a6=8,ag=a6+a7=13, 第19期3,4版参考答案 ag=a7+ag=21,a10=ag+ag=34. 数列的概念同步核心素养测评 8.因为数列a,对任意n∈N,都有a1<+a2 2 一、单项选择题 所以an+an2>2an+,即am2-an+l>an+l-am, 1 ~4 BBBB 5~8 CACD 因此(an2-amtl)-（anl-an）>0, 提示： 所以{a+l-an}为递增数列. 1.(A),(B),(C)中的数列都是无穷数列，但是(A),(C) 所以a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5, 中的数列是递减数列，故选(B)· a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6, 2数列。的前5项依次为-1，子-宁。-。 同理可得，2a5<a4+a6<a3+a7<a2+ag<a1+ag 所以a1+a+a3+…+ag=(a1+ag)+(a2+ag)+（a3 即是是专名最 +a,）+(a4+a6）+a5>9a5, 所以数列a}的一个通项公式为a,=(-1)n+口 即9a5<9,所以a5<1. 2 二、多项选择题 3.若要使{an}为k项的有穷数列， 9.ACD:10.ABC:11.BC. 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 提示： 2女+1=(n品)+(n2)++(分 9因为a.=nn+2neN.), 1 3）+(（1-）+1=-+1+1=2-=2nn(m≥ 所以令中2=动解得n=0, n 2). 故0是这个数列的第10项，故(A)正确： 当n=1时，a1=1符合上式， 因为a=2-10+3=2(。-3)广-只。 所以6，=。，故（®）正确： 因为n∈N,,所以n=2或n=3时，an为最小项， 因为a,=2-n嘴大时，减小，增大， 即它的最小项是第2项或第3项，故(B)错误； 所以{an}为递增数列，(C)正确； 分析可得a1=2+1=3, 因为a.}为递增数列，最小项为a1=1,故(D)错误 a2=22+1=5,a3=23+1=9, 故选(B)(C) a4=24+1=17,a5=2+1=33,…, 三、填空题 故am=2”+1,故(C)正确； 12.1013;13.a10,a;14.11. 3 由递推关系4=2,4，=之， 提示： 所以4二子故D)正确 12.因为an=(n+2)(aml-an), 故选(A)(C)(D). 所以(a+3a.=（a+2a,所以2= 10.因为a.= 2,n为奇数， 所以{。年}是常数列，所以器=学 l0,n为偶数， 又a2=2,所以a2m4=1013. 所以a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故(A)正确； 因为an=1+(-1)1,所以a1=1+(-1)2=2, 13.因为a,=- (n∈N,), n-99 a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2, a4=1+(-1)5=0,故(B)正确； 所以a.=”-99+99-8 n-√99 因为a.=2m受 ,所以a=2sn受=2， =1+四-s n-99 d2 =2 sin 2 =0,a=2sin2=2, 所以当n≤9时，4=1-，随若n的增大，0. 9-n 4T da =2 sin 2 =0,故(C)正确： 越来越小且小于1，即1>a1>a2>a3…>ag>0. 因为0，=2，所以41=2=2,0，=2 当10≤n≤30时，a,=1+丽-⑧，随若m的增大， 1,4=2少=2，a4=2=1,故(D)错误 n-√99 an越来越小且大于1，即a0>a1>…>a0>1. 故选(A)(B)(C). 综上有：ag<ag<…<41<1<a0<…<a1o 1 3 1l.a=1a=a+2x1=2 所以前30项中的最大项为a1o,最小项为ag: 4=+与文哥山=+好女=子 14.因为数列{an}的每一项只可以是0或1， 所以连续3项共有23=8种不同的情况， 4=a+与文4=号.故(a)错误： 若m=11,则数列{an}中有9组连续3项， 1 则这其中至少有两组按次序对应相等， 由a。=a-1+n(n-1)' 即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”， 得aaa≥2. 1 若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”， 则4≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列 所以an=(a-a-1)+(a-l-am-2）+…+(a3-a2）+ {an}, 1 1 (a-a）+a=n(n-+(n-1)0n-2)+…+3x2+ 所以要使数列a.}一定是“3阶可重复数列”， 8 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 则m的最小值为1. (1)当a>1时，a-1>0,bn1-bn>0, 四、解答题 故数列不存在最大项 15.解：由(n+2)ait1-na+2a1am=0(neN,) (2)当a=1时，bn1-bn=1,数列也不存在最大项. 得[(n+2)am+1-nan](a1+an)=0, (3)当0<a<1时，a-1<0, 因为an>0,所以an+l+a>0, 6u-a.=a(a-)(n+a2） 所以(n+2)a1-m,=0,所以会=元中2 a 所以a=a,·2,g·2…品=1×分×子×号× 123 即66.与1+。有相反的正负值， al a2 a3 an-1 由于n为变量，而。巴为常数， 2 xn+i=n(n+1)n≥2)， 2 设台为不大于亡。的品大整数。 又a1=1满足上式，所以a.= n(n+1) ,>0,n<k, 16.解：(1)根据a,=3m2-28n, 则ba+1-bn{=0,n=k, 得a4=3×42-28×4=-64, O,n k. a6=3×62-28×6=-60. 即有b1<b2<b3<…<bk-1<bk, (2)令3n2-28n=-49,即3m2-28n+49=0, 且bk>bk+l>…, 解得n=7或m=子（含）， 故对任意自然数n,bn≤b 所以0<a<1时，{bn}存在最大项. 所以-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0, 19.(1)解：根据题意，若数列A为1,0,0,1， 可得b1=0,b2=0,b3=0,b4=1, 解得1=-2或”三；，均不是正整数， 即数列B为：0,0,0,1； 所以68不是该数列的项. 若数列A为1,2,3,4,5,6,7， 17.解：(1)由题意得当A=2,C=0时，S.=2n2+Bn. 可得b1=1,b2=2,b3=3,b4=4,b5=5,b6=6,b7=1, 则当n≥2时，a.=S.-S.-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+ 即数列B为：1,2,3,4,5,6,1. B(n-1)]=4n+B-2. (2)证明：由题设条件知b:≤a,i=1,2,3,…,n, 又a2=-10,所以8+B-2=-10, 所以Tn≤S, 所以B=-16,所以a.=4n-18(n≥2). 当且仅当b:=a,i=1,2,3,…,n时，等号成立， 当n=1时，a1=S1=2×12+(-16)×1=-14. 所以a1≤a2≤a3≤…≤am≤a1, 经检验，当n=1时，符合a,=4n-18, 所以若S=T,则a1=a2=a3=a4=…=a,neN, 所以a.=4n-18. (3)解：不妨设a1=mina1,a2,…,an}, (2)由题意得当n≥2时，an=S.-Sn1=2An+B-A, 若a1≥0，因为Sn=0,所以a1=a2=…=am=0, 所以a=6A+B-A=5A+B=-9, 此时b1=b2=…=bn=0,Tm=0, 所以B=-5A-9, 显然C,取任意实数都满足条件； 所以a.=2An+B-A=2An-6A-9(n≥2) 下面设a1<0,则Tn≤Cn·mina1,a,…,a.}的充分必要 若{an}的各项均为负数， 则A<0,a.=2An-6A-9在n≥2时单调递减， 条件是C,≤乙 a 又因为a1=-36<0,所以只需a2<0即可， 假设maxa1,a2,…,an}=a,2≤j≤n, 即4=41-61-9<0，所以4>-号 因为Sn=0,所以a;>0, 当2≤j<n时，由b1=a1,b2≤a2,…,b-1≤a-1,b;≤ 放实数4的取值范围为(-号，0） a1,b41≤a2,…,bn-1≤an,bn=a1, 18.解：因为bn=na"(a>0), 所以Tn≤Sn-a+a1=a1-a, 所以bn1-bn=(n+1)a"-na 当j=n时，有b1=a1,b2≤a2,…,bm1≤aa-1,b。=a, =a"[(n+1)a-n]=a"·[(a-1)n+a]. 仍然有Tn≤Sn-a.+a1=S4-a+a1=a1-a成立， 高中数学人教A版选择性必修第一、二册第17~20期 所以2≥4=1- 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1,a2,…,a2, a a a 前n项和为Sn(n≤12)， 因为4+(n-1)4≥5。=0，所以2≤-n 1 ,a2+a4+a6=3a1+9d=31.5, 由题可得 所哈产所以C百片气 3=8+874=s0. 解得a1=13.5,d=-1, 所以C,的最大值为nPn≥2，neN,). 所以小满日影长为a1=a1+10d=13.5-10-3.5(尺). 第20期2版参考答案 5.由41=9，a4=3,得公差d=4=-2, 4-1 专项小练一 则am=a1+(n-1)d=-2n+11, 显然当n≤5时，an>0,当n≥6时，am<0, 1B:2c:3Bc4子a-55-l 所以T21=|a11+la21+…+la211 6.解：(1)设等差数列an}的首项为a1,公差为d, =(a1+a2+…+a5)-（a6+a,+…+a21） 则4=0+21=4，解得a=10d=-3. =2(a1+a2+…+a5）-(a1+a2+…+a21） la,=a1+6d=-8, =2×59+1D.21(9-31山=281. 2 2 所以an=10+(n-1)×(-3)=13-3n, 6.设等差数列的公差为d,首项为a1, 故a10=13-30=-17. 则B-A=15d=45,所以d=3, (2)由(1)知a.=13-3n,由-56=13-3n, 因为2A=B+615,即2A=A+45+615,则A=660, 得到n=23eN,由-40=13-3n,得到n= 3N, 等差数列的奇数项是以a,为首项，2d为公差的等差数列， 所以-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这个数 等差数列an}的前30项中奇数项有15项， 列中的项。 所以A=15a,+1514×6=660,解得a1=2, 2 专项小练二 所以a.=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 1.A;2.B;3.CD.4.16;5.9. 7.设第n层放小球的个数为an, 6.解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d, 由题意a-a1=2,a3-a2=3,…, 因为S=a5,2a2=3, 数列{am+1-an}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以3a+3=a+4d, 解得 a1=2 所以an-aa-l=2+(n-2)=n(n≥2，neN) 2a1+2d=3, 0d=1, 故an=a1+(a2-a1）+…+(an-a-1) 1 所以a,=2+(n-l)1=n-2,即a。=n-2 =1+2+…+n=2n(n+1), 第20期3,4版参考答案 故a=7×40×41=820 等差数列同步核心素养测评 82=2可得院 =5n2-5m2-2n n·3n 3n2 一、单项选择题 因为数列{an},{bn}都是等差数列， 1~4 ADBB 5 ~8 CBCC 所以不妨令S。=(5m2-2n)t,Tn=3n2t, 提示： 所以a,=S7-S6=(5×72-2×7-5×62+2×6)t= 1.因为an}是等差数列， 63t,b=T,-T4=(3×52-3×42)t=27t, 所以a3+a1=2a5=24,即a5=12, 所以d=a6-a5=20-12=8. 所以子 2.设等差数列{an}的公差为d, 二、多项选择题 因为a=1,S=18,可得3a1+3d=3+3d=18, 9.ACD;10.AC;11.ACD. 解得d=5,所以S6=6a1+15d=6+15×5=81. 提示： 3.因为a2+a5+a17+a20=48=4a11,所以a1=12. 9.an=n+b(k,b为常数，n∈N,)的关系式符合一次函 4.设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、：数的形式，所以是等差数列，故(A)正确； 10