三同一无分离定律：洞穿弹簧连接体运动的核心约束

该高中物理高考复习讲义聚焦弹簧连接体分离临界问题，整合牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒等核心考点，按“定律内涵-解题范式-模型剖析-真题演练”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法提炼（如三步解题范式）、分层训练（不同情景调研题），帮助学生构建系统分析框架。 讲义创新提炼“三同一无分离定律”，以轻弹簧连接体为模型，通过“识别阶段-临界分析-分离判定”教学活动培养科学思维与模型建构能力，设置基础情景到综合应用的调研题，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

三同一无分离定律：洞穿弹簧连接体运动的核心约束 从一道题的困惑到一种思想的提炼 在光滑水平面上，质量分别为m1和m2的两个木块，用一根轻质弹簧连接，构成一个系统。当用水平力F推m1，或系统获得初速度自由运动时，求两木块的最大速度、最小距离，或分析某时刻的加速度关系。 面对此类问题，常规的“隔离法”虽严谨却繁琐：需分别对两物体列牛顿第二定律方程，再结合弹簧胡克定律F=kx和运动学关系，导致方程组复杂，物理图像模糊。许多学生陷入细节计算，而忽略了系统运动最本质的约束。 “三同一无分离定律”​正是从这种混沌中提炼出的精炼思想，它并非新的物理定律，而是牛顿运动定律在轻弹簧连接体这一特定模型下的深刻推论与应用范式。 弹簧与物块之间的问题是一个重要的连接体问题，经常考查连接体两部分物体的分离临界问题，该类问题是高考考查的一种难点题型，也是平时复习的一个热点问题，多数学生在应对时总感觉束手无策，其实，细细琢磨，这种题型可抽象归纳为一种典型的模型题，有规律可循，两物体间分离时的规律，称之为分离定律： 定律内涵与物理根源 “三同一无”是对弹簧连接体运动状态的精确描述，其成立依赖于一个关键前提：弹簧是轻质的（质量可忽略）。 “三同”的精确表述与推导 加速度相同（瞬时性约束） 这是最核心的约束。对轻弹簧进行受力分析：其质量m→0，根据牛顿第二定律F合=ma，要使其加速度a不至于无穷大，其所受合外力F合必须趋近于零。因此，弹簧两端受到的力时刻大小相等、方向相反。 设弹簧左端对m1的力为F（向左），则m1对弹簧左端的力为F（向右）。根据牛顿第三定律，弹簧右端对m2的力也应为F（向右）。 故对两物块： 对m1：F外1​−F=m1a1​ 对​m2：F=m2a2​ 联立两式消去F，得到a1与a2的确定关系。 在弹簧保持被压缩或拉伸状态（未恢复原长）​且两物体无直接接触挤压的情况下，两者加速度必然满足： ​​​=​​或更常见地，通过整体法直接得到a1​=a2​=a系统​ 当系统所受合外力恒定（如水平力F推m1）时，两物体与弹簧作为一个整体，具有相同的加速度a=。在分离前，这个瞬时加速度关系始终成立。 速度相同与位移相同（过程性约束） 这是从“加速度相同”和“初始条件”自然导出的结果。 由于任意时刻加速度相同(a1(t)=a2(t))，且初始速度相同（通常系统从静止释放或具有共同初速），根据v=∫adt，可推出任意时刻速度相同(v1(t)=v2(t))。 同理，由于初位移通常相同（设初始位置为原点），根据s=∫vdt，可推出任意时刻相对于初始位置的位移相同(x1(t)=x2(t))。 因此，“三同”的本质是：在弹簧形变未恢复至原长的过程中，两物体如同被一根刚性杆连接，做完全相同的平移运动。 “一无”的临界含义 “无分离”是指上述“三同”状态得以维持的条件。当弹簧从压缩或拉伸状态恢复至原长瞬间，弹簧弹力F=kx=0。此时： 若两物体的加速度仍相同（这要求它们各自所受的其他外力恰好能提供相同的加速度），则它们将继续保持接触，共同运动。 但更常见的情况是，弹力为零后，导致两物体加速度不同的约束消失。若此时a1≠a2，则速度将不再相同，下一刻位移差开始变化，分离发生。 因此，“弹簧恢复原长”是“三同”状态可能结束、分离可能发生的临界点，但并非分离的充要条件。​需用牛顿定律检验该瞬间的加速度是否仍相等。 解题应用：三步范式 运用“三同一无”思想解题，可遵循以下清晰路径： 第一步：识别阶段，确认“三同”适用性 判断系统运动是否处于“弹簧有形变且两物体未分离”的阶段。该阶段内，可立即将两物体视为一个整体（整体法），求出共同加速度a、共同速度v及共同位移x。 第二步：分析临界，聚焦“原长”瞬间 找到弹簧第一次恢复原长的时刻。这是运动状态可能发生改变的转折点。利用第一阶段“三同”的结论，很容易求出该时刻两物体的共同速度v共。 第三步：判定分离，进行后续分析 在原长瞬间，对两物体进行隔离受力分析，计算它们各自的瞬时加速度a1和a2。 若a1=a2，则“三同”继续，物体不分离，一起运动。 若a1≠a2，则分离发生。此后，两物体将各自独立运动，弹簧或恢复形变或再次形变，但两者运动不再关联。后续问题常需用动量守恒（水平方向无外力）和能量守恒（弹簧弹性势能、动能转化）来求解。 典型模型剖析 模型一：水平推力作用下的加速运动 如图所示，力F向右推m1，弹簧初始为原长或被压缩/拉伸。 F m1 m2 第一阶段（三同阶段）：弹簧有形变，两物体加速度相同a=，做匀加速直线运动。弹簧弹力F弹=m2a，提供m2的加速度。 临界点：弹簧恢复原长时，弹力为零。计算此时共同速度v共。 分离判定：在原长瞬间，对m1：a1==； 对m2：a2==0。显然a1>a2，因此两物体必然从此分离。 分离后：m1以大于v共的初速度继续加速，m2以v共匀速。两者距离拉大，弹簧被拉伸，但m2不再被加速（除非再次接触）。 模型二：系统获得初速度的自由振动 系统以初速度v0向右运动，弹簧初始被压缩。 第一阶段：释放后，m1减速，m2加速，但在弹簧恢复原长前，它们速度始终相同吗？不！这里是最易错点。“三同”中的速度相同，通常指相对于地面的绝对速度，在自由振动中并不相同。实际上，该定律在此模型中的应用更体现在：当把坐标系建在系统的质心上时，两物体相对质心的运动是镜像的，但绝对速度并不同。因此，在此类自由振动问题中，“三同一无”更准确地表述为：在未分离时，两者相对质心的运动规律由弹簧弹力单独决定，且满足m1v1+m2v2=0（质心系动量守恒）。分离临界点仍是弹簧原长处，需用动量守恒和能量守恒联立求解分离时的速度。 方法优势与边界警示 优势：化繁为简，直击本质 思维经济：避免了在复杂动态过程中对每个物体反复列F=ma和F弹=kΔx的耦合方程。 图像清晰：将连接体的运动拆解为清晰的“整体匀变速阶段”和“可能分离后的独立运动阶段”，物理图景一目了然。 临界明确：牢牢抓住“弹簧原长”这一关键状态进行受力比较，分离判定逻辑严谨。 边界与易错警示 前提失效：弹簧必须轻质。若弹簧质量不可忽略，其两端力可不相等，“三同”不再成立。 速度同异之辨：在受恒定外力推动的模型中，两物体绝对速度相同；在无外力自由振动模型中，绝对速度不同，但相对运动有强约束。必须根据受力情况区分。 分离条件深化：分离的充分必要条件是两物体间的相互作用力（压力或弹力）减为零且下一刻将变为拉力（或反之）。对于接触面光滑的弹簧连接体，这通常等价于“弹簧恢复原长且此后被拉伸”。但对于有摩擦或其它结构，需具体分析。 能量与动量：“三同一无”是动力学和运动学工具。分离前后涉及的最大速度、最短距离等问题，最终常需结合系统机械能守恒（无其他力做功时）和系统动量守恒（水平方向无外力时）来收尾。 从技巧到思想：物理模型的洞察力 “三同一无分离定律”的掌握，标志着对弹簧连接体模型的理解从“列方程求解”的层面，上升到了“把握内在约束与演化规律”的层面。它训练了一种关键能力：在复杂的相互作用中，迅速识别出那些“强约束”阶段（如刚性连接阶段）和“弱约束或自由”阶段（如分离后），并对临界转换点保持高度敏感。 这种“阶段分析”和“临界识别”的思想，贯穿于整个物理学：从相变到电路开关，从天体轨道变轨到量子态跃迁。当学生能够熟练运用此思想，不仅解决弹簧问题游刃有余，更能将其迁移至分析更广泛的“约束-解除约束”系统，这正是物理建模能力的一次重要跃迁。 总之，可以总结出三同一无分离定律如下规律： 1．两物体简化为质点，所处位置相同； 2．速度相同； 3．加速度相同； 4．相互之间无作用力。 可以简记成：三同一无。 1、何为连接体：在力学中，两个或两个以上相互作用的物体组成的系统统称连接体。 2、临界状态是指当物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用。 3、处理此类问题的一般步骤： 1）确定临界状态(也就是找准转折点) 2）在临界状态下找出临界条件(转折点处物体具有什么动力学特点) 3）注意在临界状态下两物体的状态是相同的 大招口诀：弹簧连接多物体分离时的特点：有外力时压弹簧，无外力时在原长。 一、弹簧分离：忽略中间过程，把握关键点 解题密招：①即将分离瞬间接触物体间无弹力，即N=0 ②加速度相同，核心方程：a1=a2 ③求出弹力⟶知道弹簧的形变量△x⟶知道弹簧位置在哪。 情景一、质量分别为M和m的两个物块叠放在一起放置在竖直的弹簧上处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，用大小为F的竖直向下的力向下按压物块B，两物块下降一段距离后静止，求把力F去除后A从静止开始向上运动到与B分开时上升的高度。 A B F A B 【解析】撤去力F前，对AB整体分析，求出弹簧的压缩x1=，AB即将分离时，N=0，aA=aB，即=，求得F弹=0，即弹簧的形变量为零，所以A从静止开始向上运动到与B分开时上升的高度h=x1=(即物体在弹簧处于原长处分离)。 情景二、若有外力拉着物块(有恒力作用下的变加速运动) 质量分别为M=4kg和m=2kg的两个物块。二者叠放在一起放置在竖直的弹簧上处于静止状态，弹簧的劲度系数为k=10N/m，用大小为F=10N的竖直向上的力作用在物块B上，使物块向上运动，求A从静止开始向上运动多高与B分离。 F A B 【解析】二物块静止在弹簧时，由平衡可知弹簧的压缩量x1===6cm。 AB即将分离时，N=0，aA=aB，即=，求得F弹=F=20N，由胡克定律求出弹簧的压缩量x2==2cm，A上升的高度h=x1-x2=4cm。 备注一下：x2、x2均为相对原长时弹簧的形变量，此题中均是压缩量。两个物体不在弹簧原长处分离。 情景三、有变力作用下的匀加速直线运动 质量均为mA=mB=3kg的两个物块，紧挨着放置在粗糙在水平地面上，物块A的左侧连接一弹簧的劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，开始时物块压缩弹簧并恰好处于静止状态，两物块与水平面间的滑动摩擦因数均为μ=0.5，现给B一个向右的力F，使物块向右做加速度a=2m/s2的匀加速直线运动，求： (1)A、B分离时力F的大小； (2)物块开始运动到分离所用的时间。 F A B 【解析】(1)A、B恰好分离时，物块间弹力为0，二者的加速度aA=aB=2m/s2， 对B：F-μmBg=mBa，解得F=21N。 (2)开始时，两物块恰好处于静止状态，弹簧的压缩量为x1，则有kx1=2μmg，解得x1==0.3m， A、B分离时，对A：kx2-μmAg=mAa， 解得x2=0.21m 所以x1-x2=at2，解得t=0.3s。 变式：用水平力F向左压物块A，使弹簧被压缩，系统保持静止状态，A、B与水平面间的滑动摩擦因数分别为μA、μB，撤去力F后，A、B向左运动并最终分离，讨论分离时弹簧所处的状态。 F A B 分析：①若μA=μB时，则=，可以求得弹力：F弹=0，弹簧处于原长。 ②若μA>μB时，则=，可以求得弹力：F弹=(μA-μB)mBg>0，弹簧处于拉伸状态。 情景四、单个物体与轻弹簧不栓接，则一定在弹簧处于原长时物体与弹簧分离(此时弹力为0，已无相互作用)。 如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态．现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x之间的关系如图乙所示(g=10m/s2)，则下列结论正确的是() F 甲 F/N O 4 x/cm 乙 30 10 A．物体的质量为2kg B．弹簧的劲度系数为7.5N/cm C．物体的加速度大小为5m/s2 D．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态 【解析】A．设弹簧的劲度系数为k，开始，物体静止在弹簧上面，弹簧弹力与重力平衡，弹簧处于压缩状态，其压缩量为x0，则有：kx0=mg，施加F后物体刚开始加速，所以有F+kx0-mg=ma①，即F=ma，在物体与弹簧分离前，有F+k(x0-x)-mg=ma，此后物体匀加速上升，弹力逐渐变小，当弹簧恢复原长后，物块和弹簧分离瞬间，合力为30-mg=ma②，联立①②两式，整理得物体重力：mg=20N，质量m=2kg，故A正确； B．由图可知，从初始弹簧弹力等于重力到弹簧恢复原长，位移为4cm，即弹力等于重力时，弹簧形变量为Δx=4cm，劲度系数k==500N/m=5N/cm，故B错误； C．当弹簧恢复原长后，物块和弹簧分离，合力为30-mg=ma，又已求得m=2kg，则a=5m/s2，故C正确； D．因为力F随弹簧形变量在不断变化，由图象分析可知物体与弹簧分离时弹簧恢复原长，故D错误； 故选A、C。 【调研1】如图甲所示，物体A、B放在粗糙水平面上，A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.1，mA=2kg，mB=1kg，A、B分别受到的随时间变化的力FA与FB，如图乙所示。已知重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的是() A．两物体在t=1.5s时分离 B．两物体分离时的速度为5m/s C．两物体分离时的速度为4.875m/s D．两物体一起做加速运动 A FA B FB 甲 O t/s F/N 乙 18 6 FB FA 12 【解析】A．由图乙知FA、FB与t的关系式分别为：FA=12-2t，FB=3t， A、B的摩擦力分别为：fA=μmAg=0.1×2×10N=2N，fB=μmBg=0.1×1×10N=1N， 物体A、B分离时，A、B加速度相等，速度相同，但A、B间无弹力，则对A、B受力分析，由牛顿第二定律可知，分离时A物体：FA-fA=mAaA B物体：FB-fB=mBaB 当aA=aB，即=，解得t=1.5s，故A正确； B、C．取向右为正，对A、B整体分析从开始到分离过程由动量定理得： IFA+IFB-fAt-fB=(mA+mB)v-0 由图乙知图线围成的面积表示冲量可知在1.5s内，A物体FA的冲量：IA=×(9+12)×1.5N·s=N·s B物体FB的冲量：IB=××1.5N·s=N·s 代入数据解得：v=4.875m/s，故B错误，C正确。 D．A、B分离前一起加速，1.5s后不再一起加速运动，故D错误。 故选AC。 变式：(多选)如图甲所示，用黏性材料粘在一起的A、B两物块静止于光滑水平面上，两物块的质量分别为mA=1kg，mB=2kg，当A、B之间产生拉力且大于0.3N时A、B将会分离。t=0时刻开始对物块A施加一水平推力F1，同时对物块B施加同一方向的拉力F2，使A、B从静止开始运动，运动过程中F1、F2方向保持不变，F1、F2的大小随时间变化的规律如图乙所示。则下列关于A、B两物块受力及运动情况的分析，正确的是() A F1 B F2 甲 O t/s F/N 乙 3.6 4.0 F2 F1 2.0 A．t=2.0s时刻A、B之间作用力为0.6 N B．t=2.5s时刻A对B的作用力方向向左 C．t=2.5s时刻A、B分离 D．从t=0时刻到A、B分离，它们运动的位移为5.4m 【解析】在t=2.0s时刻有F1=F2=1.8N，对A、B整体利用牛顿第二定律有F1+F2=(mA+mB)a，再对B进行受力分析有FAB+F2=mBa，联立可得FAB=0.6N，A正确；由图可知，在0~4s内，F1=3.6-0.9t(SI)，F2=0.9t(SI)，则t=2.5s时，F2=2.25N，F1=1.35N，由图像知，A、B所受合力一直为3.6N，所以加速度一直为1.2m/s2，再对B进行受力分析，FAB+F2=mBa，可得FAB=0.15N，可知A对B的作用力方向向右，故B错误；若t时刻分离，对A有3.6-0.9t+FNmax=mAa，解得t=3.0s，当t=3.0s时二者分离，故C错误；根据公式可得位移为s=at2=5.4m，D正确。答案为A、D。 【调研2】如下图所示，一竖直轻弹簧上有两个物体A和B，质量均为m，其中A与弹簧上端固定连接，弹簧下端固定在水平地面上，B叠放在A上面，轻弹簧的劲度系数为k，系统开始处于静止状态，O点为弹簧的原长位置．现对B施加一个竖直向上的力使其向上做加速度为a的匀加速直线运动，两个物体可视为质点，重力加速度为g，求： (1)在B脱离A之前拉力F与B位移关系式； (2)从B开始运动到AB分开的时间； (3)若B做匀加速直线运动的加速度大小可以变化，则当加速度a为多少时，从B开始运动到AB分开的过程中拉力对B做功有最大值，并计算这个功(用m，g，k表示)。 F O A B 【解析】(1)由于两个物块开始处于静止状态，设弹簧的压缩量为x0，则由胡克定律得2mg=kx0，设某一时间内A的位移为x，竖直拉力为F，把A和B作为一个整体，由牛顿第二定律得F+k(x0-x)-2mg=2ma，联立可得F=kx+2ma。 (2)设两个物体恰好分开时，A的位移为xm，则有A与B之间的相互作用力为零，对于A物体，由牛顿第二定律得，k(x0-xm)-mg=ma，联立得xm=， 设运动时间为t，则有xm=at2，联立得t=。 (3)由于拉力F与A的位移呈线性变化，拉力的最大值和最小值分别为F=m(a+g)，Fmin=2ma，则拉力F做功为WF=xm，联立得WF=(g+3a)(3g-3a)， 由数学知识ab≤可知，则有(g+3a)(3g-3a)≤=4g2， 当(g+3a)=(3g-3a)时，拉力的功有最大值，则有a=，拉力的功有最大值为Wmax=。 【调研3】如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量分别为3m、m的物体A、B(A物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体B上，使物体A、B开始向上一起做加速度大小为g的匀加速直线运动，直到A、B分离，重力加速度为g，则关于此过程说法正确的是(　　) A．施加拉力的瞬间，A、B间的弹力大小为FAB= B．施加拉力的瞬间，A、B间的弹力大小为FAB= C．从施加力F到A、B分离的时间为4 D．从施加力F到A、B分离的时间为2 【解析】选A　设开始时弹簧的压缩量为x0，则kx0=4mg，开始施加拉力F的瞬间，对A物体根据牛顿第二定律有kx0-3mg-FAB=3ma，解得FAB=，故A正确，B错误； 在A、B分离瞬间，A、B间的弹力为零，弹簧弹力不为零，对A受力分析得kx-3mg=3ma，解得这一瞬间弹簧的压缩量为x=，则A上升的高度h=x0-x=， 由h=at2，解得从施加力F到A、B分离的时间为t=，故C、D错误。 【调研4】如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧下端固定在地面上，上端与质量为m的物块B连接，质量为2m的物块A叠放在B上，系统处于静止状态。现对物块A施加竖直向上的拉力，使A以加速度0.5g竖直向上做匀加速直线运动直至与B分离，重力加速度为g，下列说法正确的是() A．拉力刚作用瞬间，拉力的大小为mg B．物块A、B分离时，弹簧弹力大小为2.5mg C．物块A、B分离时，物块B的速度大小为 D．从开始运动到物块A、B分离的过程中，拉力F在竖直方向上的位移为 F A B 【解析】将A、B看作整体，拉力刚作用瞬间，根据牛顿第二定律可得F1=3ma=1.5mg，A错误；系统刚开始处于静止状态，有kx1=(2m+m)g，解得x1=，分离时A、B间的弹力为0，加速度相同，以物块B为研究对象，由牛顿第二定律得F弹-mg=ma=0.5mg，解得F弹=1.5mg，且kx2=1.5mg，即x2=，则物块B上升的高度为h=x1-x2=，根据运动学公式v2=2ah，联立解得物块A、B分离时，物块B的速度大小为v=，C正确，B、D错误。 知识延伸动力学中的临界极值问题： 1．“四种”典型临界条件 (1)接触与脱离的临界条件:两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN=0。 (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是FT=0。 (4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。 2．解题指导 (1)直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同，FN=0。 (2)靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态。 (3)极限分析法:把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程。 (4)数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值。 【调研5】如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。(弹簧的弹性势能可表示为Ep=kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量) (1)求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek； (2)为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin； (3)若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小； (4)若F=5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值(用f、k、m表示)，不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。 A F B C O x a 【解析】(1)从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，整体法研究BC和弹簧，由能量守恒可得：Fx0=2fx0+kx，解得：x0= 弹簧恢复原长时B、C分离，此时弹簧中的弹力为零，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，B、C分离时的临界条件为，研究C有-f=ma 研究B有T-f=ma，其中T=0，由能量守恒 kx=2fx0+2Ek，解得Ek= (也可用Fx0-4fx0=2Ek整个过程分析) (2)A能离开墙壁的临界条件是A对墙无弹力，弹簧处于伸长状态，弹簧的拉力等于水平地面对A的最大静摩擦力，即k△x=f，(其中△x为弹簧的伸长量)，解得△x=。 研究B满足：k△x+f△x0=Ekmin，而Ekmin= 联立整理得：2F2-12Ff+13f2=0，求得F=(3±)f 依题意F-4f>0，故Fmin=(3+)f (3)从B、C分离到B停止运动，设B的路程为xB、 C的位移为xC，以B为研究对象，由动能定理得：-W-fSB=0-Ek 以C为研究对象，由动能定理得：-fxC=0-Ek 由B、C的运动关系得xB>xC-xBC W=f(xC-xB)，故W<fxBC (4)由F=5f，则x0=，由牛顿第二定律知kx0-2f=2ma0 a0=，分离时，弹簧处于原长，此时a=，方向向左，此后a不变，分离时，Ek= Ek=fx，解得x=，C停止时，x=x0+x=。 O x a 【调研6】(多选)如图甲所示，劲度系数k=500N/m的轻弹簧，一端固定在倾角为的带有挡板的光滑斜面体的底端，另一端和质量为mA的物块A相连，质量为mB的物块B紧靠A一起静止。现用水平推力使斜面体以加速度a向左匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x。在不同推力作用下，稳定时形变量大小x与加速度a的关系图像如图乙所示。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，sin37o=0.6，cos37o=0.8。下列说法正确的是() A 甲F B θ O x/cm 乙 3.6 a0 -1.2 a/(m·s-2) A．a0=7.5m/s2 B．mA=3kg C．若a=a0，稳定时A对斜面的压力大小为12.5N D．若a=0.5a0，稳定时A、B间压力大小为6N 【解析】由图结合题意可知a=a0时弹簧处于原长状态，且物块A、B恰要分离，故对A、B整体有(mA+mB)gtan37o=(mA+mB)a0，解得a0=7.5m/s2，A正确；当a=0时，对A、B整体分析有(mA+mB)gsin37o=kx0，当时，图中另一纵截距的意义为mAgsin37o=kx1，联立解得mA=1kg，mB=2kg，B错误；当a=a0时，因为物块A、B恰要分离，故对A有FNA==12.5N，由牛顿第三定律知B对斜面的压力大小为12.5N，故C正确；a=0.5a0时，对B分析有mBgsin37o-FAB=0.5mBa0cos37o，解得FAB=6N，D正确；答案为ACD。 【调研7】如图所示，质量分别为mA=2kg、mB=1kg的两小物块中间连接有劲度系数为k=200N/m的弹簧，整个装置放在倾角为30o的光滑斜面上，斜面底端有固定挡板，对物块A施加一个沿斜面向下的大小为F=20N的力，整个装置处于静止状态，g取10m/s2，突然撤去外力F后，则() A．当弹簧恢复原长时，物块A沿斜面上升5cm B．物块B刚要与挡板分离时，物块A的加速度为7.5m/s2 C．物块A和物块B组成的系统机械能守恒 D．当物块B与挡板刚要分离时，物块A克服重力做功为2J A F B θ 【解析】A．开始时物块A处于静止状态，弹簧处于压缩状态，弹簧的压缩量为x1，则对物块A由平衡可知：F+mAgsinθ=kx1，解得：x1=0.15m=15cm，所以当弹簧恢复原长时，物块A沿斜面上升15cm，故A错误； B．物块B刚要与挡板分离时，弹簧处于伸长状态，弹簧的伸长量为x2，则有：mBgsinθ=kx2，物块A受到重力、斜面的支持力和弹簧的拉力，沿斜面的方向：mAgsinθ+kx2=ma2，代入数据得加速度：a=7.5m/s2，故B正确； C．物体A和B组成的系统，在运动过程中，弹簧的弹力做功，故机械能不守恒，故C错误； D．当B刚要离开挡板时，挡板的支持为0，弹簧此时弹力：kx2=mBgsinθ，代入数据得：x2=0.025cm，此时A向上的位移：x=x1+x2=0.175m，重力克服重力做的功：W=mAgxsinθ=1.75J，代入数据得，故D错误。 【调研8】如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m的物体A、B，物体B与弹簧连接，弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度为a的匀加速运动，测得两个物体的图像如图乙所示，重力加速度为g，则 ( ) F A B 甲 v O t1 t2 t 乙 A B A．外力施加前，弹簧的形变量为 B．外力施加的瞬间，A、B间的弹力大小为m(g-a) C．A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力恰好为零 D．弹簧恢复到原长时，物体B的速度达到最大值 【解析】A项，在施加F前，考虑整体法，物体A、B整体平衡，弹簧处于压缩状态，根据平衡条件可得2mg=kx；解得弹簧的压缩量x=，故A项正确。 B项，施加外力F的瞬间，对B物体，根据牛顿第二定律可得F弹-mg-FAB=ma，其中F弹=2mg，解得FAB=m(g-a)，故B项正确。 C项，A、B在t1时刻分离，此时具有共同的速度v与加速度a且FAB=0；对B有F-mg=ma，解得F-mg=m(g+a)，故C项错误。 D项，弹簧恢复到原长时，时F=mg，物体B达到最大速度，故D项错误。 综上所述，本题正确答案为AB。 【调研9】一个弹簧测力计放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量M=10.5kg，Q的质量m=1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止．如图所示，现给P施加一个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2s内，F为变力，0.2s以后，F为恒力，求力F的最大值与最小值。 F P Q 【解析】设开始时弹簧压缩量为x1，t=0.2s时弹簧的压缩量为x2，物体P的加速度为a，则有 kx1=(M+m)g，kx2-mg=ma x1-x2=ma2 解得：x1==0.15m，a=6m/s2 Fmin=(M+m)a=72N，Fmax=M(a+g)=168N。 【调研10】(多选)如图所示，A、B质量均为m，叠放在轻质弹簧上(弹簧下端固定于地面上)，对A施加一竖直向下、大小为F(F>2mg)的力，将弹簧再压缩一段距离(弹簧始终处于弹性限度内)而处于平衡状态，现突然撤去力F，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为FN，重力加速度为g，则关于FN的说法正确的是 ( ) A．刚撤去外力F时，FN= B．弹簧弹力等于F时，FN= C．两物体A、B的速度最大时，FN=mg D．弹簧恢复原长时，FN=mg F A B 【解析】刚外力F时，由牛顿第二定律知对A、B整体有F=2ma1，对物体A有FN-mg=ma1，联立得FN=mg+，A项错误； 当弹簧弹力大小等于F时，有F-2mg=2ma2，FN-mg=ma2，，联立得FN=，B正确； 当两物体A、B的加速度为零时，两者速度最大，则有FN=mg，C正确； 当弹簧恢复原长时，弹簧不提供弹力，此时两物体恰好分离，A、B间的相互作用力大小为0，D项错误。 提示：B选项为支持力通式，可以通过代入不同F值，来求解FN。 【调研11】如图所示，一轻弹簧一端固定在倾角为θ=37º的固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1=6kg的物体P，Q为一质量m2=10kg的物体，系统处于静止状态，弹簧的压缩量x0=0.16m。现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，F为变力，0.2s以后F为恒力。已知斜面光滑且足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求： (1)弹簧的劲度系数k； (2)物体Q做匀加速运动的加速度大小a； (3)前0.2s内拉力F做的功。 P F Q 37º 【解析】(1)开始时，对整体受力分析，平行斜面方向有(m1+m2)gsinθ=kx0 代入数据，解得：k=600N/m (2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，表明0.2s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1，对物体P，有kx1-m1gsinθ=m1a 前0.2s时间内两物体的位移x0-x1=at2 联立解得a=m/s2 (3)前0.2s内，对P、Q整体根据动能定理WF+W弹-(m1+m2)gxsinθ=(m1+m2)v2 其中W弹=x，速度v=at，位移x=at2 代入数据得WF=J 【调研12】如图所示，质量均为m的A、B两物体通过劲度系数为k的轻弹簧拴在一起竖直放置在水平地面上，物体A处于静止状态。在A的正上方h高处有一质量为m的物块C。现将物块C由静止释放，C与A发生碰撞后立刻粘在一起(碰撞时间极短)，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（） A．C与A碰撞后，AC整体运动到最低点的加速度一定大于g B．C与A碰撞时产生的内能为 C．C与A碰撞后弹簧的最大弹性势能为 D．要使碰后物体B被拉离地面，h至少应为 C A B 【解析】A、假设C无初速地轻轻放在A上，在释放瞬间，弹簧弹力保持不变等mg，则AC整体有：2mg-mg=2ma1，解得a1=，AC整体向下运动，根据对称性可知，AC整体到达最低点时加速度大小也为，而实际C是从高处释放的，则碰撞后AC所能达到的最低点比假设的情况要低，则在最低点时加速度一定大于，故A错误； B、根据自由落体运动规律可知C与A碰撞前的速度大小为：v0=，设C与A碰撞后瞬间整体的速度大小为v1，根据动量守恒定律得：mv0=2mv1，此时C与A碰撞产生的内能为：Q=mv-·2mv，联立以上等式解得：Q=mgh，故B正确； C、设开始时弹簧的弹性势能为Ep0，AC整体到达最低点时弹簧的弹性势能最大，设为Ep1，AC整体下降的高度为h0，根据机械能守恒得：Ep1-Ep0=·2mv+2mgh0， 解得：Ep1=mgh+2mgh0+Ep0>mgh，故C错误； D、开始时A静止，对A由平衡条件得：mg=kx，弹簧的压缩量为：x=。 设物体B刚被拉离地面时弹簧的伸长量为x，由平衡条件得：mg=kx，解得：x= C、A碰撞后，物体B刚被拉离地面时，后C、A将上升2x，C、A刚碰撞时与B刚要离开地面时弹簧弹性势能相等，对C、A系统，由机械能守恒定律得：(m+m)v=(m+m)g·2x， 解得：h=，故D正确；故选：B、D。 2 学科网（北京）股份有限公司 $