精品解析：湖北省武汉市武昌区武珞路中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（1月份）

九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件 D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，选项错误，不符合题意； B、是不可能事件，选项错误，不符合题意； C、是随机事件，选项错误，不符合题意； D、是随机事件，选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件是一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，是解题的关键． 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：先把常数项移到等式的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 即 故选：A 3. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4. 若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 5. 将抛物线向上平移2个单位后得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．根据解析式平移的规律“上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是． 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之和为0 D. 两根之积为5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根； 由一元二次方程的根与系数的关系得：两根之和，两根之积为， 综上所述，选项B正确， 故选：B． 7. 如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，、、，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可． 【详解】解：根据题意得，、、， 故选：B． 8. 如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】画树状图如图： 共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的结果有4个， ∴两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键为会列表法或树状图法展示出所有等可能的结果． 9. 将边长相等的正方形和等边三角形按如图摆放，过、、三点作圆，那么所对的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则则可得到，，根据等边对等角得到，即，再根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：连接，∵是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数是， 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理，正方形和等边三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二次函数的解析式，确定函数取得最大值时，的值；再解出函数值为时，的值，即可得出答案． 【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和， ， 解得：， ， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，； 时，， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是：理解题意，求出函数的解析式，利用函数的对称性、开口方向，研究最值． 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 点与点关于原点对称，则______． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴a=2，b= -1， ∴a+b=2-1=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 12. 为了估计池塘里鱼的数量，从池塘里捕鱼200条并做上记号，后再将这些鱼放回到池塘，待到标记的鱼完全混合于鱼群之后，再次捕鱼100条，其中有标记的鱼为20条，据此可以估计该池塘中的鱼约有______条． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用200除以样本中有标记的鱼的占比即可得到答案． 【详解】解：条， ∴估计该池塘中的鱼约有1000条， 故答案为：1000． 13. 某店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x，根据题意可列方程：_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意第一个月的销售额为万元，则第二个月的销售额为万元，根据店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万即可列出方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积等于 ________ ．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的侧面积（其中r为底面半径，l为母线长），据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该扇形侧面展开图的面积为， 故答案为：． 15. 已知抛物线（a，b，c常数，）经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④若，则；⑤关于x的方程有两个不等的实数根；⑥若与是此抛物线上两点，则．其中，正确的结论是 _____． 【答案】②④⑤⑥ 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴即可得到即可判断②；根据抛物线经过点即可推出即可判断①；根据，，，即可判断③；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为，即可判断④；根据抛物线与x轴有两个交点，得到，则，即可判断⑤；根据抛物线的增减性即可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴即， ∴，故②正确； ∵抛物线经过点， ∴即， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵，，， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 又∵，即抛物线开口向下， ∴当时，，故④正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不同的实数根，故⑤正确； ∵，即抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵， ∴，故⑥正确； 故答案为：②④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质以及二次函数图像与系数之间的关系，一元二次方程根的判别式，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离．以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，为轴，建立如图所示的坐标系， 设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令，， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】（1）方程为波浪方程， 理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 【小问3详解】 解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 18. 如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点A逆时针旋转α得到， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理： （1）根据旋转的性质得到，推出，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质得到，证明是等边三角形，求出，设，则，利用股沟定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∵， ∴． ∴． ∴． 设，则． 在中，， ∴． 解得（负值舍去）． ∴． 19. 有一转转盘和跳棋子的游戏，规则如下： I.初始时，将棋子放在标有数字“”的那一格； Ⅱ.轮流转动转盘； Ⅲ.转盘停止后，指针指向几，就将棋子前进几格（例如：转动转盘，若停止后指针所指数字为③，则棋子前进到标有数字“”那一格），直至到达指定位置. （1）嘉嘉转动转盘，指针指向数字③的概率为______； （2）现嘉嘉和琪琪合作完成一轮游戏，共跳同一枚棋子，嘉嘉先转转盘，琪琪再转，补全树状图，并根据树状图求出当琪琪跳棋后，棋子前进到数字“”那一格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率：（1）根据概率公式计算即可；（2）依题意画出树状图，根据图形求概率即可． 【小问1详解】 转盘被分为四个区域 指针指向数字③的概率为 【小问2详解】 根据树状图可知：总可能性有（种） 数字的可能性有种 所以概率为： 20. 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． （1）若，则的长为___________； （2）求证． 【答案】（1）3 （2） 证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 21. 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多10元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为w元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）售价为40元，进价为每件30元 （2）当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元 【解析】 【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设售价上涨a元/件根据题意表示出利润w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得：， 解得， ∴该商品每件的售价为40元，进价为每件30元； 【小问2详解】 设售价上涨a元/件， 由题意得： ， ∵售价不得高于进价的1.8倍， ∴， 解得， ∵当时，w是随a的增大而增大 ∴当时，w有最大值，最大值为3456，此时售价为（元）， ∴当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图1，是等腰直角三角形，，，点D是的中点，在外取一点E，使，连接． （1）求证：． （2）如图2，若点E在直线下方，且，求的长． （3）若点E在直线下方，，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵点D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可证明，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，即，据此可证明结论； （2）过点C作交于点F，设交于点J．可证明，得到，由勾股定理可得，，则可推出，，据此求出的长即可得到答案； （3）当点E在直线的下方时，过点C作于点G，交于点F，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由三线合一定理和直角三角形的性质求出的长，再根据全等三角形的性质和三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，过点C作交于点F，设交于点J． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3中，当点E在直线的下方时，过点C作于点G，交于点F． 由（2）可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，的面积为． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上的一点，在线段上有一动点，以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合），过点作，交轴于点，设点的运动时间为秒，试把的面积表示成的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值； （3）设点是抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，以为直径画，则在点的运动过程中，是否存在与轴相切的？若存在；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：； （2），当时，有最大值，最大值为； （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设，则，，由几何图形面积计算即可得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，如图所示，过点作轴于点，作轴于点，则，，，，由代入计算，再结合二次函数求最值的方法计算即可求解； （3）根据图得到点到对称轴的距离为，，由此分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，则， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴直线为，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴，，， ∴ ， ∵点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合）， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为：， ∴设，且对称轴直线为， ∴点到对称轴的距离为， 如图所示， ∴， ①当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）， ∴； ②当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； ③当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； ④当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，二次函数的最值问题，三角形的面积，以及二次函数的对称性，点到直线的距离的表示，绝对值方程的讨论求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形面积的计算，二次函数与圆的综合，圆与直线相切的理解等知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 B. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件 D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 5. 将抛物线向上平移2个单位后得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之和为0 D. 两根之积为5 7. 如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 将边长相等的正方形和等边三角形按如图摆放，过、、三点作圆，那么所对的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 10. 已知二次函数（、是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 点与点关于原点对称，则______． 12. 为了估计池塘里鱼的数量，从池塘里捕鱼200条并做上记号，后再将这些鱼放回到池塘，待到标记的鱼完全混合于鱼群之后，再次捕鱼100条，其中有标记的鱼为20条，据此可以估计该池塘中的鱼约有______条． 13. 某店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x，根据题意可列方程：_______________ ． 14. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积等于 ________ ．（结果保留） 15. 已知抛物线（a，b，c常数，）经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④若，则；⑤关于x的方程有两个不等的实数根；⑥若与是此抛物线上两点，则．其中，正确的结论是 _____． 16. 如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； （3）若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 18. 如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 有一转转盘和跳棋子的游戏，规则如下： I.初始时，将棋子放在标有数字“”的那一格； Ⅱ.轮流转动转盘； Ⅲ.转盘停止后，指针指向几，就将棋子前进几格（例如：转动转盘，若停止后指针所指数字为③，则棋子前进到标有数字“”那一格），直至到达指定位置. （1）嘉嘉转动转盘，指针指向数字③的概率为______； （2）现嘉嘉和琪琪合作完成一轮游戏，共跳同一枚棋子，嘉嘉先转转盘，琪琪再转，补全树状图，并根据树状图求出当琪琪跳棋后，棋子前进到数字“”那一格的概率. 20. 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． （1）若，则的长为___________； （2）求证． 21. 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 22. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多10元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为w元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 23. 如图1，是等腰直角三角形，，，点D是的中点，在外取一点E，使，连接． （1）求证：． （2）如图2，若点E在直线下方，且，求的长． （3）若点E在直线下方，，直接写出的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，的面积为． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上的一点，在线段上有一动点，以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合），过点作，交轴于点，设点的运动时间为秒，试把的面积表示成的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值； （3）设点是抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，以为直径画，则在点的运动过程中，是否存在与轴相切的？若存在；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $