精品解析：2025-2026学年人教版八年级上册期末数学模拟试卷

2025－2026学年八年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角中，平分，于，于，已知，，，则的周长（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立作图是（ ） A. B. C D. 9. 现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　） A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 10. 如图，中，，于D，平，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知点和关于x轴对称，则_____． 12. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 13. 因式分解：_______． 14. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. （1）解方程：； （2）先化简、再求值：，其中． 18. 如图，是一个正方形格纸，中A点坐标为，B点的坐标为． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出关于x轴对称图形，并直接写出：、、的坐标； （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标．（在图中标出M点位置，保留作图痕迹）． 19. 如图，在中，垂直平分于点F，是边的垂直平分线交，于点D，O，E，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 20. 已知和都是等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）延长与交于点，若，求证：是的中点． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 22. 阅读下列材料：数学研究发现常用因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）三边，，满足，判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：∵， ∴ 选项B正确， 故选：B． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 5. 若，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程——因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．为一次项系数，是常数项解答即可． 【详解】解：根据题意，知，， ，的值可能分别是，， 故选：A． 6. 纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查等腰三角形“三线合一”、全等三角形性质．关键是区分等腰三角形角相等的固有性质与能推出线段相等的“三线合一”条件，易错点是误将当作推的依据． 逐一分析选项： 选项A、B：由等腰三角形“三线合一”，可推出； 选项C：是的固有性质，无法推出； 选项D：由全等三角形对应边相等，可推出． 【详解】选项A：若，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得． 选项B：若，即是角平分线，结合，根据“三线合一”，可得． 选项C：是等腰三角形的固有性质，无法直接推出． 选项D：若，根据全等三角形对应边相等，可得． 综上，不能说明的是选项C． 故选：C． 7. 在直角中，平分，于，于，已知，，，则的周长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．根据角平分线的性质可得，证明，可得，的长，根据线段的等量代换可得的周长． 【详解】解：平分，于，于， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长为：． 故选：B． 8. 在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　） A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，通过已知条件求出，再利用裂项法将求和式化简为 ，最后解方程求出． 【详解】解：，且对于，有， ， ， ， 以此类推，得， ， ， ， ， ， ，． 故选：C． 10. 如图，中，，于D，平，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，根据余角的定义及等腰三角形的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质结合证明，即可判断①； 根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可判断②； 根据等腰三角形性质及余角的定义即可判断③； 根据全等三角形的性质即可判断④ 【详解】平分 ， ， ， 在和中 在和中 即，故①正确； ， ，故②正确； ，为的中点 ，， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 和的面积不一定相等， ，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知点和关于x轴对称，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查点坐标关于坐标轴对称，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的两个点坐标的性质． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 要使得式子有意义，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不能为0，二次根式被开方数为非负数． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100． 【详解】根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． 故答案为：100． 15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，如图1所示： ∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°， ∵AC＜BC， ∴∠B＝45°不成立； ②当BD＝BE时，如图2所示： 则∠B＝（180°﹣4x）°，∠CAD＝22.5°． 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． ③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先运用完全平方公式和平方差公式展开式子，然后合并同类项即可． （2）先计算积乘方，再计算多项式除以单项式． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）解方程：； （2）先化简、再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握解分式方程的一般步骤，化简分式的步骤顺序与法则，代入计算求值，是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可； （2）先根据分式的混合计算顺序和法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） 方程两边同时乘以得：， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，是一个正方形格纸，中A点坐标为，B点的坐标为． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出关于x轴对称图形，并直接写出：、、的坐标； （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标．（在图中标出M点位置，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析，和关于轴对称 （2）见解析，、、 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，坐标关于坐标轴对称的特征，线段最短问题，熟练掌握网格的结构，正确作出对应点是解题关键． （1）根据、两点坐标建立直角坐标系，进而利用轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质画出图形，得到坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出其与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，建立直角坐标系， 和关于轴对称； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作， 、、； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作； 作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 由轴对称的性质可知，， 周长， 即当、、三点共线时，的周长有最小值， 关于轴的对称点的坐标为，， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， 直线的函数解析式为， 令，则，解得：， M点的坐标为． 19. 如图，在中，垂直平分于点F，是边的垂直平分线交，于点D，O，E，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质可得，点F是的中点，得出为的平分线．求出，，由等腰三角形的性质可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵为线段的垂直平分线， ∴． ∵为线段的垂直平分线． ∴． ∴． ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵垂直平分于点F， ∴，点F是的中点， ∴为的平分线， ∴． ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． ∵为等腰三角形， ∴． ∴． 20. 已知和都是等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）延长与交于点，若，求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识； （1）根据已知条件得出，根据即可证明，可得． （2）如图，过点作交的延长线于点．证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于点． ， ，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即为的中点． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题；设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴ 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元. 22. 阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）由整理得，进而可得，由此可判断． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 将，，代入． 【小问3详解】 是等腰三角形，理由如下： ，即， ， 且， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $