精品解析：福建省莆田第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

福建省莆田第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷 命题人：郑智清 审核人：凌娜、林清利 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：D. 2. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点． 【详解】解：函数在上为增函数， 又（1），（2）， 函数在区间上有一个零点， 故选：． 3. 已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得，即可求解. 【详解】由题意，，则. 故选：C 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边上的点得，再由差角余弦公式求目标函数值. 【详解】由题设， 则. 故选：B 5. 已知为任意角，则“”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可得到答案； 【详解】， 推不出， 反之，， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6. 已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，利用换元法将方程化为，化为，则原方程化为，即，构造和并确定单调性，进而求出参数值，即可得. 【详解】由两边乘，得：， 令，则方程化为：， 由，令，则， 代入原方程得：，整理得， 构造，与均为单调递增函数，故为单调递增． 构造，与均为单调递增函数，故为单调递增． 若，令，则，代入得，即 因为单调递增，的解唯一，故，则，即. 因此：. 故选：A 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为常数，则，由，可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可. 【详解】，且在上单调， 为常数，. 由，得. ，在上单调递增. 对，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，又. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由同角基本关系式求出，再利用诱导公式判断选项. 【详解】由，得， ， 则，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断AD；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，， 所以，故AD正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为的周期是4，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 故选：AD. 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图像关于直线对称，故B正确； 对于CD，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为，，设该扇形的弧长为， 则，解得. 故答案为： 13. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数和根式的定义域要求，结合三角函数图象性质求解即可. 【详解】由题意可得，得 或. 函数的定义域为， 故答案为: . 14. 函数在区间上为增函数，当的值最大时，函数的零点个数为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用三角函数的性质求出的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出的最大值，再将问题转化为函数与的图象的公共点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案. 【详解】因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增， 由题知，存在使得成立，则必有， 则，解得，故，所以的最大值为， 当时，函数的零点个数转化为 函数与的图象的公共点的个数. 画图得： 由图知与的图象的公共点的个数共6个， 即的零点个数为6个. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数，数学结合解决问题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故， 故； 【小问2详解】 由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 16. 已知函数. （1）求图象的对称中心的坐标， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简得，令，即可求解； （2）设，则，换元后转化成二次不等式在某个区间恒成立问题， 即可求解. 【小问1详解】 令，解得：， 所以图象的对称中心为； 【小问2详解】 设，因为，则，即， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 令，其图象为开口向上的抛物线，故其在区间上的最大值在端点处取得 要使在区间上恒成立，只需且. 即， 解得：， 即的取值范围是. 17. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，， 即，解得； 【小问2详解】 由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则，解得， 所以； 【小问3详解】 ， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 18. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）在（1）问的条件下，解关于的不等式； （3）若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由计算，利用对数公式计算得解. （2）解不等式，则此不等式转化为，代入的表达式，解对数不等式得解 （3）由得到，设，由的范围得到的值域，设，由求出的值域，由对任意的，函数在区间内总存在使得成立，得到，利用子集的定义列出的不等式组，计算得解. 【小问1详解】 ，，， ，， ，，或， 当，不满足真数大于，即不成立，故； 【小问2详解】 ，， 的解为 转化为，， ，，的解集为； 【小问3详解】 ，， ，， ， ， ，设 ，，的值域为， 设， 对称轴为，，在处取最大值为， ，的值域为， 对任意的，函数在区间内总存在使得成立， ， ， ，， 实数的取值范围为. 19. 是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． （1）求的“不动点”； （2）记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 【答案】（1） （2） （ⅰ）的“2-周期点”共有0个． 理由如下： ，故， 等号成立当且仅当． 若是的“2-周期点”， 满足 从而等号必须成立，故． 而由（1）知，是的不动点，即“周期点”．矛盾． 故不存在“2-周期点” （ⅱ）注意到单调递增， ，若为的“-周期点”， 则且，．（否则为的不动点．） 若，则由单调递增可知，， 而，故． 类似地，对于任意， 与矛盾，则不存在的“周期点”． 同理可证不存在的“-周期点”． 故对于不存在“-周期点”． 【解析】 【分析】（1）应用不动点定义计算求解即可； （2）（ⅰ）应用周期点的定义计算即可判断；（ⅱ）结合正弦函数的单调性应用周期点的定义即可证明. 【小问1详解】 由题意， 解得．故的不动点为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题及证明的关键点是对新定义的理解及灵活应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省莆田第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷 命题人：郑智清 审核人：凌娜、林清利 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 3. 已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为任意角，则“”，是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的一个周期为4 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 13. 函数的定义域为________. 14. 函数在区间上为增函数，当的值最大时，函数的零点个数为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）求图象的对称中心的坐标， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 18. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）在（1）问的条件下，解关于的不等式； （3）若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围. 19. 是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． （1）求的“不动点”； （2）记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $