精品解析：江苏省南京江宁高等职业技术学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

江宁高职校基础教学部高二年级月考考试（2025年10月） 数 学 试 卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷每小题的答案写在答题纸上. 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. “直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解城市居民的环保意识，调查机构从某社区的120名年轻人、80名中年人和60名老年人中，采用分层抽样的方法抽取n个人进行调查，若从中抽取了3名老年人，求n的取值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6. 知正方体的体积为8，E为的中点，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 8. 在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点.则下列选项中错误的是（ ） A. 直线平面 B. 在棱上存在一点，使得平面平面 C. 三棱锥在平面上的正投影图的面积为 D. 若为棱的中点，则三棱锥的体积为 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上） 11. 设，则__________. 12. 一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为_____________（异面、相交、平行） 13. 若，则的取值范围_____________ 14. 若函数是以为周期的周期函数，且当时，，则_____________ 15. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 三、解答题：（本大题共8题，共90分，把答案填在答题纸上） 16. 如图所示，在长方体 中，.求： （1）直线与直线所成的角的大小； （2）直线与直线间的距离. 17. 已知函数. （1）求函数定义域； （2）若，求的范围. 18. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 19. 设函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，求： （1）求实数的值； （2）求当时，的函数表达式； （3）求不等式的解集. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面⊥平面. 21. 若为锐角，且，，求的值. 22. 如图：在正方体中，M为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由. 23. 已知圆的方程为 （1）求的取值范围； （2）若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值； （3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江宁高职校基础教学部高二年级月考考试（2025年10月） 数 学 试 卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷每小题的答案写在答题纸上. 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合补集及交集的定义即可得解. 【详解】全集， 集合，， 则， 故选：. 2. 已知为虚数单位，复数满足则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的乘法，及共轭复数的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. “直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的定义以及充分性和必要性的概念判断选项即可. 【详解】当直线与平面内的任意一条直线都垂直，可得直线与平面垂直，故充分性不成立； 当直线与平面垂直，可得直线与平面内的无数条直线都垂直，故必要性成立， ∴“直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据底面积公式以及侧面积求出底面半径以及母线长，再根据圆锥体积求解即可. 【详解】因为底面积为，所以，解得. 因为侧面积为，所以，解得. 则圆锥的高为. 所以圆锥的体积为. 故选：B. 5. 为了解城市居民的环保意识，调查机构从某社区的120名年轻人、80名中年人和60名老年人中，采用分层抽样的方法抽取n个人进行调查，若从中抽取了3名老年人，求n的取值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分层抽样的抽样比，即可求解. 【详解】由题意，得，解得， 故选：C. 6. 知正方体的体积为8，E为的中点，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出线面角平面角易得答案. 【详解】如图，连接 正方体,所以平面, 所以是与平面所成角的平面角, 因为,,所以. 所以. 故选:D. 7. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐项判断即可． 【详解】对于A：，，则或，A错误； 对于B：若，，，，则或相交， 只有加上条件相交，结论才成立，B错误； 对于C，，，无法得到， 只有加上条件才能得出结论，C错误； 对于D，，，则，又∵，∴，D正确． 故选：D． 8. 在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 9. 若，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合正、余弦齐次式的化简，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：A. 10. 如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点.则下列选项中错误的是（ ） A. 直线平面 B. 在棱上存在一点，使得平面平面 C. 三棱锥在平面上的正投影图的面积为 D. 若为棱的中点，则三棱锥的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理，及正投影的概念，棱锥的体积公式，即可判断求解. 【详解】 对于A，如图1，连接，交于点，连接、，显然为的中点，又，分别为，的中点. 所以且，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确，不符合题意； 对于B，如图2，取中点，连接，，， 显然，所以，又， 所以， 所以， 由正方体，可得平面，平面， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故B正确，不符合题意. 对于C：如图3，连接，则四边形为三棱锥在平面上的正投影， 因为，故C错误，符合题意； 对于D： ， 故D正确，不符合题意. 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上） 11. 设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12. 一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为_____________（异面、相交、平行） 【答案】异面 【解析】 【分析】还原正方体，在根据异面直线的定义求解即可. 【详解】由正方体的展开图复原正方体的直观图如图： 则在原来的正方体中，与的位置关系为异面直线， 故答案为：异面. 13. 若，则的取值范围_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为，则， 所以，解得， 则的取值范围为， 故答案为：. 14. 若函数是以为周期的周期函数，且当时，，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对数函数的单调性确定的范围，再由对数的运算法则计算即可. 【详解】由在上是增函数， 所以，即， 因为函数是以为周期的周期函数， 所以， 所以， 由当时，， 得， 所以， 故答案为：4. 15. 在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求三棱锥体积，利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】因为平面，，平面， 所以，， 又，， 所以，又， 所以， 因为，， 有，所以， 设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共8题，共90分，把答案填在答题纸上） 16. 如图所示，在长方体 中，.求： （1）直线与直线所成的角的大小； （2）直线与直线间的距离. 【答案】（1）. （2）2. 【解析】 【分析】（）根据题意连接，求出即可得解. （）根据长方体的性质得出线段是的公垂线段即可得解. 【小问1详解】 如图所示，连接，在中，， 所以， 所以，直线与直线所成的角的大小为. 【小问2详解】 ∵， ∴线段是的公垂线段， ∵，直线与直线间的距离为. 17. 已知函数. （1）求函数定义域； （2）若，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合对数函数的定义域，及二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，结合对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 因为函数， 所以，即， 解得或， 即函数定义域为； 【小问2详解】 因为，即， 又函数在定义域上单调递减， 所以，即， 所以，即的范围是. 18. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的定义证明即可. 【小问1详解】 连接，由分别为和的中点， ，又平面ABCD，平面ABCD， 平面. 【小问2详解】 底面是正方形， ， 又底面，平面， ，平面，平面， 平面，又平面， . 19. 设函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，求： （1）求实数的值； （2）求当时，的函数表达式； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用奇函数可求参数的值； （2）设，将带入解析式，然后利用奇函数定义可求； （3）利用含有绝对值不等式的解法可求. 【小问1详解】 由题意得， 则. 【小问2详解】 设，则， 所以当时，. 【小问3详解】 由（1）可知，不等式为， 则或，解得或， 所以不等式的解集为或. 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面⊥平面. 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质得出，结合矩形的性质即可得解. （）根据平面与平面垂直的性质得出平面，结合线面垂直的判定定理与性质及面面垂直的判定定理即可得解. 【小问1详解】 因为，为的中点， 所以， 因为底面为矩形，所以. 所以. 【小问2详解】 因为底面为矩形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 21. 若为锐角，且，，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式得，利用同角三角函数的基本关系，可得和的值，最后根据诱导公式和两角差的余弦公式求解即可. 【详解】∵，∴， ∵，∴. ∵，∴， 又，∴， ∴ ， ∴. 22. 如图：在正方体中，M为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明可证明结论. （2）上的中点N即满足平面平面，通过证明平面，结合平面可证明结论. 【小问1详解】 连接BD交AC于O，连接MO， 因为为正方体，底面为正方形， 所以O为BD的中点， 因为M为的中点， 在中，OM是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 上的中点N即满足平面平面， 因为N为的中点，M为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 由（1）知平面，又因为， 所以平面平面. 23. 已知圆的方程为 （1）求的取值范围； （2）若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值； （3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆的方程进行求解即可. （2）将圆的方程与直线方程联立，再根据韦达定理以及求解即可. （3）根据（2）问的结果以及中点坐标公式、再根据距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， . . 【小问2详解】 设，则， 化简得：. 因为，解得. 则， . . 即，得. 【小问3详解】 设所求圆的圆心为，半径为. 由（2）中可知. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $