专题20.2勾股定理的逆定理及其应用（寒假衔接讲义）（4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

20.2勾股定理的逆定理及其应用 知识点1：勾股定理的逆定理（定义与判定） 1.文字语言：如果一个三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为最长边。 2.判定步骤：①确定三角形三边长，并找出最长边；②验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和；③若满足则为直角三角形，否则不是。 知识点2：勾股数的概念与性质 1.定义：满足的三个正整数、、，称为勾股数（如3、4、5；5、12、13等）。 2.性质：①勾股数扩大相同正整数倍后仍为勾股数（如3、4、5扩大2倍得6、8、10）； ②常见规律：当为正整数时，、、是勾股数。 知识点3：勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足（为最长边） 核心结论 两直角边的平方和等于斜边的平方（） 该三角形是直角三角形（斜边为最长边） 逻辑方向 形→数（由直角三角形的“形”推导边长的“数”关系） 数→形（由边长的“数”关系推导三角形的“形”特征） 主要功能 计算直角三角形的未知边长 判定三角形是否为直角三角形 应用场景 已知直角三角形，求边长或斜边上的高 已知三角形三边，验证直角、判断形状、构造直角模型 相互关系 互为逆定理，可结合使用解决综合问题 互为逆定理，前者是性质，后者是判定定理 知识点4：逆定理的核心应用场景 1.几何应用：判断三角形形状、验证直角、构造直角三角形、求四边形面积（分割为直角三角形）。 2.实际应用：建筑质检（判断零件是否为直角）、航海定位（判断方向垂直关系）、测量距离（构造直角三角形建模）。 【基础必考题型】 【题型1】直接用逆定理判断三角形形状（数字验证型） 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理定义； 最长边的识别与平方关系验证。 2.解题方法技巧: 第一步找出三边长中的最长边（设为）； 计算与的值，对比是否相等； 若相等则为直角三角形，否则为非直角三角形。 【例题1】.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴长为4，5，6的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴长为5，6，7的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴长为6，7，8的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式题1-1】.下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（   ） A．，， B．3，5，4 C．1，2， D．5，12，13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键 ． 根据勾股定理的逆定理，若三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，否则不能构成，由此判断即可 ． 【详解】解：选项A：三边为，最大边为， 计算得：，故不能构成直角三角形； 选项B：三边为3，5，4，最大边为5， 计算得：，能构成直角三角形； 选项C：三边为，最大边为， 计算得：，能构成直角三角形； 选项D：三边为，最大边为13， 计算得：，能构成直角三角形． 故选：A． 【变式题1-2】.阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)锐角三角形 (2)的值为或，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中判断三角形的方法是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的分类及判断方法验证即可得到答案； （2）按照阅读材料中直角三角形的判断方法，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是， ， 该三角形是锐角三角形； （2）解：的值为或， 理由如下： 一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况： 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 综上所述，的值为或． 【变式题1-3】.使用相同长度的火柴搭成如图所示的三角形，根据各边火柴的数量可知此三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题核心考查勾股定理的逆定理的应用，同时涉及三角形按角的分类以及有理数乘方运算，通过计算三角形三边(火柴数量)的平方，验证满足，据此判定该三角形为直角三角形． 【详解】解：∵已知三角形三边的火柴数量分别为， ∴三边的平方： ，， ， ∵，满足勾股定理的逆定理， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【题型2】勾股数的识别与验证（基础辨析） 1.核心知识点: 勾股数的定义（正整数+平方关系）； 勾股数的性质（扩大倍数仍为勾股数）。 2.解题方法技巧: 先判断是否为正整数，再验证平方关系； 对疑似勾股数，可先化简（如缩小相同倍数）再验证； 举例：判断6、8、10是否为勾股数，缩小2倍为3、4、5，满足关系故是。 【例题2】.下列各组数是勾股数的为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股数必须是三个正整数，且满足勾股定理．直接计算各选项即可判断．本题考查勾股数的定义，解题中用到的方法是“定义验证法”，即对照勾股数的两个核心条件（正整数、满足勾股定理）逐一排查选项．解题关键是明确勾股数的双重要求（正整数+勾股定理），避免忽略“正整数”这一限制条件．易错点是误将非正整数的数（如选项B的无理数）当作勾股数，或仅验证勾股定理而忽略正整数的要求． 【详解】对于A：，故是勾股数． 对于B：不是正整数，∴不是勾股数． 对于C：，∴不是勾股数． 对于D：，∴不是勾股数． ∴故选A． 【变式题2-1】.勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解通常叫作勾股数．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数需满足两个条件：均为正整数且满足勾股定理 ，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、均为正整数，但，故该选项不符合题意； B、中含负数，不是正整数，故该选项不符合题意； C、中含小数，不是正整数，故该选项不符合题意； D、均为正整数，且，故该选项符合题意； 故选：D 【变式题2-2】.将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 【答案】5，12，13（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 【变式题2-3】.勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 【答案】(1)10，24，26（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股数的定义：都是正整数且较小的两个数的平方的和等于最大的数的平方，进行作答即可； （2）先根据整理得，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴10，24，26是一组勾股数 故答案为：10，24，26（答案不唯一）； （2）解：依题意， ， ∴满足以上公式的是一组勾股数． 【题型3】网格中的直角三角形判定（数形结合） 1.核心知识点: 网格中边长的计算（勾股定理）； 勾股定理的逆定理应用。 2.解题方法技巧: 数网格边长，用勾股定理求目标三角形三边长度； 验证三边平方关系（如网格中三边平方为5、5、10，满足，故为直角三角形）； 可通过连接辅助线构造三角形，再用逆定理判定。 【例题3】.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】（1）解：由网格可知，， ， ． （2）解：由（1）已得：，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式题3-1】.如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式题3-2】.如图，在的正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 【变式题3-3】.图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点． 仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法： (1)在图①中，画出以线段为腰的等腰锐角． (2)在图②中，画出以线段为腰的等腰直角． (3)在图③中，画出以线段为腰的等腰钝角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图，涉及等腰三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可； （3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可． 【详解】（1）取格点C，使，连接， 即为所求作． 理由：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴是等腰锐角三角形． （2）取格点D，使，，连接， 则即为所求作． 理由：∵，， ∴是等腰直角三角形． （3）解：取格点E，使，，连接， 则即为所求作． 理由：∵，，且， ∴， ∴是等腰钝角三角形． 【培优高频题型】 【题型4】四边形中逆定理的应用（面积计算） 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理（判定直角三角形）； 四边形面积的分割计算（分割为直角三角形）。 2.解题方法技巧: 连接四边形对角线，将其分割为两个三角形； 用逆定理判断其中是否有直角三角形； 分别计算两个三角形面积，求和得到四边形面积。 【例题4】.（1）如图1，，，，求的面积． （2）如图2，，，，求的面积． 【答案】（1）30；（2）210 【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算； （1）先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出三角形的形状，再根据形状来找到三角形的底和高，从而计算出面积； （2）过C点作，利用勾股定理建立方程求出，然后计算出面积. 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴. （2）如图所示，过C点作， ∵，，， 设，则 ∵在中， 在，， ∴， 解得 ∴， ∴. 【变式题4-1】.（1）如果等腰直角三角形斜边长是6，那么面积是______； （2）如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】（1）9；（2） 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，三角形面积的计算，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）设等腰直角三角形的腰长为x，根据勾股定理求出边长，再求三角形的面积即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理得到，根据求出最后结果即可． 【详解】解：（1）设等腰直角三角形的腰长为x， 则有：， 解得：， 等腰直角三角形的面积， 故答案为：9； （2）如图，连接， ，，， ， ， ， ， ， ． 【变式题4-2】.在中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知，则的面积是_________； (2)如图2，已知，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的性质； （1）利用勾股定理证明，再求解面积即可； （2）如图，过作于，先证明，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式题4-3】.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积 ； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则 ，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 【题型5】折叠问题中逆定理的应用（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）； 勾股定理的逆定理（验证直角）。 2.解题方法技巧: 根据折叠性质找出相等线段，设未知数表示未知边长； 对折叠后形成的新三角形，验证三边平方关系； 若满足逆定理则为直角三角形，进而利用直角条件列方程求解。 【例题5】.如图，在直角梯形中，，，点F是边上一点，将该直角梯形纸片沿折叠，点C落在点E，且直线恰好经过点D，若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟知含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过点D作于点，由勾股定理求出，易证四边形是矩形，推出，再根据直角三角形的性质得到，求出，，由勾股定理逆定理推出，推出，由折叠性质得，得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点， ∵ ，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质得， ∴， 在中，则， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【变式题5-1】.如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式题5-2】.如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形．见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． （2）由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点， ． ． ， ， 解得． 【变式题5-3】.如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 【题型6】实际情境建模（直角验证与测量） 1.核心知识点: 实际问题的数学建模（构造三角形）； 勾股定理的逆定理（判定直角）。 2.解题方法技巧: 提取实际情境中的三边长数据（如零件三边、航海距离）； 构造三角形模型，验证是否为直角三角形； 结合实际需求判断结果（如零件是否合格、路径是否垂直）。 【例题6】.如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 【变式题6-1】.已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【答案】(1)7200元 (2) 【分析】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解，解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解； （2）在中，根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式，即，进而求出的长度． 【详解】（1）解：连接，在中， ， 在中，，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需花费（元）． （2）解：如图，过点B作，垂足为E， ∴在中，， 即，即． ∴小路的最短长度为． 【变式题6-2】.如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理． （1）根据题目所给数据，得出，推出，即可解答； （2）根据勾股定理求出，进而得出，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴菜园的面积扩大了． 【变式题6-3】.为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形，且， 答：空地的面积是. 【压轴素养题型】 【题型7】勾股数的规律探究（素养导向） 1.核心知识点: 勾股数的定义； 归纳推理能力（寻找勾股数规律）。 2.解题方法技巧: 分析已知勾股数组的数字特征（如3、4、5；5、12、13）； 总结规律（如奇数开头的勾股数，后两数相差1）； 用逆定理验证规律的正确性，并用含n的代数式表示规律。 【例题7】.已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，____，____；当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【答案】(1)，；，； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股定理的逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，，； 当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，，； 故答案为：，；，； （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴不论为何值，，，都是勾股数组． 【变式题7-1】.我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：3，4，5，因为，所以3，4，5是一组勾股数．若规定：一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“超越数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为．例如：当时，，． (1)①15，8，17 ________一组勾股数（填是或不是）；②________； (2)已知，为“超越数”，其中，（，，，且，，，为整数），且能被3整除，．是否存在整数使，，成勾股数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①是     ② (2)时，，，成勾股数 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理即可判断； ②根据的定义即可求解； （2）利用的定义可求得，由题意可求得和，利用勾股数定义即可完成求解． 【详解】（1）解：①是     ②， （2）解：， 同理 能被3整除，，，为整数 ∴c-d是3的倍数，且 ， ，，，为整数 ， ， 时，，，成勾股数 【点睛】本题主要考查新定义下的实数运算，勾股定理的逆定理，读懂题意是解题的关键． 【变式题7-2】.已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【变式题7-3】.已知． (1)当时，则以a，b，c的值为三边长的三角形面积为______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴以a，b，c的值为三边长的三角形是直角三角形， ∴面积为：， 故答案为：6； （2）解：小安的猜想正确，理由如下： ， ， ∴， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 【题型8】新定义问题（垂美四边形） 1.核心知识点: 新定义理解（对角线互相垂直的四边形为垂美四边形）； 勾股定理的逆定理（辅助验证垂直）。 2.解题方法技巧: 解读新定义本质（对角线垂直→分割为四个直角三角形）； 利用勾股定理表示各边平方关系（如垂美四边形中）； 结合逆定理验证对角线是否垂直，进而求解边长或面积。 【例题8】.阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理 (2)①；②是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理运用、勾股定理的逆定理． （1）结合阅读材料即可得到答案 （2）①直接由材料中的公式，将坐标代入求解即可得到答案； ②直接由材料中的公式，将代入求解，得出的三边长度，结合勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：①由题意，得两点间的距离． ②是直角三角形，理由如下： 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以是直角三角形． 【变式题8-1】.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以为边构造三角形，利用三角形中 ▲ 进行比较． 问题思考：以为边构造的三角形为 ▇ 三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：_______________________________； “▇”处空缺的内容：____________________________； (2)请补全材料中“……”处的解答过程； (3)直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1)两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． （1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可． 【详解】（1）解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “▇”处空缺的内容：直角； （2）解：，， ， ； （3）解：，， ， ， ． 【变式题8-2】.定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，含有直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （）由题得，则，进而可证是等边三角形，所以，即为等腰三角形，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即，即可得证； （）由题可知为直角三角形，进而分类讨论，利用含有的直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是机灵三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴为直角三角形， ∴是机灵三角形， ∴是的机灵线； （3）解：∵是机灵三角形，且为机灵线， ∴为直角三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 综上，的长为或． 【变式题8-3】.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①四边形是平行四边形，理由见解析；② 【分析】（1）根据邻余四边形的定义求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据勾股定理求出，在中根据勾股定理的逆定理可判定，根据三角形内角和定理可求出，然后根据邻余四边形的定义即可得证； （3）根据邻余四边形的定义、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理可求出，证明，得出，，则，最后根据平行线的判定即可得出结论； ②过A作交的延长线于F，连接，可证，得出，，由邻余四边形知，可求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （3）解：①四边形是平行四边形， 理由：∵在邻余四边形中，，是钝角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②过A作交的延长线于F，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由邻余四边形知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理与逆定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 易错点 1.应用逆定理时未先确定最长边，直接验证平方关系导致错误； 2.识别勾股数时忽略“正整数”条件，将非整数组合误判为勾股数； 3.含参数的直角三角形判定中，遗漏“参数为最长边”的情况，导致漏解； 4.实际建模时，未能准确提取三边长数据，构造三角形错误。 重点 1.熟练掌握勾股定理逆定理的定义和判定步骤，能快速判断三角形是否为直角三角形； 2.识别常见勾股数及规律，能灵活运用勾股数解决问题； 3.学会将实际问题、四边形、折叠图形转化为三角形模型，应用逆定理求解； 4.掌握分类讨论思想，处理不确定最长边的直角三角形判定问题。 难点 1.实际问题的数学建模（从复杂情境中提取三边关系，构造三角形）； 2.含参数或分类讨论的直角三角形判定，避免漏解； 3.新定义问题的理解与转化（如垂美四边形），结合逆定理综合应用； 4.勾股数规律的探究与验证，培养归纳推理素养。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 3．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，分别验证各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：对于A∶设 ，故是直角三角形． 对于B∶，故是直角三角形． 对于C∶，且，∴，即故是直角三角形． 对于D∶设 ，则 ，解得 ，所以无90°角，故不是直角三角形． 故选D． 4．如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点C作，且使，连接，由勾股定理逆定理可知，以及勾股定理可得，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点C作，且使，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点F，E，B共线时，为最小，最小值是， ∴的最小值是． 故选：B． 5．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】不垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直． 【详解】解：∵， ， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形， ∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直． 7．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 8．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 9．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 10．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 11．第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)居民楼不会受噪声影响，理由见解析 【分析】该题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理即可解答； （2）如图，过点C作于点D，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． （2）解：居民楼不会受噪声影响． 理由如下：如图，过点C作于点D． 则． ∴． ∴． ∵施工作业周围的以内为受噪声影响区域，， ∴居民楼不会受噪声影响． 12．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，，均在小正方形的顶点上． (1)分别求出线段，的长度． (2)在图中画出一条线段，使得．以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)    (2)能构成直角三角形  见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理可得是一个两直角边长分别为和的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论． 【详解】（1），． （2）解：如图，线段即为所求． 能构成直角三角形．理由如下： ，，， ， 以，，三条线段为边能构成直角三角形． 【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． 13．如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【答案】(1)144 (2)建立平面直角坐标系见解析，，，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与平面． （1）连接，先由勾股定理逆定理证明，再由求解即可； （2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是，过点作轴于点，由面积法得到，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：如图2，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是． 由，，可得点的坐标是，点的坐标是． 过点作轴于点， ， 点的坐标是 14．如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块绿地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式．根据勾股定理，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据这块绿地的面积的面积的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 则四边形面积为： ． 答：这块绿地的面积是． 15．已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状．阅读下列解题过程： 解：， ，    第一步 ，                      第二步 为直角三角形．              第三步 (1)上述解题过程，从第__________步开始出现错误． (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）观察解题步骤中从第一步到第二步的变形，判断是否忽略了除数可能为的情况，从而确定错误步骤； （2）先将等式移项，通过因式分解得到两个因式的乘积为的形式，再分情况讨论每个因式为时三角形边的关系，进而判断三角形形状． 【详解】（1）解：上述解题过程，从第二步开始出现错误，因为第一步到第二步时，直接两边除以，但未考虑的情况． （2）解：， ， ， ， ∴或， 或， 当时，该三角形是直角三角形， 当，即时，该三角形是等腰三角形， 是直角三角形或等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用与三角形形状的判断，掌握因式分解后需分情况讨论，避免忽略边相等的可能是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用 知识点1：勾股定理的逆定理（定义与判定） 1.文字语言：如果一个三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为最长边。 2.判定步骤：①确定三角形三边长，并找出最长边；②验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和；③若满足则为直角三角形，否则不是。 知识点2：勾股数的概念与性质 1.定义：满足的三个正整数、、，称为勾股数（如3、4、5；5、12、13等）。 2.性质：①勾股数扩大相同正整数倍后仍为勾股数（如3、4、5扩大2倍得6、8、10）； ②常见规律：当为正整数时，、、是勾股数。 知识点3：勾股定理与逆定理的区别与联系 对比维度 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 三角形是直角三角形 三角形三边长满足（为最长边） 核心结论 两直角边的平方和等于斜边的平方（） 该三角形是直角三角形（斜边为最长边） 逻辑方向 形→数（由直角三角形的“形”推导边长的“数”关系） 数→形（由边长的“数”关系推导三角形的“形”特征） 主要功能 计算直角三角形的未知边长 判定三角形是否为直角三角形 应用场景 已知直角三角形，求边长或斜边上的高 已知三角形三边，验证直角、判断形状、构造直角模型 相互关系 互为逆定理，可结合使用解决综合问题 互为逆定理，前者是性质，后者是判定定理 知识点4：逆定理的核心应用场景 1.几何应用：判断三角形形状、验证直角、构造直角三角形、求四边形面积（分割为直角三角形）。 2.实际应用：建筑质检（判断零件是否为直角）、航海定位（判断方向垂直关系）、测量距离（构造直角三角形建模）。 【基础必考题型】 【题型1】直接用逆定理判断三角形形状（数字验证型） 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理定义； 最长边的识别与平方关系验证。 2.解题方法技巧: 第一步找出三边长中的最长边（设为）； 计算与的值，对比是否相等； 若相等则为直角三角形，否则为非直角三角形。 【例题1】.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【变式题1-1】.下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（   ） A．，， B．3，5，4 C．1，2， D．5，12，13 【变式题1-2】.阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 【变式题1-3】.使用相同长度的火柴搭成如图所示的三角形，根据各边火柴的数量可知此三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【题型2】勾股数的识别与验证（基础辨析） 1.核心知识点: 勾股数的定义（正整数+平方关系）； 勾股数的性质（扩大倍数仍为勾股数）。 2.解题方法技巧: 先判断是否为正整数，再验证平方关系； 对疑似勾股数，可先化简（如缩小相同倍数）再验证； 举例：判断6、8、10是否为勾股数，缩小2倍为3、4、5，满足关系故是。 【例题2】.下列各组数是勾股数的为（　　　） A． B． C． D． 【变式题2-1】.勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解通常叫作勾股数．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C． D． 【变式题2-2】.将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 【变式题2-3】.勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 【题型3】网格中的直角三角形判定（数形结合） 1.核心知识点: 网格中边长的计算（勾股定理）； 勾股定理的逆定理应用。 2.解题方法技巧: 数网格边长，用勾股定理求目标三角形三边长度； 验证三边平方关系（如网格中三边平方为5、5、10，满足，故为直角三角形）； 可通过连接辅助线构造三角形，再用逆定理判定。 【例题3】.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【变式题3-1】.如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【变式题3-2】.如图，在的正方形网格中， ． 【变式题3-3】.图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点． 仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法： (1)在图①中，画出以线段为腰的等腰锐角． (2)在图②中，画出以线段为腰的等腰直角． (3)在图③中，画出以线段为腰的等腰钝角． 【培优高频题型】 【题型4】四边形中逆定理的应用（面积计算） 1.核心知识点: 勾股定理的逆定理（判定直角三角形）； 四边形面积的分割计算（分割为直角三角形）。 2.解题方法技巧: 连接四边形对角线，将其分割为两个三角形； 用逆定理判断其中是否有直角三角形； 分别计算两个三角形面积，求和得到四边形面积。 【例题4】.（1）如图1，，，，求的面积． （2）如图2，，，，求的面积． 【变式题4-1】.（1）如果等腰直角三角形斜边长是6，那么面积是______； （2）如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【变式题4-2】.在中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知，则的面积是_________； (2)如图2，已知，求的面积； 【变式题4-3】.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【题型5】折叠问题中逆定理的应用（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）； 勾股定理的逆定理（验证直角）。 2.解题方法技巧: 根据折叠性质找出相等线段，设未知数表示未知边长； 对折叠后形成的新三角形，验证三边平方关系； 若满足逆定理则为直角三角形，进而利用直角条件列方程求解。 【例题5】.如图，在直角梯形中，，，点F是边上一点，将该直角梯形纸片沿折叠，点C落在点E，且直线恰好经过点D，若，，则折痕的长为 ． ∵ ，， 【变式题5-1】.如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【变式题5-2】.如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【变式题5-3】.如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【题型6】实际情境建模（直角验证与测量） 1.核心知识点: 实际问题的数学建模（构造三角形）； 勾股定理的逆定理（判定直角）。 2.解题方法技巧: 提取实际情境中的三边长数据（如零件三边、航海距离）； 构造三角形模型，验证是否为直角三角形； 结合实际需求判断结果（如零件是否合格、路径是否垂直）。 【例题6】.如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【变式题6-1】.已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【变式题6-2】.如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【变式题6-3】.为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股数的规律探究（素养导向） 1.核心知识点: 勾股数的定义； 归纳推理能力（寻找勾股数规律）。 2.解题方法技巧: 分析已知勾股数组的数字特征（如3、4、5；5、12、13）； 总结规律（如奇数开头的勾股数，后两数相差1）； 用逆定理验证规律的正确性，并用含n的代数式表示规律。 【例题7】.已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数：当为奇数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ，____，____；当为偶数时，如 ，，； ，，； ，，； ，，， ， ____，____； (2)若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【变式题7-1】.我们在学习勾股定理后知道“能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数．”例如：3，4，5，因为，所以3，4，5是一组勾股数．若规定：一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“超越数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后所得的差再除以81所得的商记为．例如：当时，，． (1)①15，8，17 ________一组勾股数（填是或不是）；②________； (2)已知，为“超越数”，其中，（，，，且，，，为整数），且能被3整除，．是否存在整数使，，成勾股数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题7-2】.已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式题7-3】.已知． (1)当时，则以a，b，c的值为三边长的三角形面积为______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【题型8】新定义问题（垂美四边形） 1.核心知识点: 新定义理解（对角线互相垂直的四边形为垂美四边形）； 勾股定理的逆定理（辅助验证垂直）。 2.解题方法技巧: 解读新定义本质（对角线垂直→分割为四个直角三角形）； 利用勾股定理表示各边平方关系（如垂美四边形中）； 结合逆定理验证对角线是否垂直，进而求解边长或面积。 【例题8】.阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离 ，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【变式题8-1】.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以为边构造三角形，利用三角形中 ▲ 进行比较． 问题思考：以为边构造的三角形为 ▇ 三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：_______________________________； “▇”处空缺的内容：____________________________； (2)请补全材料中“……”处的解答过程； (3)直接写出与之间的大小关系． 【变式题8-2】.定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【变式题8-3】.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图，在邻余四边形中，，是钝角，，则 ． (2)如图，在中，，，垂直平分交于点E，垂足为D，，，F为上一点，求证：四边形是邻余四边形． (3)如图1，图2，在邻余四边形中，，是钝角，E为B中点，， ①如图1，当时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论． ②如图2，当，时，直接写出CD的长． 易错点 1.应用逆定理时未先确定最长边，直接验证平方关系导致错误； 2.识别勾股数时忽略“正整数”条件，将非整数组合误判为勾股数； 3.含参数的直角三角形判定中，遗漏“参数为最长边”的情况，导致漏解； 4.实际建模时，未能准确提取三边长数据，构造三角形错误。 重点 1.熟练掌握勾股定理逆定理的定义和判定步骤，能快速判断三角形是否为直角三角形； 2.识别常见勾股数及规律，能灵活运用勾股数解决问题； 3.学会将实际问题、四边形、折叠图形转化为三角形模型，应用逆定理求解； 4.掌握分类讨论思想，处理不确定最长边的直角三角形判定问题。 难点 1.实际问题的数学建模（从复杂情境中提取三边关系，构造三角形）； 2.含参数或分类讨论的直角三角形判定，避免漏解； 3.新定义问题的理解与转化（如垂美四边形），结合逆定理综合应用； 4.勾股数规律的探究与验证，培养归纳推理素养。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．7 B． C． D． 5．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 7．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 8．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 9．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 10．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 三、解答题 11．第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 12．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，，均在小正方形的顶点上． (1)分别求出线段，的长度． (2)在图中画出一条线段，使得．以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 13．如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 14．如图，有一块凹四边形的绿地， ，，，，，求这块绿地的面积． 15．已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状．阅读下列解题过程： 解：， ，    第一步 ，                      第二步 为直角三角形．              第三步 (1)上述解题过程，从第__________步开始出现错误． (2)写出正确的解题过程． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $