第一章一元二次方程 期末复习 巩固练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第一章一元二次方程 期末复习 巩固练习2025-2026学年 苏科版九年级上 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解方程x2﹣8x＝﹣1，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝17 2．已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6 4．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 5．用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x+m）2＝3，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 6．下列一元二次方程，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣x﹣2＝0 7．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（　　） A．﹣2022 B．2022 C．0 D．4044 8．对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 9．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9 10．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，+c的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 二．填空题（共4小题） 11．关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根，则实数t的值为 　 　 ． 12．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则该包装盒图中x的值为 　 　 cm． 13．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，根据题意可求得增加的行数为 　 　 ． 14．如图，矩形ABOC的顶点在坐标原点，顶点B，C分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数为常数，k＞0，x＞0）的图象上，AC＝1，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′．若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．用适当的方法解下列方程． （1）（2x+3）2﹣16＝0； （2）（2x+1）2＝3（2x+1）； （3）x2﹣2x﹣5＝0； （4）x2﹣6x﹣27＝0． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 17．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 18．阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0如果我们把x2看成一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝﹣3，x4＝3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0．且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为　 　 ； （2）利用上述方法求下列方程中x2+y2的值：（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5＝0； （3）拓展应用：已知实数a，b满足2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且|a|≠|b|直接写出a4+b4的值　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B C C A D C 1．用配方法解方程x2﹣8x＝﹣1，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝17 【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣1， ∴x2﹣8x+16＝﹣1+16， ∴（x﹣4）2＝15， 即用配方法解方程x2﹣8x＝﹣1，变形后的结果正确的是（x﹣4）2＝15， 故选：C． 2．已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1， 所以1+m+3＝0 解得m＝﹣4． 故选：B． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a， ∵x1＝﹣1， ∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a， ∴a＝3， ∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32 ＝3﹣1﹣9 ＝﹣7． 故选：B． 4．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（x+1）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了7人， ∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512． 故选：D． 5．用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x+m）2＝3，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1， 则x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， 又∵（x+m）2＝3， ∴m＝﹣2， 故选：B． 6．下列一元二次方程，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣x﹣2＝0 【解答】解：A、x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、2x2﹣x+1＝0， ∵a＝2，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝1﹣8＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、x2﹣2x+1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、x2﹣x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， 故选：C． 7．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（　　） A．﹣2022 B．2022 C．0 D．4044 【解答】解：由条件可知m2+3m﹣2023＝0， ∴m2+3m＝2023， ∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2023m+2023 ＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2023m+2023 ＝2023m﹣2023﹣2023m+2023 ＝0． 故选：C． 8．对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0， ∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9 【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0， 解得：n＝8， 当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， ∵2+4＞4， ∴n＝8符合题意； 当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0， 解得：n＝9， 当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∵3+3＝6＞4， ∴n＝9符合题意． ∴n的值为8或9． 故选：D． 10．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，+c的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0， ∴1﹣2a+ac＝0， ∵a≠0， ∴+c＝2． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 11．关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根，则实数t的值为 t＝1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即22﹣4×1×t＝0， 解得t＝1， 故答案为：t＝1． 12．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则该包装盒图中x的值为 　4或6　 cm． 【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为： cm， ∴15x（10﹣x）＝360． ∴x2﹣10x+24＝0． ∴x＝4或x＝6． 故答案为：4或6． 13．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，根据题意可求得增加的行数为 　3　 ． 【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x列， 根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51， 整理，得：x2+14x﹣51＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣17（舍）， 即：增加了3行3列． 故答案为：3． 14．如图，矩形ABOC的顶点在坐标原点，顶点B，C分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数为常数，k＞0，x＞0）的图象上，AC＝1，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′．若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 　　 ． 【解答】解：∵顶点A在反比例函数为常数，k＞0，x＞0）的图象上，AC＝1， ∴A（1，k）， 则OB＝1，OC＝k， ∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′， ∴O′C′＝k，B′O′＝1， ∴O′（1+k，k﹣1）， ∵A，O′在此反比例函数图象上， ∴（k+1）（k﹣1）＝k， ∴k2﹣k﹣1＝0， ∴k＝＝， ∵k＞0， ∴负值舍去， ∴k＝， 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 15．用适当的方法解下列方程． （1）（2x+3）2﹣16＝0； （2）（2x+1）2＝3（2x+1）； （3）x2﹣2x﹣5＝0； （4）x2﹣6x﹣27＝0． 【解答】（1）解：（2x+3）2﹣16＝0， （2x+3+4）（2x+3﹣4）＝0， 2x+3+4＝0或2x+3﹣4＝0， 解得：； （2）解；（2x+1）2＝3（2x+1）， 原方程可化为：（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1﹣3）＝0， 2x+1﹣3＝0或2x+1＝0， 解得：； （3）解；x2﹣2x﹣5＝0， 原方程可化为：x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6， ， 解得：； （4）解：x2﹣6x﹣27＝0， （x+3）（x﹣9）＝0， x+3＝0或x﹣9＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝9． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【解答】（1）证明：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac可得： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2， ∵12m2≥0， ∴4+12m2≥4＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数关系可知，α+β＝2，α•β＝﹣3m2， ∵α+2β＝5， ∴α＝5﹣2β， ∴5﹣2β+β＝2， 解得：β＝3，α＝﹣1， ∴﹣3m2＝﹣1×3＝﹣3，即m＝±1． 17．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米， 根据题意得：30x＝12（x+120）， 解得：x＝80． 答：原计划每天摊铺沥青80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米， 根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2×， 整理得：y2+3y﹣＝0， 解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）． 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 18．阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0如果我们把x2看成一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝﹣3，x4＝3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0．且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程x4﹣5x2+6＝0的解为　，，，　 ； （2）利用上述方法求下列方程中x2+y2的值：（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5＝0； （3）拓展应用：已知实数a，b满足2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且|a|≠|b|直接写出a4+b4的值　　 ． 【解答】解：（1）令y＝x2，则y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）令x2+y2＝z，则z2﹣4z﹣5＝0， ∴（z﹣5）（z+1）＝0， ∴z1＝5，z2＝﹣1， ∴x2+y2＝5； （3）由条件可知a2≠b2， 令a2＝m，b2＝n， 则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/11 11:46:39；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $