精品解析：四川省绵阳南山中学2026届高三第五次教学质量检测数学试题

绵阳南山中学高2023级高三第五次教学质量检测 数学试题 命题人：幸济蒸 审题人：黄磊 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】集合， 因为，所以. 故选：C. 2. i为复数单位，复数；则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以. 故选：B. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再求即可. 【详解】，，若，则， 解得 ，则. 故选：A. 4. 已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. （且） D. 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC选项直接用特殊值验证可得，对D由不等式性质及对数函数性质可得结果. 【详解】对于A：取，显然有，所以A不正确； 对于B：取，显然有，所以B不正确； 对于C：取，显然有，所以C不正确； 对于D：充分性：因为，所以，再由函数是单调递增函数，所以. 必要性：由且函数是单调递增函数，所以，，即.故D正确. 故选：D. 5. 等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列的前n项和为， 所以，则， 即， 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件利用诱导公式求得，再根据诱导公式，二倍角余弦公式，商数关系化简，得解. 【详解】由，得，故. 所以 . 故选：A. 7. 已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用极化恒等式可得，再利用垂径定理可得，最后可求解. 【详解】 圆C：，半径，取 中点M，则 ， 记，， 所以， 在中，由勾股定理，， 由极化恒等式，， 代入消元得：. 故选：B 8. 已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】记，由，可知只要时恒成立即可，从而将问题转化为在恒成立， 令，结合导数求出 的最值即可求解. 【详解】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为 ，故，经验证，满足题意. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，，，则 B. 若 ，， ，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误． 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，可得A正确； 对B：若 ，， ，则 或异面，故B错误； 对C：因为垂直于同一条直线的平面互相平行，故C正确； 对D：因为，，，所以，又，所以.故D正确. 故选：ACD 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. 在区间恰有一个零点 C. D. 在区间上有4个极值点. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象的点代入计算得出判断C；确定最小正周期，从而求得，判断A；根据，可判断的零点个数判断B；根据，可判断函数的极值点判断D. 【详解】由图像可知：，所以， 又因为，所以，故C选项错误； 又，所以， 因为属于单调递减区间，所以，所以， 因为的最小正周期，， 所以，故， 所以，故A正确； 所以， 当时，所以， 所以在区间恰有一个零点，故B正确； 因为，， 所以在区间上有3个极值点.，故D错误. 故选：AB. 11. 函数的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A，B，C是双曲线H：上三个不同的点，则（ ） A. 双曲线H的离心率为2 B. 直线与坐标轴交于M，N，与H交于P，Q，则 C. 的垂心（三高线的交点）在H上 D. 若 是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在 的外接圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得双曲线为等轴双曲线，得解；对B，分别求出线段和线段的中点，由中点重合得解；对C，求出 ，边上的高所在直线方程，进而求得 的垂心坐标，判断；对D，由选项C，求得点的坐标，设 的外接圆方程为，代入得，进而判断点的横坐标满足上面方程，得解. 【详解】对于A，双曲线的两条渐近线为轴，轴，它们的夹角为90°，故为等轴双曲线，离心率为，选项A错误； 对于B，设：，则，，线段的中点坐标为. 将直线，代入有. 由韦达定理，，线段的中点为. 故线段与中点重合，所以，故B正确； 对于C，设，，，则 斜率， 故 边上的高所在直线方程为， 同理，边上的高所在直线方程为. 解得 的垂心坐标为，故垂心也在曲线上，故C正确； 对于D，等边三角形的垂心即为其中心，由前述可知，所以，且点在曲线上， 设 的外接圆方程为，代入得 这是一个四次方程，，，，是它的四个根， 则， 可得，即Q的横坐标，故说明点Q在圆上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求斜率，再根据直线的点斜式方程得直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为：， 化简得：. 故答案为： 13. 已知函数为奇函数，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】由题可得的定义域为, 由于函数为奇函数，所以， 即, 则，解得：， 故答案为： 14. 已知正四棱锥的体积为分别是棱，上的点，且满足，，过作平面与线段， 分别交于，四棱锥的体积为，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用三棱锥体积比例的性质得到，再利用基本不等式可得答案. 【详解】设，， 先将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥和 ， 设点到平面 的距离为，则点到平面 的距离为， 因为 ， ， 所以， 同理可得，，所以， 再将正四棱锥拆为两个体积相等的三棱锥和， 设点到平面 的距离为，则点到平面 的距离为， 因为 ， ， 所以， 同理可得，，所以， 由得，当且仅当等号成立. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若， 的面积为1，求边的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合两角和差正弦公式化简即可求解； （2）由三角形面积公式可得，由余弦定理化简即可求解. 【小问1详解】 中， ，所以 所以 又 ，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理， 将，代入解得 ， 所以. 16. 已知函数（，a为常数） （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】（1）单减区间为，单增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区间. （2）对导数的根进行分类讨论，分析不同取值下导数的符号变化，确定为极大值点时的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为，，所以 ， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. 【小问2详解】 ， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当 时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 17. 在三棱锥 中，， ，为边 的中点， ，且平面. （1）在直线 上是否存在一点M，使得直线 平面 ?若存在，指出M点的位置，若不存在，请说明理由. （2）若平面 平面 . ①求证： ； ②求二面角 的大小. 【答案】（1）存在，当 为 中点 （2）①因为平面 平面 ，平面 平面 ， 过作 交于H， 因为 平面 ，所以 平面 ， 且平面 ，可得 ， 又因为平面，平面，则 ， 且 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ； ② 【解析】 【分析】（1）取 为 中点，可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）①由面面垂直的判定定理可得 平面 ，即可得 ， ，进而可证 平面 ，即可得结果；②建系标点，分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 存在，当 为 中点时 平面 ， 当 为 中点时，连接 ， 因为为 中点，则 ， 且 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 【小问2详解】 ①略 ②以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建空间直角坐标系 ， 由题意可得：，， 则 ， ， ， ，， 可得 ， ， ， 设平面 的法向量为，则， 令，则 ，可得 ； 设平面 的法向量为，则， 令，则 ，可得 ； 则， 设二面角 的平面角为 ， 由图可知 ，则，可得， 所以二面角 的大小为. 18. 已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线 上 （1）求的标准方程； （2）过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； （3）P，Q为曲线上两个动点，且平分 ，证明：直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1） （2） （3） 设，， 则，，， 且 同理可得， 由题意可得：，即， 两边同时减2得，即，故P，Q和三点共线， 所以直线必过定点. 【解析】 【分析】（1）设直线与椭圆的交点为，根据题意利用点差法可得，进而可得以及椭圆方程； （2）设，直线 的方程为 ，联立方程结合韦达定理可得，进而分析求解； （3）设，，根据角平分线可得，整理可得，即可得定点. 【小问1详解】 由题意可知：直线：，即，斜率， 设直线与椭圆的交点为， 则，，即， 因为M，N在椭圆上，则， 两式相减得，整理得， 即，可得， 且 ，即，解得，， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 由题意可知：直线 与椭圆必相交，且， 设，，，， 设，直线 的方程为 ，其中， 将直线与椭圆方程联立，消去x得， 由韦达定理得：，， 则，可得， 因为，则，可得， 且，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数及定点. （1）设，，过A，B作曲线的切线，两切线交点为P，求的值（用，表示）； （2）数列满足 ，，以为曲线上点的横坐标，得到点列，，曲线在和处切线的交点记为. ①若，求的最小值； ②若，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①3；②8. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线 方程及P点坐标，进而可求的值； （2）①先由（1）的结果可得，再令 ，，从而可得，结合题中条件可得的最小值；②将函数看成抛物线的一部分，再用抛物线的定义可得，从而，再通过求和及适当放缩可得最小值. 【小问1详解】 由函数，得，所以函数在A处切线方程为，即. 同理，在B处切线方程为. 联立与，解得，所以两条切线的交点为. 从而. 【小问2详解】 ①因为曲线在和处切线的交点为，由（1）结果可得，且. 所以 设 ，由，，所以，. 设，则，即. 又，所以，即. 所以，又因为. 所以，，. 故的最小值为3. ②注意到F恰为的焦点，曲线为该抛物线的上半部分，由抛物线的定义得. 所以，又，，所以， 故， 因为，故为单调递增数列，当 时， 所以由，得. 故的最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2023级高三第五次教学质量检测 数学试题 命题人：幸济蒸 审题人：黄磊 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. i为复数单位，复数；则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. （且） D. 5. 等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同直线，， ，是三个不同的平面，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，，，则 B. 若 ，， ，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. 在区间恰有一个零点 C. D. 在区间上有4个极值点. 11. 函数的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A，B，C是双曲线H：上三个不同的点，则（ ） A. 双曲线H的离心率为2 B. 直线与坐标轴交于M，N，与H交于P，Q，则 C. 的垂心（三高线的交点）在H上 D. 若是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在的外接圆上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为_____. 13. 已知函数为奇函数，则实数______. 14. 已知正四棱锥的体积为分别是棱，上的点，且满足，，过作平面与线段， 分别交于，四棱锥的体积为，则的最小值为____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为1，求边的值. 16. 已知函数（，a为常数） （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求a的取值范围 17. 在三棱锥 中，， ，为边的中点， ，且平面. （1）在直线 上是否存在一点M，使得直线 平面 ?若存在，指出M点的位置，若不存在，请说明理由. （2）若平面 平面 . ①求证： ； ②求二面角 的大小. 18. 已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线 上 （1）求的标准方程； （2）过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； （3）P，Q为曲线上两个动点，且平分 ，证明：直线过定点，并求出该定点. 19. 已知函数及定点. （1）设，，过A，B作曲线的切线，两切线交点为P，求的值（用，表示）； （2）数列满足 ，，以为曲线上点的横坐标，得到点列，，曲线在和处切线的交点记为. ①若，求的最小值； ②若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $