函数的单调性 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的单调性，通过气温变化曲线、股价波动图等生活场景PPT导入，结合初中函数图像知识，以阶梯式问题单搭建从观察图像到特殊值验证再到定义书写的学习支架，衔接直观感知与抽象概念。 资料特色在于具象化教学适配学情，学生动手绘制图像、小组验证单调性，培养数学抽象与直观想象素养，“五步证明法”归纳及易错案例预判助力掌握定义证明，分层作业兼顾基础与提升，帮助学生突破抽象难点，教师可直接应用分层教学与核心素养培养策略。

教学设计 课题名称 函数的单调性 学科 数学 年级/班级 高一 教材版本 人教A版2019 课时 2 授课教师 一、教材分析 函数的单调性是函数的基本性质之一，它刻画了函数的增减变化规律，因为在现实世界的运动变化中，增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法；另外，方程、不等式等问题的求解，也可以利用函数的单调性，因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用。 函数的单调性是函数的“局部”性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质；通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性。 二、学情分析 该班学生整体学习能力偏弱，具体表现为自主学习意识不足，课前预习、课后复习多需教师明确指令与督促，难以主动梳理知识；知识应用与迁移能力较弱，对已学基础知识点能简单记忆，但面对变式题目或实际问题时，无法灵活关联、举一反三。 认知上，学生更依赖直观、具象的学习素材，如生活案例、图片视频等，对抽象概念和复杂逻辑推导接受较慢；课堂上注意力易分散，持续思考能力有限，需高频互动或趣味环节维持参与度。兴趣点集中在动手操作、简单竞赛等低难度且有即时反馈的活动中，而学习困难主要是难以理解抽象内容、不会拆解复杂任务，遇到稍难问题易产生畏难情绪，需教师将知识拆解为小步骤，逐步引导并及时给予鼓励。 三、教学目标 1：通过学习函数的单调性，培养学生观察、分析、归纳概括的思维能力。 2：理解函数单调性的定义；能根据函数图像写出单调区间；能利用定义证明函数的单调性。 3：通过对函数单调性的学习，培养学生善于归纳总结、严谨论证的良好思维品质。 核心素养目标：学生通过对概念的理解，从图像中抽象出单调性特征，这一过程培养了学生数学抽象的核心素养；利用数形结合，分析函数的单调性，培养了学生直观想象的素养。 四、教学重难点 · 教学重点：1.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性；2.能够利用定义或图象求函数的单调区间及解决有关问题。 · 教学难点：会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性。 五、 教学准备 · 教师准备： 1. 教学工具：制作含“气温变化曲线”“股价波动图”等生活场景的PPT，直观呈现“增减”现象；准备坐标纸、函数图像卡片（如一次函数y=2x、二次函数y=x²），供学生动手操作；2. 学情适配：针对学生学习能力偏弱的特点，设计“阶梯式问题单”（从“观察图像找增减区间”到“用特殊值验证”，再到“尝试写定义”），降低思考门槛；准备易错案例（如混淆“区间端点”“单调区间写法”），提前预判难点。 · 学生准备： 1. 基础回顾：提前复习“函数的定义”“函数图像的画法”，完成教师发放的“课前小任务”（如在坐标纸上画出y= -x+1的图像，标注3个点的坐标），避免课堂因基础薄弱掉队；2. 工具携带：准备笔记本、坐标纸、铅笔和直尺，便于课堂上跟随教师步骤画图、标注，通过动手强化对“增减”的感知。 六、 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 时间安排 （一） 情境导入 激发兴趣 观察下面函数的图象，你能说说随着自变量x的增大，函数值y有怎样的变化吗？ 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。 思考并从左到右看，从升降的角度回答函数图像的特征。 让学生体会数学来源于生活，从学生熟悉的函数图像出发去研究函数的性质顺应学生的发展规律。 5分钟 （二） 探究新知 合作学习 下面我们将以f(x)=为例，探究函数的单调性。 ①当x0时，即f(x)随着x的增大而增大。符号语言：任意取,∈[0,+∞)，当＜，有f()<f()。这时我们就说函数f(x)=在区间[0,+∞)上是单调递增的。②当x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小。符号语言：任意取,∈(−∞,0]，当，有f()>f()。 这时我们就说函数f(x)=在区间(−∞,0]上是单调递减的。 学生先在坐标纸上绘制的图像，标注x=-3至3对应的函数值，观察y轴左右两侧图像的变化趋势，用通俗语言描述x增大时f(x)的“增减”情况。接着以小组为单位，分别在[0,+∞)和(-∞,0]区间内选两组、，计算对应、，验证“”与函数值大小的关系并记录。之后独立用文字概括区间内函数的增减特点，小组交流修正表述，向“单调递增”“单调递减”规范说法靠拢。最后结合教师给出的[0,+∞)区间符号语言，理解“任意取”的含义，再模仿写出(-∞,0]区间的符号表述，深化对单调性定义的认知。 通过聚焦研究帮助学生逐步勾勒出函数单调性的符号语言，让学生充分参与到概念的建构过程中，切身体验数学概念如何从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密的过程，让他们充分感悟到数学概念符号化的建构原则，通过逐层分解、逐步抽象的微观建构，真正提升学生在建构中的直观想象、数学抽象等核心素养。 15分钟 （三） 典例精析 巩固提升 例1：说说函数f(x)= 具有怎样的单调性？并说出单调区间 注意:一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接。 例2 求证:函数f(x)= 在区间(0,+)上单调递减. 提炼文字归纳：用定义证明函数单调性的步骤:（提醒学生笔记） （1） 取值，任取,∈某个区间，且; （2）作差： f()－f() ; （3）变形： ①分解因式, 得出因式乘积； ②配成同号的式子和； （4）判断 f()－f() 的符号； （5）下结论。 学生先画图分析f(x)=的单调性，判断x>0和x<0时的增减性，尝试写单调区间，小组互查是否误用“∪”并讨论原因；接着自主尝试证明f(x)=在(0,+∞)上单调递减，对照教师展示的典型案例分析步骤问题，再依据“定义证明五步”修正过程，同桌互查规范度。 通过画图、互查纠正单调区间表述误区，帮助学生明确“单调性与区间相关”，夯实概念细节；结合自主证明、案例分析与步骤归纳，让学生掌握定义证明的完整流程，适配基础薄弱特点，同时通过分式变形训练，提升知识应用能力，缓解解题畏难情绪。 18分钟 （四） 课堂小结 体系构建 通过本节课的学习，同学们收获了什么？学生畅所欲言 教师展示本节课的学习内容要点： 1、单调函数的图像特征： 2、函数单调性的定义： 3、证明函数单调性的步骤： （1）取值，任取,∈某个区间，且; （2）作差： f()－f() ; （3）变形： ①分解因式, 得出因式乘积； ②配成同号的式子和； （4）判断 f()－f() 的符号； （5）下结论。 学生自由发言分享本节课收获，教师记录并肯定；随后结合教师展示的学习要点，学生对照补充，针对未提及的“单调函数图像特征”等内容，通过教师引导关联实例完善，最终共同梳理“图像特征→定义→证明步骤”的知识脉络。 通过学生自主分享，掌握其知识掌握情况，增强基础薄弱学生的学习成就感；教师引导补充要点，避免核心内容遗漏，同时强化知识间的逻辑关联，帮助学生构建系统知识框架，为后续学习铺垫。 7分钟 七、 板书设计 函数单调性定义： 设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I， 如果∀， ∈D， 当<，都有f () < f ()，那么就称f (x)在区间D上单调递增；D就叫做函数f (x)的单调递增区间，简称增区间。 如果∀，∈D， 当<，都有f () > f ()，那么就称f (x)在区间D上单调递减；D就叫做函数f (x)的单调递减区间，简称减区间。 特别的： 函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数。 八、 作业设计 （一）基础必做题（全班掌握，强化核心） 1. 观察函数y= -x²+2x的图像，写出它的单调增区间和减区间（提示：先找顶点坐标）。 2. 证明：函数f(x)=2x-1在R上是增函数（严格按“设→算→判→结”四步写，标注每一步目的）。 （二）提升选做题（学有余力学生尝试，不强制） 1. 已知函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，比较f(3)与f(π)的大小，并说明理由。 2. 思考：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的单调区间与a的符号、顶点横坐标有什么关系？（用自己的话写在笔记本上，下次课分享） （三）分层说明 必做题聚焦“图像观察”和“定义应用”，匹配学生基础，确保80%以上学生能独立完成；选做题不设标准答案，鼓励学生结合课堂内容自主探索，避免因难度过高打击信心。 九、 教学反思 （一）亮点与成效 1. 用“生活实例+动手画图”切入，有效降低了抽象概念的理解难度——课堂上85%的学生能准确指出y=x²的增减区间，比预设效果更好，说明具象化教学适配学生学习能力偏弱的特点。 2. 板书采用“左感知-中定义-右提醒”结构，重点突出且逻辑清晰，课后抽查发现学生对“证明四步骤”的记忆更牢固，减少了“步骤混乱”的问题。 （二）不足与改进 1. 自主探索环节时间把控不足：让学生尝试“用文字描述单调性”时，部分学生卡顿较久，导致后续“定义深化”环节略显仓促，下次可提前给出“填空式引导”（如“当x变大时，y______，这样的函数叫______”），缩短思考耗时。 2. 个别学生参与度低：课堂互动多集中在中等以上学生，少数基础薄弱学生仍处于“被动倾听”状态，后续可设计“同桌互查任务”（如让同桌互相检查对方画图是否标注关键点），通过低压力互动带动全员参与。 （三）未来教学启示 针对学生学习能力偏弱的情况，后续教学需坚持“小步骤、多反馈”原则——将复杂知识点拆分为“感知→模仿→应用”三阶，每一步都设计简单任务并及时点评，让学生在“小成功”中积累信心，逐步提升知识迁移能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $