寒假作业10 整式（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 整式 知识点1 单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 知识点2 多项式 1.定义：几个单项式的和叫作多项式． 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式． 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数． 知识点3 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 单项式的定义 1.下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 题型二 单项式的系数、次数 2.①单项式的系数是；②的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的系数是．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型三 判断多项式 3．在代数式；;，中，下列判断正确的是（  ） A．是单项式 B．是二次三项式 C．是多项式 D．是整式 题型四 判断多项式的项与次数 4．多项式的最高次项是 ． 题型五 求多项式的系数、次数求字母的值 5．已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则 ． 题型六 整式的判断 6．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 题型七 将多项式按某个字母的升幂或降幂排列 7．多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 题型八 整式中的规律探究 8．按一定规律排列的整式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 1．在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，x2，5x中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列说法中正确的有（　　） （1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （2）符号相反的数互为相反数； （3）正数、负数和零统称为有理数； （4）单项式和多项式统称为整式； （5）几个数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知单项式串：a0，a1x，，，…，，其中n，a0为非负整数，a1，a2，a3，…，an均为正整数．规定：M0＝a0，M1＝a1x，，，整式Mn的所有系数的和记作F（Mn）．如：因为M0＝a0，所以F（M0）＝a0；因为M1＝a1x，所以F（M1）＝a1；因为，所以F（M2）＝a2+a0，以下说法： ①若a0＝1，a1＝2，a2＝3，a3＝4，则F（M3）＝6； ②若F（M3）＝4，则所有满足条件的整式M3的和为6x3+10x； ③若n+F（Mn）＝6，则所有满足条件的整式Mn有9个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列代数式中整式的个数有（　　） 2a；；，，2（x2﹣4）． A．4 B．3 C．2 D．5 5．若×4x2y2＝﹣12x2y3+16x3y2，则代表的整式是（　　） A．3y+4x B．3y﹣4x C．﹣3y+4x D．﹣3y﹣4x 6．下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 7．若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N（　　） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 8．已知整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0．下列说法： ①若N＝x+2，则M＝x2； ②若a0，a1＝2，…，an互不相等，且M与N次数相同，则满足条件的整式N只有1个； ③若M为二次三项式，N为二次式，满足恒大于0的整式M﹣N共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．请写出一个整式，使其同时满足以下条件： ①该整式中只含有字母x； ②该整式的次数为5，项数为3； ③该整式不含二次项： 　 ． 10．把千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d的四位整数记为，若千位与百位数之和等于常数k（k为正整数），十位与个位数字之和等于k﹣1（即a+b＝k，c+d＝k﹣1），那么，称这个四位整数为“k类递进数”，例如：3213是“5类递进数”，因为3+2＝5，1+3＝4，5﹣4＝1；5427不是“9类递进数”，因为5+4＝9，2+7＝9，9﹣9≠1． （1）写出最小的“3类递进数”是　 　 ，最大的“7类递进数”是　 　 ． （2）若一个“6类递进数”，且19（a，c≠0），求满足条件的所有“6类递进数”的个数，并把它们写出来． 11．已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值． 1．关于x的算式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”． （1）以下算式中，是“偶代数式”的有　 　 ，是“奇代数式”的有　 　 ；（将正确选项的序号填写在横线上） ①|x|+1；②x3+x；③2x2+4． （2）当x＝2时，﹣x3+x+1＝　 　 ，当x＝﹣2时，﹣x3+x+1＝　 　 ； （3）当x＝m（m为常数）时，x2+|x|+2＝7，则当x＝﹣m时，2x2+2|x|﹣1＝　 　 ； （4）若x＝2时，代数式ax3+bx+10的值为19，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值． （5）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和为　 　 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 整式 知识点1 单项式 1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0． 知识点2 多项式 1.定义：几个单项式的和叫作多项式． 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式． 3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数． 知识点3 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 单项式的定义 1.下列代数式：①；②m；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【答案】①②③⑦ 【解析】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 则是单项式的是①；②m；③；⑦， 故答案为：①②③⑦． 题型二 单项式的系数、次数 2.①单项式的系数是；②的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的系数是．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：①单项式的系数是，故此选项错误；②的次数是2、系数是1，故此选项错误； ③不是单项式，故此选项错误；④单项式的系数是，此选项正确， 故正确的有1个． 故选：B． 题型三 判断多项式 3．在代数式；;，中，下列判断正确的是（  ） A．是单项式 B．是二次三项式 C．是多项式 D．是整式 【答案】D 【解析】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式； 选项A、B、C错误，选项D正确． 故选：D． 题型四 判断多项式的项与次数 4．多项式的最高次项是 ． 【答案】 【解析】解：， ∴多项式的最高次项是：， 故答案为：． 题型五 求多项式的系数、次数求字母的值 5．已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则 ． 【答案】 【解析】解：∵是关于的二次多项式， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六 整式的判断 6．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【解析】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 题型七 将多项式按某个字母的升幂或降幂排列 7．多项式3-2xy+6y-5-4y是按照(      ). A．按字母x升幂排列 B．按字母y升幂排列 C．按字母x降幂排列 D．按字母y降幂排列 【答案】A 【解析】多项式3-2xy+6y-5-4y中，x的次数依次为1,2,3,4，y的次数依次为1,1,2,1， 故选A. 题型八 整式中的规律探究 8．按一定规律排列的整式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵多项式的x项的系数依次为1、3、5，……，y项的次数依次为2、4、6，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 1．在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，，x2，5x中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】解：∵单项式有：﹣1，π，5x，多项式有：x2+5，﹣3x+2， ∴整式有：﹣1，π，5x，x2+5，﹣3x+2，共5个， 故选：C． 2．下列说法中正确的有（　　） （1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （2）符号相反的数互为相反数； （3）正数、负数和零统称为有理数； （4）单项式和多项式统称为整式； （5）几个数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，说法正确， （2）只有符号相反的数互为相反数，故原说法错误； （3）正有理数数、负有理数数和零统称为有理数，说法错误； （4）单项式和多项式统称为整式，正确； （5）几个数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数，因数中含有零没有考虑．故错误； 正确说法共计2个， 故选：B． 3．已知单项式串：a0，a1x，，，…，，其中n，a0为非负整数，a1，a2，a3，…，an均为正整数．规定：M0＝a0，M1＝a1x，，，整式Mn的所有系数的和记作F（Mn）．如：因为M0＝a0，所以F（M0）＝a0；因为M1＝a1x，所以F（M1）＝a1；因为，所以F（M2）＝a2+a0，以下说法： ①若a0＝1，a1＝2，a2＝3，a3＝4，则F（M3）＝6； ②若F（M3）＝4，则所有满足条件的整式M3的和为6x3+10x； ③若n+F（Mn）＝6，则所有满足条件的整式Mn有9个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：由题意知，． ∴F（M3）＝4+2＝6， ①正确，故符合要求； F（M3）＝4，， ∴a3+a1＝4， ∵a1，a3均为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴所有满足条件的整式M3的和为x3+3x+2x3+2x+3x3+x＝6x3+6x， ②错误，故不符合要求； ∵n+F（Mn）＝6， ∴当n＝2时，2+F（M2）＝6， ∴F（M2）＝4， ∵， ∴F（M2）＝a2+a0＝4， ∵ao为非负整数，a2为正整数， ∴或或或， ∴或M2＝3x2+1或M2＝2x2+2或， 当n＝3时，3+F（M3）＝6， ∴F（M3）＝3， ∵， ∴F（M3）＝a3+a1＝3， ∵a1，a3为正整数， ∴或， ∴或M3＝2x3+x， 当n＝4时，4+F（M4）＝6， ∴F（M4）＝2， ∵， ∴F（M4）＝a4+a2+a0＝2， ∵a0为非负整数，a2，a4为正整数， ∴， ∴； 当n＝5时，5+F（M5）＝6， ∴F（M5）＝1， ∵， ∴a5+a3+a1＝1， 此时不满足要求；所有满足条件的整式Mn有7个， ③错误，故不符合要求； 故选：B． 4．下列代数式中整式的个数有（　　） 2a；；，，2（x2﹣4）． A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【解析】解：∵单项式有：2a；多项式有：是多项式；既不是单项式也不是多项式， ∴2a，是整式，共4个， 故选：A． 5．若×4x2y2＝﹣12x2y3+16x3y2，则代表的整式是（　　） A．3y+4x B．3y﹣4x C．﹣3y+4x D．﹣3y﹣4x 【答案】C 【解析】解：由题意可得：所代表的整式是：（﹣12x2y3+16x3y2）÷（4x2y2）＝﹣3y+4x， 故选：C． 6．下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、，其中整式有（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】解：代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9是整式，共计6个，是分式． 故选：B． 7．若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N（　　） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 【答案】A 【解析】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N一定是关于x的（7+5）＝12次整式； 故选：A． 8．已知整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0．下列说法： ①若N＝x+2，则M＝x2； ②若a0，a1＝2，…，an互不相等，且M与N次数相同，则满足条件的整式N只有1个； ③若M为二次三项式，N为二次式，满足恒大于0的整式M﹣N共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：整式，，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0，则： ①当N＝x+2时，N由x1和两个x0项组成，即N＝x1+x0+x0． 只有对应的M系数需满足a0＝0（对应x0项）、a1＝0（另一x0项）、a2＝1（对应x1项）时．时M＝0+0•x+1•x2＝x2，故①正确． ②若a0到an互不相等且M与N次数相同，则M的次数n＝max{a0，a1，…，an}．由于an是正整数且互不相等，唯一可能的结构是a0，a1，…，an为0，1，…，n的排列，此时N＝xn+xn﹣1+⋯+x0，唯一确定．故②正确． ③M为二次三项式，即a0，a1，a2≥1且a2≥1．N为二次式要求max{a0，a1，a2}＝2．需M﹣N恒正： M＝1+2x+x2时，N＝x2+2x，M﹣N＝1＞0； M＝1+x+2x2时，N＝x2+2x，（恒正）； M＝2+x+2x2时，N＝2x2+x，M﹣N＝2＞0． 共3种情况，但题目称有2个，故③错误． 故选：C． 9．请写出一个整式，使其同时满足以下条件： ①该整式中只含有字母x； ②该整式的次数为5，项数为3； ③该整式不含二次项：x5+x+1（答案不唯一）　 ． 【答案】x5+x+1（答案不唯一） 【解析】解：这个整式可以是：x5+x+1． 故答案为：x5+x+1（答案不唯一）． 10．把千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d的四位整数记为，若千位与百位数之和等于常数k（k为正整数），十位与个位数字之和等于k﹣1（即a+b＝k，c+d＝k﹣1），那么，称这个四位整数为“k类递进数”，例如：3213是“5类递进数”，因为3+2＝5，1+3＝4，5﹣4＝1；5427不是“9类递进数”，因为5+4＝9，2+7＝9，9﹣9≠1． （1）写出最小的“3类递进数”是　1202　 ，最大的“7类递进数”是　7060　 ． （2）若一个“6类递进数”，且19（a，c≠0），求满足条件的所有“6类递进数”的个数，并把它们写出来． 【答案】（1）1202，7060；（2）3314，4223，5132，6041． 【解析】解：（1）最小的“3类递进数”是1202， ∵根据题意，此数为四位数，且k＝3， ∴a+b＝3，c+d＝2， ∵该数最小， ∴a＝1，b＝2，c＝0，d＝2， ∴最小的“3类递进数”是1202， 最大的“7类递进数”是7060， ∵根据题意，此数为四位数，且k＝7， ∴a+b＝7，c+d＝6， ∵该数最大， ∴a＝7，b＝0，c＝6，d＝0， ∴最小的“7类递进数”是7060； 故答案为：1202，7060． （2）①∵k＝6， ∴a+b＝6，c+d＝5， ∵19（a，c≠0）， ∵10a+b﹣10c﹣d＝19， ∴a﹣c＝2， ∴a≥2， 当a＝2时，b＝4， ∵19 ∴c＝0，d＝5（舍去）， 当a＝3时，b＝3， ∵19 ∴c＝1，d＝4， 当a＝4时，b＝2， ∵19 ∴c＝2，d＝3， 当a＝5时，b＝1， ∵19 ∴c＝3，d＝2， 当a＝6时，b＝0， ∵19 ∴c＝4，d＝1， ∴满足条件的所有“6类递进数”的个数有4个，分别是：3314，4223，5132，6041． 11．已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值． 【答案】n＝0． 【解析】解：|n﹣1|＝1，且n﹣2≠0， ∴n＝0， 1．关于x的算式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”． （1）以下算式中，是“偶代数式”的有　①③　 ，是“奇代数式”的有　②　 ；（将正确选项的序号填写在横线上） ①|x|+1；②x3+x；③2x2+4． （2）当x＝2时，﹣x3+x+1＝　﹣5　 ，当x＝﹣2时，﹣x3+x+1＝　7　 ； （3）当x＝m（m为常数）时，x2+|x|+2＝7，则当x＝﹣m时，2x2+2|x|﹣1＝　9　 ； （4）若x＝2时，代数式ax3+bx+10的值为19，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值． （5）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和为　69　 ． 【答案】（1）偶代数式有①③，奇代数式有②； （2）当x＝2时，值为﹣5；当x＝﹣2时，值为7； （3）9； （4）﹣6； （5）69． 【解析】解：（1）①|﹣m|+1＝|m|+1，值相等，故为偶代数式； ②（﹣m）3+（﹣m）＝﹣（m3+m），值互为相反数，故为奇代数式； ③2（﹣m）2+4＝2m2+4，值相等，故为偶代数式， 故答案为：①③，②； （2）当x＝2时，﹣23+2+1＝﹣8+2+1＝﹣5， 当x＝﹣2时，﹣（﹣2）3+（﹣2）+1＝8﹣2+1＝7， 故答案为：﹣5，7； （3）利用偶代数式性质，先求， 当x＝m时，x2+|x|的m2+|m|+2＝7，得m2+|m|＝5； 当x＝﹣m时，2x2+2|x|﹣1＝2（m2+|m|）﹣1＝2×5﹣1＝9， 故答案为：9； （4）利用奇代数式性质，先求， 当x＝2时，ax3+bx+10＝19，得ax3+bx＝9， 当x＝﹣2时，ax3+bx＝﹣（ax3+bx）＝﹣9， 故ax3+bx+3＝﹣9+3＝﹣6， 故答案为：﹣6； （5）将整式分为奇代数式部分（x5﹣x3+x）和偶代数式及常数项部分（x2+1）， 每对相反数x＝k与x＝﹣k（k≠0）的奇代数式部分和为0， 偶代数式及常数项部分和为2k2+2， 2×12+2＝4，2×22+2＝10，2×32+2＝20，2×42+2＝34， 总和为4+10+20+34＝68，加上x＝0时的值1， 总和为68+1＝69， 故答案为：69． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $