寒假作业11 整式的加减（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业寒假作业11 整式的加减 一、同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 二、合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 三、去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 四、整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断同类项 1.给下列各组中的两项，属于同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】解：A．中的次数是，的次数是；中的次数是，的次数是，相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符合题意； B．含有字母和，含有字母和，所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； C．含有字母和，含有字母、和，所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； D．与都含有字母和，且的次数都是，的次数也都是，是同类项，故本选项符合题意； 故选：D． 题型二 根据同类项的概念求字母的值 2.已知与是同类项，则的值为 ． 【答案】或． 【解析】解：∵与是同类项， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或． 题型三 合并同类项 3．先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 【答案】， 【解析】解：∵， ∴，， ∴，， ， 把，，代入． 题型四 去括号、添括号 4．去括号后应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 题型五 整式的加减运算 5．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【解析】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 题型六 整式的化简求值 6．已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型七 整式加减中的无关性问题 7．已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：因为，， 所以， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 题型八 整式加减中的不含某项问题 8．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 题型九 整式加减中的误看问题 9．小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 题型十 整式加减中的遮挡问题 10．某老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 【答案】(1)；(2)①；②3 【解析】（1）解：当“■”是“”时，该多项式为：， ∴． （2）解：设系数“■”的值为a，则 ， ①∵当x的值是时，这道题的值为， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为． ②∵这道题最后的结果是个常数， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为3． 题型十一 整式加减中的规律探索 11．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】(1)，；(2)，；(3)①，② 【解析】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 题型十二 整式加减中的新定义问题 12．文化情境·数学文化现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，化简“”，后得（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意得：“”来表示相当于的代数式， ， 故选：A． 题型十三 整式加减中的多结论问题 13．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作……下列说法中错误的个数是（   ） ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数m，使得是10的倍数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】解:∵，， ∴， ∴， ∴，故①错误； 当时， ，， ∵记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作…… ∴，故②错误； 当时，，， ， ， ∴存在正整数，使得是的倍数；故③错误． 综上，错误的说法有个， 故选：D． 题型十四 整式加减的应用 14．如图所示，某公司有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（、、三点共线），已知米，米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点 B．点 C．、之间 D．、之间 【答案】A 【解析】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和（米）， ④当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是，则（），所有人的路程的和是：， ⑤当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为，则（），则总路程为． ∴该停靠点的位置应设在点； 故选：A． 1．已知2b﹣a＜3，2a﹣b＜5，化简﹣|2b﹣a﹣7|﹣|b﹣2a+8|+|a+b﹣9|＝　﹣6　 ． 【答案】﹣6 【解析】解：由题意得：2b﹣a＜3①，2a﹣b＜5②， ①+②得：a+b＜8③， ∴2b﹣a﹣7﹣b+2a﹣8+9﹣a﹣b＝﹣6． 故填：﹣6． 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，且满足，则称这个四位数为“大吉数”．若是“大吉数”，则m＝　9　 .若一个“大吉数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的M的最大值是 　9832　 ． 【答案】9；9832 【解析】解：（1）∵是“大吉数”， ∴36+m4＝130， ∴m＝9； 故答案为：9． （2）∵是“大吉数”， ∴10a+b+10c+d＝130 ①， ∵一个“大吉数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除， ∴M＝100a+10b+c+100b+10c+d＝11（9a+10b+c）+（a+d），其中（a+d）能被11整除， ∵各数位上的数字互不相等， ∴a+d＝11， 当a＝9时，d＝2，据①得：b＝8，c＝3，此时自然数为9832； 当a＝8时，d＝3，据①得：b＝7，c＝4，此时自然数为8743； 当a＝7时，d＝4，据①得：b＝6，c＝5，此时自然数为7654； 当a＝6时，d＝5，据①得：b＝5，c＝6，此时自然数为6565（不符合题意，舍去）； 当a＝5时，d＝6，据①得：b＝4，c＝7，此时自然数为5476； 当a＝4时，d＝7，据①得：b＝3，c＝8，此时自然数为4387； 当a＝3时，d＝8，据①得：b＝2，c＝9，此时自然数为3298； ∵求M的最大值， ∴此时M为9832． 故答案为：9832． 3．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x，y＝1． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：4x2y﹣[6xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1＝4x2y﹣6xy+8xy﹣4+x2y+1＝5x2y+2xy﹣3， 当x，y＝1时，原式＝5×（）2×1+2×（）×1﹣3 4．由于看错了符号，某学生把一个代数式减去﹣3x2+3y2+4z2误认为加上﹣3x2+3y2+4z2，得出答案2x2﹣3y2﹣z2，你能求出正确的答案吗？（请写出过程） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设原来的整式为A， 则A+（﹣3x2+3y2+4z2）＝2x2﹣3y2﹣z2 ∴A＝5x2﹣6y2﹣5z2 ∴A﹣（﹣3x2+3y2+4z2）＝5x2﹣6y2﹣5z2﹣（﹣3x2+3y2+4z2） ＝5x2﹣6y2﹣5z2+3x2﹣3y2﹣4z2 ＝8x2﹣9y2﹣9z2． ∴原题的正确答案为8x2﹣9y2﹣9z2． 5．已知：|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）写出a＝　4　 ；b＝　9　 ；c＝　﹣8　 ． （2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：x甲，x乙，x丙，当t＞5时，求式子的值． （3）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0， ∴a﹣4＝0，2a+c＝0，b+c﹣1＝0， ∴a＝4，b＝9，c＝﹣8 （2）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t， ∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动 ∴4﹣x甲＝t，9﹣x乙＝2t，﹣8﹣x丙＝4t， ∴x甲＝4﹣t，x乙＝9﹣2t，x丙＝﹣8﹣4t， ∴x甲﹣x乙＝t﹣5，x丙﹣x甲＝﹣12﹣3t x丙﹣x乙＝﹣17﹣2t 当t＞5时， x甲﹣x乙＞0，x丙﹣x甲＝﹣12﹣3t＜﹣27，x丙﹣x乙＝﹣17﹣2t＜﹣27， ∴原式2 （3）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t， ∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动， ∴x甲﹣4＝t，x乙﹣9＝2t，x丙+8＝4t， ∴x甲＝4+t，x乙＝9+2t，x丙＝﹣8+4t， ∴x乙﹣x甲＝5+t，x乙﹣x丙＝17﹣2t 由题意可知：|x乙﹣x甲|＝|x乙﹣x丙|， ∴（5+t）2＝（17﹣2t）2， 解得：t＝4或t＝22， 6．已知三角形的第一边长为3a+2b，第二边比第一边短2a，第三条边比第二边的2倍还多a﹣b． （1）求第二条边和第三条边； （2）求这个三角形的周长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）第二条边长为3a+2b﹣2a＝a+2b， 第三条边长为2（a+2b）+（a﹣b）＝2a+4b+a﹣b＝3a+3b； （2）周长为3a+2b+a+2b+3a+3b＝7a+7b． 7．小天同学看到如下的阅读材料： 对于一个正数x，以下给出了判断正数x是否为7的倍数的一种方法：每次划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉这个数字的两倍相减得到它们的差，称为一次操作，以此类推，直到数变为100以内的数为止．若该数是7的倍数，则最初的数x就是7的倍数，否则，数x就不是7的倍数．以x＝266为例，经过第一次操作得到14，因为14是7的倍数，所以266是7的倍数．当数x的位数更多时，这种方法仍然适用． 小天尝试说明该方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析． （1）请你补全小天列出的表格： x x的表达式 第一次操作得到的差，记为M（x） 266 266＝10×26+6 M（266）＝26﹣2×6 875 875＝ 　10×87+5　 M（875）＝ 　87﹣2×5　 … … … （2）表示100a+10b+c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当是7的倍数时，也是7的倍数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）875＝10×87+5，M（875）＝87﹣2×5； （2）∵100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝10c， 又∵M（）2c， ∴2202c＝21（2c）＝21M（）， 因此，当M（）是7的倍数时，21M（）也是7的倍数，即2是7的倍数，此时也是7的倍数． 8．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：1×4﹣2×3＝﹣2． （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x|+（y﹣2）2＝0时，值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）原式＝5×8+6×2＝52 （2）由题意可知：x0，y﹣2＝0， ∴x，y＝2 ∴原式＝﹣2x2+y﹣3（x2+y）＝﹣2x2+y﹣3x2﹣3y＝﹣5x2﹣2y＝﹣54 9．【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝ x+5　 ； （2）若A＝4x2﹣5（2x﹣3），求关于x的方程B＝9的解； 【延伸】 （3）已知M＝x﹣2（m﹣4）x2+7，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，满足N＝3x+7，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据题目中整式处理器的处理方法可得：B＝（3﹣2）x+5＝x+5， 故答案为：x+5． （2）由题可知，A＝4x2﹣5（2x﹣3）＝4x2﹣10x+15， 可得B＝（4﹣10）x+15＝﹣6x+15， 又∵B＝9， ∴﹣6x+15＝9， 解得：x＝1， ∴关于x的方程B＝9的解为1． （3）由题可知，M＝x﹣2（m﹣4）x2+7经过处理器得到的整式N， 则N＝[﹣2（m﹣4）+1]x+7＝（﹣2m+9）x+7， 同时，N＝3x+7， ∴（﹣2m+9）x+7＝3x+7， 解得：﹣2m+6＝0， ∴m的值为3． 10．有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3） ＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣2y3， 当y＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）3＝2． 因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关． 11．某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元． 则a＝x（1+25%）；a＝y（1﹣25%）． ∴，． ∴， 故该商贩在这次买卖中赔了．赔了元． 12．某校初二年级有A、B、C三个课外活动小组，各组人数相等，但A中的女生比B中的女生多4名，B中的女生比C中的女生多1名．如果从A调10人去B中，再从B调10人去C中，最后从C调10人回A中，结果各组的女生人数都相等．已知从C调入A的学生中只有2名女生．问分别从A，B调出的人数中各有几名女生？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：我们先把B组女生人数设为x，则A组女生人数为x+4，C组女生人数为x﹣1， ∵女生最后人数相等， ∴经过调度之后，每个组的女生人数应为：x+x+4+x﹣1＝3x+3，x+1， ∴每组女生人数应为（x+1）人， 又∵C组调出2个女生， ∴B组应该调出x+1﹣（x﹣1﹣2）＝4个女生（其实就是C组缺多少个女生）， 而A组应该调出x+1﹣（x﹣4）＝5个女生（同上，其实就是B组缺了多少女生）． 检验一下，A组原有x+4个女生，调出5个，调入2个，还有x+1个女生 B组原有x个女生，调出4个，调入5个，还有x+1个女生 C组原有x﹣1个女生，调出2个，调入4个，还有x+1个女生． 答：A、B各调出5名和4名女生． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张； 第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）； 第二步时候：左边x﹣2，中间x+2，右边x； 第三步时候：左边x﹣2，中间x+3，右边x﹣1； 第四步开始时，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+2+1）﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5． 所以中间一堆牌此时有5张牌． 2．数学活动课“自然数被3整除的规律”的探究学习结束后，同学们梳理了如下的学习方法： 甲：我学会用“举例一一观察一猜想一一验证”的方法对“自然数被3整除的规律”进行探究：先列举一些简单的可以被3整除的数，如12，54，126，345，1200，⋯，观察这些数的规律，提出一个猜想，然后用一般性的式子去验证这个规律． 乙：我学会从推理的角度进行探究性的学习： 第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？ 比如：两位数，三位数 第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？ 先看两位数的情形： 要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从先凑出能被3整除的数9a，根据，可知a+b一定要被3整除； 类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律． （1）根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果； （2）若自然数能被11整除，求x的值． 【答案】（1）自然数能被11整除的规律是奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，探究过程详见解析； （2）x＝8． 【解析】解：（1）法一：从甲的角度进行的探究过程： 举例、观察：能被11整除的数有：11，22，33，44，121，132，143，…… 猜想：如果一个自然数（个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推）， 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除； 验证：设两位数， 因为11a能被11整除，所以只需要﹣a+b能被11整除，即﹣a+b＝0或11的倍数， 而a和b都是大于等于0且小于10的自然数， 故当﹣a+b＝0 时即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除； 设三位数100a+10b+c ＝99a+a+11b﹣b+c ＝99a+11b+a﹣b+c， 则只需要 a﹣b+c能被11整除，即可得可被11整除； 设四位数1000a+100b+10c+d ＝1001a﹣a+99b+b+11c﹣c+d ＝1001a+99b+11c﹣a+b﹣c+d， 则只需要﹣a+b﹣c+d能被11整除，即可得可被11整除； 依此类推，超过四位的自然数也可用同样的方法进行证明，…… 由上述的探究过程可以得出结论：如果一个自然数（个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推）， 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除． 法二：从乙的角度进行的探究过程： 设两位数， 已知11a能被11整除，要使得10a+b 能被11整除，则只需要﹣a+b 能被11整除， 即﹣a+b＝0 或11的倍数， 而a和b都是大于等于0 且小于10的自然数， 故此时﹣a+b＝0，即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除； 设三位数100a+10b+c ＝99a+a+11b﹣b+c ＝99a+11b+a﹣b+c， 已知99a+11b 能被11整除，要使得100a+10b+c 能被11整除，则只需要a﹣b+c 能被11整除， 而a，b，c都是大于等于0且小于10的自然数， 故此时 a﹣b+c＝0或11， 即三位数的个位数字和百位数字之和与十位数字之差等于0或11时，这个三位数能被11整除； 类似地， 设四位数1000a+100b+10c+d ＝1001a﹣a+99b+b+11c﹣c+d ＝1001a+99b+11c﹣a+b﹣c+d， 已知1001a+99b+11c能被11整除，要使得1000a+100b+10c+d 能被11整除，则只需要﹣a+b﹣c+d 能被11整除， 即四位数的个位数字和百位数字之和减十位数字与千位数字之和的差等于0或11或22时，这个四位数能被11整除； 依此类推，多位数也用同样的方法探究可以得到“自然数能被11整除的规律是奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除”． （2）自然数的奇数位数字之和＝（3+x+5+0）＝x+8， 自然数的偶数位数字之和＝（1+0+2+2）＝5， 若自然数能被11整除，则根据上述规律可得： （3+x+5+0）﹣（1+0+2+2）能被11整除， 即x+3被11整除， 因为x是大于等于0且小于10的自然数， 所以 x+3＝11， 解得x＝8． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业寒假作业11 整式的加减 一、同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项． 二、合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变． 合并同类项的一般步骤： 三、去括号 1. 去括号方法 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac. 3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 四、整式的加减 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断同类项 1.给下列各组中的两项，属于同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二 根据同类项的概念求字母的值 2.已知与是同类项，则的值为 ． 题型三 合并同类项 3．先合并同类项，再求代数式的值： 已知，求的值． 题型四 去括号、添括号 4．去括号后应为（    ） A． B． C． D． 题型五 整式的加减运算 5．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 题型六 整式的化简求值 6．已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 题型七 整式加减中的无关性问题 7．已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型八 整式加减中的不含某项问题 8．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 题型九 整式加减中的误看问题 9．小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 题型十 整式加减中的遮挡问题 10．某老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 题型十一 整式加减中的规律探索 11．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 题型十二 整式加减中的新定义问题 12．文化情境·数学文化现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，化简“”，后得（  ） A． B． C． D． 题型十三 整式加减中的多结论问题 13．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作……下列说法中错误的个数是（   ） ①； ②若，则； ③若，则不存在正整数m，使得是10的倍数． A．0 B．1 C．2 D．3 题型十四 整式加减的应用 14．如图所示，某公司有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（、、三点共线），已知米，米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（    ） A．点 B．点 C．、之间 D．、之间 1．已知2b﹣a＜3，2a﹣b＜5，化简﹣|2b﹣a﹣7|﹣|b﹣2a+8|+|a+b﹣9|＝　 　 ． 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，且满足，则称这个四位数为“大吉数”．若是“大吉数”，则m＝　 　 .若一个“大吉数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的M的最大值是 　 　 ． 3．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x，y＝1． 4．由于看错了符号，某学生把一个代数式减去﹣3x2+3y2+4z2误认为加上﹣3x2+3y2+4z2，得出答案2x2﹣3y2﹣z2，你能求出正确的答案吗？（请写出过程） 5．已知：|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）写出a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ． （2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：x甲，x乙，x丙，当t＞5时，求式子的值． （3）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？ 6．已知三角形的第一边长为3a+2b，第二边比第一边短2a，第三条边比第二边的2倍还多a﹣b． （1）求第二条边和第三条边； （2）求这个三角形的周长． 7．小天同学看到如下的阅读材料： 对于一个正数x，以下给出了判断正数x是否为7的倍数的一种方法：每次划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉这个数字的两倍相减得到它们的差，称为一次操作，以此类推，直到数变为100以内的数为止．若该数是7的倍数，则最初的数x就是7的倍数，否则，数x就不是7的倍数．以x＝266为例，经过第一次操作得到14，因为14是7的倍数，所以266是7的倍数．当数x的位数更多时，这种方法仍然适用． 小天尝试说明该方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析． （1）请你补全小天列出的表格： x x的表达式 第一次操作得到的差，记为M（x） 266 266＝10×26+6 M（266）＝26﹣2×6 875 875＝ 　 　 M（875）＝ 　 　 … … … （2）表示100a+10b+c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当是7的倍数时，也是7的倍数． 8．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：1×4﹣2×3＝﹣2． （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x|+（y﹣2）2＝0时，值． 9．【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝ 　 ； （2）若A＝4x2﹣5（2x﹣3），求关于x的方程B＝9的解； 【延伸】 （3）已知M＝x﹣2（m﹣4）x2+7，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，满足N＝3x+7，求m的值． 10．有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 11．某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？ 12．某校初二年级有A、B、C三个课外活动小组，各组人数相等，但A中的女生比B中的女生多4名，B中的女生比C中的女生多1名．如果从A调10人去B中，再从B调10人去C中，最后从C调10人回A中，结果各组的女生人数都相等．已知从C调入A的学生中只有2名女生．问分别从A，B调出的人数中各有几名女生？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张； 第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由． 2．数学活动课“自然数被3整除的规律”的探究学习结束后，同学们梳理了如下的学习方法： 甲：我学会用“举例一一观察一猜想一一验证”的方法对“自然数被3整除的规律”进行探究：先列举一些简单的可以被3整除的数，如12，54，126，345，1200，⋯，观察这些数的规律，提出一个猜想，然后用一般性的式子去验证这个规律． 乙：我学会从推理的角度进行探究性的学习： 第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？ 比如：两位数，三位数 第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？ 先看两位数的情形： 要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从先凑出能被3整除的数9a，根据，可知a+b一定要被3整除； 类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律． （1）根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果； （2）若自然数能被11整除，求x的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $