期末冲刺专题 专题13 期末押题卷（1）2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学期末卷 答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．______________ 12．______________13．______________ 14．______________ 15．______________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分） （1） (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （3） ①_____________ ___________________________ ②_____________ _____________________________ ③ 17．（7分） (1) （2） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） (1) (2) 20．（9分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2） 21．（8分） （1）________________ _____________ _____________ (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 任务1 任务2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （13分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学期末冲刺专题 专题13 期末押题卷（1） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版八年级上册13----18章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 5．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，这是跨越太原汾河的现代交通动脉—祥云桥，由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角形结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，使桥梁更稳固．其中蕴含的数学道理是三角形具有 ． 12．分解因式： ． 13．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则 °． 14．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 15．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：；     （2）因式分解：． 17．（7分）周末小明和小玮去某公园玩，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案： 如图，首先在湖两岸相对的地方选取A、B两点，要测量A、B两点间的距离，可以在湖外取AB的垂线BF上的两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与点A，C在同一条直线上，只需要测量出线段的长度即可得到A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确，并说明理由． 18．（8分）以下是小坤化简分式 的过程． 解：原式 请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值． 19．（8分）如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（9分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 21．（8分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：原式 又是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　；（直接写出结果） 当　 　时，多项式有最小值，这个最小值是　 　； （2）利用配方法，已知，为的三条边，，求的周长． 22．（12分）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 23．（13分）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 试卷第2页，共18页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学期末冲刺专题 专题13 期末押题卷（1）（解析版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版八年级上册13----18章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和合并同类项等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 3．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 4．如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 5．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 6．如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，， ∵垂线段最短， ∴此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是4， 故选：D． 7．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和角平分线的定义是解题的关键，根据三角形内角和角平分线定义解答即可得到答案． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ∴， 故选：D． 8．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 由全等三角形的判定，逐一判断可求解． 【详解】解：A、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； B、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； C、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； D、当时，且，，不能判断，故该选项符合题意； 故选D． 9．如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 10．若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，方程的解，以及解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解的条件，得出，且，建立关于的不等式组，求解即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，这是跨越太原汾河的现代交通动脉—祥云桥，由两根撑杆和一根拉索精心构成的稳定三角形结构体系，将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，使桥梁更稳固．其中蕴含的数学道理是三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】将三根塔柱紧密相连，确保它们协同受力，使桥梁更稳固．其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式和利用公式进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为． 13．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，角的和差倍分等知识，根据得到，由作图可知，． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知， ， 故答案为：． 14．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔支以上（不包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买支，那么只能按零售价付款，需用元；如果多购买支，那么可以按批发价付款，同样需用元．如果按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付款相同，那么这个学校八年级学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． 根据题意，设八年级的学生人数，表示出按批发价购买支铅笔与按零售价购买支所付钱数，列方程求解即可． 【详解】解：设这个学校八年级学生有人，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴这个学校八年级学生有300人， 故答案为：． 15．如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． （2）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17．（7分）周末小明和小玮去某公园玩，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案： 如图，首先在湖两岸相对的地方选取A、B两点，要测量A、B两点间的距离，可以在湖外取AB的垂线BF上的两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与点A，C在同一条直线上，只需要测量出线段的长度即可得到A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确，并说明理由． 【答案】正确，见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质的应用，根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∴． ∴小玮的做法正确． 18．（8分）以下是小坤化简分式 的过程． 解：原式 请补充上面的化简过程，并在2，，0，1中选择一个合适的数作为a的值代入化简的结果求值． 【答案】过程见解析；；，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式除法运算的运算法则． 先将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母进行因式分解，然后约分化简，最后根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ； ， ， 当时，原式． 19．（8分）如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出． （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 20．（9分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 21．（8分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：原式 又是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　；（直接写出结果） 当　 　时，多项式有最小值，这个最小值是　 　； （2）利用配方法，已知，为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）；2； （2） 【知识点】偶次方的非负性；因式分解﹣十字相乘法；配方法的应用 【分析】（1）参照题干中的计算方法将多项式进行因式分解，再利用配方法将多项式变形为，再求解即可； （2）利用配方法可得，再利用非负数之和为0的性质可得求出a、b、c的值，再求出三角形的周长公式即可. 【解析】【解答】解：（1）； ∵， ∴当x=2时，多项式有最小值-9， 故答案为：；2；-9. （2）解：，为的三条边，， ， ， ，， 的周长为 22．（12分）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 23．（13分）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 试卷第18页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $