精品解析：甘肃省平凉市2025-2026学年八年级上学期期末质量监测数学试卷

2025-2026第一学期八年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，, B. ,, C. ，, D. ,, 4. 下面式子正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. a（x﹣y）＝ax﹣ay B. x2+3x+2＝x（x+3）+2 C. （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D. x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 7. 亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，D为的中点，E为的中点，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11 计算：_______． 12. 已知，，，则_____度． 13. 因式分解：______． 14. 若分式与分式互为相反数，则的值为______． 15. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 16. 如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 18. 化简：． 19. 如图，交于点E，，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图所示，小语同学为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点P，测得与地面夹角与测得PA与地面夹角互余，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与教学楼之间的距离，已知，求教学楼的高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 23. 已知，如图所示，是角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 24. 如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 25. 某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 26. 面积割补的证明方法最早是由我国古代数学家赵爽提出来的，利用面积割补法可以对平方差公式进行直观的证明． （1）请认真观察下图，根据图中信息直接写出可以得到的平方差公式___________（用含的式子表示）； （2）运用（1）中的结论计算； （3）利用平方差公式可以解稍复杂的方程组， 例如：解方程组 解：设，于是可得 ， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 请根据上述材料解方程组. 27. 【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期八年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形”进行解答即可． 【详解】解：“爱、我、华”这三个字都不能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它们都不是轴对称图形； “中”能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形；   故选：C ． 2. 用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法要求系数在1到10之间，指数表示小数点移动的位数，是解题的关键．根据原数0.0000000000315的小数点向右移动11位得到3.15，因此指数为，则即可求解． 【详解】解：由， 故选：C． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，, B. ,, C. ，, D. ,, 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 4. 下面式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握以上运算是解题的关键．由同底数幂的乘法判断A，由合并同类项判断B，由同底数幂的除法判断C，由幂的乘方判断D． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. a（x﹣y）＝ax﹣ay B. x2+3x+2＝x（x+3）+2 C. （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D. x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项进行解答即可． 【详解】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay是整式的乘法，故A错误； B、x2+3x+2＝x（x+3）+2，不是因式分解，故B错误； C、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是整式的乘法，故C错误； D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）是因式分解，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义. 7. 亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形中能测量的条件及全等三角形的判定定理进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图： ，，都能测量，即他的依据是， 故选C． 8. 若，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 9. 如图，在中，D为的中点，E为的中点，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵在中，D为的中点，的面积为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故选：C． 10. 若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程的解，以及解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解的条件，得出，且，建立关于的不等式组，求解即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 详解】解：去分母，得， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式等知识，“单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式﹒”，据此计算即可求解﹒ 详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：30． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若分式与分式互为相反数，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，相反数的定义，根据相反数的性质列出分式方程求解即可，掌握分式方程的解法、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式与分式互为相反数， ∴ ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 15. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 沿折叠到， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，注意：平行线的性质有两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补． 16. 如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查因式分解，将原式变形为，提取公因式，再根据平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，灵活运用完全平方公式以及平方差公式是解题关键．运用完全平方公式以及平方差公式进行化简即可． 详解】解：原式 ． 19. 如图，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先由分式加减乘除混合运算法则化简，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解： ＝， 当时，原式． 21. 如图所示，小语同学为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点P，测得与地面夹角与测得PA与地面夹角互余，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与教学楼之间的距离，已知，求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，证明，得到，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴教学楼的高度为． 22. 如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 【答案】（1）画图见解析；， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，坐标与图形，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据轴对称的定义分别关于轴对称的点，再顺次连接，最后确定的坐标即可； （2）取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； ∴， ； 【小问2详解】 解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 连接， 根据轴对称可知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 23. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【小问1详解】 解：是的高， ， ． 【小问2详解】 是的角平分线． ． ． 24. 如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 25. 某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）6 （2）11 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批饮料购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，即可求出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为元，利用销售利润=销售单价×销售数量－进货总价，结合获利不少于4200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元， 依题意得：，解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为6元． 【小问2详解】 第一批饮料购进数量为：（瓶）， 第二批饮料购进数量为：（瓶）， 设销售单价为元， 依题意得：，解得， 答：销售单价至少为11元． 26. 面积割补的证明方法最早是由我国古代数学家赵爽提出来的，利用面积割补法可以对平方差公式进行直观的证明． （1）请认真观察下图，根据图中信息直接写出可以得到的平方差公式___________（用含的式子表示）； （2）运用（1）中的结论计算； （3）利用平方差公式可以解稍复杂的方程组， 例如：解方程组 解：设，于是可得 ， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 请根据上述材料解方程组. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式，并进行灵活运用； （1）根据两个图中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用所给的方法解方程组即可. 【小问1详解】 解：∵从左图看阴影部分面积为，从右图看阴影部分面积为 ∵两边阴影部分面积相等 ∴ 【小问2详解】 解： . 【小问3详解】 解：设，，于是可得， 解得，， 将，，分别代入，得 ，；，， 所以，原方程组的解为，. 27. 【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）；（）（）中的数量关系仍然成立，证明见解析；（），或， 【解析】 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （）当，时，以，，为顶点三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $