寒假作业03 数轴、相反数（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 数轴、相反数 知识点1 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点3 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 识别数轴 1.下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 题型二 用数轴上的点表示有理数 2.如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 题型三 数轴上的整点问题 3．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 题型四 数轴上点的平移 4．若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 题型五 相反数的定义 5．下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 题型六 根据相反数定义求值 6．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 题型七 化简多重符号 7．如化简下列各数： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 题型八 数轴与相反数的综合 8．如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． 1．已知多项式2m2n4﹣3mn﹣2 的次数为a，项数为b，常数项为c．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x（x≠3）． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，此时点B与点P也重合，求点P所表示的数x； （3）若将数轴从点P处对折，使得对折后PB＝2AC，求点P所表示的数x． 2．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 3．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　 　 cm． （2）图中点A所表示的数是　 ，点B所表示的数是　 　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 4．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　﹣4π　 ； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8 ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 5．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… （1）求出5秒钟后动点Q所处的位置； （2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 6．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 　 表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1.已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； （2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点． ①若点M运动到原点O时，此时点M　 　 【A，B】的好点（填是或者不是） ②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 数轴、相反数 知识点1 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点3 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 识别数轴 1.下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、没有方向，故错误； B、没有原点，故错误； C、单位长度不一样长，故错误； D、符合所有条件，是数轴，故正确； 故选：D 题型二 用数轴上的点表示有理数 2.如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【解析】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 题型三 数轴上的整点问题 3．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【解析】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 题型四 数轴上点的平移 4．若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 【答案】或 【解析】解：∵点距离原点个单位长度， ∴点表示的数为或， 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 综上所述，此时终点所表示的数是或． 故答案为：或． 题型五 相反数的定义 5．下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【解析】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 题型六 根据相反数定义求值 6．如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 【答案】，， 【解析】解：∵该正方体相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． 题型七 化简多重符号 7．如化简下列各数： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：； （5）解：． 题型八 数轴与相反数的综合 8．如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 3 【解析】解：由题意可知：， ∴以B为原点时，点A表示的数是，点表示的数是3， 若A，表示的两个数互为相反数，则的中点（如图，设为D）为原点， ∴，且D在B的右边， ∴点B表示的数是； 故答案为：；3；． 1．已知多项式2m2n4﹣3mn﹣2 的次数为a，项数为b，常数项为c．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x（x≠3）． （1）a＝　6　 ，b＝　3　 ，c＝　﹣2　 ； （2）若将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，此时点B与点P也重合，求点P所表示的数x； （3）若将数轴从点P处对折，使得对折后PB＝2AC，求点P所表示的数x． 【答案】（1）a＝6，b＝3，c＝﹣2；（2）点P所表示的数x为1（3）点P所表示的数为﹣13或或或19． 【解析】解：（1）多项式2m2n4﹣3mn﹣2的次数为6，项数为3，常数项为﹣2， ∴a＝6，b＝3，c＝﹣2， 故答案为：a＝6，b＝3，c＝﹣2． （2）A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x，由（1）得a＝6，b＝3，c＝﹣2， ∵将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，∴中点表示的数为：2， ∵点B与点P也重合，∴2，∴x＝1，故答案为：点P所表示的数x为1． （3）①当P在C的右边或与C重合时，PB＝3﹣x，AC＝8，∴3﹣x＝2×8，解得x＝﹣13； ②当P在B与C之间时，设折叠后C表示的数为y，则x，∴y＝2x+2， PB＝3﹣x，AC＝|2x+2﹣6|＝|2x﹣4|，∴3﹣x＝2×|2x﹣4|， ∴3﹣x＝2（2x﹣4），解得x，或3﹣x＝2（4﹣2x），解得x； ③当P在B与A之间或与点A重合时，设折叠后A表示的数为m，则x， ∴m＝2x﹣6，PB＝x﹣3，AC＝2x﹣6+2＝2x﹣4，∴x﹣3＝2（2x﹣4），解得x3，故舍去； ④当P在A的右边时，PB＝x﹣3，AC＝8，∴x﹣3＝2×8， 解得x＝19； 综上，点P所表示的数为﹣13或或或19． 2．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 3．如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　5　 cm． （2）图中点A所表示的数是　10　 ，点B所表示的数是　15　 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问出爷爷现在多少岁了？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是20﹣5＝15（cm）， 则此木棒长为5cm． （2）图中点A所表示的数是 10，点B所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB， 类似爷爷比小红大时看作当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为﹣35． 小红比爷爷大时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为130． ∴可知爷爷比小红大[130﹣（﹣35）]÷3＝55， 可知爷爷的年龄为130﹣55＝75． 4．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　﹣4π　 ； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8 ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π•2＝﹣4π； 故答案为：﹣4π； （2）①第1次滚动后，|﹣1|＝1，离原点距离为2π， 第2次滚动后，|﹣1+2|＝1，离原点距离为2π， 第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3，离原点距离为6π， 第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，离原点距离为10π， 第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，离原点距离为4π， 第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，离原点距离为20π， 则第6次滚动后，大圆离原点最远； ②1+2+4+2+3+8＝20， 20×2π＝40π， ﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10， ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有40π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是20π； （3）设时间为t秒， 分四种情况讨论： i）当两圆同向右滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt， 2πt﹣πt＝9π， 2t﹣t＝9， t＝9， 2πt＝18π，πt＝9π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π． ii）当两圆同向左滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt， 小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt， ﹣πt+2πt＝9π， ﹣t+2t＝9， t＝9， ﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣18π、﹣9π． iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π， 3t＝9， t＝3， 2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、﹣3π． iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π， t＝3， πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣6π、3π． 5．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… （1）求出5秒钟后动点Q所处的位置； （2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵2×5＝10， ∴点Q走过的路程是1+2+3+4＝10， Q处于：1﹣2+3﹣4＝4﹣6＝﹣2； （2）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 20， 解得n＝39， ∴动点Q走过的路程是 1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39， ＝1+2+3+…+39， 780， ∴时间＝780÷2＝390秒（6.5分钟）； ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则20， 解得n＝40， ∴动点Q走过的路程是 1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|， ＝1+2+3+…+40， 820， ∴时间＝820÷2＝410秒 （6分钟）． 6．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　2　 表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　﹣3　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则﹣2表示的点与数2表示的点重合； （2）∵﹣1表示的点与3表示的点重合， ∴对称中心是1表示的点． ∴①5表示的点与数﹣3表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧）， 则点A表示的数是1﹣4.5＝﹣3.5，点B表示的数是1+4.5＝5.5． 故答案为2，﹣3，A＝﹣3.5，B＝5.5 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1.已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； （2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点． ①若点M运动到原点O时，此时点M　不是　 【A，B】的好点（填是或者不是） ②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图所示： （2）①AM＝2，BM＝7， 2×7＝14≠2， 故点M不是【A，B】的好点； ②当点M在点B的右侧时， 2（t+2）＝t﹣7， 解得t＝﹣11（舍去）； 当点M在点A与B之间时， 2（t+2）＝7﹣t， 解得t＝1； 当点M在点A的左侧时， 2（﹣2+t）＝7+t， 解得t＝11． 故点M的运动方向是向右，运动时间是1或点M的运动方向是向左，运动时间是11秒； （3）线段BM与AM的差即BM﹣AM的值发生变化，理由是： 设点M对应的数为c， 由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|， 则分三种情况：当点M在点B的右侧时， BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9； 当点M在点A与B之间时，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c， 当点M在点A的左侧时，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9． 故答案为：不是． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $