专题04 嵌套函数与函数零点归类（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 嵌套函数与函数零点归类目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 利用函数的零点确定参数的取值范围 题型02 方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型03 嵌套函数的零点问题 题型04 函数的对称问题 题型05 函数的零点问题之分段分析法模型 题型06 分段函数的零点问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 利用函数的零点确定参数的取值范围 【例1-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【例1-2】（2026·天津南开·联考）已知关于x的方程，当其实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是 ． 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 【变式1-1】（2024·天津·三模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·天津河西·调研）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·天津和平·一模）设函数，若是函数的一个零点，则实数 ． 题型02 方程根的个数与函数零点的存在性问题 【例2-1】（2026·天津·月考）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2-2】（2026·天津·月考）若函数函数有两个零点，则实数k的取值是 . 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 【变式2-1】（2026·天津滨海新·调研）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为 ；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为 ． 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03 嵌套函数的零点问题 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 1.嵌套函数形式：形如 2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤 (1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点． (2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【变式3-1】（2025·天津·月考）已知函数 ，则方程 有 个不同的实数根． 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ． 【变式3-3】（2025·天津·月考）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 题型04 函数的对称问题 【例4-1】（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是 A． B．， C． D． 转化为零点问题 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C． D．的图象关于直线对称 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 函数的零点问题之分段分析法模型 【例5-1】（2026·天津北辰·月考）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·天津滨海新·月考）若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1函数零点分段分析法模型，核心是将含绝对值、分段定义的函数拆分为不同区间的子函数，再分别分析各区间内子函数的零点，最后整合结果。 1. 适用场景 函数含绝对值（如 f(x)=|x-1|+|x+2|）、分段表达式，或可通过分类讨论拆分的复合型函数。 2. 核心步骤 确定分段点：绝对值函数的分段点为绝对值内式子等于0的解（如 |x-1| 的分段点为 x=1）；分段函数的分段点直接由解析式给出。 拆分区间：以分段点为界，将函数定义域划分为若干互不相交的子区间。 去绝对值/写子函数：在每个子区间内，根据自变量范围去掉绝对值符号，或直接写出对应区间的函数解析式。 逐段求零点：在各子区间内，解方程 f(x)=0，并检验解是否在该区间内，符合的才是有效零点。 整合零点：汇总所有子区间的有效零点，得到原函数的全部零点。 【变式5-1】（2026·天津·月考）已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为 【变式5-2】（2026·天津南开·月考）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 . 【变式5-3】（2026·天津滨海新·月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 分段函数的零点问题 【例6-1】（2026·天津滨海新·月考）已知函数，若，使方程有4个不同的解，，，，则的取值范围是 ；的取值范围是 . 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式6-1】（2026·天津西青·月考）已知函数，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 【变式6-2】（2026·天津南开·联考）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为 ． 【变式6-3】（2026·天津·月考）已知函数．当时，的解集是 ；当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是 ． 1．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是 . 2．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 3．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 4．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 5．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 6．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 7．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 8．（2025·天津和平·二模）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 9．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 10．（2025·天津和平·一模）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 11．（2025·天津·一模）函数，若恰有三个零点，则实数的取值范围是 ． 12．（2025·天津河西·一模）定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 13．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·天津宝坻·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 15．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 . 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 嵌套函数与函数零点归类目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 利用函数的零点确定参数的取值范围 题型02 方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型03 嵌套函数的零点问题 题型04 函数的对称问题 题型05 函数的零点问题之分段分析法模型 题型06 分段函数的零点问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 利用函数的零点确定参数的取值范围 【例1-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数在区间和上零点个数，然后根据在区间上有1个零点，函数在区间上有2个零点或根据在区间上有2个零点，函数在区间上有1个零点，即可得出结果. 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【例1-2】（2026·天津南开·联考）已知关于x的方程，当其实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，将方程解的个数转化为函数交点的个数，通过对进行分类讨论，结合两个函数的图象即可求解. 【详解】方程可化为， 令，， 方程的实数解的个数即为函数与函数的交点个数， 当时，，，故两函数无交点，即方程无实数解； 当时，，，所以函数与函数图象有下列两种情况：      对于情形一，两函数图象有两个交点， 对于情形二，段直线方程为 ，联立得，，所以函数与图象有两个交点， 综上，函数与函数图象恒有两个交点，即方程有两个实数解； 当时， ，，令，解得 ，，，如图所示： 段直线方程为，联立得，令，解得， 段直线方程为，联立得，令，解得或（根据舍去）， 由于越大，越大，越小， 所以当时，函数与图象无交点，即方程无实数解， 当时，函数与图象有一个交点，即方程有一个实数解， 当时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 当时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，函数与图象有四个交点，即方程有四个实数解， 当时，函数，函数，此时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，此时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 综上，当方程实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 【变式1-1】（2024·天津·三模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数有零点得出关于随机变量的取值范围，再利用二项分布的概率公式计算相应概率. 【详解】因为函数有零点，所以判别式. 即，化简得： ，解得 根据二项分布的概率公式可知： . 故选：C. 【变式1-2】（2025·天津河西·调研）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用函数零点的意义求出函数存在零点的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】令得， “有零点”等价于“有解”， 因为，所以， 所以，函数存在零点的充要条件是 故“”是“函数存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-3】（2025·天津和平·一模）设函数，若是函数的一个零点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的一个零点，所以，解得． 故答案为：. 题型02 方程根的个数与函数零点的存在性问题 【例2-1】（2026·天津·月考）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 【例2-2】（2026·天津·月考）若函数函数有两个零点，则实数k的取值是 . 【答案】或 【分析】将函数有两个零点，转化为函数与函数的图象有两个交点，再根据图象以及判别式求解即可. 【详解】函数有两个零点，即有两个不相等的实数根，即函数与函数的图象有两个交点，画函数图象如下; 当时，函数与函数的图象有两个交点； 当时，函数与函数的图象有一个交点； 当时，函数与有一个交点，则与有且只有一个交点， 联立方程 得到只有一个解， 即 ，解得或（结合图象可知不符合，舍去） 综上可得： 或者 故答案为：或 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 【变式2-1】（2026·天津滨海新·调研）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为 ；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，画出函数图象，判断方程有2个不同的实数根时参数的范围；再根据一元二次方程的解法，方程的根与函数图象交点之间的关系，以及分段函数的性质，求出参数范围. 【详解】 如图所示，方程有2个不同的实数根时，，即实数a的取值范围为； 由，因式分解得， 解得或. 由函数图象可知有2个不同的实数根，则也有2个不同的实根， 则，解得或， 即实数a的取值范围为. 故答案为：，. 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先外后内解方程，判断方程根的个数. 【详解】由已知，令， 则， 则①或②； 解①得，解②得； 则③或④， 解③得或； 对于④由的几何意义：轴上的点到两定点的距离之差的绝对值. 而，可知④无解， 综上，方程的根的个数为， 故选：C. 【变式2-3】已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 题型03 嵌套函数的零点问题 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑时，得到时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，再考虑时，变形得到且时，，构造函数，写出分段函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到其与的交点个数，从而最终求出最多有4个零点，得到的取值范围. 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点， 时，， 显然当时，无解， 当且时，， 令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增， 在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点， 当时，有3个零点， 当时，无零点， 综上：最多有4个零点， 则. 故答案为：. 1.嵌套函数形式：形如 2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤 (1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点． (2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【变式3-1】（2025·天津·月考）已知函数 ，则方程 有 个不同的实数根． 【答案】6 【分析】设求，再解方程即可. 【详解】设， 若，则； 若或. 由； 由或或； 由或. 所以方程共有6个不同实根. 故答案为：6 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ． 【答案】 ; 4 【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；在方程中，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再利用数形结合思想得出方程、、的根的个数，即可得解. 【详解】①由题意可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故； ②方程中，设， 即，即函数与直线的交点问题， 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合图象可知，方程有个不同的根，方程有个根， 方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 【变式3-3】（2025·天津·月考）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】令，则或，先作出函数的图象，即可得出方程和方程实根的个数，进而可得出方程实根的个数，再结合函数的图象即可得解. 【详解】因为函数有9个不同的零点， 所以方程有9个不同的实根， ， 令，则或， ， 如图，作出函数的图象， 由图可知，方程有个不同的实根， 方程有个不同的实根， 因为所以方程有个不同的实根， 如图，作出函数的图象， 由图可知. 故答案为：. 题型04 函数的对称问题 【例4-1】（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据、得出的表达式，再通过导函数研究函数的单调性即可利用对称性以及图象变换画出的图象，利用图象交点得出的取值范围. 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是 A． B．， C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线关于对称的直线方程，然后求函数再时的单调性及极值，进而求出得取值范围. 【详解】设函数任意一点关于直线对称的点为， 则，所以， 而P在函数上，所以，即， 所以函数恒过定点， （1）当时，，设直线与相切于点， ， 整理可得，解得， 所以； （2）当时，， 设直线与函数相切于点点， ，整理可得，解得， 所以， 故，即时， 在时，函数与的图象相交有2个交点； 在时，函数与的图象相交有2个交点， 故函数与的图象相交有4个交点时的的范围是. 故选：C. 转化为零点问题 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可 【详解】可求得直线关于直线的对称直线为， 当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增； 当时，，，当，,当时，单减，当时，单增； 根据题意画出函数大致图像，如图： 当与（）相切时，得，解得； 当与（）相切时，满足， 解得，结合图像可知，即， 故选：A 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有3个零点 C． D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数. 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则，又时，， ∴，则，A错； ∵， ∴，且令可得 ∴函数是以4为周期的周期函数， ∴，C错； 由，即， 所以关于点对称，D错； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，当时，当时， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下：    观察图象知与有3个交点，B对. 故选：B 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 题型05 函数的零点问题之分段分析法模型 【例5-1】（2026·天津北辰·月考）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有三个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【例5-2】（2026·天津滨海新·月考）若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为，即在上恰有两个实根，再利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】函数与的图象关于原点对称， 由恰好有两个“基点对”，得函数与 函数的图象恰有两个交点，即方程 在上恰有两个不相等的实根， 因此，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 1函数零点分段分析法模型，核心是将含绝对值、分段定义的函数拆分为不同区间的子函数，再分别分析各区间内子函数的零点，最后整合结果。 1. 适用场景 函数含绝对值（如 f(x)=|x-1|+|x+2|）、分段表达式，或可通过分类讨论拆分的复合型函数。 2. 核心步骤 确定分段点：绝对值函数的分段点为绝对值内式子等于0的解（如 |x-1| 的分段点为 x=1）；分段函数的分段点直接由解析式给出。 拆分区间：以分段点为界，将函数定义域划分为若干互不相交的子区间。 去绝对值/写子函数：在每个子区间内，根据自变量范围去掉绝对值符号，或直接写出对应区间的函数解析式。 逐段求零点：在各子区间内，解方程 f(x)=0，并检验解是否在该区间内，符合的才是有效零点。 整合零点：汇总所有子区间的有效零点，得到原函数的全部零点。 【变式5-1】（2026·天津·月考）已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为 【答案】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 【变式5-2】（2026·天津南开·月考）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 【变式5-3】（2026·天津滨海新·月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数是减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的交点个数数形结合，从而可得出答案. 【详解】函数在上单调递减， 则，解得， 在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，如图： 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故在上，有且仅有一个解， 当即时， 由， 即，则， 解得或1（舍去）， 当时，方程可化为符合题意； 当，即时，由图象可知，符合条件， 综上：的取值范围为. 故选：A 题型06 分段函数的零点问题 【例6-1】（2026·天津滨海新·月考）已知函数，若，使方程有4个不同的解，，，，则的取值范围是 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把和转化成只有一个自变量的代数式，进而求取值范围. 【详解】分段函数的图像如图所示，在上单调递减，最小值为0； 在上单调递增，最小值为0，最大值为2；在上是部分余弦型曲线，最小值为-2，最大值为2， 若方程有4个不同的解，则. 不妨设四个解依次增大，则. 是方程的解，，即. 是方程的解，则由余弦型函数图像的对称性可知. 因此，由，得， 即. ，当时，单调递减， 所以. 故答案为：①②. 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式6-1】（2026·天津西青·月考）已知函数，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式，分类讨论，在不同的取值范围下，函数零点的个数，从而得到恰好有3个零点时实数的取值范围. 【详解】①当时，要使有意义，故； 方程为，平方得，，解得； 显然，解不等式得； 在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点； ②当时，若，，函数有无穷个零点； 当时，方程，即， 当时，，此时方程无实数解， 当时，解得，令，即，又时，所以； 即在上满足：当时，有1个零点； 当时，有无穷个零点； 当或时，没有零点． 综上，当时，有三个零点． 故答案为： 【变式6-2】（2026·天津南开·联考）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故答案为： 【变式6-3】（2026·天津·月考）已知函数．当时，的解集是 ；当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 ； 【分析】由，将转化为，解出此不等式的解，这个解和求交集，就是所求不等式的解；有且仅有三个零点， 得到有且仅有三个根，设，则与的图像有且仅有三个交点，求的值域，分别画出和的的图像，通过图像得到的范围. 【详解】，， ，， ，，或，又，， 的解集是； 有且仅有三个零点，有且仅有三个根， 即有且仅有三个根， 设，则与的图像有且仅有三个交点， 的对称轴为， ，的值域为； 当时，的图像为： 当，即，与没有交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有一个交点； 当，即，与只有1个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有两个交点； 当，即，与只有2个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有三个交点； 故当时，函数有且仅有三个零点，实数a的取值范围是； 当时，的图像为： 当，即，与没有交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有一个交点； 当，即，与只有1个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有两个交点； 当，即，与只有2个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有三个交点； 故当时，不满足函数有且仅有三个零点； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：；. 1．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【分析】原方程可化为恰有3个不同的实数解， 令，即的图象有3个不同的交点，画出的图象，结合图象可得答案. 【详解】当时，方程为，不成立， 所以恰有3个不同的实数解，； 原方程可化为恰有3个不同的实数解， 令，即的图象有3个不同的交点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，的图象如下， 由图可知， 当，且与相切时， 由，所以，, 所以（另一解舍去），若要有3个不同的交点，则； ，的图象没有3个不同的交点； 当，且与相切时，由同理可得（另一解舍去）， 当过时，，当，不符合题意； 若要有3个不同的交点，则； 综上所述，或. 故答案为：或. 2．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解. 【详解】因为, 所以，即， 整理得． 因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解. 令， 则函数与的图象有两个交点. ①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意； ②当时，易知，且， 令,得, ，令, 得, 若与的图象有两个交点，需满足，解得． ③当时，易知． 由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先分析得且，进一步分和，两种情况讨论即可，原问题可以转换为的图象与的图象的交点个数为4来求参数，从而可以通过画图进行求解. 【详解】若，则等价于，解得或， 当或时，函数是二次函数， 其零点不超过两个， 从而必然有且， 的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4， 如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点， 从而， 所以时，， 即，解得， 当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点， 从而， 所以时，， 即，解得或， 综上所述，所求为. 故答案为：. 4．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 【答案】 【分析】由题意得到，和，求解一元二次不等式即可求解. 【详解】由已知有，即， 则由，可得， 即，解得． 同理，有， 解得，或， 故，或， 因此． 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，不符合题意； 当时，有，不符合题意． 综上，方程所有解的和为． 故答案为： 5．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由可得，数形结合可知、为方程的两根，、为方程的两根，求出的取值范围，利用韦达定理求出关于的表达式，令，，利用导数求出的值域，即为所求. 【详解】由题意可知，由可得， 可得， 所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由可得或， 结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根， ，由韦达定理可得，， 因为，则， 、为方程的两根，即方程的两根， ，可得，故， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 所以， 令，， 所以， 对任意的，，则， 即对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且，， 故当时，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 7．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数零点的等价转化将问题转化为在有两个实数根，构造，即可利用二次函数的零点分布即可求解第一空，对讨论，当时，容易验证，当时，转化为在无零点，取绝对值后平方可得，构造函数，当，问题转化为需要在有两个零点，根据二次函数的性质列不等式，为了求解不等式，构造由导数求解函数的单调性即可解不等式，即可求解空2. 【详解】由于在区间上恰有2个零点，故 在有两个实数根， 故在有两个实数根， 记， 则，解得或， 接下来求解在定义域内恰有2个零点时的范围. ①当时，，此时在无零点，故需要在区间上有2个零点，故， ②当时，，此时没有零点，不符合题意， ③当时，， 若时，此时在有两个零点，故只需要在无零点， 令， 即，记 由于， 且而，故， ， 因此在有两个零点，不符合题意， 若时，，， 此时有两个根，有一个实数根， 不满足题意，舍去， 接下来只需要考虑的情况， 此时对于来说，， 故在没有零点， 因此需要在有两个零点， 故，即， 即， 故当在单调递增，当在单调递减，， 因此对任意的，均有，故且 综上可得在定义域内恰有2个零点，则， 故答案为：， 8．（2025·天津和平·二模）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析的交点情况，再分类讨论的范围，作出图象，即可求解． 【详解】因为恰有两个不同的零点，所以有2个交点， 先判断与交点的个数， 令，即，， 所以与无交点； 判断与交点的个数， ，即， 令，解得或， 所以当或，与有2个交点； 判断与交点情况， 令，即，解得或，其中， 所以与有2个交点； 判断与交点情况， ，即， 令，解得或， 当或时，与有2个交点； ①当时，与有2个交点， 如图所示，符合题意； ②当时，与有1个交点， 如图所示，不合题意； ③当时，如图所示，无交点，不符合题意； ④当时，如图所示，无交点，不符合题意； ⑤当时，如图所示，无交点，不符合题意； ⑥当时，， 如图所示，只有1个交点，不符合题意； ⑦当时，与有一个交点， 与有一个交点， 如图所示，符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 9．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 所以，在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则， 所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，， 所以； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 10．（2025·天津和平·一模）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值大于等于0，求得.再找到各个绝对值的零点，然后分三种情况分别考虑去绝对值符号后对应区间上的解的个数情况，进而总结得到答案. 【详解】右边的 ，即：.    解方程 得 或 ; 解方程 得 或 . 需要根据 的符号讨论： （1）当 时方程变为 ，即 ，解得 或 ，有两个不等实根. （2）当时，关键点顺序： 记 ：方程变为：,解，得 . 当时， 根据开口方向和对称轴可知，至多有一解. 恰有一解条件,解得 当时，, 有一解条件,解得; 当时,,至多有一解. 有一解条件，解得. 所以时有2解; 若,由于, 时，得 . :此时, 有一解条件,, 或者，无解. 有两解的条件：, 解得. 所以时符合题意. 综上所述，当且仅当时方程有两个不同的实数解. 故答案为：. 11．（2025·天津·一模）函数，若恰有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出，利用的零点为和，再对进行分类讨论，分，，三种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】的图象如图， 由图知，当时，在上有2个零点， 则在有且仅有一个零点， 对称轴，又，，则满足题意； 当时，在上有1个零点， 则在有2个零点，易知， 所以只需即可，此时或； 当时，要使有三个零点，则，且在有2个零点， 此时对称，又，则， 即， 令，对称轴，在区间上单调递减， 且，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 12．（2025·天津河西·一模）定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设，则函数至少有一个零点， 则，解得或， 当时，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点， 若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，， 且当时，， 作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意； 若，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有， 从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示， 若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，令，则与在上有两个交点，分析的单调性，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 14．（2025·天津宝坻·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，画出的图象，再对关于的方程，讨论时是否符合题意，再计算为方程的一个根时是否符合题意，分析可得有两个不相等实数根，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 令，则， 又函数的图象如下所示： 要使函数，上有四个不同的零点， 对于关于的方程， 若，则或， 当时，解得，此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 当时，解得，此时无零点，不符合题意； 若为方程的一个根，则，则方程有两个实数根和， 此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 所以有两个不相等实数根，且两根均大于或一根小于0，一根大于0小于1， ①当两根均大于时，令，则有两个零点，且两个零点均大于， 所以，解得； ②当一根小于0，一根大于0小于1，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 15．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】函数恰有4个零点说明与的图象有四个交点，对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况下的函数图象，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点，所以与的图象有四个交点， 当时，，函数图象如图1所示， 的图象与的图象仅有两个交点，不合题意. 当时，点，且时，，， 如图2，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图3，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 如图4，当时，与的图象在上没有交点，在上有两个交点，不合题意. 如图2，当时，与的图象在上没有交点，在上有三个交点，不合题意. 如图5，当时，与的图象在上没有交点，在上有四个交点，符合题意. 当时，点，且时，，， 如图6，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图7，当时，与的图象在上有两个交点，在上有四个交点，不合题意. 如图6，当时，与的图象在上有两个交点，在上有三个交点，不合题意. 如图8，当时，与的图象在上有两个交点，在上有两个交点，符合题意. 如图9，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $