寒假作业08 图形的运动与变换5大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 图形的运动与变换 一、立体图形的基本概念 1、定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等 2、棱柱的认识： ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 3、点动成线，线动成面，面动成体． 二、正方体的展开图 “1-4-1”型 “2-3-1”型 “2-2-2”型 “3-3”型 三、截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等。 四、从不同的方向看物体的形状 主视图：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 立体图形的认识 1．列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列选项中，说法错误的是（　　） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 4．如图所示的五棱柱，它有　　 个面，　　 条棱． 5．将如图中的立体图形分类．（填序号） 柱体　 　 ；锥体　 　 ；球体　　 ． 6．如图所示的8个立体图形中，柱体有　 　 ，锥体有　 　 ，含曲面的有　 　 ．（填序号） 题型二 点线面体的关系 7．将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 8．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 9．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 10．七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．7、14、9 B．14、21、9 C．14、14、7 D．21、14、7 11．在下列结论中，错误的是（　　） A．棱柱的侧面数与侧棱数相同 B．棱柱的棱数一定是3的倍数 C．棱柱的面数一定是奇数 D．棱柱的顶点一定是偶数 12．像正方体、长方体、三棱锥这样，由一些平面图形围成的几何体称为多面体．瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，这个公式是（　　） A．F+V﹣E＝2 B．V+E﹣F＝2 C．E+F﹣V＝2 D．E﹣F﹣V＝2 13．一个长为6cm，宽为4cm的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是 　　 cm，体积为 　　 cm3的圆柱体（结果保留π）． 14．问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 　　 　　 六面体 8 6 　　 八面体 　　 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 　 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707﹣1783）证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （1）已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数； （2）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 题型三 图形的拼凑 15．如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4cm，则圆的面积是 　 　 cm2． 16．将一个长为4a、宽为b（a＜b）的长方形，沿虚线用剪刀裁成四个完全相同的小长方形（如图1），则每个小长方形的宽为 a ；然后用四个小长方形拼成一个正方形（如图2），则图2中阴影正方形的面积为 　 ． 17．如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　 　 ． 18．如图1，把一个长为m、宽为2n的长方形（m＞2n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 　 ． 题型四 几何体的展开与折叠 19．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 20．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 21．正方体展开图上的字母位置正确的是（　　） A． B． C． D． 22．如图，小欣同学用该硬纸板折成了一个正方体盒子，里面放了一瓶墨水，则墨水所在的盒子是（　　） A． B． C． D． 23．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（　　） A． B． C． D． 24．请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　　 ． 25．如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，该长方体纸盒的容积为 　　 ． 26．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽20cm、长30cm的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为5cm的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为　 　 cm3． 27．如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是　　 ． 28．某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是 （填字母）． （2）图2是小亮的设计图，若A＝a3，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E代表的代数式； （3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形； ①用含x的代数式表示这个纸盒的底面积：　 cm2；纸盒的容积： cm3； ②当x＝4时，求纸盒的容积． 题型五 从不同的方向看物体的形状 29．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 30．如图所示，图中是由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体从左面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 31．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（　　） A． B． C． D． 32．一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体的小立方块个数是　　 ． 33．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、左面看到的形状图，搭建该几何体的小立方体个数最多可以是　　 个． 34．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　 　 个． 35．一个几何体由若干大小相同的小正方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状，这个几何体中小正方块最多的个数有　　 个． 36．如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 　 　 cm3． 37．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，在3×3的正方形网格中，只用无刻度的直尺，画出这个立体图形的三视图． 38．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为2cm的小正方体堆成一个几何体． （1）请画出这个几何体从三个方向看的形状图； （2）如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需　 　 克漆； （3）若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添 加　 　 个小正方体． 1．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　　 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　　 个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 2．已知正方体的展开图如图所示，如果正方体的六个面分别用字母A，B，C，D，E，F表示，当各面上的数分别与它对面的数互为相反数，且满足B＝1，C＝﹣a2﹣2a+1，D＝﹣1，E＝3a+4，F＝2﹣a时，求A面表示的数值． 3．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题： （1）其中三面涂色的小正方体有　　 个，两面涂色的小正方体有　　 个，各面都没有涂色的小正方体有　　 个； （2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有　　 个，各面都没有涂色的有 个； （3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么应该将此正方体的棱　　 等分． 4．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　　 长方体 8 6 12 正八面体 　　 8 12 正十二面体 20 　　 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 　 ． （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 　 　 ． 1．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　　 个三角形；图3中大三角形被分割成　　 个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 2．图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示． （1）在图②所示的正方体骰子中，1点对面是 　　 点；2点的对面是 　　 点（直接填空）； （2）若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻转后，骰子朝下一面的点数是 　　 点；连续完成2016次翻转后，骰子朝下一面的点数是 　　 点（直接填空）． 3．如图（1）是正方形纸板制成的一副七巧板，由七小块图形组成． （1）在图（2）中画出用三小块拼成的是轴对称而不是中心对称的图形； （2）在图（3）中画出用三小块拼成的是中心对称而不是轴对称的图形． 4．探究： 将一个正方体表面全部涂上颜色 （1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为xi，那么x3＝　　 ，x2＝　　 ，x1＝　　 ，x0＝　　 ； （2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x3＝　　 ，x2＝　　 ，x1＝　　 ，x0＝　　 ； （3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n3个小正方体，那么：x3＝　　 ，x2＝　　 ，x1＝　 ，x0＝　 ； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 图形的运动与变换 一、立体图形的基本概念 1、定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等 2、棱柱的认识： ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 3、点动成线，线动成面，面动成体． 二、正方体的展开图 “1-4-1”型 “2-3-1”型 “2-2-2”型 “3-3”型 三、截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等。 四、从不同的方向看物体的形状 主视图：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 立体图形的认识 1．列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：第一个图是长方体，是棱柱， 第二个图是圆柱，不是棱柱， 第三个图是棱柱， 第四个图是棱锥，不是棱柱， 第五个图是圆锥，不是棱柱， 第六个图是棱柱， 综上所述：第一、三、六是棱柱，共有3个． 故选：A． 2．图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：下列各个几何体的名称为： 所以柱体的个数为4个， 故选：B． 3．下列选项中，说法错误的是（　　） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 【解答】解：A．直三棱柱的侧面是长方形，因此选项A不符合题意； B．长方体、正方体都是四棱柱，因此选项B不符合题意； C．圆锥由一个平面和一个曲面围成，因此选项C不符合题意； D．六棱柱有18条棱、6个侧面、12个顶点，因此选项D符合题意． 故选：D． 4．如图所示的五棱柱，它有　7　 个面，　15　 条棱． 【解答】解：结合图片分析：它有7个面，15条棱． 故答案为：7，15． 5．将如图中的立体图形分类．（填序号） 柱体　①②⑤⑦ ⑧　 ；锥体　④⑥　 ；球体　③　 ． 【解答】解：根据图中所给的图形可知：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 6．如图所示的8个立体图形中，柱体有　①②⑤⑦⑧　 ，锥体有　④⑥　 ，含曲面的有　③④⑧　 ．（填序号） 【解答】解：这些几何体的名称为： 所以这 8个立体图形中，柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，含曲面的有③④⑧． 故答案为：①②⑤⑦⑧，④⑥，③④⑧． 题型二 点线面体的关系 7．将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A得到的几何体是圆锥，B得到的几何体是圆台，C得到的几何体是球，D得到的几何体是圆柱． 故选：B． 8．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【解答】解：这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明：点动成线， 故选：A． 9．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：所形成的几何体是： 故选：D． 10．七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（　　） A．7、14、9 B．14、21、9 C．14、14、7 D．21、14、7 【解答】解：∵n棱柱的顶点数为2n，面数为n+2，棱数为3n， 故七棱柱的顶点数＝2×7＝14、面数＝7+2＝9，棱数＝3×7＝21． 故选：B． 11．在下列结论中，错误的是（　　） A．棱柱的侧面数与侧棱数相同 B．棱柱的棱数一定是3的倍数 C．棱柱的面数一定是奇数 D．棱柱的顶点一定是偶数 【解答】解：A、棱柱的侧面数与侧棱数相同是正确的，不符合题意； B、棱柱的棱数有3n条，一定是3的倍数，正确，不符合题意； C、四棱柱的面数是6，是偶数，错误，符合题意； D、棱柱的顶点有2n个，一定是偶数，正确，不符合题意． 故选：C． 12．像正方体、长方体、三棱锥这样，由一些平面图形围成的几何体称为多面体．瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，这个公式是（　　） A．F+V﹣E＝2 B．V+E﹣F＝2 C．E+F﹣V＝2 D．E﹣F﹣V＝2 【解答】解：欧拉公式为V+F﹣E＝2． 故选：A． 13．一个长为6cm，宽为4cm的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是 　8　 cm，体积为 　96π　 cm3的圆柱体（结果保留π）． 【解答】解：一个长为6cm，宽为4cm的长方形，以其长所在直线为轴旋转一周，将会得到一个圆柱， 底面直径4×2＝8（cm），高为6cm， 体积：42π×6＝96π（cm3）， 故答案为：8，96π． 14．问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 　4　 　6　 六面体 8 6 　12　 八面体 　6　 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是V+F﹣E＝2　 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707﹣1783）证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （1）已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数； （2）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【解答】操作探究： 填表如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 ∴V+F﹣E＝2， 故答案为：4，6，12，6；V+F﹣E＝2； 操作探究： 解：（1）设顶点数为V，面数V+8， ∴V+（V+8）﹣30＝2， 解得V＝12． 故这个多面体的顶点数为12． （2）由题意得：棱的总条数为（条）， 由V+F﹣E＝2可得8+F﹣12＝2， 解得：F＝6， 故该多面体的面数为6． 题型三 图形的拼凑 15．如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4cm，则圆的面积是 　12.56　 cm2． 【解答】解：将圆拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径， 可得：长方形的周长比原来圆的周长增加了圆的直径，直径为4cm， 半径为2cm， 圆的面积＝πr2≈3.14×4＝12.56（cm2）， 故答案为：12.56． 16．将一个长为4a、宽为b（a＜b）的长方形，沿虚线用剪刀裁成四个完全相同的小长方形（如图1），则每个小长方形的宽为 a ；然后用四个小长方形拼成一个正方形（如图2），则图2中阴影正方形的面积为 　（b﹣a）2 ． 【解答】解：由题意得，小长方形的宽为图1中大长方形长的四分之一， ∴每个小长方形的宽为， ∵图2中阴影部分是边长为（b﹣a）的正方形， ∴图2中阴影正方形的面积为（b﹣a）2 故答案为：a，（b﹣a）2． 17．如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　64　 ． 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意得出：， 解得：， 故图2中S2部分的面积是：4×（20﹣4）＝64， 故答案为：64． 18．如图1，把一个长为m、宽为2n的长方形（m＞2n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 　m﹣n ． 【解答】解：由题意，2mn＝2nx+2n（2n+x）， 解得xm﹣n， 故答案为：m﹣n． 题型四 几何体的展开与折叠 19．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【解答】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱； 故选：A． 20．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【解答】解：由三棱柱的展开图可知，这个展开图可以折叠成三棱柱， 故选：C． 21．正方体展开图上的字母位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．根据原题图字母A、B、C的位置，利用动手折一折的方法排除选项A、B、D，只有选项C符合题意． 故选：C． 22．如图，小欣同学用该硬纸板折成了一个正方体盒子，里面放了一瓶墨水，则墨水所在的盒子是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，折叠后两个阴影三角形的直角顶点重合，呈现一个三角形，圆在它的底面上， 则墨水所在的盒子为：． 故选：B． 23．如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影，下列是该正方体的展开图的为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 24．请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　光　 ． 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“总”与“光”是对面， 故答案为：光． 25．如图是一个长方体纸盒表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，该长方体纸盒的容积为 　6　 ． 【解答】解：由图形知，长方体的长为3，宽为2，高为1， 则体积为3×2×1＝6， 故答案为：6． 26．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽20cm、长30cm的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为5cm的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为　1000　 cm3． 【解答】解：由于折叠成长方体盒子的高是5cm，即图1中，阴影正方体的棱长为5cm， 所以长方体盒子的底面的长为30﹣5﹣5＝20（cm），宽为20﹣5﹣5＝10（cm）， 所以体积为20×10×5＝1000 （cm3）， 故答案为：1000． 27．如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是　0　 ． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “数”相对的字是“1”； “学”相对的字是“2”； “5”相对的字是“0”； 故答案为：0． 28．某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是C （填字母）． （2）图2是小亮的设计图，若A＝a3，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E代表的代数式； （3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形； ①用含x的代数式表示这个纸盒的底面积：　（20﹣2x）2 cm2；纸盒的容积：x（20﹣2x）2 cm3； ②当x＝4时，求纸盒的容积． 【解答】解：（1）A．有田字，故不能折叠成无盖正方体； B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体； C．可以折叠成无盖正方体； D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体． 故选：C． （2）C与E是对面，A与D是对面， ∵C＝a3﹣1，，，， 且相对两个面所表示的代数式的和都相等， ∴C+E＝A+D， 则 ＝1； （3）①如图， 若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，则这个盒子的高为xcm，底面边长为（20﹣2x）cm， ∴纸盒的容积为x（20﹣2x）2cm3，底面积为（20﹣2x）2cm2， 故答案为：（20﹣2x）2；x（20﹣2x）2cm3； ②当x＝4时，x（20﹣2x）2＝4×（20﹣2×4）2＝4×122＝4×144＝576（cm3）， 答：当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为576cm3． 题型五 从不同的方向看物体的形状 29．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 30．如图所示，图中是由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体从左面看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这个几何体从左面看到的形状图为： 故选：C． 31．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选：B． 32．一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体的小立方块个数是　4　 ． 【解答】解：该几何体的上层有1个小立方块，底层有3个小立方块， 所以搭成该几何体的小立方块有4个； 故答案为：4． 33．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、左面看到的形状图，搭建该几何体的小立方体个数最多可以是　6　 个． 【解答】解：由俯视图可知，底层最多是4个小立方体，由左视图可知，上层最多是2个小立方体． 搭成这个几何体的小立方块最多有4+2＝6（个）； 故答案为：6． 34．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有 　10　 个． 【解答】解：搭成这个几何体，需要小立方块最多时，应是在俯视图的各个位置均摆放2个小正方体，因此需要10个， 故答案为：10． 35．一个几何体由若干大小相同的小正方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状，这个几何体中小正方块最多的个数有　6　 个． 【解答】解：最多的情况如下： 2+2+1+1＝6， 故答案为：6． 36．如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据求出它的体积是 　96　 cm3． 【解答】解：由三视图的形状可知，这个几何体是三棱柱，底面是两条直角边的分别为6cm，8cm的直角三角形，高是4cm， 所以体积为6×8×4＝96（cm3）， 故答案为：96． 37．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，在3×3的正方形网格中，只用无刻度的直尺，画出这个立体图形的三视图． 【解答】解：（1）这个立体图形的三视图如下： 38．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为2cm的小正方体堆成一个几何体． （1）请画出这个几何体从三个方向看的形状图； （2）如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需　256　 克漆； （3）若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加　4　 个小正方体． 【解答】解：（1）形状图如图所示； （2）这个几何体的表面有38个正方形，去掉底面上的6个，32个面需要喷上红色的漆． ∴2×32×22＝256（克）， 答：共需256克漆． 故答案为：256． （3）如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加1+2+1＝4个． 故答案为：4． 1．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　4　 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　20　 个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个． 故答案为：4，20； （2）观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个； 图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个； 图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个． 4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式， 因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）＝8n﹣4， 则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有8×100﹣4＝796； （3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4） ＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4 ＝40000． 故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000． 2．已知正方体的展开图如图所示，如果正方体的六个面分别用字母A，B，C，D，E，F表示，当各面上的数分别与它对面的数互为相反数，且满足B＝1，C＝﹣a2﹣2a+1，D＝﹣1，E＝3a+4，F＝2﹣a时，求A面表示的数值． 【解答】解：根据题意 ∵E面和F面的数互为相反数， ∴3a+4+2﹣a＝0， ∴a＝﹣3， 把a＝﹣3代入C＝﹣a2﹣2a+1， 解得：C＝﹣2， ∵A面与C面表示的数互为相反数， ∴A面表示的数值是2． 3．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题： （1）其中三面涂色的小正方体有　8　 个，两面涂色的小正方体有　12　 个，各面都没有涂色的小正方体有　1　 个； （2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有　8　 个，各面都没有涂色的有　（n﹣2）3 个； （3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么应该将此正方体的棱　7　 等分． 【解答】解：（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个； 各面都没有涂色的有1个，故答案为：8，12，1； （2）根据正方体的棱三等分时三面被涂色的有8个，有1个是各个面都没有涂色的， 正方体的棱四等分时三面被涂色的有8个，有8个是各个面都没有涂色的， ∴正方体的棱n等分时三面被涂色的有8个，有（n﹣2）3个是各个面都没有涂色的， 故答案为：8，（n﹣2）3； （3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有（n﹣2）3个是各个面都没有涂色的， 即（n﹣2）3＝125， n﹣2＝5， n＝7， 故答案为7． 4．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　6　 长方体 8 6 12 正八面体 　6　 8 12 正十二面体 20 　12　 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2　 ． （3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 　20　 ． 【解答】解：（1）观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；正十二面体的面数为12； （2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2； （3）由题意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20． 故答案为：（1）6，6，12；（2）V+F﹣E＝2；（3）20． 1．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　7　 个三角形；图3中大三角形被分割成　10　 个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 【解答】解：（1）图2中大三角形被分割成4个三角形；图3中大三角形被分割成7个三角形． （2）图10有4+3×9＝31个， 第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个． 2．图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示． （1）在图②所示的正方体骰子中，1点对面是 　6　 点；2点的对面是 　5　 点（直接填空）； （2）若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚90°，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻转后，骰子朝下一面的点数是 　3　 点；连续完成2016次翻转后，骰子朝下一面的点数是 　4　 点（直接填空）． 【解答】解：（1）根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以在图②所示的正方体骰子中，1点对面是6点；2点的对面是5点； 故答案为：6、5； （2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “2点”与“5点”是相对面， “3点”与“4点”是相对面， “1点”与“6点”是相对面， ∵2016÷4＝504， ∴完成2016次翻转为第504组， ∴骰子朝下一面的点数是4． 故答案为：3、4． 3．如图（1）是正方形纸板制成的一副七巧板，由七小块图形组成． （1）在图（2）中画出用三小块拼成的是轴对称而不是中心对称的图形； （2）在图（3）中画出用三小块拼成的是中心对称而不是轴对称的图形． 【解答】解：（1）答案不唯一．如：1、2、3，示意图如图． （2）答案不唯一．如：4、5、7等，示意图如图． 4．探究： 将一个正方体表面全部涂上颜色 （1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为xi，那么x3＝　8　 ，x2＝　12　 ，x1＝　6　 ，x0＝　1　 ； （2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x3＝　8　 ，x2＝　24　 ，x1＝　24　 ，x0＝　8　 ； （3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n3个小正方体，那么：x3＝　8　 ，x2＝　12（n﹣2）　 ，x1＝　6（n﹣2）2 ，x0＝　（n﹣2）3 ； 【解答】解：（1）根据长方体的分割规律可得x3＝8，x2＝12，x1＝6，x0＝1； （2）把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个；有一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色．故x3＝8，x2＝24，x1＝24，x0＝8； （3）由以上可发现规律：三面涂色8，二面涂色12（n﹣2），一面涂色6（n﹣2）2，各面均不涂色（n﹣2）3 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $