专题3.1 导数之基本概念和切线讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数高考核心考点，涵盖导数基本运算、切线方程求解（含切点与曲线外点两种类型），按“概念梳理-运算规则-应用拓展”逻辑架构知识体系，通过知识点系统梳理、典型例题方法指导、分层随堂演练等环节，帮助学生构建导数知识网络，突破运算与切线问题难点。 资料突出高考实战导向，采用“题型归类-方法提炼-即时巩固”教学策略，如在切线问题中，对比切点与外点的不同解题路径，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合的梯度练习，配合真题题型训练，确保高效提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏、增强备考针对性提供实用支持。

专题03导数高考专项复习 专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型 3.1.1 导数的基本运算 知识点梳理 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可. 2.导数的四则运算法则 （1）函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. （2）函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. （3）函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 3.简单复合函数的导数 （1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. （2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 典型例题 例1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （4）y＝sin22x+2x+1． 例2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 例3.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 例4.函数的导数为（ ） A． B． C． D． 随堂演练 1.求下列函数的导函数． （1）f（x）＝﹣2x3+4x2； （2）； （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）； （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx； （5）y＝sinx； （6）． 2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 3.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 4.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 5.求下列函数的导数． （1）y＝（log3x）sinx （2）y＝xtanx﹣2lnx 3.1.2 切线-已知点为切点 知识点梳理 1.导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 2.由1可知，若函数在点（x0，）处的切线方程为：. 典型例题 例1.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 例2.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 例3.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 例4.已知函数f（x）＝（a）ln（1+x）． 则当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 随堂演练 1.已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 2.已知函数，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 3.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2，若a＝﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线 方程为 . 4.已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为　 ． 5.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方 程为 . 6.已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 7.若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　． 8.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x 轴上的截距为2，则a的值为 . 3.1.3 切线-已知点为曲线外一点 知识点梳理 已知函数的切线过了点A（m，n），且点A不在图像上，则可先设切点坐标为，则斜率，则切线方程为，然后将点A（m，n）代入得，由此解出的值. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程为 . 例2.已知曲线f（x）＝x3，则过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程为 ． 例3.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 随堂演练 1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1在x＝0时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 ． 2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l的斜率为（  ） A．24 B．24或-3 C．45 D．0或45 3.若曲线在点处的切线过原点O(0,0)，则 . 4.已知直线l为曲线过点的切线. 则直线l的方程为 . 5.已知点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ，切线方程为 . 6.过点(0,-2)作曲线的切线，则切线方程为 . 7.已知函数，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l的斜 率为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03导数高考专项复习 专题3.1 导数的基本概念和切线相关题型 3.1.1 导数的基本运算 知识点梳理 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题.（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可. 2.导数的四则运算法则 （1）函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. （2）函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. （3）函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 3.简单复合函数的导数 （1）复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. （2）复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 典型例题 例1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （4）y＝sin22x+2x+1． 解：（1）； （2）； （3）根据题意，y＝xln（x+1）， 其导数； （4）根据题意，y＝sin2（2x）+2x+1， 其导数y′＝4sin（2x）•cos（2x）+2xln2＝2sin（4x）+2xln2． 例2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 解：因为函数，所以f′（x），所以f′（1）， 所以f′（1）． 故选：C． 例3.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 解：∵，令x=2得，， 故选D. 例4.函数的导数为（ ） A． B． C． D． 解：. 随堂演练 1.求下列函数的导函数． （1）f（x）＝﹣2x3+4x2； （2）； （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）； （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx； （5）y＝sinx； （6）． 解：（1）f（x）＝﹣2x3+4x2，所以f′（x）＝﹣6x2+8x． （2），所以f′（x）＝x2﹣2x+a． （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1），所以f′（x）＝﹣sinx+1，x∈（0，1）． （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx，所以． （5）y＝sinx，所以y′＝cosx． （6），所以． 2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 解：，则，故选：D. 3.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 解：∵， ∴ ，∴， 所以，∴. 4.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 解：，∴，即，解得：.故答案选：C. 5.求下列函数的导数． （1）y＝（log3x）sinx （2）y＝xtanx﹣2lnx 解：（1）． （2）因为（tanx）′，所以． 3.1.2 切线-已知点为切点 知识点梳理 1.导数的几何意义：函数在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线在点（x0，）处的切线的斜率k0,即.如果切线的倾斜角为，则tan=f'(x0). 2.由1可知，若函数在点（x0，）处的切线方程为：. 典型例题 例1.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 解：因为y′＝ex+2cos2x， 所以y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线斜率为， 所以切线方程为y﹣1＝3×（x﹣0），即3x﹣y+1＝0． 故选：C． 例2.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 解：，在点（1，-1）处的切线的斜率，所以由点斜式可得直线方程为，即. 故选：A. 例3.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）； （2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，所以， 所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0， 所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0． 例4.已知函数f（x）＝（a）ln（1+x）． 则当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 解：（1）a＝﹣1时，f（1）＝0， f′（x）ln（x+1）+（1）（），f′（1）＝﹣ln2， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ln2（x﹣1）． 随堂演练 1.已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，则f（1+x）＝f（1﹣x）， 两边同时求导可得：f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x）， 当时，f（x）＝ln（1﹣2x），求导可得f′（x），则有f（0）＝﹣2， 又由f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），令x＝1可得：f′（2）＝﹣f′（0）＝2， 则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为2．故选：C． 2.已知函数，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 解：由于f（1）＝0，则切点坐标为（1，0），因为，所以切线斜率为， 故切线方程为，即 3.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+x2，若a＝﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线 方程为 . 解：a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x+x2，，则f′（1）＝4，f（1）＝2， 所求切线方程为y＝4（x﹣1）+2，整理得y＝4x﹣2. 4.已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为　1． 解：函数的导数， 可得曲线f（x）在x＝1处的切线的斜率为1， 而曲线f（x）在x＝1处的倾斜角为，可得1tan，解得a＝1． 故答案为：1． 5.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+2，当a＝1时，则f（x）在（1，f（1））处的切线方 程为 . 解：当a＝1时，f（x）＝（x+1）lnx﹣x+2（x＞0），，则f′（1）＝1，f（1）＝1，所以f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即y＝x． 6.已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 . 解：，则f′（1）＝1，又f（1）＝0， 所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1； 故答案为：y＝x﹣1． 7.若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　． 解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1， 在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2， 切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1． 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线， 设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：2，可得x， x代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（，0）， 切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（1）+a，解得a＝ln2． 故答案为：ln2． 8.已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x 轴上的截距为2，则a的值为 . 解：已知函数f（x）＝ex﹣a（x﹣1），曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l在x轴上的截距为2， 因为f（1）＝e，则点P（1，e）．因为f′（x）＝ex﹣a，则f′（1）＝e﹣a． 据题意，切线l经过点A（2，0），则f′（1）＝kPA， 即，所以a＝2e． 3.1.3 切线-已知点为曲线外一点 知识点梳理 已知函数的切线过了点A（m，n），且点A不在图像上，则可先设切点坐标为，则斜率，则切线方程为，然后将点A（m，n）代入得，由此解出的值. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上，则曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程为 . 解：令所求切线在曲线y＝f（x）上的切点为（m，m3），则f′（m）＝3m2， 所以切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m）⇒3m2x﹣y﹣2m3＝0， 又E（2，0）在切线上，故6m2﹣2m3＝0⇒m＝0或m＝3， 所以切线方程为y＝0或27x﹣y﹣54＝0． 例2.已知曲线f（x）＝x3，则过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程为 ． 解：设切点坐标为， 则切线方程为，又其过点（﹣1，﹣1）， 所以， 即，所以x0＝﹣1或， 故过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线有两条， 其方程分别是y+1＝3（x+1）和，即3x﹣y+2＝0和3x﹣4y﹣1＝0． 例3.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 解：（1）由f（x）＝x3﹣ax2+b，得f′（x）＝3x2﹣2ax， 则，解得a＝1，b＝0； （2）由（1）得，f（x）＝x3﹣x2，则f′（x）＝3x2﹣2x， 设切点坐标为（）， 则函数在切点处的切线方程为y， 把点（0，﹣1）代入，可得， 整理得：，解得x0＝1． ∴曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程为y＝x﹣1． 随堂演练 1.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+1在x＝0时取得极大值1，则过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程为 ． 解：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 把点（0，2）代入， 得， 整理得，解得x0＝1或． 所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或，即3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0． 2.已知函数f（x）＝x3-6x2+9x-7，直线l过点(0,1)且与曲线y＝f（x）相切,则直线l的斜率为（  ） A．24 B．24或-3 C．45 D．0或45 解：由，得， 设直线与曲线相切的切点为 ，则在处的切线斜率为 ， 所以切线方程为， 将点的坐标代入并整理，得， 即，解得或，所以直线的斜率为24或-3. 故选:. 3.若曲线在点处的切线过原点O(0,0)，则 . 解：因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以.故答案为：. 4.已知直线l为曲线过点的切线. 则直线l的方程为 . 解：对求导，得：.切线斜率：. 由点斜式方程，得：,化简得. 故答案为：. 5.已知点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ，切线方程为 . 解: 设, 由, 得，， 则该曲线在点处的切线方程为，∴切线经过点， ，即, 则. ∴ 点的坐标是，此时切线方程为，即.故答案为: . 6.过点(0,-2)作曲线的切线，则切线方程为 . 解：由题意知,点 不在曲线 上,设切点坐标为 , 切线的斜率为 , 则切线方程为 , 即 . 又点 在切线上,所以 , 解得 , 所以切线方程为.故答案为：. 7.已知函数，过原点作曲线y＝f（x）的切线l，则切线l的斜 率为 ． 解：根据题意得 ，设切点坐标为，则 ， 所以切线 的方程为 ， 将点 代入， 可得 ，整理得：，故 ， 解得 故 ，即切线 的斜率为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $