精品解析：甘肃省天水市甘谷县甘谷县模范初级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末检测考试试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，无理数的概念，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．无理数是不能表示为两个整数之比的实数，即无限不循环小数． 逐一判断各选项． 【详解】解：，，是有理数，是无理数 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则分别计算判断即可． 【详解】A∶∵，∴A正确； B∶∵，∴B错误； C∶∵，∴C错误； D∶∵，∴D错误． 故选：A． 3. 以下调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 对某市市民知晓“一盔一带”交通新规情况的调查，采用普查 B. 了解全班名同学每天体育锻炼的时间，采用抽样调查 C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试，采用普查 D. 对社区名党员进行“大走访、大调研”，采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，熟记抽样调查与普查的定义及适用特征是解决问题的关键． 普查是对所有个体进行调查，适用于总体规模小或需要精确数据的情况；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，适用于总体规模大或普查成本高的情况，根据各选项的总体规模和调查目的，判断调查方式是否合理即可得到答案． 【详解】解：A：某市市民人数众多，普查成本高、耗时长，应采用抽样调查，调查方式选择不合理，不符合题意； B：全班名同学人数少，易于普查，抽样调查可能不全面，调查方式选择不合理，不符合题意； C：学校招聘教师，应聘人员数量通常有限，面试需要全面评估每个人，因此采用普查合理，符合题意 D：社区名党员人数少，应进行普查，抽样调查可能遗漏信息，调查方式选择不合理，不符合题意； 故选：C． 4. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【详解】解：选项中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 5. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 6. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 7. 数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为13得到，再结合，点A表示的数为，点P在点A的右侧，然后确定点P表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为，点P在点A的右侧， ∴表示的数为：， 故选： C． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：D． 9. 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故②符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故④符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故⑤符合题意； ∵， ∴， ∴， 无法判断的形状，故⑥不符合题意； 综上可知：能判定为直角三角形，共5个， 故选：． 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， ， ，故③不正确； ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共6小题，合计24分） 11. 在“We love maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了频率，某个数据出现的次数除以数据的总个数即为频率，根据频率的定义进行解答即可．计算字母“e”出现的次数与总字母数的比值． 【详解】解：在“We love maths”中，所有字母为：W、e、l、o、v、e、m、a、t、h、s，共11个字母．字母“e”出现了2次，因此频率为． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形中，一个角为，则该等腰三角形的底角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由于已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数，即可作答． 【详解】解：设等腰三角形的底角为 情况一：当角是顶角，则， 解得； 情况二：当角是底角，则底角为， ∴底角度数为或， 故答案为：或． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 14. 若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，直线m是线段的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是______ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴周长为， 则当点三点共线时，周长最小， ∴周长的最小值为， 故选：． 16. 如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【解析】 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 三、解答题1（第17小题分，第18小题分，共小题，合计46分） 17. 按要求计算或因式分解 （1）计算： ① ②求的值： （2）因式分解： ① ②； ③ ④ 【答案】（1）①；② （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根解方程，因式分解： （1）①先化简二次根式，计算立方根，再进行加减运算；②利用立方根解方程； （2）①提取公因式法；②先计算多项式乘多项式，再利用完全平方公式进行因式分解；③先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解；④综合应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：① ； ②， ， ， ； 【小问2详解】 解：①； ②； ③ ④ 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算——化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式化成最简，然后将的值代入化简后的式子即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 19. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你仿照上述方法完成下列因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键． （）将看成整体，令代入原式即可求解； （）将看成整体，令代入原式即可求解； 【小问1详解】 解：设， 则原式， ， 把代入得， 原式； 【小问2详解】 解：设， 则原式， ， ， 把代入得， 原式， ， ． 20. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先理解题意，运用方式证明，故，又因为，则，即可作答． 【详解】解：依题意，在和中， ． ， ． 21. 如图，在中，，． （1）用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； （2）若，，，求点P到的距离． 【答案】（1） 作图见详解； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作的角平分线与交点P即可； （2）过点P作，交于D，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解∶ 作的角平分线与交点P， 点P到，的距离相等，如图，点P即为所求 【小问2详解】 解：过点P作，交于D， ． ，由（1）知平分， ． ， ，解得． 即P到的距离为3． 四、解答题2（第22小题8分，23-25每小题10分，第26小题12分，合计50分） 22. 在陕西周至的国家级自然保护区中，调皮可爱的猴子随处可见．如图，有两只猴子爬到一棵树上的点B处（），且，突然发现远方A处有好吃的食物，其中一只猴子沿爬下到C处，再沿走到离树处的A处（即），另一只猴子沿先爬到树顶D处后再沿缆绳（绷直）线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，若设为，则这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵两只猴子所经过的路程相等 ∴， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 23. 【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】（1） （2）小明同学应该再放出8米线 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ． 答：小明同学应该再放出8米线． 24. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，样本估计总体等知识，读懂题意，准确计算是关键． （1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （4）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， 故答案为： 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为： 【小问4详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 25. 【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 26. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末检测考试试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 对某市市民知晓“一盔一带”交通新规情况的调查，采用普查 B. 了解全班名同学每天体育锻炼的时间，采用抽样调查 C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试，采用普查 D. 对社区名党员进行“大走访、大调研”，采用抽样调查 4. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 6. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 7. 数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共6小题，合计24分） 11. 在“We love maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率是______． 12. 已知等腰三角形中，一个角为，则该等腰三角形的底角度数为______． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 14. 若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为______． 15. 如图，在中，直线m是线段的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是______ 16. 如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当___________为何值时，与全等． 三、解答题1（第17小题分，第18小题分，共小题，合计46分） 17. 按要求计算或因式分解 （1）计算： ① ②求的值： （2）因式分解： ① ②； ③ ④ 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你仿照上述方法完成下列因式分解： （1）； （2）． 20. 风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 21. 如图，在中，，． （1）用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； （2）若，，，求点P到的距离． 四、解答题2（第22小题8分，23-25每小题10分，第26小题12分，合计50分） 22. 在陕西周至的国家级自然保护区中，调皮可爱的猴子随处可见．如图，有两只猴子爬到一棵树上的点B处（），且，突然发现远方A处有好吃的食物，其中一只猴子沿爬下到C处，再沿走到离树处的A处（即），另一只猴子沿先爬到树顶D处后再沿缆绳（绷直）线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，若设为，则这棵树高有多少米？ 23. 【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 24. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 25. 【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 26. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： （1）如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； （2）如图，点为的中点，，，求； （3）如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $