寒假作业08 三角函数的图像与性质7类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业08 三角函数的图像与性质 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 五点法作图 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的周期性求值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【详解】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 2．已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出的图象. x 0    (2)若函数满足不等式，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、正弦函数图象的应用 【分析】（1）令相位等于，，，求出对应角，即可完成表格画出图像； （2）求出解，再结合图像解不三角等式即可. 【详解】（1） 0      （2）令， ，又， 所以或，即或， 结合图形      可得不等式的解为. 题型二 函数的周期性 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 3．（24-25高一下·福建·期中）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期、诱导公式五、六、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数解析式以及函数奇偶性定义，利用诱导公式或画出对应函数图象对选项逐一分析即可判断得出结论. 【详解】对于A，易知满足，为偶函数， 画出函数图象如下图所示：    最小正周期为，满足题意，即A正确； 对于B，易知为奇函数，因此B错误； 对于C，易知为奇函数，可知C错误； 对于D，易知满足为偶函数， 其图象如下图所示：    显然其最小正周期为，不合题意，即D错误. 故选：A 4．（25-26高三上·上海金山·月考）已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的周期得出，再分类讨论代入计算应用诱导公式计算求解. 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课前预习）函数的周期为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由公式直接计算即可. 【详解】函数周期为. 故答案为： 题型三 函数的单调性 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 . 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 3．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据周期可求得，再结合三角函数的单调区间即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以函数， 所以有， 解得单调递增区间为. 故答案为： 4．求函数的单调递增区间 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求含cosx的函数的单调性 【分析】利用余弦函数的单调减区间得到函数的单调增区间. 【详解】解：函数的单调增区间是函数的单调减区间， 函数的单调减区间为：， 所以，函数的单调递增区间：， 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的求解，是基础题. 一般地，对于,当时与具有相同的单调增（减）区间， 当时，与具有相反的单调性. 题型四 函数的对称性（对称轴、对称中心） 1．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 2．（25-26高三上·福建三明·月考）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据三角函数对称轴列方程，可得，进而确定最值. 【详解】由已知是函数的图象的一条对称轴， 则，， 则，， 又，可知，则，且， 则当时，取得最小值为， 故选：C. 3．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的性质求出函数的对称轴方程，即可判断. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意. 故选：B 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 题型五 函数的值域 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 2．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 3．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 4．（25-26高三上·上海·月考）函数在区间上的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求解. 【详解】因为，，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型六 根据三角函数的图像求解析式 1．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数部分图象如图所示，则函数解析式为 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象可知：，结合周期性可得，代入点运算求解即可. 【详解】由图象可知：， 设函数的最小正周期为T，则，即， 且，则，解得， 所以， 又因为，且，则， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为 ， . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）由得，结合，得到和，然后即可求出，由函数经过的点求得，即可得到函数的解析式； （2）利用三角函数的周期性和诱导公式即可求出结果. 【详解】，则，∵，∴且，即， ∴， 由图像可知函数经过点，即，且， ∴， ∴， ，∵函数的最小正周期为， ∴， ∵， ∴. 故答案为： , 题型七 三角函数图像的综合应用 1．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 【答案】(1) (2) (3)时，函数有最大值，时，函数有最小值 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）通过正弦型函数的周期公式，求函数的最小正周期. （2）利用整体思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间. （3）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值以及相应的值. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）由，， 得， 所以函数的单调递增区间为； （3），，， 当，即时，函数有最大值， 当时，即时，函数有最小值 2．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据方程进行求解，结合三角函数的取值范围确定角度； （2）根据正弦函数的图象性质求解即得； （3）将存在性不等式问题转化为函数最值问题，求出函数最值，进而求出m的取值集合. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 3．（25-26高三上·安徽·月考）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 【答案】(1)；的对称轴为；函数的单调递减区间为，其中 (2)面积为 【难度】0.4 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）求得点的坐标为，进而可求得周期，求得，进而利用对称性可求得函数的单调递减区间； （2）利用，求得，利用，求得，进而可求的面积． 【详解】（1）依题意，为的中点，因此点的坐标为， 所以，即，从而； 且的中点的横坐标为， 故曲线的对称轴方程为； 又（此为点关于对称的点的横坐标）， 所以函数的单调递减区间为，其中. （2）由题意，，故， 因为，解得，所以. 又，所以，解得， 显然，的面积. 4．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求cosx(型)函数的值域、求cosx型三角函数的单调性 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合余弦函数进行求解； （2）先由平移变换求出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， 设该函数的最小正周期为， 所以有， 所以，因为， 所以， 即函数， 又，所以， 解得，因为，所以令，可得， 所以. （2）函数的图象先向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 令， 因为， 所以当时，函数单调递减， ， 所以当时，单调递减， 当时，函数单调递增， ， 所以当时，单调递增， ， ， 所以， 综上所述：当时，单调递减，当时，函数单调递增，值域为. 1．（24-25高一下·湖北·月考）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【详解】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将问题转化为在上恰有个零点，求出的范围，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因，，则， 因函数与的零点完全相同， 则函数在上恰有个零点，等价于函数在上恰有个零点， ①若，即，则， 则不可能存在个零点； ②若，即，因为区间关于对称， 则，得 综上，的取值范围是. 故选：B 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角函数图象的综合应用、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）（多选题）在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B． C．的最小正周期为 D．当时，的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据三角函数的性质，结合已知函数定义，利用诱导公式、倍角公式、反证法等对选项进行分析判断． 【详解】选项A：， ， ，，故，故A错误； 选项B：， ， ，故B正确； 选项C：，令， 则，即是的一个周期， 假设有小于的最小正周期为，即， 则，即恒成立， 令，则，解得， 又，故，矛盾，故假设不存在， 所以的最小正周期为，故C正确； 选项D：当时，，， 若，； 若时，； 若，， 由可得，所以，当时，， 综上，时，的最小值为，故D正确．     故选：BCD 6．（25-26高三上·山东青岛·月考）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，则有， 解得，则的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围. 【详解】由题意可知，即，∴. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则，且，则， 取则，. 当，为常数函数，不合题意. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则， ∴ 故答案为： 8．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若，当时，，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据对称中心求出，平移后求出，构造函数，化简后利用函数单调性求的范围即可得解. 【详解】因为点为曲线的一个对称中心， 所以，解得， 又，所以， 所以，其图象向左平移个单位长度，得. 由，得. 令， 当时，， 由题意，知在上单调递减，所以，解得， 即的最大值为. 故答案为： 1．（25-26高三上·山东青岛·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断A，再根据函数值得出自变量判断B，再根据周期计算判断C，计算函数值判断D. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：A 2．（25-26高三上·安徽·月考）葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据点在曲线上得出参数进而得出解析式，再代入得出点的坐标计算求解. 【详解】由题意得，点和在曲线上， 则，解得， 所以． 当时，，令，则，得， 则，解得，即； 当时，，令，则，得， 则，解得，即， 所以点与的横坐标之差为． 故选:A． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业08 三角函数的图像与性质 1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 五点法作图 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 2．已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出的图象. x 0    (2)若函数满足不等式，求的范围. 题型二 函数的周期性 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建·期中）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海金山·月考）已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 5．（24-25高一下·全国·课前预习）函数的周期为 . 题型三 函数的单调性 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 . 3．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为 . 4．求函数的单调递增区间 . 题型四 函数的对称性（对称轴、对称中心） 1．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建三明·月考）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 题型五 函数的值域 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是 ． 4．（25-26高三上·上海·月考）函数在区间上的值域为 . 题型六 根据三角函数的图像求解析式 1．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数部分图象如图所示，则函数解析式为 .    4．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数，其部分图像如图所示，其中为最高点，，则的解析式为 ， . 题型七 三角函数图像的综合应用 1．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 2．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 3．（25-26高三上·安徽·月考）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 4．（24-25高二上·贵州遵义·月考）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调性及值域； 1．（24-25高一下·湖北·月考）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高一上·江苏盐城·月考）（多选题）在平面直角坐标系中，射线从轴的非负半轴开始绕坐标原点逆时针旋转时与轴的非负半轴所成的角为，定义，则下列说法正确的是（    ） A．，使得 B． C．的最小正周期为 D．当时，的最小值为 6．（25-26高三上·山东青岛·月考）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 ． 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 8．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若，当时，，则实数的最大值为 . 1．（25-26高三上·山东青岛·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 2．（25-26高三上·安徽·月考）葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（   ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $