第四章 数列（基础巩固卷）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）数列的前几项为，则此数列的通项可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·海南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．39 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在等比数列中，，公比．若，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二上·广东中山·月考）等差数列的前项和为，若，则的值是 A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆万州·期末）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问相逢时驽马行（    ）日？ A．8 B．9 C．10 D．11 6．（2026·全国·模拟预测）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（    ） A． B． C． D．2 7．（24-25高二下·河南许昌·期末）数列的首项，且，令，则（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 8．（2025·全国·高考模拟）已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 10．（25-26高二下·全国·课后作业）(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·天津和平·期中）已知数列满足，且，若，则正整数k= . 13．（24-25高二下·全国·开学考试）已知数列的前项和（），且，则 ． 14．（2026·全国·模拟预测）设数列的前项和为，已知，，则等于 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为. 16．（25-26高三上·北京东城·期中）已知等差数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前n项和． 17．（25-26高二上·上海·课后作业）已知数列满足，且． （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式． 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，，若数列是公比为4的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 19．（2025·山东德州·二模）已知数列{}的首项，且满足． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，求{}的前n项和． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）数列的前几项为，则此数列的通项可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为. 点睛：本题主要考查根据数列的前几项，猜想数列的通项公式.首项观察到数列有部分项是分数的形式，所以考虑先将所有项都写成分数的形式，每项的分母都为，而分子是首项为，公差为的等比数列，由此可求得数列的通项公式.要注意的是，由部分项猜想的通项公式可以有多个. 2．（24-25高三上·海南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．39 【答案】D 【分析】先根据已知条件算出等比数列的公比和首项，然后根据等比数列的求和公式算出. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得， 于是，解得， 于是. 故选：D 3．（24-25高二下·全国·课后作业）在等比数列中，，公比．若，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式求值即可. 【详解】因为等比数列，，公比， 所以， 当时， 得， 故选：D 4．（25-26高二上·广东中山·月考）等差数列的前项和为，若，则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质求出的值，再由等差数列的前项和以及等差中项的性质求出的值. 【详解】由等差中项的性质得，， 因此，，故选A. 【点睛】本题考查等差中项的性质，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，解题时充分利用等差数列的性质，可简化计算，同时也可以利用首项和公差，利用方程思想求解，考查计算能力，属于基础题. 5．（24-25高二上·重庆万州·期末）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问相逢时驽马行（    ）日？ A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】结合等差数列，将良马和驽马日行里程表示为等差数列，结合等差数列前项和即可求解. 【详解】由题，不妨设，则，，令，即，解得（舍去）或，故9日相逢. 故选：B 6．（2026·全国·模拟预测）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得设，，根据，即可选出正确答案. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以可设，. 则，，所以. 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列前项和的性质，属于基础题. 7．（24-25高二下·河南许昌·期末）数列的首项，且，令，则（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】由题意得，结合已知有是首项、公比均为4的等比数列，进而得到，即可求目标式的值. 【详解】∵， ∴，即且， ∴数列是以4为首项，公比为4的等比数列，故， 由得：， 设数列的前项和为，则， ∴． 故选：C 8．（2025·全国·高考模拟）已知等比数列，，…，各项为正且公比，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】作差并化简得，根据，讨论差的正负即可得解. 【详解】 ． 因为，，， 所以若，则，，所以， 所以； 若，则，，所以， 所以. 所以恒有． 故选：C． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【答案】AB 【分析】根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断. 【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 10．（25-26高二下·全国·课后作业）(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规律，即可找出结果. 【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…， 且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到：，，，，只有BD是对的． 故选：BD. 11．（24-25高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·天津和平·期中）已知数列满足，且，若，则正整数k= . 【答案】23 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{an}满足a1＝15，且3an+1＝3an﹣2，整理得（常数）， 所以数列{an}是以a1＝15为首项，为公差的等差数列． 则， 由于akak+1＜0，则0， 解得， 所以正整数k＝23． 故答案为23． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13．（24-25高二下·全国·开学考试）已知数列的前项和（），且，则 ． 【答案】7 【分析】先通过求出的值，然后利用与的关系证明当时成立，从而求出数列的通项公式，写出. 【详解】因为，当时，有，； 当时，，两式相减得， 即， 当时，，所以， 所以. 故答案为：7 14．（2026·全国·模拟预测）设数列的前项和为，已知，，则等于 . 【答案】1010 【分析】由已知递推公式求得，，，，则有，所以计算即可得出结果. 【详解】因为，，因为 所以，由此可得，，，所以，周期为4， 所以. 故答案为：1010 【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的周期性，考查求数列前项的和的问题，考查学生的推理能力和计算能力，属于中档题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】（1）设公差为， 由，， 得，解得， 所以； （2）. 16．（25-26高三上·北京东城·期中）已知等差数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项，建立方程组，可得答案； （2）根据等比数列的定义，结合其求和公式，可得答案. 【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d， 由，得， 解得，， 所以． （2）因为，， 是等比数列，则的公比， 所以， 所以数列的前n项和． 17．（25-26高二上·上海·课后作业）已知数列满足，且． （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据题意可求得，进而根据等差数列的定义可推断出是首项为，公差为2的等差数列，进而求得通项公式； （2）令，则可知进而推断出是首项为，公比为的等比数列，则求出其通项公式，进而根据和的表达式，联立方程求得的通项公式. 【详解】解:（1）由题可知，，， 则， 即，得：， 易知是首项为，公差为2的等差数列， 则通项公式为：. （2）由题可得：， 令，则， 易知是首项为，公比为的等比数列， 则通项公式为：， 由，解得：. 【点睛】本题考查利用定义法证明等差数列和等比数列，以及等差数列和等比数列的通项公式，考查运算能力. 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，，若数列是公比为4的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是公比为4的等比数列求得，再由求数列的通项公式； （2）把（1）中求得的通项公式与前项和代入，然后利用裂项相消法求数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以， 当时，，且满足上式，所以数列的通项公式为． （2）（2）， 所以． 19．（2025·山东德州·二模）已知数列{}的首项，且满足． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，求{}的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对于两边取倒数，可推得，结合等比数列的通项公式，求得答案； （2）由（1）求得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， ， 所以， 即是等比数列， 则的首项为，公比为3，所以， 所以． （2）由（1）得：， 所以①， ②， ①－②得 , 所以. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $