专题12 相似与几何综合题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题12 相似与几何综合题分类训练（5种类型40道） 考点01 相似综合问题三角形相关 考点02 相似综合问题平行线相关 考点03 相似综合问题四边形相关 考点04 相似综合问题圆相关 考点05 相似综合问题几何动点相关 考点01 相似综合问题三角形相关 1．在等腰直角中，，，外有一点D满足，BD与AC相交于点E，连接CD． (1)如图1，若，，求BD的长； (2)如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将沿直线AB翻折至所在平面内，得，连接、，AG，请直接写出的比值． 2．已知为等边三角形，为延长线上一点，连接．    (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为中点，为上一点，，连接，将沿翻折得到，连接交于，将绕点旋转，将旋转后的三角形记为，连接，若，请直接写出面积的最大值． 3．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 4．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 5．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，．    (1)如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 6．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图1，在中，D，E分别是边上的点，且，易证． 【探究】如图2，在中，点D与点B重合，且． （1）求证：； （2）如图3，当时，则图中共有______组相似三角形，线段之间的数量关系为______； 【应用】 （3）如图4，在中，，作于点D，于点E，于点F．若，，求的值． 7．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 8．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． (1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； (2)如图②，若，，，求的值． 考点02 相似综合问题平行线相关 9．【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 10．（1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的______，截得的______成比例． 课本利用“面积法”证明了这个定理，我们现在回忆和完成下面的要求即可． （2）首先画图，学生画出除图1外符合上述定理其他所有可能情况图形． （3）已知，如图1，，求证：（用面积法证明）． 11．【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 12．如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． (1)求的长； (2)过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 13．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知，，，则和的长为？ 14．在△ABC中，，延长至点D，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两条平行线交于点E，连接． (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点F为的中点，过点F作的平行线，交于点G，连接并延长，交于点H． ①求证：； ②若，求证：． 15．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 16．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，求的值． 考点03 相似综合问题四边形相关 17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长，，则________． 18．如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为________； (2)探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． 19．四边形和四边形有公共顶点A，连接和． (1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，求线段的长． 20．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 21．已知，矩形中，，，E是边上的动点． (1)如图①，当点F在边上时，若，求的值； (2)如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； (3)当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 22．在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； (2)如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． (3)如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 23．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 24．在四边形中，点分别是边上的点，连接并延长，分别交的延长线于点． (1)如图1，若四边形是菱形，，求证：； (2)如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式： (3)如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 考点04 相似综合问题圆相关 25．如图，在边长为6的正方形中，点E是边上的动点，连接，交对角线于点M． 以为直径的圆交于点F， 连接、． (1)和数量上有什么关系？说明理由； (2)将以为轴翻折得到(点N与点M对应)，的延长线交于G． ①求的最大值； ②设，用x的代数式表示，并写出x的取值范围． 26．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，过点A作于点F． (1)求证：． (2)已知点M在边上，． ①若，，点M关于的对称点记为，，求k的值及的长． ②若，以A，E，M为顶点的三角形与相似，求的值． 27．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 29．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 蝴蝶定理（），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．蝴蝶定理是．霍纳年提出并证明的． 蝴蝶定理：如图（1），在中，点为弦的中点，过点作弦．连接，分别与交于点，则点是的中点． 下面是该定理的证明过程（部分）： 如图（2），过点作于点，于点，连接，则， 点在以为直径的圆上，点在以为直径的圆上， 点四点共圆，点四点共圆， ，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)请根据蝴蝶定理填空：如图（1），若，则________． 30．如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接．    (1)若，求证：是的切线； (2)若，设的面积分别为，当时，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 31．如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：； (2)若，，求． 32．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 考点05 相似综合问题几何动点相关 33．如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时，； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 34．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 35．如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm．动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题： （1）当CE⊥AB时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形AEFC的面积为ycm2，求y与t之间的关系式． 36．已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，BC=6㎝，AB=10㎝．一动点M在边AC上从A向C以3㎝/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2㎝/s的速度匀速运动，当其中一个点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当运动时间为多少秒时，△CMN的面积为5? （2）当运动时间为多少秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？ 37．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10． (1)求梯形ABCD的面积S； (2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； ③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 38．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 40．如图，在中，，，，是边上的一个动点，从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设运动时间为． (1)请说明四边形是否为平行四边形？请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 相似与几何综合题分类训练（5种类型40道） 考点01 相似综合问题三角形相关 考点02 相似综合问题平行线相关 考点03 相似综合问题四边形相关 考点04 相似综合问题圆相关 考点05 相似综合问题几何动点相关 考点01 相似综合问题三角形相关 1．在等腰直角中，，，外有一点D满足，BD与AC相交于点E，连接CD． (1)如图1，若，，求BD的长； (2)如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将沿直线AB翻折至所在平面内，得，连接、，AG，请直接写出的比值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明得到，得到 ，设，，在中，由勾股定理求解即可； （2）延长至使得，连接，证明四边形DFHC为平行四边形，得到DC=FH，DH=2DG，再由已知BC=AC=2DG，进而得到BC=DH；过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N，先证明△HND≌△CMB推出DM=BN，即可证明△DMC≌△BNH得到CD=HF=HB，证明A、B、C、D四点共圆，得到∠BDC=∠BAC=45°，从而推出∠FHB=90°，则； （3）如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD，先证明CD=CF，∠DCF=90°，设CD=CF=2，则，，求出点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0），先推出，得到，，由△ADE∽△BCE，求出，，设点D的坐标为（m，n），由两点距离公式可得 ，从而求出点D的坐标为（，），则点F的坐标为（，），点G的坐标为（，），再求出，则，求出点M的坐标为，得到，则，再由，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图所示： ，， ， ，且 ， ，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理可知：，代入数据： 即， 解得或(舍)， ． （2）解：如图，延长至使得，连接， ∵G为CF的中点， ∴GF=GC， 在△GFD和△GCH中： ， ∴△GFD≌△GCH(SAS)， ∴DF=CH，∠FDG=∠CHG， ∴DF∥CH， ∴四边形DFHC为平行四边形， ∴DC=FH，DH=2DG， ∵已知BC=AC=2DG，且2DG=DH， ∴BC=DH， 过点C作CM⊥BD于M，过点H作HN⊥BD于N， ∴∠HMB=∠HND=90° ∵BD∥CH， ∴CM=HN， 又∵BC=DH， ∴△HND≌△CMB（HL）， ∴DN=BM， ∴DM=BN， ∴△DMC≌△BNH（SAS）， ∴CD=HF=HB， ∵∠ADB=∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形， ∴A、B、C、D四点共圆，∠CAB=45°， ∴∠BDC=∠BAC=45°， ∵CD∥FH， ∴∠HFB=∠HBF=∠CDF=45°， ∴∠FHB=90°， ∴； （3）解：如图3，以C为坐标原点，CB为x轴正半轴，CA为y轴正半轴建立坐标系，设DG与y轴交点为M，过点C作CN⊥BD， 由（2）可知， ∵F是BD的中点， ∴， ∵∠CDF=45°， ∴若过点C作CP⊥CD交BD于P，那么，即点P与F点重合， ∴CD=CF，∠DCF=90°， 设CD=CF=2，则，， ∴， ∴， ∴，点A的坐标为（0，），点B的坐标为（，0） ∵， ∴， ∴，， ∵△ADE∽△BCE， ∴， ∴， ∴ 设点D的坐标为（m，n）， ∴ ， 解得或（此时E在x轴下方，不符合题意，舍去）， ∴点D的坐标为（，）， ∴点F的坐标为（，）， ∴点G的坐标为（，）， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点G的坐标为（，），点D的坐标为（，）， ∴DG的中点坐标为 ，即点M的坐标为， ∴， ， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形全等的性质及判定，四点共圆，解直角三角形，一次函数与几何综合，两点距离公式等等，属于难题，熟练掌握各图形的性质及判定是解决本类题的关键． 2．已知为等边三角形，为延长线上一点，连接．    (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，为中点，为上一点，，连接，将沿翻折得到，连接交于，将绕点旋转，将旋转后的三角形记为，连接，若，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理列式计算，即可得到的值； （2）利用证明，即可得到，，再根据得到，最后利用线段之间的关系得出结论； （3）连接，作于N，延长交延长线于M，作于I，作交直线于J，作于L，连接，当取得最大值时，取得最大值，由垂线段最短知：，故当A，C，L在同一条直线，且L在的延长线上时，有最大值，即取得最大值，这时的面积有最大值， 由翻折知，，则，证明四边形为矩形，得出，则N为的中点，根据勾股定理求出，，证明，求出，证明，求出，根据等面积法求出，根据旋转的性质得出，则可求出的最大值，最后结合三角形面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：过点B作于E， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负值已舍去）； （2）解： 理由如下： 设，则，，延长至N，使，连、， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接，作于N，延长交延长线于M，作于I，作交直线于J，作于L，连接， 当取得最大值时，取得最大值， 由垂线段最短知：， 当A，C，L在同一条直线，且L在的延长线上时，有最大值，即取得最大值， 这时的面积有最大值； ∵，为等边三角形，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵G为中点，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴N为的中点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 当A，C，L在同一条直线，且L在的延长线上时，如图， 由旋转知：， ∴面积的最大值为 ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，图形的旋转，图形的翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是数形结合思想的运用． 3．如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，射线平分，点E在边上，且满足． (1)图中是否存在与相似的三角形，若存在请找出并证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)与相似，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）根据勾股定理并结合已知可得出，则为等腰直角三角形，得出，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，得出，即可求解． 【详解】（1）解：与相似， 证明：， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ， ． 4．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 5．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，．    (1)如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）由旋转知，求得，根据，证明，利用相似比求解即可； （2）借助旋转所得的全等三角形证明，借助辅助线的垂直性质证得，进而借助相似比求解； （3）将固定绕点旋转问题转化为，将固定，绕点旋转，分别讨论于的三个内角相等时的情况，借助相似三角形研究． 【详解】（1）解：在中，， ， ， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ． （2）如图所示，连接，过点作， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ， 又为的中线，， ， ， ， 即， 又， 四边形为矩形， ， ， ， 由可得， ， ， ．    （3）在纸片绕点旋转过程中研究，相当于将固定，绕点旋转． ①如图所示，当时， 过点作，， ， ， 又， ， ， 又， ， 为矩形， ， 故， ， 为等腰直角三角形， ，，    ②当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， ，为等腰直角三角形， ，， 由于，， ．    ③当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， 在中，， ， ．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图1，在中，D，E分别是边上的点，且，易证． 【探究】如图2，在中，点D与点B重合，且． （1）求证：； （2）如图3，当时，则图中共有______组相似三角形，线段之间的数量关系为______； 【应用】 （3）如图4，在中，，作于点D，于点E，于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析（2）3；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）共有3组相似三角形，线段的数量关系为，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共有3组相似三角形，线段的数量关系为． 故答案为：3；； （3）由（2）可知，，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 8．某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． (1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； (2)如图②，若，，，求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，本题核心是运用平行线构造相似三角形或等腰三角形，将线段比例与角度关系转化为可计算的形式． （1）过作交的延长线于E，由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，判定，推出得到； （2）延长到E，过D作交于F，得到，由平角的定义得到，因此，推出，判定，推出，由，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：过B作交的延长线于E， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长到E，过D作交于F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 相似综合问题平行线相关 9．【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，已知证明过程已得，可得，结合可得，再证，根据对应边长成比例，可得，进而可得． 【详解】解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ， ∵点D为的中点， ． ． ∵， ， ， ， ， ， ， ． 10．（1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的______，截得的______成比例． 课本利用“面积法”证明了这个定理，我们现在回忆和完成下面的要求即可． （2）首先画图，学生画出除图1外符合上述定理其他所有可能情况图形． （3）已知，如图1，，求证：（用面积法证明）． 【答案】（1）延长线；对应线段；（2）见解析；（3）见解析； 【分析】本题考查了相似三角形平行线的性质定理，掌握其知识点是解题关键； （1）根据性质定理即可解答； （2）根据性质即可求解； （3）连接，可得，，再根据，可得，即可求解. 【详解】解：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的延长线，截得的对应线段成比例． 故答案为：延长线；对应线段； （2）如图： （3）如图：连接 则， ∵ ∴ ∴    ∴. 11．【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 12．如图，在平行四边形中，，是上一点，，，连接交于点． (1)求的长； (2)过点作的平行线分别交射线和射线于点，． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)6 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）根据和得出，结合，即可证明，进而可得答案． （2）①根据．得出，，根据，得出，即，根据，证明，得出，即可得． ②作，根据，得出，证明平分，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，设，则，则在中，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②作于点M， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 13．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知，，，则和的长为？ 【答案】； 【分析】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 根据“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”，结合 、，，，据此进行计算求解即可． 【详解】解： ，， 解得 答：和的长分别为和． 14．在△ABC中，，延长至点D，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两条平行线交于点E，连接． (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点F为的中点，过点F作的平行线，交于点G，连接并延长，交于点H． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）①由，得到四边形是平行四边形，从而，因此，再结合即可证明； ②由得到，再得到，因此，根据推出，从而，进而得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 16．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，求的值． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 考点03 相似综合问题四边形相关 17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形判定与性质以及勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理得到，通过角之间的关系得，证明后得到比例关系即可求． 【详解】（1）证明：平行于，平行于， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 是矩形； （2）解：菱形的周长，， ，， ， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为________； (2)探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． 【答案】(1) (2)的值保持不变，理由见解析 【分析】（1）根据正方形性质，结合点E在上，点G在上，点F在上，可得，即得； （2）的值保持不变．证明即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∵点E在上，点G在上， ∴， ∵, ∴， ∴点A、F、C三点共线，点F在上， ∴． 故答案为：． （2）解：的值保持不变．理由： 四边形与四边形是正方形， ，， ∴， 即， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 19．四边形和四边形有公共顶点A，连接和． (1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长交于H，证明≌，得，，从而证明结论； （2）延长交于，证明∽，得，，从而证明结论； （3）当在上方时，作于，由（2）知，利用含角的直角三角形的性质得，，，在中，利用勾股定理求出的长，再根据，可得答案，当在下方时，同理可得答案． 【详解】（1）解：如图，延长交于H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 延长交于， ∵，， ∴∽， ∴，， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当在上方时，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由（2）知，， 当在下方时，作，交延长线于G， 同理可得，， 由勾股定理得，， 由（2）知，， 综上：或． 20．问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．已知，矩形中，，，E是边上的动点． (1)如图①，当点F在边上时，若，求的值； (2)如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； (3)当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1或或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解答的关键是利用相似三角形的性质解决问题． （1）根据矩形的性质和相似三角形的判定证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）同理，证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，可证明结论； （3）分点F在上和点F在上，结合（1）（2）结论、勾股定理以及一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是一个定值，定值为16； （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 当点F在上时，如图， 由（1）得， ∴， 设，则， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴，解得，， ∴或， ∴或； 当点F在上时，如图，过E作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，； 同理（2），， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴； 当点F在上时，如图，过E作于H， 同理，，， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 综上，的值为1或或或． 22．在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； (2)如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． (3)如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得，结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得，根据，得，得点I、J重合，即得． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，是解题的关键． 23．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）设、交于点O，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）作，交于X，先四边形是平行四边形，得到，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：（1）如图1， 设、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2， 作，交于X， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图4 连接，，作点B关于的对称点R，连接，， 由对称性可得，，，， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 24．在四边形中，点分别是边上的点，连接并延长，分别交的延长线于点． (1)如图1，若四边形是菱形，，求证：； (2)如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式： (3)如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）通过证明可得，进而证明结论； （2）通过证明可得，可得，通过证明可得，即，即可求y与x的函数关系式； （3）取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接，可证四边形是正方形，由（2）可知，由相似三角形的性质可得，，可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即，即， ∴． （3）解：如图：取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴由（2）可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 考点04 相似综合问题圆相关 25．如图，在边长为6的正方形中，点E是边上的动点，连接，交对角线于点M． 以为直径的圆交于点F， 连接、． (1)和数量上有什么关系？说明理由； (2)将以为轴翻折得到(点N与点M对应)，的延长线交于G． ①求的最大值； ②设，用x的代数式表示，并写出x的取值范围． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①②（） 【分析】（1）连接，结合正方形的性质及圆的基本性质，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①结合正方形的性质和旋转的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，由二次函数的性质即可求解； ②由①得，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出，由可求出，当与重合时，，可求出，由的延长线交于G得在正方形的内部，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； （2）解：如图， ①四边形是正方形， ， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得： ， ，， 当时， 取得最大值为； ②由①得 ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 解得：， 由旋转得 ， ， 当与重合时，， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的延长线交于G 在正方形的内部， ， 故：（）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质，二次函数的性质等；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 26．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，过点A作于点F． (1)求证：． (2)已知点M在边上，． ①若，，点M关于的对称点记为，，求k的值及的长． ②若，以A，E，M为顶点的三角形与相似，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②的值为或 【分析】（1）由题意可得，由等边对等角结合对顶角相等得出，再由，即可得证； （2）①由（1）可得，由相似三角形的性质可得，由题意可得点在上，，，设，则，则，，证明，得出，证明，得出，求出，得出，，从而即可得出，再由勾股定理计算即可得出的长；②设，则，，再分两种情况：当时；当时；分别利用相似三角形的性质、勾股定理等知识点求解即可． 【详解】（1）证明：∵以点C为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由（1）可得， ∴， ∵，点M关于的对称点记为，， ∴点在上，，， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∵，， ∴设，则， ∴， ∵以A，E，M为顶点的三角形与相似，， ∴如图，当时， ， ∵， ∴， ∵，， ∴由角平分线的性质定理可得：， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时， ， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证△≌△，可得，由等腰三角形的性质可得结论； （2）由平行线分线段成比例可得，通过证明△△，可得，即可求解； （3）根据角平分线的判定得出，进而得出设列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ， ∴△≌△， ， ∵， ， 又， ， ∴，， ∴； 故答案为： （2）证明：如图2，过点作于， ， ， ∵，， ， 由（1）可知， ， 又， △△， ， ； （3）解：∵， ， ∵， ∴ 由（1）可知，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设 则即 解得， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）观察图形可以看出和这两条边分别在和两个三角形中，所以只要证明就可以解答． （2）用上述的结论，可推出的长，再证得，运用相似三角形的性质可得．从而可求得，即可求得．再由勾股定理求得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 为直径， ． 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，，， ． ，， ． ， ． ，， ， ． ，，，， ， ． 在中，，，， ， 的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 29．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 蝴蝶定理（），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．蝴蝶定理是．霍纳年提出并证明的． 蝴蝶定理：如图（1），在中，点为弦的中点，过点作弦．连接，分别与交于点，则点是的中点． 下面是该定理的证明过程（部分）： 如图（2），过点作于点，于点，连接，则， 点在以为直径的圆上，点在以为直径的圆上， 点四点共圆，点四点共圆， ，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)请根据蝴蝶定理填空：如图（1），若，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义、相似三角形和全等三角形． （1）根据题意得到，通过比例关系和角相等得到，最后证明全等即可得出； （2）根据新定义即可证明． 【详解】（1），， ， ， 点分别是的中点， 又， ， ， 又，， ，即点是的中点． （2）由蝴蝶定理可知， 又， 又， ． 30．如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接．    (1)若，求证：是的切线； (2)若，设的面积分别为，当时，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由圆周角定理可得，即，再结合，最后根据切线的定义即可解答； （2）先说明可得，然后结合得到，然后求解即可； （3）如右图，过点B作于点H．则，再证明，进而得到，设，再证可得，然后代入相关数据即可解答． 【详解】（1）证明：是的直径, , ， , ，即，且是的直径， 是的切线． （2）解：在上的高相等． ， , , , ，即,解得（舍去负值）． （3）解：如右图，过点B作于点H．则， 由（1）得,   ，且 ， ， 设， ， ， ， ，即, ,解得：（舍去负值）．     ．    31．如图，已知点在圆上，为的一条割线，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，即可直接得出结论； （2）由（1）得，于是可得，即，进而可得，由线段之间的和差关系可得，然后根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ，， ， ． 32．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①y关于x的函数表达式为；②当x为时的值最大，最大值为 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明可得，即可求解； ②如图，连接，证明，可得，得到，然后用含x的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵切半圆于点D， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴，， ∴； （2）解：①∵为半圆O的直径，，设， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G，如图2， ∵， ∴， ∴. ∵P为线段上一点， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； ②连接，如图3， ∵圆周角所对的弧是， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当x为时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 考点05 相似综合问题几何动点相关 33．如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时，； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，平行线分线段成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是第3问注意分段讨论． （1）根据列代数式即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，当时，由此列式求解； （3）按照运动时间进行分类讨论，当时，，当时，过点Q作于点H， 证明，得出，再根据列函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 当点Q到达点C时，， 当点Q到达点A时，， 当时，如图， ，， ； 当时，如图，过点Q作于点H， ，， ， ， ， ， ， 综上可得，关于的函数关系式为． 34．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)秒 【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解； （2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解； （3）分类讨论时时，三种情况即可求解； （4）求出两种临界状态、下的的值即可求解； 【详解】（1）解：作，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：作交于点G，如图所示：    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）解：时：      即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：； 解得：； 综上所述：当或或时，为等腰三角形 （4）解：由（1）可知：， 当时，如图所示：   ， 解得：； 当时，如图所示：   ， 解得：； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒 【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键． 35．如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm．动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题： （1）当CE⊥AB时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形AEFC的面积为ycm2，求y与t之间的关系式． 【答案】（1）t=   （2）存在，，详解见解析  （3） 【分析】（1）根据三角形面积相等求出CE的长，再由勾股定理求出AE的长，即可得答案； （2）由勾股定理先求出ED和AD的长，在根据ED=AD-AE，解出的值即可； （3）过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出△BEG∽△BAC，求出EG，再由四边形面积得出y与x的关系式． 【详解】解：（1）当CE⊥AB时，可知∠AEC=90°， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴△ABC的面积=×3×4=6，△ABC的面积=×5×CE， ∴×5×CE=6， ∴CE=， 在Rt△ACE中，AE=； 即t= ； （2）过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意可知AE=t，BF=t， ∵BC=4， ∴CF=4-t， ∵CE≥CD，即4-t≥， ∴t≤， ∴此时点E还未到D点， 由（1）可知CD=， 在Rt△CDE中，ED= ， 在Rt△ACD中，AD= ， ED=AD-AE=， ， 两边同时平方，得： ， 整理得： ， ， ； （3）过点E作EG⊥BC，垂足为G， 由图可知：四边形AEFC的面积=△ABC的面积－△BEF的面积， ∵AC⊥BC，EG⊥BC， ∴EG AC， ∴△BEG∽△BAC ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴四边形AEFC的面积= ， 设四边形AEFC的面积为y， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了动点问题，勾股定理，解一元一次方程，三角形相似等知识点，做题的关键是由勾股定理求出相关线段的长，能由三角形的相似求出EG得长． 36．已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，BC=6㎝，AB=10㎝．一动点M在边AC上从A向C以3㎝/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2㎝/s的速度匀速运动，当其中一个点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动的时间为秒． （1）当运动时间为多少秒时，△CMN的面积为5? （2）当运动时间为多少秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）1或；（2）或． 【分析】（1）首先根据勾股定理求得AC的长，然后用x表示出线段MC和NC，利用三角形的面积计算公式列出方程求得时间即可； （2）分△MCN∽△ACB时和△MCN∽△BCA时两种情况利用相似三角形的性质列出方程求得时间即可． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm， ∴AC==8， ∵动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动，运动时间为x秒， ∴AM=3xcm，CN=2xcm， ∴CM=（8-3x）cm， （1）△CMN的面积为5cm2可得：×2x（8-3x）=5， 解得：x=1或x=， 答：当运动时间x为1或秒时，△CMN的面积为5cm2； （2）当△MCN∽△ACB时，， 即：， 解得：x=； 当△MCN∽△BCA时，， 即：， 解得：x=， 答：当运动时间x为或秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的应用的知识，解题的关键是能够表示出三角形的边长，并利用相似三角形的性质及三角形的面积公式列出方程求解． 37．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10． (1)求梯形ABCD的面积S； (2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； ③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)SABCD＝40；(2)①当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分；②t＝或t＝ 时，△PAD与△CQE相似；③t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立． 【分析】（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积． （2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值． ②本题要分三种情况进行讨论： 一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根据∠C的正切值，求出t的值． 二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形． 三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不可能和直角△CQE相似． 综合三种情况即可得出符合条件的t的值． （3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论： 一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值． 二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等． 三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二． 综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值． 【详解】(1)过D作DH∥AB交BC于H点， ∵AD∥BH，DH∥AB， ∴四边形ABHD是平行四边形． ∴DH＝AB＝8；BH＝AD＝2． ∴CH＝8﹣2＝6． ∵CD＝10， ∴DH2+CH2＝CD2∴∠DHC＝90°． ∠B＝∠DHC＝90°． ∴梯形ABCD是直角梯形． ∴SABCD＝ (2)①∵BP＝CQ＝t， ∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t， ∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ， ∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t． ∴t＝3＜8． ∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分． ②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP＝∠C ∴tan∠ADP＝tan∠C＝ ∴ ∴t＝ 若△PAD∽△CEQ则∠APD＝∠C ∴tan∠APD＝tan∠C＝ ∴ ∴t＝ 第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形； 第三种情况：10＜t≤12，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似； ∴t＝或t＝时，△PAD与△CQE相似． ③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H． ∵AP＝8﹣t，AD＝2， ∴PD＝ ∵CE＝t，QE＝t， ∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t． ∴PH＝t﹣t＝t． ∴PQ＝，DQ＝10﹣t． Ⅰ：DQ＝DP，10﹣t＝， 解得t＝8秒． Ⅱ：DQ＝PQ，10﹣t＝ 化简得：3t2﹣52t+180＝0 解得：t＝，t＝＞8(不合题意舍去) ∴t＝ 第二种情况：8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t． ∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 第三种情况：10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10． ∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立． 【点睛】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（2）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解． 38．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 39．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动几秒时，和相似？ 【答案】同时运动或者时两个三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设同时运动时两个三角形相似， 根据题意得，，， 当，则，即， 解得； 当，则，即， 解得． 答：同时运动或者时两个三角形相似． 40．如图，在中，，，，是边上的一个动点，从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设运动时间为． (1)请说明四边形是否为平行四边形？请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析． (2)或． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定以及直角三角形存在性问题，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意得，，证得，最后根据“一组对边平行且相等”判定平行四边形． （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且 ∴四边形是平行四边形． （2）若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $