九年级数学上学期期末模拟卷（湘教版九上第1章-九下第2章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1章~九年级下册第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：一个未知数、最高次项为2次、整式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可作答． 【详解】解：选项A中方程次数为1，不是二次，故不符合题意； 选项B满足定义，一个未知数、最高次项为2次、整式方程，故符合题意； 选项C中含有两个未知数，不是一元，故不符合题意； 选项D中分母含未知数，不是整式，故不符合题意； 故选：B． 3．若点在反比例函数的图象上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由知，函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减．据此解答即可． 【详解】解：， 函数图象位于一、三象限，且在各个象限中单调递减， 点在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点、在第一象限， ∴，，， 又∵， ∴在第一象限内，， 综上，． 故选：B． 4．为了解某校2000名家长对防溺水知识的了解情况，从中随机调查了200个家长，其中有160个家长对防溺水知识非常了解，其他家长对防溺水知识有待加强，下列说法正确的是（    ） A．总体是2000名全体学生 B．样本容量是200 C．估计该校有的家长对防溺水知识非常了解 D．该校只有160个家长对防溺水知识非常了解 【答案】B 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量．根据题意和总体、样本、样本容量的定义可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：A、总体是2000名家长对防溺水知识的了解情况，故本选项错误，不符合题意； B、样本容量是200，故本选项正确，符合题意； C、估计该校有的家长对防溺水知识非常了解，故本选项错误，不符合题意； D、该校抽取的样本中只有160个家长对防溺水知识非常了解，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 5．如图，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6．已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 8．拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 9．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡比的意义设米，可知米，在中，利用勾股定理构建方程求出x即可得到．掌握坡比的定义是解答本题的关键． 【详解】解：∵斜坡的坡比为， ∴米，则米， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 故选D． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根， 且，则，；故④正确； 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．为估算湖里有多少条鱼，先捕上条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上条鱼，发现其中带标记的鱼有条，那么湖里大约有 条鱼． 【答案】 【详解】解：捕上条鱼，发现其中带有标记的鱼为条， 有标记的鱼的比例为， 可估计湖里大约有鱼条， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： 故答案为：． 13．方程的两个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 或， 解得； 故答案为． 14．如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，则n的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数解析式，即可得答案； 【详解】解：依题意，把点代入， 得， 解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得； 故答案为：2 15．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 16．如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒．当为 秒时，为直角三角形． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，由勾股定理求出，根据等积关系得出，根据题意得，，证明，分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ①当时， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：t为3秒或秒时，为直角三角形． 故答案为：3或． 17．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，， ∴，， ∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为 ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    【答案】 3 【详解】（1）， ． ∵E点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为：3． （2）过A点作轴，过F点作于H点，    则． 设，， 则， ，， ， ， ，，，， ， 得， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 3、 解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂以及负整数指数幂，再从左往右依次计算． 【详解】解： ． 20．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴，则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 则， ∴， 解得． 21．随着人工智能的发展，某校为了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：78，72，75，74，76，78，73，76，77，74． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)C等级学生成绩的中位数为 ． (2)求所抽取的学生成绩为D等级的人数，并补全频数分布直方图 (3)已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】(1) (2)14人，见解析 (3)150人 【分析】本题主要考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据中位数定义求解即可； （2）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出D等级的人数，并补全频数分布直方图； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以1500即可得出结论． 【详解】（1）解：把C等级学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是：75分，76分， 所以所抽取的C等级学生成绩的中位数为：； 故答案为： （2）解：被调查的总人数为（人）， D等级的人数为：（人）； 补全频数分布直方图，如下： （3）解： （人）， 答：估计成绩为A等级的人数为150人． 22．为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚的长为11米，宽为10米 (2)小路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设与墙垂直的一面为米，根据另外三边用总长为的木板墙．与墙平行的一边上开一个宽的门，得出另一面则为米，再结合面积为的矩形车棚，进行列式计算，即可作答． （2）先设小路的宽为米，再根据停车区的面积为，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米， 依题意，另一面则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为11米，宽为10米． （2）解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 23．如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）首先得点D在上，连接，则由得，由平分可得，进而得，即可得证； （2）由勾股定理求得的长，由余弦函数求得，进而得，在中，由余弦关系求得，在中，由余弦关系求得，由可求解； （3）易得及圆的半径，再求出，则阴影部分面积为的面积减去扇形的面积即可， 【详解】（1）证明：∵，以为直径作， ∴点D在上， 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，三角函数，等边对等角，扇形面积等知识，证明切线是解题的关键． 24．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． (3)是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数中，求得m的值，即可求得反比例函数解析式；将B点坐标代入所求反比例函数式中，可求得n的值，从而得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，即，由可求得的面积为3，则得，即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得，，解得：， 反比例函数表达式：， 将点代入反比例函数中，得，，解得：，即， 将A、B两点代入一次函数中，得，解得：，， 一次函数表达式为：； （2）解：或. （3）解：设，即， 对于一次函数， 令，则，即， ，， 而 ， ，解得：， 或； 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，直线围成的图形的面积等知识，注意数形结合． 25．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 26．如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、三角形中位线的性质等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合题意，利用勾股定理解得的值，然后结合“点D、E分别是边上的中点”，即可获得答案； （2）首先证明，，进而证明，然后根据相似三角形的性质即可获得答案； （3）首先结合图1确定，的值以及，再分点在之间和点在之间两种情况讨论，结合勾股定理解得的长度，然后计算线段的长即可． 【详解】（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵点D、E分别是边上的中点， ∴； （2）∵点D、E分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图1， 根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点， 则，，， ∴， 若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论， ①当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴； ②当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1章~九年级下册第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，下列比例式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图象上，则的关系是（   ） A． B． C． D． 4．为了解某校2000名家长对防溺水知识的了解情况，从中随机调查了200个家长，其中有160个家长对防溺水知识非常了解，其他家长对防溺水知识有待加强，下列说法正确的是（    ） A．总体是2000名全体学生 B．样本容量是200 C．估计该校有的家长对防溺水知识非常了解 D．该校只有160个家长对防溺水知识非常了解 5．如图，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 7．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．为估算湖里有多少条鱼，先捕上条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上条鱼，发现其中带标记的鱼有条，那么湖里大约有 条鱼． 12．计算： ． 13．方程的两个根为 ． 14．如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，则n的值是 ． 15．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 16．如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒．当为 秒时，为直角三角形． 17．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ． 18．如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    3、 解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算：． 20．解下列方程： (1)； (2)． 21．随着人工智能的发展，某校为了解全校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在C等级的数据：78，72，75，74，76，78，73，76，77，74． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)C等级学生成绩的中位数为 ． (2)求所抽取的学生成绩为D等级的人数，并补全频数分布直方图 (3)已知该校共有1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 22．为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 23．如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 24．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． (3)是轴上一点，且，求点的坐标； 25．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26．如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 3 4 5 6 7 8 0 10 B 0 B C C 0 C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.1000 12.-1+V3 13.x=-1,x2=-3 14.2 5.成 16.3或 17.32 18. 3 5-1 2 三、解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26 题每题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(6分) 【详解】解：+2sn30-x-314+ =1+2×21+44分) =5.(6分) 20. 【详解】(1)解：2x2+x-2=0, :a=2,b=1,c=-2, :.△=b2-4ac=12-4×2×(-2=17>0,则方程有两个不相等实数根，(1分) 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “x=-l±7--1t7 2×2 4 4=1亚：B分别 x1+7 4 (2)解：2x-3)2=3-x, .2(x-3)2+(x-3=0, 则(x-3)2(x-3)+1=0,(4分) .x-3)(2x-5=0, 解得名=3多6别 21.(8分) 【详解】(1)解：把C等级学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是：75分，76分， 所以所抽取的C等级学生成绩的中位数为： 75+76=75.5: 2 故答案为：75.5(2分】 (2)解：被调查的总人数为12÷30%=40（人）， D等级的人数为：40-4-12-10=14（人）： 补全频数分布直方图，如下： 学生成绩频数分布直方图 频数 14 14 12 12 10 10 6 (6分) 6 4 4 2 0 ABCD等级 (3)解： 1500×4-150(人)， 40 答：估计成绩为A等级的人数为150人·(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：设与墙垂直的一面为x米， 依题意，另一面则为30-2x+2)米， 根据题意得：x32-2x=110, 整理得：x2-16x+55=0, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=5或x=11, 当x=5时，32-2x=22>12(舍去)， 当x=11时，32-2x=10<12, 答：车棚的长为11米，宽为10米.(4分) (2)解：设小路的宽为Q米， 根据题意得：(10-2a11-a)=80, 整理得a2-16a+15=0, 解得：a=15(舍)，a=1, 答：小路的宽为1米.(8分) 23.(9分) 【详解】(1)证明：：DE1AD,以AE为直径作⊙0， .点D在00上， 如图，连接OD, 0A=0D, ∠0AD=∠0DA, :AD平分∠BAC, ∠CAD=∠OAD, ∠CAD=∠ODA, .0D∥AC, .∠ODB=∠ACB, ∠ACB=90°， .∠0DB=90°， :OD是半径， .BC是OO的切线； 3分) B D (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=6, 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 os∠CAB=4C=1 AB2' ·∠CAB=60°， ∴.∠CAD=∠OAD=30°， AC 在Rt△ACD中，AD= =25, cOS∠CAD AD 在RtAADE中，AE= =4, cOS∠OAD .BE=AB-AE=2;(6分) (3)解：如图，0D∥AC, ∠D0E=∠CAB=60°， AE=4, :0D=AE=2, 2 :∠CAD=30°，∠ACB=90°， CD=1AD=, 2 ·BD=BC-CD=2V5, :∠0DB=90°， 阴影部分面积为8D-0060号×28x2-262h 2 3 (9分) D 24.(9分) 【详解】(1①解：将4点代入反比例函数y=中，得，2=空，解得：=4， :反比例函数表达式：y=4, 将B点代入反比例函数y=4中，得，4=4，解得：n=1,即B1,4), -2k+b=-2 将A、B两点代入一次函数y=x+b中，得 k+b=4,解得：k=2,b=2, ·一次函数表达式为：y=2x+2;(3分) (2)解：x<-2或0<x<1.(5分) 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设M(0,a),即OM=a, 对于一次函数y=2x+2, 令x=0,则y=2,即C(0,2), 5.xxd, 1 2 而S。4OB=S.OCB+S。4Co -ocxkl+ocxkl 2 E0Cxx。-x *3x2 1 =3, 一训=3，解：a=6, M(0,6或M(0,-6);(9分) 25.(10分) 【详解】(1)解：直线y=x-3,令y=0,得x=3,令x=0,得y=-3, 所以B3,0),C(0,-3),代入y=-x2+mx+n得， n=-3 n=-3 -9+3m+n=0'解得： (m=4’ .y=-x2+4x-3, .y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, 顶点P的坐标为：P(2,);(3分) (2)解：在抛物线上取点E,连接CE,BE,过E作x轴的垂线，交BC于点F, A 设点F(x,x-3),则点E(x,-x2+4x-3), 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=-x2+3x, SCBE=SCEF+SBEF -LEF.OB 2 9 3 =- x-2+7 2 8 :当x=2时，△CBE的面积有最大值， 此，点E的华标为寻：6剂 (3)解：存在，理由如下， 连接BP,设N(m,O), 当y=0时，-x2+4x-3=0, 解得x=1,x2=3, .A1,0), .B(3,0),C(0,-3),P(2,1), ∴.∠CBA=∠ABP=45°，且ABC非等腰三角形， 若B,P,N为顶点的三角形与ABC相似， :∠CBA=∠ABN=45°，则点N(n,0)在点B的左侧， AB=2,BC=V32+32=32,BP=V3-2)+1P=V2,BN=3-n, O当BN-BC时，&ABCPBN, BP BA :3-n-32 √2-2 解得n=0,所以点N的坐标为N1(0,0), ②当BN=BA时，A4 BCAPBN, BP BC 3-n2 V23√2' 解程-了，所以点V的坐标为心0。 综上所达，点N的坐标为v@0)或心写，0.0分剂 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(10分) 【详解】(1)解：：ABC为直角边长为4的等腰直角三角形，且∠ACB=90°， .AC BC=4, AB=VAC2+BC2=V42+42=4V2, :点D、E分别是边AC、AB上的中点， :AE=AB=22;3分) (2):点D、E分别是边AC、AB上的中点， .AD AF 1 AC AB2 :AD。4AC AEAB :∠CAB=∠DAE, .∠CAD+∠DAB=∠DAB+LBAE, ∴.∠CAD=∠BAE, 又：ADAC AE =AB ∴△CAD∽△BAE, :8E-4B-45=2:6分别 CD AC 4 (3)解：如图1， D B 图1 根据题意可知， ABC为直角边长为4的等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D、E分别是边AC、AB上的 中点， 则4D-号4C=2,DE=CB=2,DE0CB, ∠ADE=LACB=90°， 若ADE绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论， ①当点D在C,E之间时，如下图， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 此时∠ADC=180°-∠ADE=90°， CD=VAC2-AD2=V42-22=2V5, ∴.CE=CD+DE=2V5+2;(8分) ②当点E在C,D之间时，如下图， D E 此时∠ADC=∠ADE=90°， CD=VAC2-AD2=V42-22=2V5, .CE CD-DE =23-2. 综上所述，线段CE的长为25+2或25-2·(10分) 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