特训12 假期过关验收卷三-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

数学 特训12假期过关验收卷三 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1,若 =1+2i(i为虚数单位)，则x-1= A.22 B./10 C.√5 D.√2 警 2.已知集合A={xx2-6.x十8<0}集合B={xlog2(x+1)>1|},则CBA= A.[1,2]U[3,+∞) B.(-2,-1)U[4,+∞) C.(1,2]U[4,+∞) D.(1,2)U(4,+∞) 3.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x>0时，f(x)=-x2+ax+5-a,则“f(x)在 数 [一2,2]上单调递增”的充要条件是 ( A.a≥-5 B.-5≤a≤4 C.a≥4 D.4≤a≤5 4.有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天.若每天从5人中任选2人参加服 务，则恰有1人连续参加两天社区服务的概率为 ( R Ci n号 吹 5.函数f(x)=sin 2x- 吾十火0<4<x)是R上的偶函数，则g ( 樂 布 A.0 c n.晋 6.已知点A是函数f(x)=x2-lnx+2图象上的点，点B是直线y=x上的点，则|AB的 最小值为 ) A.2 B.2 43 C. 16 0. ! 7,如图，已知双曲线C:天-片(a>0,b>0)的两焦点分别为P,P过右焦点E,作直线 毁 1交双曲线右支于A,B两点，且AB=3AF,若∠FAB=,则双曲线C的离心率为 7 A.5 B.3 c D.3 8.在钝角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,b=7且最大角B<2,则c的 取值范围是 ( A.(4,2√10) B.(4,7) C.(5,7) D.(5,210) ·49· 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是 () A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11 B.若随机变量5,7满足？=3ξ-2，D()=3,则D(7)=9 C.一组数据(x,y:)(1≤i≤15，i∈N*)的经验回归方程为y=3x十2，若x=2,则y=8 D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生 会，记选取的男生人数为X,则X服从超几何分布 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x十2)=一f(x),当0≤x≤1时，f(x) =tan不x,则下列结论正确的是 () A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B./3 C.f(x)在区间[2023,2025]上单调递增 D.当xE[0,201门时.方程x)的所有解的和为9050号 山.已知椭圆C:千+兰=1的左、右焦点分别为F,F,点P在C上，圆：+y=4,则下列 说法正确的是 () A.若∠FPF,=90°，则△FPF2的面积为2 B.若∠FPF2=90°，则直线PF2被圆O截得弦长为23 C.若△F,PF,为等腰三角形，则满足条件的点P有2个 D.若P为C与x轴正半轴的交点，MN为圆O的直径(M在第一象限)，PN的中点为 R,ku=一knm(表示斜率)，则点R的横坐标为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，oooooooo· 其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以 五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之 HOOHO-OHOR 和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳 必 数之和等于15的概率是 13.在菱形ABCD中，E为边AD的中点，若AB·AC=2,则BE·AC= 14.如图所示，四边形A'B'C'D是边长为2的正方形ABCD在平面a上 的投影（光线AA',BB,CC,DD'互相平行），光线AA'与平面a所成 角为60°，转动正方形ABCD,在转动过程中保持BC∥平面a且 BC⊥AA',若平面ABCD与平面a所成角为0，且BB'=2cos0,则多1 面体ABCD一AB'C'D'的体积的最大值为 ·50· 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(13分)已知函数fx)=sin(mr+g。>0,g≤引圆C:-+y= (1)若(x)两条相邻的对称轴与C相切，求w,9; (2)若9=x,(i=1,2,…)是f(x,)的极值点，且点(x0)(i=1,2,…)有且仅有两个在 C的内部，求w的取值范围」 16.(15分)已知Sn、Tn分别是等差数列{am}和等比数列{bn}的前n项和，S=15,b2b=64, a2=b1,S3=T2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若{bn}为递增数列，cn=a,bn,求数列{cn}的前n项和An. 17.(15分)如图①所示，在Rt△ABC中，C=90°，A=30°，BC=2,E为AC中点.过点E作 EF⊥AB,垂足为F.再将△AEF沿EF翻折至△PEF的位置，如图②所示，连接PB, PC,过点P作PGLBF,垂足为G,且GF=2 (1)若平面PEG∩平面PBC=L,求证：BC∥l; (2)求二面角E一PBC一B的正弦值. 图① 图② ·51· 18.(17分)2025年9月19日~21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行，自 2025年9月1日起，某市市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含 量抽样检验，规定：在一瓶水果罐头中，固形物含含不低于55%为优级品，固形物含量低 于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品， (1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品 (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下， 第2次抽到一级品的概率： (ⅱ)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终 止检验，记检验次数为X,求随机变量X的分布列与期望， (2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为p(0<p<1),且各件产品是否为优级品 相互独立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于7×0.75， 求p的最小值. 19.(17分)二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来 表示的数，它的基数为2，借位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下 的自然数m在二进制下的表示为(a4a4-1…a1a)则m=a·2,其中a,∈{0,1，若 a%十ak-1…十a1+a。=3,则称m为“Z20数”.记f(n)表集合{n十1，n十2，…，2n}中“Z20 数”的个数 (1)计算f(3),f(4); (2)求f(2”+2)(n≥2，n∈N*); (3)求证：Hs∈N*,3n∈N,有f()=s,并出使得n的取值唯一的所有s. ·52· 假期过关验收卷三 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 名器g 事 3,按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 1 ABCD 4囚®gD 7 ABCD 10 ABCD 在各题 2 ABCD 5 ABCD 8 ABC D 11ABCD 的答题 3 ABCD 6 ABCD 9ABCD 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 内作答 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 13 出边框的答案无效 14. 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ·53· 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ·54· 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 55· 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) iI 脚 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 些 1 烯 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ·56· 纠错空间 eeE-ee ee-ee 纠错空间 eeE-ee ee-ee特训12 1B[号-1+2，可得-1=(1+21-iD=3+i 所以之-1=√32+1下=√0.] 2.C[A={xx2-6x十8<0}={x2<x<4i,B={x 1og2(x+1)>1}={xx>1},∴.CBA=(1,2]U[4, +0∞).] 3.D[因为f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0,且 x>0,f(x)=-x2+ax十5-a,若f(x)在[-2,2]上单 5-a≥0， 调递增，则 ≥2 )解得4≤a≤5，故“f(x)在[一2， 2]上单调递增”的充要条件是“4≤Q≤5”.故选D.] 4.A[不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加 了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人分别参加 星期六、星期日的社区服务，有A=12(种)情况，同理， b,c,d,e连续参加两天社区服务，也各有12种方法，所 以恰有1人连续参加两天社区服务有5×12=60（种）情 况.总的情况数为CC=100.故恰有1人连续参加两天 社区限务的概率为0=是故选A] 5.D[f()=sin(2x-吾+9）0<<x)是R上的偶函 数，即关于x=0对称，则f(0)=士1， 则sin(-夸十9）=士1，则-号十g=受(2k+1),k∈z, 解得g=k饭十吾.(EZ.0<9<,则p-晋】 6.A[f(x)的定义域为(0，十∞). 当与直线y=x平行的直线与∫(x)的图象相切时，切点 到直线y=x的距离AB最小. 令f()=2x-1=1, x 解得x=1或x=一（含去） 又f(1)=3,所以切点(1,3)到直线y=x的距离即为 AB的最小值， AB min=√E.] 7.D[令AF2|=t,由AB=3AF2得AB=3t,BF2|= 2t,由双曲线定义得AF-AF,|=2a,BF BF2=2a,则AF1=t十2a,BF1=2t十2a.在 △ABR,中，∠FAB=于，由余弦定理可得AF:十 AB2-2AF1·AB·cos∠F1AB=BF12,则(t十 2a)P+（(30-24+2a)·3cos牙=(2+2a),整理得 3f-10a:=0,解得1号a或1=0（含去）.所以AR ·8 t十2a=。.AR,=f=a设双由线C的焦距为2，在 △AFF2中，由余弦定理得AFI2十AF2-2AF|· ARo∠RAB=rR,,得(5)+（号）广-2 导。·号o音=2，型得9=，到离心率。 =子故选D] a 8D[由题意可知：受<B<经，则-合< cosB<0,由余弦定理可得cosB= -,明日 2ac <0<0,解得5<<8而，所以c的 取值范围是(5,2√10).] 9.ACD[对于数据组为5,7,9,11,3,13,15，排序后为3， 5,7,9,11,13,15. 因为7X0.6=4.2,所以第60百分位数为第5个位置的 数，对应数值11，因此选项A正确： 对于B: 随机变量7=3-2，已知D()=3, 所以D()=3XD()=9×3=27,所以选项B错误： 对于C: 经验回归方程y=3x十2必经过样本均值点(x,y), 当x=2时，代入方程得y=3X2十2=8，选项C正确； 对于D: 从12名候选人(7男5女)中不放回地抽取5人，男生人 数X服从超几何分布H(12,7,5),选项D正确.] 10.AC[由f(x十2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象 关于直线x=1对称，故A正确：f(）=∫（号）= m音-9，故B错误：奇五数)在[01门上米调适 增，且f(0)=0,所以f(x)在[-1,1]上单调递增，由 f(x十4)=-f(x十2)=f(x)知，f(x)是周期为4的函 数，所以f(x)在区间[2023,2025]上单调递增，故C正 魔：由K)的图泉关于直线x=1对格，（号）写。 且)在[-1上单调适培知，方程f)号在 [一11门上有一根为号，再结合对称性可得f(x)- 3 在[1,3]上有一根为号，则在一个周期内《x)=有 3 两根，故f()）=5在[0,201]上所有根的和为2X1十 3 5+9++201)-(202-号)10100号，故D错误. 故选AC.] 11.ABD[a=2,b=√2，c=√2，记PF,=t,则PF,= 4-t,因为PF1⊥PF2,所以(-t十4)十t=8,解得t= 2,所以△FPE:的面积为号PFPF,=号×2×2 =2,故A正确. 若∠F1PF2=90°，则PF2=DF=2,所以P(0, √②)，F,(W2,0),所以直线PF的方程为二十兰=1，即 x十y-√2=0，故圆O:x2十y=4的圆心到直线PF 距离d==1,所以直线P,被圆0栽得的孩长为 2 2√4-d=2√4-1=25，故B正确. 由椭圆的性质可知a-c≤F,P≤a十c,即2-√2≤ FP≤2十√2，若△FPF2是以P为顶点的等腰三角 形，则点P位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点 P有2个；若△F1DF,是以F,为顶点的等腰三角形， 则FP=FF2=2V2,则满足条件的点P有2个： 同理，若△FDF2是以F。为顶，点的等腰三角形，满足 条件的点P有2个，故使得△F,PF,为等腰三角形的 点P共6个，故C错误. 设P(2,0),M(x1,y),N（-x,一y1), 学学m产-是 2 2,因为一银，所以=青，所以点R的攒 3y1 坐标为242=日故D正们 12.解析：从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法， 其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8， 所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率力=6 答案：了 13.解析：方法一：BE·AC =(AE-AB).AC =(公ò-A前·AC =aò.4配-店.A花 ·86 :AB.AC=2,且由对称性易知AD.AC=AB.AC =2,证.AC=2AD.AC-AB.AC-是×2-2 =-1. 方法二：设AB,BE在AC上的投影向量分别为a,B,易知 B-a,由数量积的几何意义可知，A店，AC=a· AC-2.BE AC-B:AC--78 AC--x2 =-1. 答案：一1 14.解析：图为BC⊥AA',BC⊥AB,AB∩AA'=A,AB, AA'C平面ABBA',所以BC⊥平面ABBA',因为 BC∥平面a,BCC平面BCCB',且平面BCCB'∩平面 a=B'C', 所以BC∥B'C',又因为BB∥CC',所以四边形BCCB' 为平行四边形，所以BC=B'C',同理可得，AD∥A'D', 且AD=A'D',又因为AD∥BC,且AD=BC, 所以多面体ABB'A'一DCCD'为直四棱柱. 如图，作BM∥A'B'交AA'于点M,A'B'C平面A'B'C'D', BM吐平面A'B'CD',则BM∥平面A'B'CD',因为BC∥ 平面AB'CD',且BC∩BM=B,BC,BMC平面BCM, 所以平面BCM∥平面A'BC'D,又因为BC⊥平面 ABBA',所以设∠ABM=0,作AN⊥A'B'交A'B于点 N,所以BC⊥AN,即BC⊥AN,又A'B'∩BC'=B, A'B',BCC平面A'BC'D',所以AV⊥平面 A'B'C'D',所以∠AA'N就是直线AA'与平面a所成 角，即∠AA'N=60°，所以∠AMB=∠AA'N=60°，在 △ABM中，由正弦定理得，AM=生sin0,BM 31 =告sin(0+60)=2cos0+号sin0,点B到直线AA'的 √3 距离为d=BM·sin60°=√5cos9+sin0,所以多面体 ABBA'-DCCD'的你积V=合(AA'+BB)XdXC =(m02a0清n)水as0叶sn0)x2 4cos 0+4cos 0sin 0+4sin 0cos0sin =43cos 0+8cos Osin 0+sin0 √3 =46x宁1-：20+4n20春×宁1-m20 8+4sin29千3cos22】 =n(0+）16, W3√3 当且仅当0=晋时取等号。 A'2~D N B' 答案：163 3 15.解：()由题知，(x)相邻对称轴间的距离为， 又国C的直径为3，则无=3，得0=号 又国心C(合，0）所以f(x)的一条对称轴为x=2, ÷2X受十9=受十kx,得9=-晋十x,k∈ 又g≤受“g=-晋 π (2)若g=受，则fx)的板值点满足a十受=受十kx, k∈Z,得z-任∈乙.又国C与x轴交点分别为(-1 0),(2,0),所以原题设等价于有且仅有2个的值满足 -1<k(kEZ), 整理得一二<<四，故k能且仅能取0,1两个值，所 π 以1<≤2，解得we(空] 16.解：1)因教列{a,}为等差数列，则S=@1+a:)X5 2 =5a3=15,解得a3=3, 同理可得S=3a2, 因S=T2,则3a2=b1十b2,又a2=b1,得b=2b1, 因数列{bn}为等比数列，则bb=b2=64, 解得b=士8， 若b=8,则b=2,b,=4,a2=2,公比为2，公差为1； 若b=-8,则b1=-2,b2=-4,a2=-2,公比为2，公 差为5， 则an=n,b.=2”或an=5n-12,b,=-2”. (2)因{bn}为递增数列，则an=n,b=2”, 则cn=n·2”, 则An=1×2十2×22十3×23十…十n·2”, 2An=1X22+2×2+3X21+…+n·2+1, ·87 两式相减得，An=n·2+1一2-22-23-…一2” =n·2m+1_2-2+1 1-2 =n·2+1+2-2+1=(n-1)·2"+1+2. 17.解：(1)证明：在题图①中BC=2,∠BAC=30°，所以AB =4,AC=2√3， 因为E为AC的中点，EF⊥AB,所以AE=√5， 因为PG=合，所以点G在题周①中AB的中点位置， 所以EG∥BC, 在题图②中，因为EGC平面PEG,BC寸平面PEG, 所以BC∥平面PEG, 因为BCC平面PBC,平面PEG∩平面PBC=l,所以 BC∥L. (2)在题图②中，因为EF⊥PF,EF⊥BF, PF∩BF=F,PF,BFC平面PBF 所以EF⊥平面PBF, 又EFC平面EFBC,所以平面PFB⊥平面EFBC, 因为平面PFB∩平面EFBC=FB,PG⊥FB,PGC平 面PFB,所以PG⊥平面EFBC. 由(I)知AF=是，即PF=是，义GF=, 所以G√（受）-（白）-E, 过，点G在平面GECB内作Gy⊥EG, 以G为坐标原点，GE,Gy,GP所在直线分别为x,y,之 轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则P(0,0W2),E(1,0,0),C(1,W5,0),B(-1W3,0), 所以PC=(1,3,-√2)，EC=(0W3,0), BP=(1,-√5,2). 设平面PEC的法向量为n1=(x,y,之)， 则·PC-x+-E=0. (n,·EC=√5y=0, 令x=2,解得x=√2， 所以n1=(2,0,W2). 设平面PBC的法向量为n2=(m,n,a), 则m·PC-mm-ga=0, (n·BP=m-√3n十√2a=0, 令n=√2，解得a=√3，所以n,=(0,N2,√3)， n1·ng 61 所以cos(n1,n2）= n·m,6.55 所以sinn,n》=25, 5 所以二面角E一PC-B的正孩值为25 18.解：(1)（ⅰ）设第1次抽到优级品为事件A,第2次抽到 一级品为事件B, 1×4 则P(BA)=PAB)_3X5 4 P(A) 1 5· 故所求的概率为手 (ⅱ)根据题意可知X的取值可能为2,3,4,5. 、则PX=2)=A是=15，P(X=3)=A型=石， A P(X4)=A1+C2CA=4,P(X=5)7 A CCA:+CCA8 15 则X的分布列为 X 2 3 4 5 2 8 15 15 15 15 1 2 4 864 所以E(X)=2×方+3X5+4X5+5×音-5· (2)设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为 f(p), 则f(p)=C8。p(1-p)2十C0b(1-p)十b°=45p(1 -p)2十10b”(1-9)十p20=p8(36b2-80p十45)，其中 0<p<1, 因为f()=360p(p-1)>0,所以f(p)在(0,1)上 单调递增 注意到r(号)7×（保）广，所以≥是，故D的最小 值为子 19.解：(1)由题知，f(3)表示集合{4,5,6}中“Z20数”的个 数，f(4)表示集合{5,6,7,8}中“Z20数”的个数， 由于4=1×22十0×2十0×2°，1十0十0=1≠3，故4不 是“Z20数”， 由于5=1×22十0×2十1×2°，1十0+1=2≠3，故5不 是“Z20数”， ·88 由于6=1×22+1×2+0×2°，1+1十0=2≠3，故5不 是“Z20数”， 故f(3)=0 由于7=1×22+1×2+1×2°，1+1十1=3，故6是 “Z20数”， 由于8=1×2十0×2十0×2十0×2°，1+0+0+0=1 ≠3，故8不是“Z20数”， 故f(4)=1. (2)f(2”+2)(n≥2，n∈N")表示集合{2”+3,2”+4，… 2+1十4}中在二进制表示下恰有3个1的所有元素的 个数. 因为{2十3,2”十4，…，2+1-1}中在二进制表示下恰 有3个1的数都是从右起第(n十1)位数字是1，再在后 面n位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故 该集合中有C2个“Z20数” 又2+1,2+1,2+1十2,2+1十3,2+1十4的二进制表示 分别为 (100…0000)2,(100…0001)2, (100…0010)2,(100…0011)2, (100…0100)2, 其中只有2+1十3的二进制表示中恰有3个1， 所以当n≥2，n∈N"时，f(2m+2)=C2+1. (3)设T表示所有的“Z20数”组成的集合，因为在二进 制表示下， 在（十1）的二进制表示的最右边的数字后面添加一个 0,恰为2(n十1)在二进制下表示的数， 故(n十1)与2(n十1)同时属于T,或者同时不属于T, 集合{n十2，n十3，…，2(n十1)}比{n十1，n十2，…，2n}恰 少了一个(n十1)，多个(2n十1)，(2n十2)两个数，因此 (f(n),2n-+1T f(n+1)= {f(n)+1,2n+1∈T, 由f(1)=0,且对任意正整数s,都存在正整数n使得 f(n)≥s, 结合递推关系可知存在正整数n使得f(n)=s. 当s=1时，易知f(4)=f(5)=1,故s=1不符合题意 当s≥2，s∈N”时，假设恰有一个n(n≥6，n∈N”)使得 f(n)=s,则f(n-1)=s-1,f(n十1)=s十1， 当且仅当2n-1∈T,2n十1∈T时成立，由二进制表示 知n必有2十2(k≥2，k∈N“)的形式，故s=f(n)= f(2十2)=C+1(k≥2，k∈N“). 故使得f()=s只有唯一解的全体s由正整数C十1(k≥ 2,k∈N”)给出，且唯一解为n=2十2(k≥2，k∈N).