特训8 解析几何-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则由题易知A(0,0,0),B(√2,0,0)，C(√2,2,0)， D(0,1+√3,0)，P(0,0,√2) 设点O的坐标为(x,y,之)， .0B=√(x-√2)2+y2十之2， 0C=√(x-√2)2+(y-2)2+x2, OD=√x2+(y-1-3)2+x2, OP=√x2+y2+(x-√2)2 点P,B,C,D均在球O的球面上，∴由OB=OC,得 y2=(y-2),解得y=1;由OB=OD且y=1,得(x √2)2十1=x2十3，解得x=0:由OB=OP且x=0,得 2十=（之-√2），解得之=0， ,点O的坐标为(0,1,0)，故点O在平面ABCD内. (i)解：由(1)易知P0=(0,1,-2),AC=(√2,2,0)， cos(PO.AC)= PO·AC PO11ACV5X√63 直线AC与P0所成角的余孩值为号 特训8 1.B[l1⊥l2→a(a-1)十2(1-a)=0,解得a=2或1，故 甲不能推出乙，己能推出甲，故甲是乙的必要不充分 条件.] 2.D[由题意知2b=√7×2a,即b=7a,则6=7a'.又a2 十b2=c2,所以c2-a2=7a2,即c2=8a,得C的离心率e =后=2.] 3.B[由地物线的定义，可知MF=十号，又2OF p,MF=20F,所以，十专=p,即=号，由点 M(xo,4)在C上，得16=2pxo,结合p>0,解得p=4,所 以C的方程为y2=8x.] 4.B[产2表示点P(x)与点(2,0)连线的斜率，由题图 可知，过，点(2,0)且与以(0,1)为圆心，1为半径的半圆(y 轴右侧)相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为 y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由01-2k=1,解得 √k+1 =0(含合去)成=一号，所以产的最小值是-一台] 。7 5.C[因为直线BF的方 程为y=一2x十2，所以 当y=0时，x=1,即号 2% =1,所以抛物线C的方4-202468元 程为y2=4x,准线方程 2 为x=一1，则B(一1， 4 4),由点B坐标得yA= 6 4,代入y2=4x,得A(4,4). 所以AF1=√(4-1)+(4-0)=5.] 6.D[因为PF-PF2=2a,PF1=2PF2=2m, 可得m=2a,由PF1·PF2=m2, 可得4a·2acos∠F1PF,=4a2,所以∠F1PF,=60°， 即有42=4u+16d-2X4a×2a×号=12a, 即c2=a2+b2=3a2, 所以台-厄所以双由线的渐近线方程为： y=±√2x.] 7.C[如图，连接AF1,因为 △ABF1的周长为4a,AF= AF2=a,AB=F1B,所 以AB=F,B=a,BR, 又cos∠AF2F1十cos∠BF2F1=0, 即￡+ =0,化简得3c=a2,所 2x号×2c 以椭圆C的离心率e=C= a 8.B[如图，连接PF1,PF2, 延长PF,交直线FM于，点 N,由于M是∠FPF2的 平分线上的一点，且FM⊥ MP,所以点M为F,N的 中点，所以PF=|PN, 又O为F2F1的中点，所以F2N=2OM|=4,故 PF-PF,=PN-PF,=F,N=4,2= 州。=4，#点P(8写)的盘标代入号芳=1，可件 是各=1，解得公1，北离心牵e十9] 44b2 9.ACD[设点P的坐标为(x,y),由题意可得 √十y =V2,化简可得(x-4)2十y2=8,故A正 √/(x-2)2+y 确；如图①，点P在圆(x一4)2十y=8上，其圆心为 M(4,0),半径为2√2，故点P到直线3x一4y十12=0的 距离的最小值为圆心M到直线的距离减半径，即为 8X42-2=酷-2，故B错误 √3+(-4)7 YA 图① 如图②，点P到圆x2十y=1上的，点最大距离为点M到 点O(0,0)的距离加圆M和圆O的半径，即4十1十2√2 =5十2√2，故C正确； y米 图② 若到直线kx一y一2k=0的距离为√2的点P至少有3 个，则圆心M到直线kx一y一2k=0的距离小于或等于 其半径减去2，即462兆≤2，解得-1≤≤1，故D √2十1 正确.门 10.0[吉≥0≥0时，+-1可化为号+苦 4 5 =1.A0.-.B,01D为格国号十号=1的两个总 点，则|PA2十PB2|=2a=2√5，A错误； 当≥00时，华+-1可化为号-苦=1， 4 5 A(一30，月80)为风由线学-苦=1的两个焦点， 则PA1-PB1=2a=4,B正确： 当<0y<0时，+=1可化为号+号 5 =一1<0，所以，点P不可能在第三象限. 当020时，号+=1为号-1，所 以2曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 同为双询线号苦1的渐运线方为)一上号 2x, ·73 所以直线y=一2x十4与曲线 卫-兰=1u≤00≥0)无公 54 3 共，点 转=-2十4代入+号 =1, 得21x2-64.x十44=0， 由国可如直线y=一2z十4与曲线号+ =1(x≥0， 64 y≥0)有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为1， 其中1个交点为(2,0) 将一2z4代入号-苦-1，得1-6中8 0:由图可知直线y=-2x十4与询线号-苦=1≥0， 0)有2个交点，则这2个交点的横坐桥之和为酷， 其中1个交点为(2,0)， 所以直线y=一2x十4与2曲线的所有交点的横坐标 之和为赞+普-2>引+背-2=6，C正确： =1的渐近线的 斜率， 由圈可知直线y=一子+2与南线号-专-1(x<0, y≥0)有2个公共，点， 与曲线父十三1(z≥0，y≥0)只有1个公共点 与曲线 号-首=1≥0,0设有公共点， 所以直线y=一 工十2与n曲线拾有3个公共点D 4 错误.] 11.解析：由题意可知m>2, 圆x2十y2=m十2即为椭 国C元+苦=1家日国， 172 x-√3y-8=0 因为A、B为椭圆C上任 P 意两点，动点P满足 ∠APB恒为锐角， 则点P在圆x2十y2=十2外， 又因为动，点P在直线x一√3y一8=0上， 则直线x-√3y-8=0与x2十y2=m十2相离， 所以 -8 >√m十2，解得2<m<14, 1+(-3) 则-1- 即e() 国北，描国C的离心率的取位范国(0，平) 答案：(0，) 12.解析：如图，在△ABP中，BP=y AB|,所以∠BPA=∠PAB 所以∠ABP=π一∠BPA- ∠PAB=号 又因为BP∥x轴，所以∠BFx=号，因此ku=an号 =√5， 故直线AB的方程为y=√5(x一1)，联立 y=5x- ,得3.x2-10x十3=0， (y2=4x 设Aa,B(),则号。 由抛物线的定义知AB=十石，十D=。 而BF=3FA,所以BF=|AB=4, 在△PBF中，∠ABD-径，BP-AB-号， 由余弦定理，得PF2=BF?+BP?-2BFBP ms号=16+2g-2x4××(）=g. 解得PF=4V37 3 答案：4V37 3 13.解：(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正 方形， .b=c, :精周过点P(1,) 又a2=b+c2, 解得a2=2,6=1, 六籍国C的方程为号+y=1 (2),F(1,0),设la:x=my十1， A(y1),B(x2y), /x=my十1， 联立方程得 管+= ·74 得(m+2)y2十2y-1=0, y十y=- 2m m2+21 yy=一m中2 1 .AF=2 FB, y=-2y2, 2m m2+2 -2=- 1 m2+2, 1 .AB=√1+m·M-y2 =V+m.√4m+4(m+2 m2十2 =92 8 14.解：(1)由直线1与y轴垂直时，AB=2√5， 故2a=2V5,故a=√3， 又离心率为3，则c=√3a=3,所以b=c2-a=6,双曲 (2)设直线l的方程是x=y -3,A(z1M),B(2）. A (x=ty-3 由 得(2-1)y2 22-y=6 -12ty+12=0,y1+y2= 12t 12 244=21 图为CB/0A,所以需-品-号=5 从而y2=5y1: 所以6y1= 5=2品消去释日 12t 32-D,解得t=3,它满足2-1≠0,4>0. AB=√1+Fy-y2=2√y十2)-4M2 ==8不 144t +1=16E】 5 故0到直线AB的距离为d==多，所以 √1+： 5m=ABd=2×165x是-125， 5 2 5 南子器-品-5，所以5w=5a -395am=2458w-725 5 5数学 特训8解析几何 (时间：60分钟 满分：90分) 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知直线l1;(a-1)x+2y+1=0,l2:ax+(1-a)y十2=0，设甲：l1⊥2；乙：a=2,则甲是 乙的 ( ) 警 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 州 A.2 B.2 C.7 D.2√2 3.已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M(x。,4)在C上，且|MF =2OF,则C的方程为 A.y2=4x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=x 刻 4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳 y 鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆 P。 柄 或半圆，已知点P(x,)是阴影部分（包含边界）的动点，则'2的最 小值为 A.-1 R一 c- D.- 2 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为 阳 数 B.若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知双曲线C: a =1a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F2,0为坐标原点，P是双 b2 曲线在第一象限上的点，|PF|=2|PF2|=2m(m>0),PF1·PF2=m2,则双曲线C的 渐近线方程为 ( A.y=2 B.y=士 2 C.y=士x D.y=士√2x 7.已知椭圆C的左、右焦点分别为F,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若 |AB|=F,B|,则椭圆C的离心率为 ( A.3 B.2 3 C. D. ·25· 8.费马定理是几何光学中的一条重要原则，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例 如，点P为双曲线上一点，F,F2为双曲线的焦点，点P处的切线平分∠FPE2.已知双曲线C: 二--1a>0,h>0).0为坐标原点，双前线C上的点P8,号 处的切线为直线，过左焦点 F作直线1的垂线，垂足为M,若|OM=2,则双曲线C的离心率为 () A.2 B.⑤ 2 C.5 D.25 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比 为常数λ（入>0，且入≠1），那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点P到点O (0,0)与点A(2,0)的距离之比为2，则 () A.点P的轨迹方程为(x一4)2+y2=8 B点P到直线3x-4y十12=0距离的最小值为号 C.点P到圆x2+y2=1上的点的最大距离为5+2√2 D.若到直线kx一y一2k=0的距离为√2的点P至少有3个，则一1≤k≤1 10.2曲线的形状类似希腊字母2，其方程为d+义=1，若点P在2曲线上，A,(-3,0), 4 5 B1(3,0),A2(0,-1),B2(0,1),则 () A.当P在第一象限时，IPA2|十|PB2|=4 B.当P在第四象限时，|PA,I一|PB1|=4 C.直线y=一2x+4与2曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D.直线y=一 十2与0曲线恰有4个公共点 3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 1,蒙日是法国芳名的数学家，他首先发现椭圆导+ y =1(a>b>0)的两条相互垂直的切 a 线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a+b2.已知椭圆 C:大1的焦点在产轴上.AB为桶圆C上任意两点，动点P在直线一Bv-8三0 上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆C离心率的取值范围为 12.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，” 反射光线平行于抛物线的轴.如图，抛物线C:y2=4x的焦点为F,由点A 发出的光线经点B反射后经过点P,若点F在AB上，且BP|=|AB|,o ∠PAB-否，B庐-3FA,则PF1= ·26· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） I3分)椭圆C:名+1a>b>0)经过点P山 且两焦点与短轴的两个端点的连 a 2 线构成一个正方形， (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A,B两点，且AF=2FB,求|AB. ·27· 5分)双曲线C:号1(@>0，b>0)的离心率为B,过左焦点F的直线1与双曲 线的左支、右支分别交于点A,B,当直线1与y轴垂直时，|AB=2√5. (1)求双曲线C的方程； (2)点C(12,0)满足CB∥OA,其中O是坐标原点，求四边形OABC的面积. 砌 烯 ·28·