特训6 数列-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

数学 特训6数列 (时间：60分钟 满分：90分)》 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S=一5，则S。= ( 警 A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 2.已知Sn为正项等比数列{a,n}的前n项和，a3a5a2=a4ag,S3=7,则a1 ( ) 数 A.2 B.3 C.4 D.6 3.记数列{an}的前n项和为Sm,已知a1=2,Su+1一2Sn=n,则a1o= A.1024 B.1023 C.513 D.256 的 4.已知数列{an}的前n项和Sn=一n2十8，则数列{|am|}的前12项和为 興 布 A.112 B.48 C.80 D.64 5.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A={a1,a2,a,…}重新 编辑，编辑新序列为A=∫a2,a3,a 。 ,它的第n项为，若序列(A)的所有项都 a - 是2，且a1=1,a=32,则a1= 如 阳 1 B.512 1 1 A.256 C.1024 D.2048 6.记S,为等差数列{a,}的前n项和，若a十a,=10a,a,=65,则S- ( A.14-n B.n-2 C.12-n D.n-4 7.已知数列a,}清足am十a十}十…+ am=2·3+1-6(n∈N),若b,= n (2n+1)(2m十3)，则数列{6，}的前15项和为 a I 315 315 A.i1-1 315 113 B. D. 31-3 ·17· 8.等差数列{an}中，a2十a3=一12，a5十a,=2.记数列{an}前n项和为Sn,下列选项正确 的是 A.数列{a,}的公差为3 B.Sn取最小值时，n=6 C.S=S7 D.数列{|an}的前10项和为50 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3=7,a3=1,则 () A.g- B.cs 1 C.S5=8 D.an十Sn=8 10.在数列{a,}中，若对Vn∈N,都有，+2一a=q(g为常数)，则称数列{a,}为“等差比 an+1-an 数列”，g为公差比，设数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法一定正确的是() A.等差数列{an}是等差比数列 B.若等比数列{a,}是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C.若数列{Sn}是等差比数列，则数列{a+1}是等比数列 D.若数列{an}是等比数列，则数列{Sn}是等差比数列 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列 的公比等于 12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十a=10,a4ag=50,则S6= ·18· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.(13分)已知数列{a,)满足a=3,a+1一a.十1 an (1)设b.=1,计算b,b,b,并证明{b,》是等差数列： (2)求数列a的前n项和S 1n+17 ·19· 14.(15分)已知等差数列{a,}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列，满足a1=b1,a2=5, a3+a4=19,S1=11(b4+1). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (am-1)bn-2 (2)对任意的正整数n,设cn= (6,十1)(b,+2十1Dn为奇数 求2c (-1)(n-1)bn,n为偶数， (3)若对于数列{an},在a和a+1之间插入bs个1(k∈N),组成一个新的数列{dn},记 数列{dn}的前n项和为Tm,求T22s 厨 擗 ·20·所以c的值为3. (3)由(2)可知，b=1,根据正弦定理a。 b sin A sin B' 得 1 3 sin B' 2 所以sinB= 2T1 1421 又1<7<3.即ba<c,所以Be(0,日) 则cosB=V1-sinB=5y7 14· sin 2B-2sin Bcos B=2xV21x575 14 14 14Γ 2111 cos2B=1-2simB=1-2×14x14-i4! 所以sin(A+2B)=sin Acos2B+cosA·sin2B -9×贵+×-4 7 特训6 1.B[记{am}的公差为d. 因为S=6,S,=-5,所以3a+3d=6, 解得 5a,+10d=-5, /a=5, 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.] d=-3, 2.C[由题意，设正项等比数列{an}的公比为q, 其中q>0. 由等比数列的性质可知a5a,=a,as,由题千可得a1=1, 即a9=1→a1=方： 若q=1,则S=3a1=3,不合题意，故q≠1， 所以S,=41-9)-41-9)1+g+g 1-9 1-9 -a1+g+g)=1+g+)++1=7. 解得日=2或司-3（含未），战4，=司=4.] 9 3.B[由Sn+1-2Sn=n,得S+1十1十2=2(S,+n+1), 因为a1=2,所以S1十1十1=4， 所以{S十n十1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以S。十n十1=4×2”-1，所以S。=2m+1-n-1, 所以a0=S1。-Sg=1023.] 4.C[由S,=-n2+8n, 可得当n=1时，a1=S,=-1十8=7； 当n≥2时，an=Sn-S。-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+ 8(n-1)], ·6 整理可得an=一2n十9， 经检验，当n=1时，a1=7符合上式. 综上，an=-2n十9(n∈N),可知数列{am}为等差数列. 当n≤4时，am>0; 当n≥5时，an<0, 所以{an|}的前12项和 T2=(a1+a2+a3+a,)-(a+a6+a,+…+a12）= 4×(7+1D_8×(-1-15)=16+64=80.] 2 2 5.B[设4=1由题意得A”={t,2t,2t,…,第n项为 01 a+1=20-lt, 当n≥2时a,=42·44.4。·%·41=1…2… a a2 a3 4-1 24·2-1·41=201·a1,当n=1时，上 式也成立 因为a4=1,a5=32, 所以2t·a1=1,2t·a1=32, 1 解得1=4，a=2故选B.] 6.D已知{an}是等差数列，根据等差数列的性质可得 a3十a,=a5十a5=2u5=10,则a5=5. 又因为a5ag=65,所以5a=65,解得a=13.设等差数 列{an}的公差为d,根据等差数列通项公式a,=a1十 (n-1)d,可得/a=a,+4d=5 (a=a1+8d=13 解得d=2,a1=-3.根 据等差数列的前n项和公式可得Sm=n×(一3)十 n。DX2=-3m十(n-1)=2-4n. 2 将S=m-切代入》可得：各-气如=n-4.] n 7.A[因为a+a+号a+…+ n4,=2·3+1-6(n ∈N*)①， 所以当n=1时，a1=2×32-6=12, 当≥2时a十之0十日4+ 1 n-14-1 =2·3-6②， 0-@得，=2·31-6-2·3-6)=4·3，所以 an=4n·3"(n≥2)， 当n=1时，41也满足上式，所以an=4n·3”, 4·3" 3+1 3 所以6.=2m+1D(2n+3)=2n+32n+' 记数列{bn}的前n项和为Sn, 则s。=(借-子)十（号-号）十（传-）十十 ()-1-器1 7 8.D[对A,设等差数列{an}的公差为d,则由题意 /2a1+3d=-12 知 2a,+10d=2 解得%一9 ,故A错误； d=2 对B.a.=-9+2(n-1)=2m-11,S。=-9m+n(m2-1D 2 ×2=n2-10n=(n-5)2-25, 则当n=5时，Sn取最小值一25，故B错误； 对C,S4=42-10×4=-24,S,=72-10×7=-21,则 S≠S,故C错误； 对D,数列{an}的前10项和为|一9|十|-7|十|-5|十 1-3+1一1|+1+3+5+7+9=50，故D正确.] 1Sg=7,m（a1+a19+a192=7①， 9.AD[根据题意，由 得】 (as=1,(a192=1②， ①÷②得己+1+1=7，化筒得6g-g-1=0,解得g 2或g= 。1 子（合去），故A正确：由A可知g=,则 g=4,因此a=4×()，则a,=4×6 11 a1 故B错误；S= 4 1-2 1一2 =8,故D正确.门] 10.BCD[等差数列{an}若为常数列，则am+1一an=0, a?一a出无意义，所以等差数列(a.}不一定是等差比 an+an 数列，A选项错误；若公比为q的等比数列{a}是等差比 数列，则{an}不是常数列a=a,q≠1， 。--。表对的会火与公关 比相同，B选项正确； 若数列{S,}是等差比数列，则S。:一S==g,所 S+1-S。am+1 以数列{am+1}是等比数列，故C选项正确； 若数列{0，}是等比数列，公比为g,则出卫=S。?一S a+S+1-S =q, 所以数列{S》为等差比数列，故D选项正确.] ·6 11.解析：设该等比数列为{an}且公比为q(q>0).若9=1， 则S。=2S,=8≠68，所以q≠1.根据题意可得 s=a1-g）=4, 1-g 解得q=2(负值舍去). s-a0=2）=68 1-9 答案：2 12.解析：等差数列{an》中，由a3十a5=10,得2a,=10,解 得a,=5,而a1ag=50,则ag=10, 于是数列{a,}的公差d=二4=1，a,=a4-d=4, 9-4 所以s,=6Ca+a）=3a,十a4)=27. 2 答案：27 18.解：1a,=号a=24 1 1 1 所以= 1 -=3,b2= -=4,b3= 41 42 15 az bn+1一bn= 1-1=0+1-1=1,6=3 an+1 ananan 所以数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b,=3+(n-1)×1=n+2, 所以am=n十2 所以-m+m十②n市十2， 所以s=(位)十（合青）十（片）十…叶 (十2) 14.解：(1)在等差数列{an}中，a2十a5=ag十a=19, 而a2=5,解得as=14, 则公差d=4二g=3,则a,=a,十(m-2)·d=3m-1. 5-2 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，b=a1=2,由S,= 11(6,+1）,得1a,+a）=116,g+1D. 2 即2g3+1=as=17,解得q=2,则bn=b1g1=2”, 所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为a.=3n一1， b。=2”. (am-1)bn-2 (2)由(1)得，当n为奇数时，c。=(6.十1)(b+ =(31-2)·2”-2=nn+2 (2+1)(2+2+1)2"+12+2+11 +()号2 当n为偶数时，cn=(-1)登(n-1)b,=(-1)(-1)·2, c=(-1)‘(2i-1)·2=(2-1)·(-4)y, 含c=1X(-4)+3X(-4+5X(-4+…+(2m 1)·(-4)”, 则-42c,=1×(-4)2+3×(-4)3+5×(-4)'+… i=1 +(2n-3)·(-4)”+(2n-1)·(-4)+1, 两式相减得5公c=1×(-4)+2×(-4)2+2× 1 (-4)3+…+2·(-4)”-(2n-1)·(-4)+1=-4十 321==)]-(2m-1D·(-41-12-103. 1-(-4) 5 5 （-41,因此2c,=2 12_10n-3.（-4)+1, 25 612m+1_10n-3. 25 （-4)+1」 (3)依题意，数列{dn}为a1,1,1,a2,1,1,1,1,a3,1,1,1, 2个1 1,1,1,1,1,a4…,a6,1,1,…,1,a+1…, 其中a+1项前的总项数为飞十2十2十…十2=k十 21-22=k-2+2+1, 1-2 易知数列{k一2十2+1}是递增数列，当k=9时，k一2十 2+1=7+210=1031<2025, 当k=10时，k-2+2+1=8+21=2056>2025, 因此数列{dn}的前2025项中，有数列{an}的前10项， 有2015个1， 所以T22s=S。+2015=2X10+10X9×3+2015= 2 2170. 特训7 1.D[m∥n不能推出a∥B,如图①；a∥B也不能推出m∥ n,如图②.所以“m∥n”是“a∥B”的既不充分也不必要 条件. m Bn B 图① 图② 2.C[①若m⊥a,mC∥3，则由面面垂直的判定定理得 a⊥B,故①正确；②若m⊥，m⊥a,则n∥a或nCa,故 ·6 ②错误；③若m∥a,a⊥B,则m与B可能相交、平行或 mCB,故③错误；④若a∩B=m,n∥m,且nta,n丈B, 则由线面平行的判定定理得n∥a,n∥B,故④正确.] 3.A「如图所示： D C B 图1 图2 将正四棱柱ABCD-A1B,C,D,(图1)的侧面展开，得到 展开图（图2）， 当A,E,F,G,A1五点共线时， AE+EF+FG+GA,取得最小值， 且最小值为√(4×4)+5=√281.] 4.A[由题意知，△A1AP≌△AEP,则点P在线段AE 的中垂面上运动，从而与底面ABCD的交线为线段.] 5.A[将正三棱锥SABC的侧面沿B 侧棱SB剪开并展开在同一平面 内，如图，连接BB,当E,F分别为 BB'与SA,SC的交点时，△BEF的 周长最小，此时BB=√2，而SB= SB'=1,SB2+SB2=2=BB2,则∠BSB=90°，∠ASB =30,所以三棱锥的侧面积为3×号SA×SBsin30 =] 6.B[设正三棱柱的底面边长为a,高为h,则其表面积S =2×得。+3h=6,得A=,又≥0.所以0 23a <a<2,故正三棱柱的体积V-尽h-12ag4,则 8 Vo)=是-是a,当0<a<2时.Va)>0V(a)单调 递增，当2<a<2√3时，V(a)<0,V(a)单调递减，所以 当a=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的 高为2] 7.C[如图，将四面体ABCD放 置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分 别为2√14,2√2,2√2，