特训5 三角函数与解三角形-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

14.解：(1)由条件，g(x)=(e-1)cosx-sinx,x∈(0,2π) g'(z)=e'cos z-(e -1)sin z-cos z=(e*-1) (cos x-sin x), 由0<x<2π，e>1,所以e-1>0, 令g(x)>0,则cosx>sinx, 得0<<于或子<r<2x, 令gx)<0,则cos<sinx,得平<<平 所以g)在(，子)和（贤，2）上单洞递增。 在（臣，要）上单调隧减 (2)由h(x)=e-a-xcos x,则h'(x)=e-cosx十 xsin x,x∈[0,2π] 令p(x)=e-(x十1)，则p'(x)=e-1≥0， 所以当x∈[0,2π]时，(x)单调递增， 又9(0)=0，所以9(x)≥0→e≥x十1， h'(.x)=e-cosx+xsin≥x十1-cosx十sin x =x(1十sinx)十(1-cosx)≥0， 所以h(x)在[0,2π]上单调递增，h(0)=1-a, h(2π)=e2m-2π-a 由题意，1-a≤0≤e2m-2r-a,解得1≤a≤em-2π， 所以a的最小值为1. 特训5 1,A[根据余孩定理有cosA=AB+AC-BC 2·AB·AC 6+4+25-4=,因为0°<A<180,所以A=45,] 2√6(1+5) 2 2D[因为cs-所以ma=2时号-1=一子 又0Ka,所以na=-o8厂员=告，则 2 (+)=恶 3B[正切画教y=anx圈泉的对称中心为（受，0∈ Z).由点(a,0)(a>0)是函数y=21an(-号)的圈象的 一个对称中心可知a一号-经（∈2》.即a=晋十号 πkπ (k∈Z).由a>0可得，当=0时a取得最小值受.] 4.B[在锐角△ABC中，A,BE(O,) 则2B∈(0，π)，又c0sA=c0s2B, 所以A=2B, a<2B<受 又0<B<受 ,所以5<B<平， 0<x-3B<受 所以9<mB<9, 2 所以4=sinA=sin2B_2 sin Beos B b sin B sin B sin B =2cosB∈（√2，√3）， 故符合题意的只有B.] 5A[国为)在[一登]上单调递增，所以危 ()<召，中0<2. 因为直线x=是为f(x)图象的一条对称轴，（行，0）为 f(x)图象的一个对称中心， 所以号-音T+6∈N,即a=21+2,∈ ),故w=2,所以fx)=sin(2a+p,又f(E） =sin(石十9）-1，故否十g=受+2kx(k,∈D, 则9=号+2k:x:∈Z). 因为-<<，所以9=号，即fx)=sin(2x+号）) 当xe[0,受]时2x+∈[紧] 所以m(+晋)[.小 故当x∈[0，受]时，)的最小值为-厚] 6.C[f(x)=(sinx十cosx)2+√3cos2z =sin2x十cos2x十2 sin xcos x十√3cos2x =1+sin2x+5cos2a=1+2sin(2z+号）月 T-经=x,①正境： 当2x+号-受-2x,kE7时，代x)=3,@正确： 令受+2k≤2x+吾<+2 kr.kCZ. 解得登十ka≤≤径十kx,k∈乙. 因此减区间为[危十x晋十]小k∈，③正骑： 令2x十吾=k,k∈Z,解得x=一吾十受k∈么，此时 f(x)=1,④错误.] c[因为m(任-)-号 (cos&-sine) 所以 6 所以cosa-sina=31 所以1-2 sin acos=g, 1 得sin acosa=g, 4 因为c0sa十sina=I+2 sin acos a=, 3 4 所以中ana1十m sin a sin a sin acos a cosa十sina 17 cos a 3 51 8.C [SAALC= 合besin A=9c,周为 ∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD =5, 所以∠BAD=∠CAD=若， SAw=号xADXeXsine∠BAD-点， Sc-XADXbX sin/CAD-. 化简得c=c十b,即十1=1， b c =2（合+）=8+2+≥ 3+2√/2×=3+2, 当且仅当b=√2c=√2十1时取等号，即b十2c最小值 为3+22.] 9.AC[因为f(x)=sin+5cosr=2sin(ox+号） (w>0),)的最小正周期为元，所以=元，所以0=2， 所以fx)=2sin(2x+号）片 因为f(-)=2sin[2×(-看)十号)=0，所以fx) 的图象关于点（一吾，0）对称，故A正确：因为/（否） 2sin(2×吾+子)）=2sin号=5，所以fx)的图象不关 ·65 于直线x=石对称，故B错误；将y=2sin2x的图象向 左平移否个单位长度，可得到y=2sin[2(+石)] 2sim(2x十号)的图象，故C正确；将f八)图象上所有点 的横坐标变为原来的子， 得到y=2sin(4红+号）的图象，当若<x<于时，x<4红 十吾<号而y=s血x在(，晋)上先减后增，对y 2sin(4红+号)在（否，等）上也先减后增，故D错误.] 10.ABC[因为cos2A+cos2B+2sinC=2,所以2cos2A -1+2cos2B-1+2sinC=2,即cos2A十cos2B+sinC =2, 所以1-sinA+1-sinB+sinC=2,即sinC=sinA 十sinB.故A正确. 当C>时，A十B<受，即0<A<5-B<受，故有 0<sinA<sin(径-B）,即0<sinA<sinB,同理有 0<sin B<cos A, 所以sin'A十sin2B<sin Acos B+sin Bcos A=sin(A十 B)=sin C, 与A选项矛盾，故C<受不成立，同理可得C>受也不 成立，故C=受，则sinC=1,c0sC=0. 因为Acos Bsin C=-子，所以cAcos B=子，月为 A十B=受，所以c0sB=sinA,所以cos Asin A=4, 即sin2A=合，又A∈(0，受）2A∈0，，故2A=日 或，即A=是或段 当A=是时，an是-am(肾-平)-2-5， 所以器=2-0. Sw=号AC·BC=},放AC·BC=}@,结合① ②可得 AC=2+3 2 所以AB2=AC+BC=2, 则AB=√2，故B正确，D错误. 当A=是*血音=m(停)6如语 n(后+子）52，所以mA十B=6E 4 6+E-5,故C正确 4 当A-登时，同理可得B正确，C正确，D错误.] 1.解析：根6题高，T-,因为要<T<,所以要<巴 4 ω <,所以2a<号 又画教fx)的图象关于点（经0）中心对称， 所以s(受。+圣）0， 所以受。=k 因为2<<号，所以当=4时，a=号 答案：号 12.解析：由sin(2a十)十2sin2 acos B=3sinB,得 3sin2 acos+cos2asin月=3sinA,由B∈(0，号）得 cosB≠0，则3sin2a十cos2 atan B=3tanB,则tanB= 3sin 2a 6sin acosa 3tan a 3 3co2 sin2co 2ana1 2tan tan 1· 因为a∈(0，号）所以tana∈0B,则2ana+ama ≥2么，当且收当m。=号时学子成去从西n 3=32 2√2 4 又e(0,号)所以当anB取得最大值时，c0sB取得 最小位，且最小值为2一。 答案2 13.解：(1)如图，在△DBC中，CD =√3，BC=√6，BD=1, 根据余弦定理，得cOs∠DBC BD+BC -CD* 2BD·BC 12+(6)2-(5)2_ 2×1×√6 3 ·66 又在△ABC中，eos∠ABC=6,BC=6,AB=2, 3 根据余弦定理，得c0s∠ABC=AB十BC-AC 2AB·BC 22+(W6)2-AC_√6 2×2X√6 3 解得AC=√2； (2)如图，延长BA,使AE=AC, E 则△AEC为等腰三角形， ∠AEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE D =2∠AEC, 又∠BAC=2∠BCD,所以∠BCD=∠AEC,所以 ∠BDC=∠BCE, 所以△BDCP△BCE, 品 即AB+AEBC CB BD' 所以2合C=华，则BC=2+AC CB 又AC=AD+DC,BC=BD+DC, 所以AC12=AD+DC2=AD12+DC2+2AD· |DC1cos∠BDC, BCI=BD+DC=BD+DC+2BDI. |DC|cos∠ADC, 所以AC2+BC?=2(AD+DC2) =2[12+(5)2]=8, 所以AC2十AC+2=8,即AC2十AC-6=0,解得AC= 2或AC=-3(舍). 14.解：(1)因为asin B=√3 bcos A, 所以由正弦定理得sin Asin B=√3sinB·cosA, 因为B∈(0，π)，sinB≠0， 所以sinA=√3cosA,即tanA=√3，又A∈(0，π)， 所以A=子 (2)由1)可知A=号，又a=7, 由余孩定理得c0sA=B+Q= 2bc 2 即+c-7=1,6+C-7=bx①， bc 又c-2b=1②， 联立①包，可得=3， b=1. 所以c的值为3. (3)由(2)可知，b=1,根据正弦定理a b sin A sin B' 得」 3 sin B' 所以sinB=V21 14 2 又1<7<3，即b<a<c,所以B∈(0，否） 则cosB=√个-$inB=5V 14 sin 2B-2sin Beos B-2x5753 14 14 14 cos2B=1-2sin2B=1-2×14X4-i4: 2111 所以sin(A+2B)=sin Acos2B+cosA·sin2B 7 特训6 1.B[记{an1的公差为d. 因为S=6,S=-5,所以3a+3d=6, 解得 (5a1+10d=-5. /a=5, 所以S=6a1十15d=6×5+15×(-3)=-15.] （d=-3, 2.C[由题意，设正项等比数列{an}的公比为q, 其中g>0, 由等比数列的性质可知asa?=a1ag,由题千可得a3=1, 即a1g=1户a1=7 1 若q=1,则S=3a1=3,不合题意，故q≠1， 所以S,=1-92)-811-g)1+g+g) 1-q 1-q =a,+g)=1+g=寸+1= 解得。=2或g 1=-3(含去)，故a1=4. 3.B[由S+1-2S,=n,得S,+1十n十2=2(S,十n十1)， 因为a1=2,所以S1十1十1=4， 所以{Sn十n十1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以S。十n十1=4X2-1,所以S,=2+1-n-1, 所以a10=S10-S,=1023.] 4.C[由Sn=-n2十8n, 可得当n=1时，a1=S1=-1十8=7： 当n≥2时，a,=S。-S。-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2十 8(n-1)], ·6 整理可得an=-2n十9， 经检验，当n=1时，a1=7符合上式. 综上，a=一2n十9(n∈N"),可知数列{an}为等差数列. 当n≤4时，an>0; 当n≥5时，an<0, 所以{an}的前12项和 T12=(a1十a2十a3十a1)-(a5十a6十a7十…十a12)= 4×(7+1)_8×(-1-152=16+64=80.] 2 2 5.B[设2=t,由题意得A”={t,2t,2t,…,第n项为 a an1=2"-lt, an 当n>≥2时，a,=4·g,g…0·a1=t…2t… a a2 as an-1 2t…·2-4·a1=20244-1·a1,当n=1时，上 式也成立， 因为a1=1,a5=32, 所以2t3·a1=1,2t·a1=32, 解得=4a=立故选] 6.D[已知{an}是等差数列，根据等差数列的性质可得 a3十a,=a5十a5=2a5=10,则a=5. 又因为a5a,=65,所以5a,=65,解得am=13.设等差数 列{an}的公差为d,根据等差数列通项公式an=a1十 （n1)d,可得/2=a,十4d=5 解得d=2,a1=-3.根 (as=a1+8d=13 据等差数列的前n项和公式可得S,=n×(一3)十 n(n-1×2=-3n十n(n-1)=n2-4n. 2 特5=f一n代入可得是-。门 n n 7.A[因为a十分十方4十+，=231-6 ∈N")①. 所以当n=1时，a1=2×32-6=12, 当n≥2时a十0十方a,中…叶4 =2·3"-6②， ①-②得7a,=2·31-6-(2·3-6)=4·3,所以 an=4n·3”(n≥2)， 当n=1时，a1也满足上式，所以an=4n·3”, 4n·3”3+1 3” 所以6，=2m+D(2m+3)=2n+32m中' 记数列{b}的前n项和为Sn, 则s=(居-)十(？-)十（信-）十… (）1-引-1.] 7数学 特训5三角函数与解三角形 (时间：60分钟满分：90分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= ( A.45° B.60° C.120° D.135 整 2.已知0<a<π，cos 则m。-引 斯 A. 10 B. 5 C3② 10 n福 1 3.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx- 的图象的一个对称中心，则a的最小值为 吹 ( 4π 和 A.6 B. 零 C. D. 4.在锐角△ABC中，cosA=c0s2B,则号 一个可能的取值为 2 A. B C.2 D.3 - 御 5.已知f(x)=sin(wx十p)(w>0,-π<p<π)在 径·受上单调递增，且直线x-为 f(x)图象的一条对称轴， 行0为fx)图象的一个对称中心，当x∈[0，受]时，f()的最 小值为 1 ! 2 B.- C.1 D.0 6.对于函数f(x)=(sinx十cosx)2+√3cos2x,有下列结论：①最小正周期为元；②最大值 为3；③减区间为 登+，径+x小水k∈2：@对称中心为(-吾+x,0小∈2.则上述 结论正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ·13· 7.已知0a<受，sin 任-小-则g的值为 () 6 1+tan a A. B.24 51 13 c D.207 13 8.已知△ABC的角A,B,C对应的边分别为a,bc,∠BAC=号，∠BAC的平分线交边BC 于点D,若AD=√5，则b+2c的最小值为 ( A.2+22 B.4 C.3+2√2 D.3+23 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)=sin wx十√3 cos wx(w>0)的最小正周期为π，则 Afu)的图象关于点（一若0对称 B.f代x)的图象关于直线u=晋对称 C.f(x)的图象可由y=2sin2x的图象向左平移x个单位长度得到 6 D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2，得到的图象对应的函数在 上单 调递减 10.已知△ABC的面积为7，cos2A+cos2B+2sinC=2,cos Acos B·sinC-子，则 A.sin C=sinA+sinB B.AB=√2 C.sin A+sin B6 D.AC2+BC=3 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.已知函数f(x)=sine x+)>0)的最小正周期T满足8T<T<x,且该函数的图象 关于点(，0中心对称，则w的值为 12.已知a,8c0,号，且sim(2a+)+2sim2acos=3sim月，则cosB的最小值为 ·14· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.(13分)在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3. (1)若BC=√6，求AC的长； (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长. ·15· 14.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=√3 bcos A,c-2b=1, a=7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 脚 烯 ·16·